2026屆新高考數(shù)學沖刺復習追本溯源以題促思

—以2023年新課標Ⅱ卷21題為例一、命題背景二、試題分析三、教法指引

四、拓展與推廣命題背景一原題再現(xiàn)

本題主要考查雙曲線基本性質(zhì)和直線與雙曲線位置關系，這是解析幾何核心內(nèi)容。教材2.3節(jié)“雙曲線”詳細講解了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)等內(nèi)容，課后習題2.3第5題，要求根據(jù)雙曲線的焦點坐標和離心率求雙曲線方程，與本題第一問考點相似，是對教材基礎知識的直接應用考查。第2.5節(jié)“直線與圓錐曲線”中探究直線與圓錐曲線位置關系的方法，是本題第二問的知識基礎，教材中的相關例題和習題為解決本題提供了思路和方法的指導。

本題是對教材知識的深化和拓展，要求學生在掌握教材基礎知識的前提下，能夠靈活運用并解決綜合性問題。通過本題的練習，學生能更好地理解解析幾何的研究方法和思路，對提升學生的邏輯思維、運算求解等數(shù)學能力有重要作用，為學生后續(xù)解決更復雜的解析幾何問題以及應對高考中的相關題目奠定基礎。闡釋背景精準聚焦雙曲線的基本性質(zhì)全面考查直線與雙曲線的綜合問題著重探究定點定直線問題解析考點

精準聚焦雙曲線的基本性質(zhì)全面考查直線與雙曲線的綜合問題著重探究定點定直線問題

解析考點精準聚焦雙曲線的基本性質(zhì)全面考查直線與雙曲線的綜合問題著重探究定點定直線問題

解析考點01數(shù)學抽象：學生需從題目具體條件中將直線與雙曲線相交的幾何位置關系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程關系。0203核心素養(yǎng)邏輯推理：證明點P在定直線上，根據(jù)交點坐標滿足的方程，對直線方程聯(lián)立變形，運用等式性質(zhì)和運算法則推導，考驗學生邏輯思維能力。數(shù)學運算：直線與雙曲線位置關系中，聯(lián)立方程后運用韋達定理以及后續(xù)化簡證明點P在定直線上的大量代數(shù)式化簡代換，對學生運算準確性、速度和耐心要求高。試題分析二第一問解題思路關鍵點突破

關鍵在于學生對雙曲線中a、b、c關系以及離心率定義的準確理解和運用。第二問解題思路

第二問關鍵點突破一題多解--點差法一題多解--向量法數(shù)形結合思想?在整個解題過程中，雖然主要是代數(shù)運算，但雙曲線和直線的圖形性質(zhì)是解題的重要依據(jù)。根據(jù)直線與雙曲線相交的圖形特征，合理設出直線方程。函數(shù)與方程思想?求雙曲線方程時，根據(jù)已知條件建立關于a、b、c的方程組

通過解方程確定a、b的值；直線與雙曲線相交問題中，聯(lián)立直線與雙曲線方程得到關于y的方程，利用韋達定理求解相關量。核心數(shù)學思想轉(zhuǎn)化與化歸思想?復雜問題分解，將證明題轉(zhuǎn)化為求交點坐標問題，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。教學指引三

學情分析啟發(fā)式教學法分層遞進式教學法探究式學習與直觀演示結合

講解直線與雙曲線位置關系時，逐步引導分析解題思路1.先問“直線與雙曲線相交，用什么方法研究位置關系？”引導學生想到聯(lián)立方程；2.再讓學生自己嘗試聯(lián)立，教師巡視指導，及時提示問題；3.最后問“怎么用韋達定理表達式證明點在定直線上？”啟發(fā)學生思考化簡方向，讓學生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律技巧，增強參與感和成就感。多元教法融合促學啟發(fā)式教學法分層遞進式教學法探究式學習與直觀演示結合

