2026屆四川省遂寧高級實驗學校數學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.62．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.23．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.4．若函數有兩個零點，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若數列滿足，，則該數列的前2021項的乘積是（）A. B.C.2 D.16．已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.7．若復數滿足，則復平面內表示的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．已知數列滿足，，記數列的前n項和為，若對于任意，不等式恒成立，則實數k的取值范圍為（）A. B.C. D.9．設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10．對于兩個平面、，“內有無數多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.412．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系中，已知點A，若點P滿足，則_______14．在三棱錐中，點Р在底面ABC內的射影為Q，若，則點Q定是的______心15．拋物線焦點坐標是，則______16．在等比數列中，若，，則數列的公比為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l過點A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程18．（12分）已知數列的前項和為，且（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.19．（12分）已知橢圓經過點，（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點，且的面積為，求直線的方程20．（12分）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.（1）求動點的軌跡方程；（2）記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，在軸上是否存在一點，使若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知拋物線的焦點為F，點是拋物線上的點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，且.求△OPQ面積的最小值.22．（10分）已知函數（1）求函數單調區(qū)間；（2）函數在區(qū)間上的最小值小于零，求a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故選：A.2、A【解析】根據弦長求得的關系式，結合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數，所以，當且僅當時，等號成立.故選：A3、A【解析】根據一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A4、C【解析】函數有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導數分析的單調性，根據圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數零點的應用，構造函數求函數的導數，利用函數極值和導數之間的關系是解決本題的關鍵.5、C【解析】先由數列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因為數列滿足，，所以，同理可得，…所以數列每四項重復出現，即，且，而，所以該數列的前2021項的乘積是.故選：C.6、D【解析】設橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．根據橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據余弦定理可得到，利用基本不等式可得結論【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題7、A【解析】根據復數的運算法則，求得，結合復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復數滿足，可得，所以復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限.故選：A.8、C【解析】由已知得，根據等比數列的定義得數列是首項為，公比為的等比數列，由此求得，然后利用裂項求和法求得，進而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當時，，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.9、A【解析】由三角函數的單調性直接判斷是否能推出，反過來判斷時，是否能推出.【詳解】當時，利用正弦函數的單調性知；當時，或.綜上可知“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題考查判斷充分必要條件，三角函數性質，意在考查基本判斷方法，屬于基礎題型.10、B【解析】根據平面的性質分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內有無數多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內有無數多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.11、B【解析】首先分別設，，再根據橢圓的定義和性質列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B12、D【解析】根據橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設，表示出，，根據即可得到方程組，解得、、，即可求出的坐標，即可得到的坐標，最后根據向量模的坐標表示計算可得；【詳解】解：設，所以，，因為，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為：14、外【解析】由可得，故是的外心.【詳解】解：如圖，∵點在底面ABC內的射影為,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案為：外.15、2【解析】根據拋物線的幾何性質直接求解可得.【詳解】的焦點坐標為，即.故答案為：216、##【解析】求出等比數列的公比，利用定義可求得數列的公比.【詳解】設等比數列的公比為，則，因此，數列的公比為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關系得過直線l斜率，由點斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結合勾股定理建立弦心距（由點到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因為直線l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1718、（1）（2）【解析】（1）根據，再結合等比數列的定義，即可求出結果；（2）由（1）可知，再利用錯位相減法，即可求出結果.【小問1詳解】解：因為，當時，，解得當時，，所以，即.所以數列是首項為2，公比為2的等比數列.故.【小問2詳解】解：由（1）知，則，所以①②，①-②得.所以數列的前項和19、（1）（2）【解析】(1)將點M、N的坐標代入橢圓方程計算，求出a、b的值即可；(2)設l的方程為：，，根據直線與圓的位置關系可得，直線方程聯立橢圓方程并消去y，利用韋達定理表示出，根據弦長公式求出，進而列出關于k的方程，解之即可.【小問1詳解】橢圓經過點，則，解得，【小問2詳解】設l的方程為：與圓相切設點，∴（則Δ>0，，，，，，，，，故，20、（1）；（2）存在，.【解析】（1）利用拋物線的定義即求；（2）由題可設直線的方程為，利用韋達定理法結合條件可得，即得.【小問1詳解】因為動點到點的距離等于點到直線的距離，所以動點到點的距離和它到直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，以直線為準線的拋物線，設拋物線方程為，由，得，所以動點的軌跡方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率不為0，故設直線的方程為，.聯立，得，恒成立，由韋達定理，得，，假設存在一點，滿足題意，則直線的斜率與直線的斜率滿足，即，所以，所以解得，所以存在一點，滿足，點的坐標為.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據拋物線的定義列方程，由此求得，進而求得拋物線方程.（2）聯立直線的方程和拋物線方程，寫出根與系數關系，結合求得的值，求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意.（2）與聯立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，當k=0時，S最小，最小值為.22、（1）答案