4.4探索三角形相似的條件(第3課時)導(dǎo)學(xué)案

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能準(zhǔn)確表述“三邊成比例的兩個三角形相似”的判定定理，理解定理的推導(dǎo)過程.

2.能夠運(yùn)用該定理判斷兩個三角形是否相似，并解決相關(guān)的幾何問題.

3.借助改變k值重復(fù)驗證定理的過程，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，激發(fā)對數(shù)學(xué)推理的興趣.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解“三邊成比例的兩個三角形相似”判定定理的定理內(nèi)容及其幾何表示.

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：推理出“三邊成比例”與"三角形相似"的因果關(guān)系，突破"從邊的關(guān)系推導(dǎo)角的關(guān)系”的

邏輯障礙.

02學(xué)習(xí)過程

第一環(huán)節(jié)自主學(xué)習(xí)

溫故知新：

1.三角形相似的判定定理一：兩角分別相等的兩個三角形相似.

2.三角形相似的判定定理二：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

3.三角形全等的“邊邊邊(SSS)"判定定理具體內(nèi)容：三邊分別相等的兩個三角形全等

新知自研：自研課本第9394頁的內(nèi)容.

【學(xué)法指導(dǎo)】

情景引入

我們知道兩三角形的一:邊對應(yīng)相等能判定兩個三角形全等，也就是說通過三邊是可以判斷兩個三角形

之間的關(guān)系的，那么兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例能否判定兩個三角形相似呢？

自研課本P9394頁的內(nèi)容，思考：

?探究一：探究三邊成比例與三角形相似的關(guān)系

團(tuán)I.畫△4BC與使得里=匹=￡=片2.

A'B'-BC~A'C1~

①先畫△力8C;

②再根據(jù)比例攵=2,計算A8'，BC，A'C^畫出

AA

團(tuán)2.測量24與乙4'、ZB與/B'、4c與4C'的度數(shù)，記錄并比較它們的大小；同時觀察兩個三角形的形狀，判斷

它們是否“形狀相同

03.知識歸納

文字語言：如果兩個三角形的三邊成比例，那么這兩個三角形相似.

符號語言：若翳=券=篇，則4ABC-△ABC

練一練

即時訓(xùn)練

1.以下各組三角形的三邊長度（單位：cm）,請判斷是否相似，并說明理由。

（1）AABC：3,4,5；ADEF：6,8,10

（2）AMNP：2,3,4：AQRS：4,6,8

（3）AABC：1,2,3；ADEF：2,3,4

解：（D相似。

理由：將兩組三角形的邊按從小到大排序：

△ABC：3（最短邊）、4（中邊）、5（最長邊）；

△DEF：6（最短邊）、8（中邊）、10（最長邊）。

對應(yīng)邊的比例：d，u亮

oZoZ1UZ

三組對應(yīng)邊的比例均相等，因此AABJADEF（SSS相似）。

（2）相似。

理由：按邊長按從小到大排序：

△MNP：2（最短邊）、3（中邊）、4（最長邊）；

△QRS：4（最短邊）、6（中邊）、8（最長邊）

對應(yīng)邊的比例：：=（=32=9

4ZoZoZ

三組對應(yīng)邊的比例均相等

因此AMNP?AQRS（SSS相彳以）9

（3）不相似。

理由：按邊長按從小到大排序：

△ABC：1（最短邊）、2（中邊）、3（最長邊）；

△DEF：2（最短邊）、3（中邊）、4（最長邊）

對應(yīng)邊的比例：0.5,0.667,7=075.

234

三組對應(yīng)邊的比例均不相等，因此AABC與ADEF不相似。

例題導(dǎo)析

例I如圖，在aABC和aADE中，理=些="，LBAD=20°,求4SE的度數(shù)。

ADDEAE

【分析】本題先利用三邊成比例的兩個三角形相似來判定兩個三角形相似，再利用相似三角形的定義來推

導(dǎo)出角的關(guān)系，最后通過和差關(guān)系求得目標(biāo)角。

【解答】解：?喘=箓=年

MABJbADE（三邊成比例的兩個三角形相似）

:.LBAC=Z.DAE

???LBAC-Z.DAC=Z.DAE-z.DACf

即乙BAD=Z.CAE

vLBAD=20°

二乙CAE=20°

【點(diǎn)評】準(zhǔn)確運(yùn)用了本節(jié)課的核心知識點(diǎn)“三邊成比例判定三角形相似”，并將其與相似三角形對應(yīng)角

相等的性質(zhì)結(jié)合，體現(xiàn)了知識的綜合運(yùn)用能力.

