強化訓練拋物線的平移、旋轉、對稱

一.選擇題

I.將拋物線y=.d平移得到拋物線y=（x+3）2-2,下列敘述正確的是（）

A.向右平移3個單位,向上平移2個單位

B.向左平移3個單位,向下平移2個單位

C.向右平移3個單位,向下平移2個單位

D.向左平移3個單位,向上平移2個單位

2.已知拋物線（x-〃）2+女與直線）,=1有兩個交點A（-],1）,4（3,1）,拋物線

2+Z與直線y=l的一個交點是（-3,1）,則m的值是（)

A.-6B.-2C.6或2D.-6或?2

3.由二次函數y=2（,v-3）2+1可知（)

A.圖象開口向下

B.圖象向左平移1個單位得到y(tǒng)=2（A--2）2+1

C.圖象的對稱軸為直線x=-3

D.當x<3時，），隨人?的增大而增大

4.二次函數），=〃/+公+。的部分圖象如圖所示，對稱軸方程為x=-l,圖象與x軸相交于點（1,0）,則

方程c/+/?x+a=0的根為（）

A.Al=1,X2=-3B.Xi=-1，xz=3

C.A|=l,X2=D.川=-1,X2=

5.小明發(fā)現，將二次函數），=〃『-60r的圖象在x軸及其上方的部分Ci向右平移得到Q,這兩部分組成

的圖案酷似某快餐品牌的logo.經測量，該圖案兩個頂點間的距離BB1與底部跨度04的比值為2：5,

點、P是Ci與C2的交點、,若△66產恰好為等腰直角三角形，則。的值為（）

A.0.5B.-1C.-2D.-2.5

6.將二次函數,=一［%2的圖象先向下平移2個單位，再把所得圖象以原點為中心，旋轉180°,所得圖

象的表達式正確的是（）

A.y=-3A-2-2B.y=3/+2

11

C.y=-^x2o-2D.y=#+o2

7.坐標平面上，若移動二次函數），=?（x-2020）?a?2021）+2的圖象，使其與工軸交于兩點，且此兩

點的距離為1個單位長度，則移動方式為（）

A.向上平移2個單位長度

B.向下平移2個單位長度

C.向上平移1個單位長度

D.向下平移1個單位長度

8.如圖，將二次函數y=-12手+x+?的圖象沿對稱軸向下平移得到一個新的函數圖象，其中點4為拋物

線與），軸的交點，點B為拋物線的頂點，平移后的對應點分別為點4,若弧AB掃過的面積為3（圖

中的陰影部分），則新圖象的函數表達式是（）

B.>'=-1x2-x+i

D.尸-#+x-2

二.填空題

9.將拋物線丁=（x-I）2-4向上平移2個單位長度后所得新效物線的解析式是

10.拋物線y=,-3x+l關于x軸對稱的拋物線的表達式為.

11.二次函數y=aP+bx+c與x軸交于點（-1,0）和（3,0）,則其對稱軸為.

12.如圖，“愛心”圖案是由函數y=-W+6的部分圖象與其關于直線），=x的對稱圖形組成.點A是直線

,y=x上方“愛心”圖案上的任意一點，點B是其對稱點.若48=4近，則點A的坐標

13.如圖，我們把拋物線y=-x（x-3）（0WxW3）記為。，它與x軸交于點O,A\；將。繞點4旋轉

180°得C2,交x軸于另一點42；將C2繞點A2旋轉180°得C3,交x軸于另一點43;……；如此進

行下去，直至得C2022.

（1）C的對稱軸是；

（2）拋物線C2的解析式是：

14.在平面直角坐標系xOy中，弛物線G：y=-/+2〃認-2m-3的頂點為點P.

（1）頂點。的坐標為;（用含m的式子表示）

（2）直線/：y=x-3分別與x軸和1y軸交于點4和點&點P在第四象限.

①當△FB面積最大時，求拋物線G的解析式；

②在①的條件下，把拋物線G沿），軸向上平移f">0）個單位長度得到拋物線G,若拋物線G與△BAB

的邊有且只有兩個交點，求實數"I勺取值范圍.

15.在平面直角坐標系中，若點Q的橫坐標和縱坐標互為相反數，則稱點Q為“瀟灑點”，如點(1,

-1),(-5,5)都是“瀟灑點”.已知二次函數)，=/+灰-4"#0)的圖象上有且只有一個“瀟灑點”

(2,-2).