根據(jù)學生學習能力和知識掌握程度分層，設置不同難度梯度的問題。

對于基礎薄弱學生，先從簡單的雙曲線概念辨析、基本公式應用入手，如已知a、c求b；對于中等水平學生，安排直線與雙曲線簡單位置關系問題，如判斷交點個數(shù)；對于學有余力學生，直接挑戰(zhàn)本題類型綜合性問題。讓每個層次學生都能在原有基礎上提升，逐步掌握解題方法。多元教法融合促學啟發(fā)式教學法分層遞進式教學法探究式學習與直觀演示結合

對于直線與雙曲線位置關系等較難理解部分，1.組織學生小組探究，如討論直線方程不同設元方式優(yōu)缺點。2.同時利用多媒體直觀演示直線與雙曲線相交動態(tài)過程，讓學生直觀感受交點變化，幫助學生更好理解知識，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新思維。多元教法融合促學審題數(shù)形結合聯(lián)立消參與韋達定理應用

?拿到題目，先通讀全題，圈出關鍵信息，同時注意題目中的隱含條件。全方位培養(yǎng)良好解題習慣審題數(shù)形結合聯(lián)立消參與韋達定理應用

?根據(jù)題目條件，畫出雙曲線和直線的大致圖形（草圖即可）。1.在畫雙曲線時，標注出a、b、c對應的線段或距離，直觀展示雙曲線的形狀和位置；2.畫出直線與雙曲線相交情況，幫助理解交點位置和幾何關系。3.通過圖形，能更清晰地分析問題，找到解題思路，如確定直線斜率范圍、交點所在象限等。全方位培養(yǎng)良好解題習慣審題數(shù)形結合聯(lián)立消參與韋達定理應用

?設出直線方程并與雙曲線方程聯(lián)立后，按照運算規(guī)則準確進行消元，得到關于x或y的一元二次方程。注意:在消元過程中，每一步計算要準確，書寫要規(guī)范。得到一元二次方程后，根據(jù)韋達定理準確寫出的表達式，為后續(xù)計算和化簡做準備。在應用韋達定理時，要注意判斷方程二次項系數(shù)是否為0，以及判別式

的取值范圍，確保方程有解且符合題目條件。全方位培養(yǎng)良好解題習慣化簡

書寫回顧題目思路

?利用韋達定理對相關代數(shù)式進行化簡時，要明確化簡目標，如本題中是要得到交點P橫坐標的定值，合理運用韋達定理結論進行代換。全方位培養(yǎng)良好解題習慣化簡

書寫回顧題目思路

1.整個解題過程書寫要清晰、有條理。2.每一步計算和推理都要有依據(jù)，不能跳步。3.對于重要的公式、定理應用，要注明。4.對于復雜的代數(shù)式化簡過程，可適當分步書寫，便于檢查錯誤。5.注意書寫格式規(guī)范。全方位培養(yǎng)良好解題習慣化簡

書寫回顧題目思路

1.完成題目解答后，回顧解題思路，思考解題過程中每一步的目的和依據(jù)，總結解題方法和技巧。2.分析是否有其他解法，比較不同解法的優(yōu)缺點。3.思考題目條件變化時，解題思路和方法是否需要調(diào)整，通過這種方式，加深對知識點的理解和應用，提高解題能力。全方位培養(yǎng)良好解題習慣拓展與推廣四創(chuàng)新變式與深度拓展解法：變式一：通過該變式，強化學生對雙曲線方程求解方法的掌握，尤其是在不同焦點位置和離心率條件下的應用。解法思路：變式二：創(chuàng)新變式與深度拓展解法思路：變式三：創(chuàng)新變式與深度拓展與歷年考題聯(lián)系1.2019年全國I卷理科數(shù)學第21題，考查了拋物線與直線位置關系中的定點問題，其解題思路與本題證明點P在定直線上類似，都是通過聯(lián)立方程，利用韋達定理進行化簡推導。2.2020年全國II卷理科數(shù)學第20題，涉及橢圓與直線相交的相關問題，與本題在直線與圓錐曲線位置關系的處理方法上具有相似性。

研究本題有助于學生掌握此類經(jīng)典題型的解題方法，提升應對高考的能力。洞察命題趨勢與方向幾何向量三角形在高考中，解析幾何始終