即時訓(xùn)練:

ABBCCA

如圖，已知,求證：

BDBEEDZABD=ZCBE.

證明：已知黑二當(dāng)=普，根據(jù)相似三角形的SSS判定定理

可得：XABCFDBE

因此乙ABC=LDBE

觀察圖形，N4BC和4OBE均包含公共角々OBC：

LABC=LABD+LDBC

Z.DBE=Z.CBE+Z.DBC

乙ABD+Z.DBC=乙CBE+乙DBC

化簡得：乙480=Z.CBE

?探究二多種方法的應(yīng)用與比較

03.三邊成比例判定以上兩個三角形相似.

"=L匹=3￡=L

A'B12B'C12A'C'2

因為"=①=￡=工

A'B'B'C'A'C'2

所以根據(jù)“三邊成比例的兩個三角形相似”，可判定△48C?△小夕C'。

04.兩邊成比例且夾角相等判定以上兩個三角形相似.

由三邊比例可知四.=匹=3且可通過量角器測量乙B與乙B'的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)ZB=Nn

A'B'B'C12

因此根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，可判定相似.

05.兩角分別相等判定判定以上連個三角形相似.

用量角器分別測量△ABC和△A'B'C'的三個內(nèi)角，會發(fā)現(xiàn)WA=4A'，4B=NB'，ZC=zCz

根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”，可判定相似

?6.知識歸納

三邊成比例判定是從“邊的整體比例”出發(fā)；

兩邊成比例且夾角相等判定需結(jié)合“邊的比例”和“角的相等”；

兩角分別相等判定則從“角的相等”推導(dǎo)相似.

三種方法各有適用場景，需根據(jù)題目條件靈活選擇。.

練一練

1.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，^ABC和4DEF的頂點(diǎn)都在邊長為I的正方形的頂點(diǎn)上.

(1)填空：NABC=135度，BC=2V2；

(2)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明ZC=ZE.

解：EF=2；FD=V2:ED=V10；

AB=2;4。儂：BC=2V2

因此竺=竺=些，

DE~DF~EF

.,.△ABC^ADEF

ZC=ZE(對應(yīng)角相等)

第二環(huán)節(jié)合作探究

小組群學(xué)

在小組長的帶領(lǐng)下：

A.以小組為單位，交流以下問題：

(1)你們組測量的乙A與4A"相等嗎？其他對應(yīng)角呢？

(2)兩個三角形的形狀是否完全相同？

(3)若改變k的值，重復(fù)畫圖和測量，結(jié)論還成立嗎？；

B.討論例題的解決方案.

你鞏固練習(xí)

1.甲三角形的三邊分別是1,心乖，乙三角形的三邊分別是5,小,VW,則甲，乙兩個三角形(A)

A.一定相似B.一定不相似

C.不一定相似D.無法判斷

2.如圖，點(diǎn)。是aABC內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)D,E,F分別為OA,OB,0C的中點(diǎn)，則圖中相似三角形有(C)

A

D.

A.1對B.2對

C.3對D.4對

3.下列兩個三角形不一定相似的是（I））

A.兩個等邊三角形B.兩個頂角是120°的等腰三角形

C.兩個全等三角形I）.兩個直角三角形

4.如圖，在四邊形ABCD中，已知NADC=NBAC,那么補(bǔ)充下列條件后不能判定AADC和△BAC相似的是

A.CA平分NBCDB.—=—

ABAC

C.AC2=BC<DI).ZDAC=ZABC

5.如圖所示，在正方形網(wǎng)格上有6個三角形：①△ABC；②△BCD；③△B【)E；@ABFG；⑤△FGH；?△

三FK.其中②?⑥中與①相似的是（B）

B.③@⑤

C.@<5X6)D.<2)@?