(1)小敏認為所有的瀟灑點都在同一條直線/上，請直接寫出直線/的解析式.

(2)求”，〃的值，及二次函數y=ad+bx-4(a#0)的頂點坐標.

(3)將產蘇+8-4(啟0)的圖象上移用個單位得到拋物線/2,若/2上有兩個“瀟灑點”

分別是M(M,yi),NCxi,*),且MN=2近，求當xiW.iWx2時，/2中y的最大值和最小值.

16.下面是某數學興趣小組對二次函數最值問題進行的探究活動：

已知拋物線￥=/+以+。與直線/交于點A(0?3),B(3,0).

任務一：求〃，c的值和直線/的解析式；

任務二：當自變量％的取值范圍為時，求出函數y的最大值和最小值；

任務三：將拋物線y=f+/^+c沿x軸平移,〃(,H>0)個單位長度，得到拋物線V，

且當自變量x滿足時，V的最小值為*求〃?的值.

17.如圖，拋物線)，=-r+如+3(〃?>0)與x軸交于A、8兩點(A在B左側)，與y軸交于點C.聯結

CB交對稱軸于點E,點、D為拋物線的頂點.

(1)聯結AC、CD,若NC￡7)=45°

①求拋物線解析式；

②線段BC上一點F,ZACB=ZFAB,聯結尸D,求tan/FDE.

(2)平移拋物線，使新拋物線頂點在射線CO上，新拋物線與y軸交于點C'.若C'。平分N

CDE,且CO'=2CC,求新拋物線的解析式.

"D

18.如圖，將拋物線P：y=/+2計平移后得到拋物線P2：），=7-5戶〃兩拋物線與），軸分別交于點C,

D.拋物線a,P2的交點E的橫坐標是1,過點E作x軸的平行線，分別交拋物線先于點4,B.

（1）求點A的橫坐標.

19.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線？=。/+加（〃H0）經過原點，并交x軸正半軸于A.已知。A=

2,且方程ar2+法=8恰好有兩個相等的實數根.

（I）求該拋物線的表達式及頂點坐標；

（2）若將圖象在x軸及其上方的部分向右平移〃個單位長度后交原圖象于點P,其中8、Bi是該圖象

的兩個頂點，若△尸8陰恰好為等腰直角三角形，求〃的值.

20.把函數。的圖象繞點P(〃?，0)旋轉180°,得到新函數C2的圖象，我們稱C2是C關于點P的相

關函數，C2的圖象的對稱軸與x軸交點坐標為(/,0).

(1)若函數。：)=62?2辦?3〃(〃W0),求，的值(用含小的代數式表示)；

(2)如圖中的①，若函數Ci：y=a.^+bx(aWO)經過點A(?4,0)、8(?1,3)兩點，點A在直

線/：y=h-翌上，/)是函數C的圖象上的一點，設/)點的橫坐標為〃(一gV〃V-不，連接QC

并延長，交函數C2圖象于點￡，交直線/于點M,若DE=4EM,求”的值：

(3)如圖中的②,若函數Ci：y=ad-6or+5a(.W0),若a=l,m=l,當攵-1WXW我時，函數Ci的

最小值為V，函數C2的最大值為"，若)，L)，2=6,請直接寫出女的值.

參考答案

一,選擇題

題號12345678

答案BDBCADBA

二.填空題

9.y=(jr-1)2-2.

10.y=-JT+3X-I.

11.x=l.

12.(-2,2)或(1,5).

3

直線X-

2-(2)y=(x-3)(x-6),(3WxW6).13)-2.

14.解：(1)*.\y=-x~+2mx-2m-3=-(x-w)~+nr-2m-3,

:?P(〃?，m2-2m-3)?

