2026屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧區(qū)集寧一中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的公比為q，且，則“”是“是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．某學(xué)校高二級(jí)選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學(xué)進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.33．以下四個(gè)命題中，正確的是（）A.若，則三點(diǎn)共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底4．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.5．，則（）A. B.C. D.6．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.C. D.7．中共一大會(huì)址、江西井岡山、貴州遵義、陜西延安是中學(xué)生的幾個(gè)重要的研學(xué)旅行地.某中學(xué)在校學(xué)生人，學(xué)校團(tuán)委為了了解本校學(xué)生到上述紅色基地研學(xué)旅行的情況，隨機(jī)調(diào)查了名學(xué)生，其中到過中共一大會(huì)址或井岡山研學(xué)旅行的共有人，到過井岡山研學(xué)旅行的人，到過中共一大會(huì)址并且到過井岡山研學(xué)旅行的恰有人，根據(jù)這項(xiàng)調(diào)查，估計(jì)該學(xué)校到過中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生大約有（）人A. B.C. D.8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件9．阿基米德（公元前287年~公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為6π，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.11．焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.12．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的最小值為___________.14．必然事件的概率是________.15．已知A，B為x，y正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)以為邊長(zhǎng)在第一象限做正方形，則的最大值為___________.16．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)、是拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點(diǎn)18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：存在最大值，且恒成立.19．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和20．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知三個(gè)條件①圓心在直線上；②圓的半徑為2；③圓過點(diǎn)在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）（1）已知圓過點(diǎn)且圓心在軸上，且滿足條件________，求圓的方程；（2）在（1）的條件下，直線與圓交于、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的最小值及相應(yīng)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析判斷【詳解】當(dāng)時(shí)，則，則數(shù)列為遞減數(shù)列，當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，，因?yàn)?，所以，則可得，所以“”是“是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B2、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時(shí)人.故選：.3、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數(shù)量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，所以三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確.故選：D.4、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據(jù)“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C5、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B6、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點(diǎn)O到直線l的距離，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m等于.故選：A7、B【解析】作出韋恩圖，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，根據(jù)題意求出的值，由此可得出該學(xué)校到過中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù).【詳解】如下圖所示，設(shè)調(diào)查的學(xué)生中去過中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生人數(shù)為，由題意可得，解的，因此，該學(xué)校到過中共一大會(huì)址研學(xué)旅行的學(xué)生的人數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查韋恩圖的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用分層抽樣求樣本容量，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由充分必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，以及利用特殊數(shù)列的分法，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當(dāng)，可得，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列，即必要性不成立，所以數(shù)列是等比數(shù)列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.9、D【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意得到和，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)闄E圓C的離心率為，可得，又由，即，解得，又因?yàn)闄E圓的面積為，可得，即，聯(lián)立方程組，解答，所以橢圓方程為.故選：D.10、A【解析】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，計(jì)算三個(gè)數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A11、A【解析】直接由焦點(diǎn)位置及焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】由焦點(diǎn)在軸的正半軸上知拋物線開口向上，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A.12、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點(diǎn)的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則排除選項(xiàng)、,當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則排除，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)（），，則，，，根據(jù)數(shù)量積的定義和余弦的二倍角公式結(jié)合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設(shè)（），，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值是.故答案為：14、1【解析】直接由必然事件的定義求解【詳解】因?yàn)楸厝皇录且欢ㄒl(fā)生的，所以必然事件的概率是1，故答案為：115、32【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度和邊長(zhǎng)，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為32故答案為：3216、【解析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關(guān)于、的齊次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故，又因?yàn)?，且，所以，因此，所以，又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，故，即，則，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由點(diǎn)在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)點(diǎn)、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，可得，此時(shí)，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點(diǎn).18、（1）的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，；（2）證明見解析.【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，求出，由，結(jié)合函數(shù)的定義域可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時(shí)，定義域R,求出，從而得出單調(diào)區(qū)間，由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，以及極值點(diǎn)與2的大小關(guān)系可得出當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，然后再證明即可.【詳解】解：（1）定義域，可得且且，，可得且3無0無0減無減增無增減所以，的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，.（2）當(dāng)時(shí)，定義域R因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值在時(shí)取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，且，由所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值.所以，因?yàn)?，所?設(shè)，則所以化為由，則，則，所以所以19、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”求和，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，可得，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將的通項(xiàng)裂成兩項(xiàng)的差，利用裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減化簡(jiǎn)可求得通項(xiàng)，（2）由（1）得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，兩式作差得，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，符合上式，所以的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由（1）知，所以即數(shù)列的前n項(xiàng)和21、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)由可得,再結(jié)合和線面垂直的判定定理可得平面,則,再由可得平面.(2)以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：∵為矩形，且，∴.又∵，.∴，.又∵，，∴平面.∵平面，∴又∵，，∴平面.（2）解：以為原點(diǎn)，，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，∴，，設(shè)平面法向量則，即∴，∴∴直線與所成角的正弦值為.22、（1）條件選擇見解析，圓的方程為（