6.一個三角形的邊長分別為5cm,8cm,12cm,另一個三角形的最長邊為7.2cm,則當(dāng)另一個三角形的

另外兩邊長是3和4.8cm時,這兩個三角形相似.

7.在△ABC中，AB=3,AC=4,在B'C'中，A'B'=8,A'C'=6,則當(dāng)BC：B'C'=1時，△

A'B'C'^AACB.

8.在△ABC中,AB=4,BC=5,AC=6；

(1)如果DE=10,那么當(dāng)EF=12.5,FD=@時，AABC^ADEF；

(2)如果DE=10,那么當(dāng)EF=絲，F(xiàn)D=&時,AABC^AFDE；

9.如圖，AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24;

(1)判斷aABC與是否相似？并說明理由；

(2)若NBAC=100°,ZEAC=70°,求NCAD的度數(shù)；

(/11)—2=5—=5

AD153

AC_20_5

~AE~12~3；

-B-C=—40=—5

DE243

△ABC與4ADE的三邊對應(yīng)成比例(SSS),因此相似

(2)由于△ABC?對應(yīng)用NBAC與NDAE相等=

Z-BAC=100°,因此4=100'；

Z-EAC=70°(即NCAE=70°)

角度關(guān)系：^DAE=^CAD+ACAE(NDAE是/CAD與NCAE的和)

計算NCAD：/.CAD=/-DAE-乙CAE=100°-70°=30°

04提升專練

題型一：直接利用三邊成比例判定三角形相似

1.（2023?山東泰安中考）若4ABC的三邊長分別為2,3,4,ADEF的三邊長分別為4,6,8,則

△ABC與4DEF的關(guān)系是（B）

A.全等B.相似

C.既不全等也不相似D,無法判斷

【分析】判斷兩個三角形的關(guān)系，需先區(qū)分“全等”（邊完全相等）和“相似”（邊成比例）。根據(jù)相似

三角形的SSS判定定理（三邊對應(yīng)成比例），計算AABC與4DEF對應(yīng)邊的比值.

【解答】ZiABC的三邊長按從小到大排列為:2,3,4；

△DEF的三邊長按從小到大排列為：4,6,8；

對應(yīng)邊的比值為：三邊對應(yīng)成比例。

234

因此，AABC與4DEF相似（非全等，因邊不相等）。

答案：B

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的SSS判定（三邊對應(yīng)成比例）

2.（2022?江蘇蘇州模擬）已知AMNO的三邊長為5cm,12cm,13cm,△PQR的三邊長為10cm,24cm,

26cm,下列說法正確的是（A）

A.AMNO與△PQR相似,相似比為1:2

B.AMNO與△PQR相似,相似比為2:1

C.AMNO與△PQR不相似

D.無法確定兩者關(guān)系

【分析】用SSS判定相似，需計算對應(yīng)邊的比值，并確定相似比（前一個三角形與后一個三角形的邊長

比）.

【解答】△MNO的三邊長為:5cn,12cm,13cm；

△FQR的三邊長為：10cm,24cm,26cm；

對應(yīng)邊的比值為：^=^=^=2,三邊對應(yīng)成比例，故相似。

相似比為△MNO:△PQR=5:10=l:2o

答案：A.

【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)是相似三角形的SSS判定及相似比的計算.

易錯點(diǎn)：相似比的順序一一若顛倒順序（如寫成2:1）,會誤選B。需注意“△MNO與4PQR相似”的相似

比是前者比后者。.

3.（2024?浙江杭州模擬）若△AB：：的三邊之比為3:4:5,AA*B*C的三邊之比為6:8:10,JMAABC與

△A'B,C（A）

A.相似且對應(yīng)角相等B,相似但對應(yīng)角不相等

C.不相似1）.以上都不對

【分析】先簡化的三邊比，看是否與aABC的三邊比一致；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)（對應(yīng)角相

等）判斷選項.