故答案為:(m,m2-2m-3)；

(2)①令x=0,則,丫=-3,

：,B(0,-3),

令y=0,則x=3,

AA(3,0),

過點P作PQ//y軸交AB于點Q,

VP(機，m2-2m-3),則。(〃i,

*.PQ=m-3-(zn2-2m-3)=-ni2+3m,

1o73o27

/.SA.APB=-5X(〃?2-3/〃)X3=一}(〃？-5)“+b，

/ZZo

當m=5時，△以8面積有最大值，

此時P(|，一竽)，

-『+3%-6；

②???)，=-』+3x-6=-(x-)2-字

4*

3

)2

-145+/

工平移后的拋物線解析式為)，=-(x-29

3

(2

￥-3--X-(

當拋物線G與直線AB有一個交點時，2145

整理得,x2-2v+3-1=(),

：.A=4-4(3-r)=0,解得f=2,

此時拋物線G1與△力8的邊有三個交點；

???0VfV2時，拋物線G，與△朋8的邊有兩個交點；

當拋物線G，經過3點時，/-6=-3,解得/=3,

此時拋物線G與△氏8的邊有三個交點；

當拋物線G經過八點時，上6=0,解得/=6,

此時拋物線G與△辦8的邊有一個交點；

???3V/V6時，拋物線G，與△朋8的邊有兩個交點；

綜上所述：0V/V2或3V/V6時，拋物線G，與△附8的邊有兩個交點.

15.解：(1)設直線/的解析式為>，=去+〃，

將(1,-1),(-5,5)代入得：

(k+n=-1

l-5k+n=5'

解得：=

???直線/的解析式為y=?x；

(2)V(2,-2)點在拋物線y=ad+Zu，-4上，

/.4a+2b-4=-2?

/.2a+b=1.

???二次函數產/+法-4(g0)的圖象上有且只有一個“灘灑點”(2,-2),

?,?方程組?=加+"一4只有一個實數解，

即方程cur+bx-4=-x有兩個相等的實數根.

???△=31)2-4?X(-4)=0.

.(2a+b=1

?,((/?+l)2+16a=O'

解得：憶；

3=3

???二次函數的解析式為：y=-.r+3x-4.

Vy=-7+3%-4=-(x-1)2-.

37

???二次函數y=-』+3x-4的頂點坐標為一力

(3)將拋物線上移機(m>0)個單位得到拋物線/2的解析式為)，=-X2+3X-4+陽,

?門2上有兩個“瀟灑點”分別是M(XI,yi),N(處”),

/.XI,XI是方程-?+3x-4+w=-X的兩個實數根，

Ax2-4.V+4-〃?=0.

.*.XI+,V2=4,XI*X2=4-m.

?；M(xi,yi),N(必”)是兩個“瀟灑點”，

Ayi=-xi,y2=-X2.

???MN=2或,

???J(%1-g)2+01-乃)2=2e?

?J2Q1-&)2=2企,

，J2[(X]+Q)2_4X].=2歷

/.42-4(4-m)=4.

解得：1.

，7?4/3=0,

解得：x=1或3,

工/W(1,-1),N(3,-3).

?WW3.

???平移后的拋物線的解析式為y=-X2+3X-3.

Vy=-f+3x-3=-(x-1)2-率

當x=9時，y有最大值為一

VI<|<3,

?"2中y的最大值為一,

當x=3時，y=-3,

綜上，當時，/2中)的最大值為一，和最小值為-3.

16,解:任務一：將A(0,3),B(3,0)代入拋物線y=?+At+c,

得｛9+3b+c=0

解得｛:[74;

設直線AB的解析式為)，=如+〃，

把A,8坐標代入產必+〃得：｛：T[n=°,

解得｛：二II，

???直線/的解析式為1y=x+3；

任務二：由(1)可知拋物線解析式為)，=f?4x+3=(x-2)2-1,

Vl<2<5,拋物線開口向上，

???當x=2時，)，取最小值，最小值為-1；

當x=5時有最大值，最大值為8.

，當自變量x的取值范圍為1WXW5時，函數)，的最大值為8和最小值為-1；

任務三：若拋物線)，=G-2)2-1向右平移用個單位長度，則平移后拋物線解析式為)，'=(X-2

w)2-l=[x-(2+加)]2-1,

??.當時,y最小值為*

5

-

，2+m>5,且當x=S時,/4

，7n>3,鄴-(24-m)]2-1=1,

解得叫=舍去)，

2(rn2=2：

若拋物線丁=(x?2)2?i向左平移〃?個單位長度，則平移后拋物線解析式為y=a?2+M2.1=

[x-(2-in)J2-1?

;當1W%W5時，y'最小值為去

???2-mVl,且當x=\時,/=1,

Am->l/2[1-(2-m)]2—1=%,

解得爪=-；(舍去)，

3m4=1,

綜上所述，m=3或去

17.解：(1)①令x=0,則y=3,

AC(0,3),

OC=3.

