數(shù)學(xué)試題卷

1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫

在答題紙上.

3.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如要改動(dòng)，

須將原填涂處用橡皮擦凈.

4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作

圖時(shí)可先使用2B鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫在本

試題卷上無效.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z,若白=i3為虛數(shù)單位），則忖=（）

A.x/5B.5C.x/3D.3

2.已知集合A={X—2Wx<l},6={"?,3},且AC3的元素個(gè)數(shù)是一個(gè)，則實(shí)數(shù)，〃的取值范

圍是（）

A.（-2,1）B.[-2,1JC.[-2J）D.（-2,1]

3.已知E，K為雙曲線G=1（?>0,6>0）的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,勸）.若

△A片鳥為等邊三角形，則雙曲線C的離心率是（）

A.bB.2石C.2D.3

4.已知x，yeR,則下列條件中使x>）'成立的充要條件是（）

A.B.x2>y2

C.ax>ay（a>。相a工）D.

5.定義在R上的兩個(gè)函數(shù)/（x）,g（“，恒有r（x）=g（J）,則（）

A./（1）為奇函數(shù)B./（"為偶函數(shù)

C.g"）為奇函數(shù)D.g（x）為偶函數(shù)

6.若函數(shù)），=5布“X+［的圖象向右平移3個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)?？?/p>

64

以是（）

22

A.-B.——C.2D.-2

33

7.已知三棱錐S—A8C,滿足SA=S8=SC,且SA,SB,5r兩兩垂直.在底面VA6。內(nèi)

有一動(dòng)點(diǎn)P到三個(gè)側(cè)面的距離依次成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡是（）

A.一個(gè)點(diǎn)B.一條線段C.一段圓弧D.一段拋物線

8.若關(guān)于x的方程3-戊）（1-/欣）=0（七1<）恰有四個(gè)不同的實(shí)根。也。,"（"。<0<"）,

則（）

A.a+d<b+cB.a+d=b+cC.ad<beD.ad=be

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，

有選錯(cuò)的得0分.

9.已知隨機(jī)變量J~N（Qb”e（x）=尸則下列等式正確的是（）

A.必-工）=1-o（x）B.尸（團(tuán)=⑴

C.P（|^|<l）=2^（l）-ID.可團(tuán)>1）=2-2。⑴

10.設(shè)拋物線C：，=2PMP>。）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/，過點(diǎn)產(chǎn)的直線交C于A,3兩點(diǎn)，

以尸為圓心，|胡|為半徑的圓交/于M,N兩點(diǎn).若AM_L/,|E4|=6,則（）

A.〃=2B.直線AF的斜率是士百

C.|AB|=8D.的面積是18行

II.在V/WC中，若C>B,且sin28+cos2C-sinBcosC=3,則（）

4

A.C=-B.sin/4=-

22

C.siiiA=cosCD.2sin8-cosC的最大值是G

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

試卷第2頁，共4頁

12.(丁7)(/+￡|展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

13.已知平面向量％6滿足同=百，,叫=1,則W的最大值是.

14.在RtVA8C中，C=/AC=1,3C=JI。是A8的中點(diǎn)，把△88沿CD翻折到△8。。，

設(shè)二面角線-。。-A的平面角為6,若，則三棱錐4-AC。外接球表面積的范圍

是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝滿足4=1心［%一二=eN)

$an4+2

⑴證明：數(shù)列,為等差數(shù)列：

⑵求數(shù)列｛?,%｝的前〃項(xiàng)和S“.

16.如圖，在三棱臺(tái)A8C—中，平面A4CC，平面44cAA=AG=GC=2,

AC=4,AiI3=2y［2,A8=BC.

⑴求證：1.AC］；

(2)求平面ABQ與平面8CC夾角的余弦值.

17.已知甲、乙兩個(gè)袋子，其中甲袋內(nèi)有1個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋內(nèi)有2個(gè)紅球和2個(gè)白

球.根據(jù)下列規(guī)則進(jìn)行連續(xù)有放回的摸球(每次只摸1個(gè)球)：先隨機(jī)選擇一個(gè)袋子摸球.若

選中甲袋，則后續(xù)每次均選擇甲袋摸球；若選中乙袋，則后續(xù)再隨機(jī)選擇一個(gè)袋子摸球.

