2026屆廣東省東華高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的離心率為（）A B.C. D.2．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.3．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.404．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知，則下列說法錯誤的是（）A.若，分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是B.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是D.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是6．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.7．已知空間中三點，，，則下列結(jié)論中正確的有（）A.平面ABC的一個法向量是 B.的一個單位向量的坐標(biāo)是C. D.與是共線向量8．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件9．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則一定是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形11．函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.12．方程有兩個不同的解，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩名運動員5場比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.14．用1，2，3，4排成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中1和2不能相鄰的四位數(shù)的個數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.15．橢圓x2+=1上的點到直線x+y-4=0的距離的最小值為_________.16．拋物線（）上的一點到其焦點F的距離______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）已知命題：方程表示焦點在軸上的雙曲線，命題：關(guān)于的方程無實根（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若“”為假命題，"”為真命題，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）已知函數(shù)其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，，滿足，證明.21．（12分）如圖，在棱長為的正方體中，為中點（1）求二面角的大小；（2）探究線段上是否存在點，使得平面？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由22．（10分）用長度為80米的護欄圍出一個一面靠墻的矩形運動場地，如圖所示，運動場地的一條邊記為（單位：米），面積記為（單位：平方米）（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系；（2）求的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D2、B【解析】對A，根據(jù)當(dāng)時，的值即可判斷；對B，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷；對C，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷；對D，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對A，當(dāng)時，，故A錯誤；對B，的定義域為，且，故為奇函數(shù)；，當(dāng)時，當(dāng)時，，即，又，，故存在，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B正確；對C，為奇函數(shù)，故C錯誤；對D，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：B.3、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A4、B【解析】求出焦點，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點為，則設(shè)雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.5、D【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項即可判斷作答.【詳解】對于A，因分別是直線的方向向量，且，直線所成的角為，則，A正確；對于B，D，因分別是直線l的方向向量與平面的法向量，且，直線l與平面所成的角為，則有，B正確，D錯誤；對于C，因分別是平面的法向量，且，平面所成的角為，則不大于，，C正確.故選：D6、D【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到化簡得到故答案為D7、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中平面法向量的定義，向量模長的求解，以及共線定理，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】因為，，，故可得，因為，故，不平行，則D錯誤；對A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對B：因為向量的模長為，其不是單位向量，故B錯誤；對C：因為，故可得，故C錯誤；故選：A.8、A【解析】根據(jù)直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.9、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進行判斷即可.【詳解】因為方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.10、B【解析】利用余弦定理化角為邊，從而可得出答案.【詳解】解：因為，所以，則，所以，所以是等腰三角形.故選：B.11、D【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性排除A、C.當(dāng)時排除B【詳解】解：由可得所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除A、C.因為時，，排除B.故選：D.12、C【解析】轉(zhuǎn)化為圓心在原點半徑為1的上半圓和表示恒過定點的直線始終有兩個公共點，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】令，平方得表示圓心在原點半徑為1的上半圓，表示恒過定點的直線，方程有兩個不同的解即半圓和直線要始終有兩個公共點，如圖圓心到直線的距離為，解得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，當(dāng)直線經(jīng)過時由得，所以實數(shù)k的取值范圍為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由極差以及平均數(shù)得出，進而得出中位數(shù).【詳解】由可得，，，因為乙得分的平均值為24，所以，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故答案為：14、【解析】利用插空法計算出正確答案.【詳解】先排，形成個空位，然后將排入，所以符合題意的四位數(shù)的個數(shù)為.故答案為：15、【解析】設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,求出即得解.【詳解】解：設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為,所以，代入橢圓方程得，令或.當(dāng)時，平行線間的距離為；當(dāng)時，平行線間的距離為.所以最小距離為.故答案為：.16、【解析】將點坐標(biāo)代入方程中可求得拋物線的方程，從而可得到焦點坐標(biāo)，進而可求出【詳解】解：為拋物線上一點，即有，，拋物線的方程為，焦點為，即有.故答案為：5.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】求得，根據(jù)其在上有兩個零點，結(jié)合零點存在性定理，對參數(shù)進行分類討論，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以，令，由題意可知在上有兩個不同零點.又，若，則，故在上為增函數(shù)，這與在上有兩個不同零點矛盾，故.當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，故，因為在上有兩個不同零點，故，即，即，取，，故在有一個零點，取，，令，，則，故在為減函數(shù)，因為，故，故，故在有一個零點，故在上有兩個零點，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)的范圍，涉及零點存在定理，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬綜合困難題.18、（1）當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（2）問題轉(zhuǎn)化為，，，令，求出的最大值，從而求出的范圍即得解【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為，，①當(dāng)時，，，，在定義域上單調(diào)遞增②當(dāng)時，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)時，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）當(dāng)時，，不等式在，上恒成立，，，，令，，，，在，上單調(diào)遞增，（1），，的范圍為，19、（1）；（2）.【解析】(1)由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)得，即可求m的范圍；(2)當(dāng)q命題為真時，方程無實根，判別式小于零，求得m的范圍，再由復(fù)合命題的真假得和一真一假，列出不等式組運算可得解【小問1詳解】∵方程表示焦點在軸上的雙曲線，∴，解得【小問2詳解】若為真命題，則，解得，∵“”為假命題，”為真命題，∴一真一假當(dāng)真假時，“”且“或”，則；當(dāng)假真時，，則綜上所述，實數(shù)的取值范圍是20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間,無遞減區(qū)間；（2）證明見解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而判斷其正負，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意可得到，進而變形為，然后換元令，將證明的問題轉(zhuǎn)換為成立的問題，從而構(gòu)造新函數(shù)，求新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，求其最值，進而證明不等式成立.【小問1詳解】時，，,令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，則，故是單調(diào)遞增函數(shù)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間；【小問2詳解】當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，，滿足,即，所以，則，令，由于，則，則x2=tx故，要證明，只需證明，即證，設(shè)，令，則，當(dāng)時，，即在時為增函數(shù)，故，即，所以在時為增函數(shù)，即，即，故，即.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及涉及到零點的不等式的證明問題，解答時要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求函數(shù)極值或最值，解答的關(guān)鍵時對函數(shù)式或者不等式進行合理的變形，進而能構(gòu)造新的函數(shù)，利用新的函數(shù)的單調(diào)性或最值達到證明不等式成立的目的m.21、（1）（2）點為線段上靠近點的三等分點【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別寫出點的坐標(biāo)，求出兩個平面的法向量代入公式求解即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)，利用相等向量求出坐標(biāo)，利用線面平行的向量法代入公式計算即可.【小問1詳解】如下圖所示，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．所以，設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，，所以，連接，因為，，，平面，平面，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，所以，