?：DE//y?,

：?/OCB=NCED=45°,

又???N8OC=90°,

???O8=OC=3,

?,?點B(3,0),

把點B(3,0)代入y=-/十〃LV+3(Z/?>0)中，

得：-9+3m+3=(),

「?，〃=2,

???拋物線的解析式為：y=-/+2x+3.

②令y=0,則-/+2x+3=0,解得：X1=-1,%2=3,

???點A(-1,0),B(3,0),

：.AB=4.

在RtZXBOC中，BC=y]OB2+OC2=?+32=3V2.

*/NFAB=/AC8,NA/y”=/CBA,

???△84產s/XBC/b

*BFBA

??=9

BABC

lBA2168反

iniRR==

則BF-BC^=—

過點”作FN上AB于點N,則△尸N8為等腰直角三角形,

匹8

8-

/V23

Vy=-x~+2x+3=-(x-1)'+4,

：.D(1,4),對稱軸為直線,r=l,

82

--

:.FM=BN-2=33

如圖1,作RW垂且于直線x=I于點M,

/.DM=4—g=w

2

-1

3

FM--

：.tan^DE=-^42

-

3

(2)如圖2所示,

,：C。平分NCDE,

AZCDC=ZCZDE,

?.?OE〃y軸，

，ZCCD=ZCDE=ZCDC,

:?CC'=CD,

又，：CD'=2CC=2CD,

:.D為C￡T的中點，

2

對拋物線配方得：y=r2+耽+3=—Q-夕)2+3+%

2

可得其頂點坐標為：。(寧，3+彳)，

設D(M，yo'),因為C(0,3),由中點坐標公式得：

0+沏，m3+y。，m2

------=-，-------=3+—，

2224

故xD'=m,yD'=3+*?

???新拋物線解析式為：

22

y=—(x—TH)2+3+容=-(x2—2mx+m2)+3+*=■+2mx+3-%

令x=(),則y=3—邛，則CC'=華，

又CD=CC,根據兩點間距離公式有：

CD2=CC2,

即加=斷+由呼+聯啜，

m4m2m4

—=-+一,

4416

,?”AO,w2>0,

.*.4m2=4+m2,解得：m=烏

?3

，新拋物線解析式為：

2^47341,273,2^467

y=-xcH—2―x+3-2(3r2=-x"H—2―x+

圖2

18.解：（1）拋物線Pi：y=』+2]+/〃的對稱軸為直線工=一高

軸,

???點A與點、E關于對稱軸x=-1對稱，

??.點A的橫坐標為-3；

（2）??,點E是拋物線。與拋物線C2的交點，

1+2+/〃=I-5+〃，

.\m=n-7,

/.n-m=l,

令x=0,則C（0,〃?），D（0,n）,

:?CD=n-m=7.

19.解：（1）?.?。4=2,

?"（2,0）.

???方程ad+加=8恰好有兩個相等的實數根，

???62+32。=0.

:拋物線），=a，+歷；（aWO）經過點4,

?,*4a+2Z?=0.

.（4a+2Z）=0

,，U2+32a=0,

解得：（不合題意，舍去），仔=消,

=

（%=。（0216

???該拋物線的表達式），=-8）+0.

y=-8?+16x=-8(A--1)2+8,

，該拋物線的頂點坐標為（1,8）；

(2)由(1)知：B(1,8),

???將圖象在工軸及其上方的部分向右平移〃個單位長度,

：.B\B=n,平移后的拋物線的解析式為y=-(x-1-H)2+8,

.[y=-8x2+16x

*ly=-(x-1-n)2+8*

n+2

x=r

解得：?

Y+8

7=

n+2

；?P(------，+8).

24

過點。作PC_Lr軸于點C,延長CP交4小于點。，如圖,

:,PD=CD-PC=8-(

4+8）耳

MPBB\為等腰直角三角形,

:?PD=4BBi，

n21

/.一=~n,

42

解得：〃=。（不合題意，舍去）或〃=2.

??.〃的值為2.

20.解：(1)y=aP-2ov-3a=a(x-1)2-4。

，拋物線。的頂點為（1,?4〃）,

設函數。的圖象繞點尸（/〃，0）旋轉180。得到拋物線C2的頂點坐標為,s),

t+1s+(-4a)

則-----=/n,-------------=0

2