(1)按照上述規(guī)則摸球3次.當(dāng)?shù)?次選中的是甲袋，求摸到紅球的個(gè)數(shù)X的分布列及期望

E(X)；

(2)按照上述規(guī)則進(jìn)行連續(xù)摸球，若摸到2次紅球則停止摸球.求3次之內(nèi)(含3次)停止

摸球的概率.

18.已知己-5,0),小吟)是橢圓c：》］=i(a>b>0)上的兩點(diǎn).

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知P,。是橢圓C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且RQ的橫坐標(biāo)之和為蓑，設(shè)直線/為線段產(chǎn)。的中垂線,

過點(diǎn)A作直線AM_L/,垂足為M.求垂足M橫坐標(biāo)一%的取值范圍，并求M的軌跡方程.

19.已知函數(shù)/(x)=e'cos(or),雇力=期抽(”2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴當(dāng)。=1時(shí)，

(i)求的單調(diào)遞增區(qū)間；

(ii)記乙為函數(shù)/(x)在(。,也)上從小到大排列的第〃個(gè)極值點(diǎn)(〃eN")，求數(shù)列

3M

午月廿(天)|的前20項(xiàng)和.

⑵當(dāng)。?0,2)時(shí)，求證：對(duì)任意的xe0,：,設(shè)'抬'。)之/(X)-r(司恒成立.

試卷第4頁，共4頁

I.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)計(jì)算公式可得答案.

【詳解】由方程三二［得2=「(2+。=公+/=公+(-1)=一l+2i,

2+1

所以|z|=5(-I)?+2?=Jl+4=.

故選：A

2.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用元素與集合的關(guān)系求解即可.

【詳解】由AcB的元素個(gè)數(shù)是一個(gè)，且3任A,得〃?eA,則

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍是

故選：C

3.C

22

廠2_c_c_1

【分析】由題可得tan/A斤0=—=石，即3二孚，再根據(jù),==求解

即可.

【詳解】瑪為等邊三角形,。為耳瑪?shù)闹悬c(diǎn),

:.e=2.

故選：C.

4.D

【分析】逐一分析各選項(xiàng)條件和能否互推即可求解.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)工=-2,)，=1時(shí)，滿足但不滿足式＞兒

答案第1頁，共17頁

所以|N>)，不是不>y的充要條件，故A錯(cuò)誤：

對(duì)于B,當(dāng)％=-2,y=1時(shí)，滿足但不滿足x>y,

所以r>),2不是工>),的充要條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C當(dāng)。>1時(shí),指數(shù)函數(shù))，=/為增函數(shù)，若優(yōu)>/',貝”>幾

當(dāng)0<。<1時(shí)，指數(shù)函數(shù))，=優(yōu)為減函數(shù)，若優(yōu)〉/,則x<v,

所以優(yōu)>/(。>0且。聲1)不是x>)’的充要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若ln(x-y+l)>O=lnl,l/lijx-y+1>I=>x-y>0,g|Jx>yt

反之，若則工一丁>0,貝"一5+1>1,所以ln(x-y+l)>lnl=O,

所以In(x-)，+1)>0是x>y的充要條件，故D正確.

故選：D

5.B

【分析】借助函數(shù)奇偶性定義計(jì)算即可得.

【詳解】由r(x)=g(/)，則/'(T)=g[(T『=g(7)=r'(x)，

則/(一工)=/(%)，又/(X)定義域?yàn)镽，故/("為偶函數(shù)，故B正確；

由已知得不到雇力與g(T)關(guān)系，也得不到〃X)+/(T)是否為0,故A、C、D錯(cuò)誤.

故選：B.