【解答】AABC的三邊之比為：3:4:5：

△A'B'C'的三邊之比為:6:8:10,簡化后為3:4:5（除以2）；

兩邊三角形的三邊比完全一致，故相似。

相似三角形的對應(yīng)角相等（相似的基本性質(zhì)），因此“相似且對應(yīng)角相等”。

答案：A

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定（三邊比一致）及性質(zhì)（對應(yīng)角相等）。

易錯點(diǎn)：誤認(rèn)為“相似但對應(yīng)角不相等"，這是錯誤的一一相似三角形的對應(yīng)角一定相等（通過平行線或

全等三角形可證明）

4.（2023?廣東深圳中考）已知AABC的三邊長分別為魚，瓜3,ADEF的三邊長分別為2VL2瓜

6,則△ABC與ADEF（A）

A.相似B.不相似

C.全等D.無法判斷

【分析】即使功長為無理數(shù),仍可通過SSS判定（三功對應(yīng)成比例）判斷相似.計算AABC與ADEF對應(yīng)

邊的比值即可。

【解答】ZXABC的三邊長為：V2,V5,3;

△CEF的三邊長為：2直,2疙6;

對應(yīng)邊的比值為：庠=%=三=2,三邊對應(yīng)成比例。

因此，ZXABC與ADEF相似。

答案：A

【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)：相似三角形的SSS判定（無理數(shù)邊長的處理）。

易錯點(diǎn)：因邊長為無理數(shù)而猶豫，但相似的判定只關(guān)注“比值是否相等”，與數(shù)的類型（有理數(shù)/無理

數(shù)）無關(guān)

題型二：網(wǎng)格中利用三邊成比例判定三角形相似

5.（2024?江蘇南通期末）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，畫一個三角形與給定的三角形相似，下列四

種畫法中，正確的是（B）

//

/

【分析】先求出題干三角形的三邊長，再分別求出各選項三角形的三邊長，判斷三邊是否對應(yīng)成比例來判

斷相似.

【解答】解：可求題干三角形中三邊長（從小到大）為：Vi2+12=Vz,Vi2+32=VTo,4?

A、可求三角形三邊長（從小到大）為：=V5,=V5,4,不滿足三邊對應(yīng)成比例，故不

相似，不符合題意；

B、可求三角形三邊長（從小到大）為：2,庫不平=2遮，所T港=4或，則曰=票=表，故相似，

符合題意；

C、同理可求三角形三邊長（從小到大）為：V5,710,717,不滿足三邊對應(yīng)成比例，故不相似，不符合題

意；

D、同理可求三角形三邊長（從小到大）為：遍,3,2遙，不滿足三邊對應(yīng)成比例，故不相似，不符合題

意，

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.。

6.（2024?湖南衡陽期中）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與A4BC相

似的是（A）.

【分析】根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出力BMC,BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角形相似判

斷即可.

【解答】解：根據(jù)題意可得：AB=V32+I2=VlO^C=2,AC=42,

=&:2:V1U,

A.三邊之比為1:企:代=&:2：m,圖中的三角形（陰影部分）與A/IBC相似.

B.三邊之比為四：6：3,圖中的三角形（陰影部分）與A/IBC不相似.

c.三邊之比為I：q:①=或：同：危,圖中的三角形（陰影部分）與A/IBC不相似.

D.三邊之比為2:遙:g=J:圖中的三角形（陰影部分）與△48。不相似.

故答案為：A.

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

7.（2024?上海期末）如圖，在邊長為1個單位的方格紙上，有^說與^DEF.求證：△ABC八

FDE.

【分析】利用勾股定理求出每條邊的長度，再求對應(yīng)邊的相似比即可.

【詳解】證明：由圖知：BC=1,AC=Vl2+I2=V2，AB=V22+l2=V5，

DE=Vl2+l2=V2，EF=2,DF=V32+l2=V10.

BC_AC_AB_41

?.."^.,

DEEFDF2

△ABCFDE.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和相似三角形的判定，先計算出三角形的各個邊的長，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比

例的兩個三角形相似證明即可

8.（2425九年級上?廣西?期中）如圖所示，在5X8的網(wǎng)格中，△ABC^\LOEF的頂點(diǎn)都在邊長為1

的小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）填空：LBAC=135°,EF=V10；

（2）判斷△ABC與^OE尸是否相似？并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）取格點(diǎn)G,連接GB,G4根據(jù)勾股定理得到G8=A8,GB2+AB2=AG2,得到zMBG是

等腰直角三角形，求出NB4G=45。，進(jìn)而求QUBAC=135。根據(jù)勾股定理即可求出EJ

（2）首先根據(jù)勾股定理求出△4EC與4OE尸各邊長，然后得到竺=竺=生=①，即可證明出

ABACBC5

DEF.