6.A

【分析】分析可知函數(shù)y=sinox+?關(guān)于直線1=-弓對(duì)稱，分啰=0和3工0兩種情況，結(jié)

64

合函數(shù)y=3皿|的對(duì)稱性分析求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù))，=$皿公1+2的圖象向右平移￡個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱，

64

可知函數(shù)y=$而￡關(guān)于直線4=對(duì)稱，

64

若0=0,則函數(shù))=sing=?關(guān)于直線工=-弓對(duì)稱，符合題意；

624

若口工0,設(shè)1=3+5，

答案第2頁，共17頁

則函數(shù)），=sin+g的對(duì)稱軸x=所對(duì)應(yīng)的f值（［=-二0+鄉(xiāng)）必為函數(shù)），=0而|”的

6446

對(duì)稱軸，

又因?yàn)楹瘮?shù)），=sin|/|的對(duì)稱軸為丁軸，

則—<y+—=0,解得@=7；

463

2

綜上所述：69=0或3=§.

結(jié)合選項(xiàng)可知：A正確，BCD錯(cuò)誤.

故選：A.

7.B

［分析】推導(dǎo)出匕…8+匕的C=2匕“BC，進(jìn)而可得出S3A8+SMAC=2s△成，設(shè)點(diǎn)尸到邊AB、

BC、AC的距離分別為4、出、W，設(shè)等邊VABC的邊長(zhǎng)為。，可得出4+出+4=［〃以

及4+4=2&,求出&的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】在三棱錐S-A3。中，SA=SB=SC,且SA,SB,ST兩兩垂直，

/.AB=yJs^+SB2,AC=^SA2+SC2,BC=y/sC2+SB2，

：.AB=AC=BC,即VA6C為等邊三角形，

設(shè)點(diǎn)P到平面SAB、平面SBC、平面SC4的距離依次為"、為、勾，如下圖所示:

由題意可知，%+%=2%?則~SASABA+TS.c%=2x,S，

JJJ

=

即Vp-SAB+VP-SAC=2Vp_$8c,即匕-/>A8+^S-PAC^S-PBC,

所以，SgAB+SNAC=2s幺PBC,

不妨設(shè)點(diǎn)尸到邊43、BC、4c的距離分別為4、d2、d、,

答案第3頁，共17頁

x/32

設(shè)等邊VA8C的邊長(zhǎng)為。，則5八人雇=-a，

4

，即g"(4+“2+W)=中/，

又因?yàn)镾NAB+SWBC+SWXC=S^ABC

所以，4+出+4=~~a，①

由%以8+54八0=2S28C,可得5。(4+4)=2X’可得4+"3="2，②

聯(lián)立①②可得d'=立~a

6

所以，點(diǎn)P的軌跡是一條與8c平行且與BC之間的距離為立a的線段.

6

故選：B.

8.D

【分析】令?-儀)(.1-m。=0,可得f=J或，=士，構(gòu)造函數(shù)〃x)=J,則/(lnx)=F

xin入xinx

結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)/(X)性質(zhì)，從而得到f=[?與，=丘的根的關(guān)系，即可得《〃，c，d間關(guān)系，

從而可得而與從間關(guān)系；再借助作差法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)計(jì)算可得〃+，/與6+C關(guān)系，即可得解.

【詳解】由(e'-a)(x-/lnx)=。，貝Ije*-/x=0或x-ilw=O,

則，=《或，=不匚，令人同=《，則廣"卜也匚1,

A-Inxx一尸

當(dāng)J?e,0)50,l)時(shí)，:(力<0,當(dāng)J?l,+8)時(shí),7(x)>0,

故/(M在(-8,0)、(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=—<0,/(1)=—=e,

-X

故當(dāng)，<0或，=。時(shí),，”且僅有一根，當(dāng)/>e時(shí)，”《有兩根,

XX

Jnx%-V

又〃lnx)=J=/一,則/=戶最多有兩根，

Inx\nxInx

由題意可得f=I與/=丁匚共有四個(gè)不同根，

xInx

故，>e,設(shè)/='兩根分別為巧、與，且。<%<1<與，

X

則/=/'一兩根分別為e"、c",則1ve*<c<c",

Inx

A,

則有0vX<e<x2<e*或玉v/<e"<e",

V2

若。<內(nèi)<e"<與<e",則。=$、。=9、c=x2,d=e,

答案第4頁，共17頁

若玉＜/＜e"＜,則a=3、b=七、c=eV|、d=e"，

X

故ad=xe",bc=X2Q',

由，=J=J,則為e"=x,e*,即有ad=歷，故D正確，C錯(cuò)誤；

%x?

2v,

a+d=xi+e',h+c=x2+e,

A

則（a+d）―（人+c）=X+e±-x2-e^*=（e-一內(nèi)），

令g（x）=e'-x,則，（x）=ex-l,

則當(dāng)x＞0時(shí),g'（x）＞0,則g（x）在（0,+。）上單調(diào)遞增，

由再〉內(nèi)＞0,則g（w）＞g（s）,即仁一再）-佇_演）＞0,

即（〃+4）—（。+o）＞（）,即有a+d＞〃+c,故A、B錯(cuò)誤.

故選：D.

9.ACD

【分析】由正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義逐一判斷即可得解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量々N（0,『），

則正態(tài)分布曲線關(guān)于4=0對(duì)稱，

因?yàn)?（x）=P（jWx）,

則由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可得：0（-x）+e（x）=l,即e（-x）=l-0（x）,故A正確；

又尸（忸區(qū)1）=2（TW4Wl）=P（4Wl）-Q（jWT）=e（l）_0（_l）,

由于夕（-1）=1-夕⑴，所以夕佃￡1）=20⑴-1,故B不正確，C正確；

P（尚＞1）=1-P（何小）=1-2。⑴+1=2-2夕⑴，故D正確.

故選：ACD.

10.BCD

【分析】對(duì)于A,利用幾何關(guān)系求出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線之間的距離即可；對(duì)于B,利用幾何關(guān)系求

出直線質(zhì)的傾斜角即可；對(duì)于C,利用弦長(zhǎng)公式求解即可；對(duì)于D,利用三角形面枳公式

求解即可.

答案第5頁，共17頁

【詳解】對(duì)于A,以尸為圓心，|以|為半徑的圓交準(zhǔn)線/于M,N兩點(diǎn)，且AM_L/,

^\F^=\FM\=\AM\,

所以AAMF是等邊三角形，所以ZAMF=60>

設(shè)準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)H，則NHMF=30,

故p=I"目=|陰sin3（T=3,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)镹K4/=60平行于x軸，

故4尸"=120,故當(dāng)A點(diǎn)位于第一象限時(shí)，直線"'的傾斜角為60";

當(dāng)4點(diǎn)位于第三象限時(shí)，直線質(zhì)的傾斜角為120;

所以直線A尸的斜率是±&,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)橹本€4?的斜率是±6，且拋物線G/=6x,

故直線A8的方程為：尸±6卜-1）,

聯(lián)立方程得：3口一￡）=6x，BP4x2-20x+9=0,

設(shè)A&J〕）,8（々必），則%+8=5,

故|人日=%+式2+〃=8,故C正確；

對(duì)于D.由A知，NHMF=30'，

故|MH|=|Mqcos30=3上,

^\MN\=2\MH\=&j39

S4=gx|MN|x|AM|=18W,故D正確.

故選:BCD

答案第6頁，共17頁

【分析】利用降幕公式以及三角恒等變換可得(2sinA-l)[2sin(5-C)-1]=0,結(jié)合已知可

Msin(B-C)<0,可求得sin4=；判斷B；求得A,進(jìn)而計(jì)算可判斷ACD.