【詳解】（1）解：如圖所示，取格點(diǎn)G,連接GB,GA,

由網(wǎng)格得，點(diǎn)G,A,C三點(diǎn)共線

V6B2=12+22=5,AB2=12+22=5,AG2=I2+32=10

:?GB=AB,GB2+AB2=AG2

是等腰直角三角形

：.LBAG=45°

：.LBAC=180°-Z-BAG=135°；

由勾股定理得，EF=VM+32=V10：

(2)解：???在△OEF中，DE=vl2+I2=V2.DF=2.EF=V12+32=

???在△4BC中，AB=V12+22=V5,4c=71?+3?=再,BC=5

CE__DF__EF__叵

AB~AC~BC~5

AABCDEF.

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定，勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是

掌握以上知識點(diǎn).

題型三結(jié)合相似性質(zhì)求角度/邊長

9.(2023?河南鄭州中考)如圖,在4ABC和ZiADE中，AB:AD=BC:DE=AC:AE=2:3,若/BAC=

60°,則NDAE的度數(shù)為(B)

A.30°B.60°

C.90°D.120°

［分析］題目給出4ABC和△ADE的三邊對應(yīng)成比例(AB:AD=BC:DE=AC:AE=2:3),根據(jù)SSS相似判定定

理，兩三角形相似。相似三角形的對應(yīng)角相等，NBAC與NDAE是兩邊對應(yīng)成比例的夾角(AB對應(yīng)AD,AC

對應(yīng)AE),因此是對應(yīng)角.

【解答】由三邊對應(yīng)成比例(AB:AD=BC:DE=AC:AE=2:3),得△ABCs/\ADE(SSS)。

相似三角形對應(yīng)角相等，NBAC與NDAE是對應(yīng)角，故NDAE=NBAC=60°。

【點(diǎn)評】本題考點(diǎn)：相似三角形的SSS判定及對應(yīng)角相等的性質(zhì)。

10.（2022?湖北武漢模擬）如圖，已知△ABCs/XDEF,且AB:DE=BC:EF=AC:OF=1:2,若BC=3,

則EF的長為（B）

A.3B.6

C.9D.12

【分析】AABC^ADEF,且對應(yīng)邊比例為1:2（AB:DE=BC:EF=AC:DF=1:2）,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例

的性質(zhì)，BC與EF是對應(yīng)邊，可列出比例式求解.

【解答】由相似三角形對應(yīng)邊成匕例,得BC:EF=1:2（AB:DE=BC:EF=1:2）o

代入BC=3,得3:EF=1:2,解得EF=60

答案：B

【分析】本題考點(diǎn)：相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì).

11.（2024?浙江溫州階段練習(xí)）如圖，在RSABC中，ZACB=90%D是邊AB上一點(diǎn)，且竺=

ACAD

（1）求證：△力△力8G

（2）若乙4=60。，AD=2.求的長.

【分析】（1）直接利用兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相以判定即可；

（2）先利用相似性質(zhì)得出乙40C==90。，再分別在兩個30。直角三角形△力CD和△ABC中，利用

30c角所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可.

【解答】（1）證明：???/=*,乙4=乙4,

ACAD

AACDABC；

⑵解:??FACD*ABC,^ACB=90°,

：.￡ADC=Z.ACB=90°,

'：LA=60。，

：.LACD=90°-60°=30°,乙B=90°-60°=30°,

又F。=2,

：.AC=2AD=4,

.".AB=2AC=8.

【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

題型四多判定方法綜合應(yīng)用

12.（2024?全國專題練習(xí)）如圖，D是A48C的邊BC上的一點(diǎn)，48=2，BD=1，OC=3,求證：△

ABD53CBA?

【分析】先根據(jù)BD=1,DC=3,求出8c的長，再根據(jù)NB=/B,等=*即可得出結(jié)論.

AoDC

【解答】證明：TBD=1,DC=3,

???BC=BO+CO=l+3=4,

..i2

24

.BD_AB

AB~BCf

???/B為公共角，

AABD?△CBA.

【分析】本題考