【詳解】由sin28+cos?。-sin8cosc=?,可得1-cos28+1+cos2c_sinBcosC二之,

4224

所以cos2c-cos2B-2sin5cosC=--,

2

所以cos[(C+A)+(C-B)]-cos[(C+B)-(C-B)]-2sinBcosC=-L

所以一2sin(C+B)sin(C-B)-2sinBcosC=—,即一2sin4sin(C-8)-2sin8cosc=-g,

所以一2sinAsin(C—8)—[sin(4+C)+sin(4—C)]=-g,

所以一2sinAsin(。一8)—sinA—sin(3—C)=-g,

所以2sinAsin(fi-C)-sinA-sin(B-C)+^=O,

即4sinAsin(8-C)-2sinA-2sin(/?-C)+l=0,

所以2sinA[2sin(B-C)-lH2sin(8-C)-l]=0,

所以(2sinA-l)[2sin(B_C)T=0,

因?yàn)镃>4,所以一兀-C<0,所以sin(8-C)<(),

所以2sinA-l=0,所以siM=；,故B正確；

又OVAVTI,則A=2■或A=2,

66

當(dāng)A=?時(shí)，則B+C=號(hào)，不能得出C=W，故A錯(cuò)誤，

662

若C=5，則B=1時(shí)，符合題意，但cosC=0,所以sinAwcosC,故C錯(cuò)誤；

由sinZB+cos^C-sin8cosc=3,得(sinBcosC)+-cos2C=-,

412J44

所以sinZ^-—coscl<—?Wf#-—<sinB--cosC<—，

I2J4222

所以2sin4-cosCvG，當(dāng)且僅當(dāng)?cos2C=0,即C=g時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：BD.

12.-9

答案第7頁，共17頁

【分析】根據(jù)題意，先求得二項(xiàng)式卜+()的展開式的通項(xiàng)公式為11=晨,產(chǎn)-3，，進(jìn)而求

得展開式的常數(shù)項(xiàng)，得到答案.

x2+1|6的展開式的通項(xiàng)公式為

【詳解】由二項(xiàng)式

X)

Tr+i=墨，2-分"=0J…4，

X

所以

卜+￡)6=/卜_^)6_卜+_晨/-3,=c/5-"_c32_3,,=o

9

所以當(dāng)，?=5時(shí)有常數(shù)項(xiàng)C3-S=c\當(dāng)X4時(shí)有常數(shù)項(xiàng)-C打2-3*4=_或，

所以所求展開式的常數(shù)項(xiàng)為C：+(-l),C：=6-15=-9.

故答案為：-9.

13.5/3+1

【分析】要解決這個(gè)問題，我們可以利用向量模的三角不等式來分析.

【詳解】根據(jù)向量模長(zhǎng)的三角不等式，有

|網(wǎng)小舊”華同+懷

又因?yàn)锽=5),由三角不等式：

網(wǎng)=卜-3-5)上同+卜-4,

則W/十1/=招+1,得：

|5|<V3+I

故答案為：G+1

r.門兀］

,4-r—j

【分析】利用球心在過“CD和線外接圓圓心且垂直于平面AC。和平面的垂線的

交線上找到球心位置，利用題中所給條件建立外接球半徑與二面角片A的平面角為

答案第8頁，共17頁

。的關(guān)系式即可分析計(jì)算求解.

【詳解】由題可得48=，（6丫+12=2,所以AC=CD=AD=BD=BQ=1,C&=6,

所以NA8Q=48=30。，故和A。。耳分別為等邊三角形和等腰三角形，且

ZCDB,=120°,

如圖，分別為△AOKD與外接圓圓心，取CD中點(diǎn)G,連接QGAG,

則QA=—!—=3,OG」AG」xJ|2-fn=B,O,C=O、4=—3—=1,

12sin6003133丫（2；）6'''2sin120°

22

O2G=yjO2C-GC=^-,

且02G_LCDMG_LC。，故NAGO?為二面角用-C。-A的平面角，所以/AGa=。,

分別過Q，Q作平面AC。和平面。。用的垂線，則球心均在兩垂線上，兩垂線的交點(diǎn)即為球

心O,

如圖，當(dāng)時(shí)，四邊形6。2。日為矩形，則OQ=GQ=立,

2'6

所以由四。2=gO；+OO；得改=I2

答案第9頁，共17頁

則/GHO\=NQHO,ZGO,H=NOO1H=90。,所以ZO.OH=/AGO?=。,

設(shè)三棱錐ACD外接球半徑為R,

則eg=Jo*-。.=

,05=JOB；-Q哥=k-i,

HG==^—、O、H=OO、tan0=JR、Itan0,

cos。6cos夕'

所以

G6

容Witan"磊=＞忻二上6cos^_|735/3)cos0_35/3cos0-s/3,

tan006cos/9sin06sin0

’3Gcose-Vr+1_3(3cos"l)-+]_13-6cos。-3cos*

所以旅=

6sin912siM6-12-12COS2<9

若則0</=cose<〈，令〃/)J3-6T,0<YL

3227v712-12-2

,1=(-6-6/)x(12-12r)-(i3-6r-3r)x(-24r)=_3z2+10/_3=(3r-l)(/-3)

貝""尸=I2(r-1)2=-12(r-l)2，

所以時(shí)/'1)<()./eg時(shí)/”(，)>(),所以4)在(01)上單調(diào)遞減，在聶

上單調(diào)遞增,

又〃。）喑嗎卜371313-6/-3r2_37

記<立/⑴12—12產(chǎn)一正一'

所以ML-/⑼=*八"=/|｝卜1，

綜上所述，配最小值為1,最大值為三13.

答案第10頁，共17頁

所以三棱錐ACD外接球表面積最小值為4兀2=4兀，最大值為4兀W=4兀x二等

4兀牛

故答案為:

3

15.（1）證明見解析

⑵缶

【分析】（I）將4n-~"變形化簡(jiǎn)后結(jié)合等差數(shù)列定義即可得:

（2）利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可得.

【詳解】（I）由也二級(jí)二生二^,得也一］=1一也,

a

%勺+2n《M2

即&L+%L=2,得J-+-L=3,

4限anan+2an+l

所以數(shù)列，，為等差數(shù)列.

(2)設(shè)數(shù)列，的公差為d,|JI|JJ=——!-=i

[an\%q2

得，=-!"+(〃-1)4=1+(〃=,故。二:一

an?,22/?+1

故用=(--r7|?

(“+1)(〃+2)Vl+l77+2J

貝ijS”=《生+生6+…+4*用

答案第11頁，共17頁

,111111

=4x----------1-----------1------1-

（2334〃+1〃+2

,112〃

=4x-------------

（2n+2）

故S.=今

n+2

16.(1)證明見解析

⑵繆

【分析】(1)取人C的中點(diǎn)。，連接AO，GO,利用面面垂直的性質(zhì)可得8。4平面A4GC,

進(jìn)而可證結(jié)合AG_LA。，可證4G_L平面A03,可證結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面A4G和平面C3G的一個(gè)法向最，利用向量法可求得

平面ABC,和8CG夾角的余弦值.

【詳解】(I)取AC的中點(diǎn)。，連接8O，AO，G。，

因?yàn)?4=BC,。為AC中點(diǎn)，所以8O_LAC,

又因?yàn)槠矫?CC~L平面ABC,平面MGCn平面ABC=AC,8Ou平面ABC,

所以BO工平面AAG。，而ACU平面AAG。，則4G，80.

因?yàn)锳G〃4O，AG=AO=M，所以四邊形AAOG是菱形，AC,1\0,

而因此AG1平面A0B,

因?yàn)锳/u平面AOB,所以A8_LAG.

(2)取AG中點(diǎn)M,則。Af_LAC,

由平面4AGC_L平面A8C,平面MGCn平面A8C=AC,OMu平面AAG。，

則。W_L平面ABC,又08u平面ABC,所以0MJ.08,

則兩兩垂直，依題可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-勾幺.

在平面AAG。內(nèi)作A"_LAC于斤，連接8”.

答案第12頁，共17頁

因?yàn)槠矫鍭AGC1平面所以平面A3C.

在梯形AGC4中，由題意47/=；AC=l,AH=6

在心MH8中，BH=QAB'_AH?=x/5.

在RlAOHB中,OB=4BH2-OH?=2,

A(0,-2,0),C(0,2,0),比2,0,()),G(0,1,6),

氏二(-2,1,5,4B=(2,2,0),BC=(-2,2,0),

設(shè)平面48G的法向量）=（3/,zj,

則巴虧2—

[BC,?仆=-2玉+x+V3Zj=0

取菁=1,得,=d揚(yáng).

設(shè)平面8CG的法向量鼠=（孫必*2），

BC?%=-2占+2y2=0

則）

BQ?n2=-2X2+y2+=0

取&=i，得Z=（G，G,i），

〃丁應(yīng)_G_x/105

所以COS〃|,〃2=同網(wǎng)"=

因此平面ABC,和8CG夾角的余弦值是警

17.⑴分布歹現(xiàn)解析,!

答案第13頁，共17頁

⑵K

【分析】(1)利用二項(xiàng)分布的概率和期望公式求解即可;

(2)利用全概率公式求解即可.

【詳解】(1)法一：由題意得X的可能取值為0/，2,3.

Q771397

P(X=0)=C?(-/=-,P(X=l)=C；(-)x(-/=-,

139I1

/X=2)=C；(w)2x(-)=-,P(x=3)=C：(/3=_.

X0123

272791

P

64646464

2727913

因此￡：(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-.

646464644

法二：由題意得X的可能取值為0,1,2,3.

又X故P(X)=C：(!)*(3)"(太=0,1,2,3).

444

13

因此E(X)=3x—=-.

44

(2)設(shè)事件M="3次之內(nèi)(含3次)停止摸球”，

事件A=”第1次摸到紅球，第2次摸到紅球”；

事件4=“第1次摸到紅球，第2次摸到白球，第3次摸到紅球”;

事件C="第1次摸到白球，第2次摸到紅球，第3次摸到紅球”;

事件A="首次選擇甲袋是第i次摸球，，(I=1,2,3),

事件4=“一直沒有選擇甲袋”.

則P(A)=P(QJP(川A)+P(2)P(川2)+P(Q0)P(A|A)

111

11111111

2-4-4-+—X—X—X—H--X—X—X—=

222422228

P(B)=P(DI)P(B|D1)+P(D2)P(B|D2)+P(D3)/>(B|D3)+P(D0)P(B|D0)

11311131111111119

—X—x—x—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=

2444424482248222128

P(C)=P(〃)P(C|A)+P(4)P(C0)+P(2)P(C|2)+P(4)P(C|4)

13111111111111111117

=-X—X—x—+—X—X—X—X—+—X—X—X—X-X—+—X—X—X—=.

2444222442222248222128

答案第14頁，共17頁

1971

因此P（M）=P（A）+P（8）+P（C）=—+—+——=-.

81281284

18.⑴三+亡=1；

2516

⑵/e[-5,-｝，*+2）2+），2=9且xw

【分析】（1）根據(jù)橢圓上兩點(diǎn)代入方程求解?！钡闹导纯傻脵E圓方程；

（2）設(shè)2對(duì)），）。（5,先），線段P0的中點(diǎn)GCr。”。），分別討論直線。。的斜率是否存在,

當(dāng)斜率〃存在時(shí)確定直線；的方程與直線。。聯(lián)立得M橫坐標(biāo)也與我的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)得加

的取值范圍，結(jié)合圓的定義從而得M的軌跡方程.

a=5

【詳解】（1）由題意“電解得:所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.看=1;

3+空=1P=4

L2b2

（2）設(shè)尸（—"3線段尸。的中點(diǎn)G（”。），則/看步?言泊】，

①當(dāng)4=0））=-必時(shí)，P。的中垂線為x軸，過點(diǎn)A向中垂線作垂線，垂足M為點(diǎn)A（-5,0）

②當(dāng)時(shí)，直線也的斜率左二96資=-職關(guān)■=-￡$?，則喈=41，

A

X】一X?ZJJ|+y223為o4

所以h%=4，將％=年代入橢圓方程得二士里，

8V148x/14u而，V14.s,V14

所以一——<y0<—^―,從而攵<---,

線段PQ的中垂線方程為尹蕓=-舄，^y=~~T=-；（1）?

9kk9kkk

故線段尸。的中垂線過定點(diǎn)（1,0）

故垂足仞軌跡是在以（-2,0）為圓心，半徑為3的圓弧，其方程為。+2尸+），2=9

過點(diǎn)A與y=-）（.*-1）垂直的直線為y=Mx+5）,

K

聯(lián)立方程組”二一工“一1）消去）'得均因?yàn)?/p>

y=k（.x+5）k+1

答案第15頁，共17頁

所以%=-5+島G(-5，T),綜上①，②所得

/tilD

所以垂足用軌跡方程是(x+2)2+V=9,且X€[-5-1).

77e^R-81eJ,K+3e^+ex

19.(