2026屆湖南省名校高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CPI（居民消費價格指數(shù)），同比上漲4.5%，CPI上漲的主要因素是豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個百分點．下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住B．CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%C．豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%D．豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．3．如圖是正方體截去一個四棱錐后的得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．4．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對稱，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設(shè)分別為的三邊的中點，則（）A． B． C． D．7．（）A． B． C．1 D．8．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．29．設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，則（）A． B．C． D．10．我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的值域為，函數(shù)，則的圖象的對稱中心為（）A． B．C． D．12．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則_______.14．已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集為A，且A中共含有n個整數(shù)，則當n最小時實數(shù)a的值為_____．15．圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為_____.16．若的展開式中各項系數(shù)之和為32，則展開式中x的系數(shù)為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓的左右焦點分別為，離心率是，動點在橢圓上運動，當軸時，.（1）求橢圓的方程；（2）延長分別交橢圓于點（不重合）.設(shè)，求的最小值.18．（12分）如圖，在三棱柱中，、、分別是、、的中點.（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影為，求到平面的距離.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求和的極坐標方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點，與交于另一點，若，求的取值范圍.20．（12分）如圖，已知四邊形的直角梯形，∥BC，，，，為線段的中點，平面，，為線段上一點（不與端點重合）．（1）若，（?。┣笞C：PC∥平面；（ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；（2）否存在實數(shù)滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，確定的值，若不存在，請說明理由．21．（12分）已知，函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值．22．（10分）某公司打算引進一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設(shè)備？請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

A.從第一個圖觀察居住占23%，與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判斷.C.食品占19.9%，再看第二個圖，分清2.5%是在CPI一籃子商品中，還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%，所占權(quán)重最大的，故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，權(quán)重超過50%，故正確.C.食品占中19.9%，分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%，故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運行過程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.3、C【解析】

根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是在棱長為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體，該幾何體的體積為.故選：C.【點睛】本題考查利用三視圖計算幾何體的體積，考查空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

計算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.5、C【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，注意分析函數(shù)的奇偶性，屬于中等題.6、B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘方和除法法則將復(fù)數(shù)化為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的計算，同時也考查了復(fù)數(shù)的乘方和除法法則的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因為，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11、B【解析】

由值域為確定的值，得，利用對稱中心列方程求解即可【詳解】因為，又依題意知的值域為，所以得，，所以，令，得，則的圖象的對稱中心為.故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對稱中心，重點考查值域的求解，易錯點是對稱中心縱坐標錯寫為012、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設(shè)可得，所以四棱錐的體積，應(yīng)選答案B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由坐標系可知考點：復(fù)數(shù)運算14、-1【解析】

討論三種情況，a＜0時,根據(jù)均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，計算等號成立的條件得到答案.【詳解】已知關(guān)于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集為（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，當且僅當﹣a，即a＝﹣1時取等號，∴a的最大值為﹣4，當且僅當a4時，A中共含有最少個整數(shù)，此時實數(shù)a的值為﹣1；②a＝0時，﹣4（x﹣4）＞0，解集為（﹣∞，4），整數(shù)解有無窮多，故a＝0不符合條件；③a＞0時，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集為（﹣∞，4）∪（a，+∞），整數(shù)解有無窮多，故a＞0不符合條件；綜上所述，a＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.15、【解析】

求出圓心關(guān)于直線的對稱點，即可得解.【詳解】的圓心為，關(guān)于對稱點設(shè)為，則有:，解得，所以對稱后的圓心為，故所求圓的方程為.故答案為：【點睛】此題考查求圓關(guān)于直線的對稱圓方程，關(guān)鍵在于準確求出圓心關(guān)于直線的對稱點坐標.16、2025【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程，由此求得的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的系數(shù).【詳解】依題意，令，解得，所以，則二項式的展開式的通項為：令，得，所以的系數(shù)為.故答案為：2025【點睛】本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)題意直接計算得到，，得到橢圓方程.（2）不妨設(shè)，且，設(shè)，代入數(shù)據(jù)化簡得到，故，得到答案.【詳解】（1），所以，，化簡得，所以，，所以方程為；（2）由題意得，不在軸上，不妨設(shè)，且，設(shè)，所以由，得，所以，由，得，代入，化簡得：，由于，所以，同理可得，所以，所以當時，最小為【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運算和最值，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，連接、交于點，并連接，則點為的中點，利用中位線的性質(zhì)得出，，利用空間平行線的傳遞性可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）推導(dǎo)出平面，并計算出，由此可得出到平面的距離為，即可得解.【詳解】（1）連接，連接、交于點，并連接，則點為的中點，、分別為、的中點，則，同理可得，.平面，平面，因此，平面；（2）由于在底面的投影為，平面，平面，，為正三角形，且為的中點，，，平面，且，因此，到平面的距離為.【點睛】本題考查線面平行的證明，同時也考查了點到平面距離的計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換公式，把參數(shù)方程，直角坐標方程與極坐標方程進行轉(zhuǎn)化；（2）利用極坐標方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】（1）因為，所以的普通方程為，又，，，的極坐標方程為，的方程即為，對應(yīng)極坐標方程為.（2）由己知設(shè)，，則，，所以，又，，當，即時，取得最小值；當，即時，取得最大值.所以，的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了直角坐標方程，參數(shù)方程與極坐標方程的互化，三角函數(shù)的值域求解等知識，考查了學(xué)生的運算求解能力.20、（1）（?。┳C明見解析（ⅱ）（2）存在，【解析】

（1）（i）連接交于點，連接，，依題意易證四邊形為平行四邊形，從而有，，由此能證明PC∥平面（ii）推導(dǎo)出，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解；（2）設(shè)，求出平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）（?。┳C明：連接交于點，連接，，因為為線段的中點，所以,因為，所以因為∥所以四邊形為平行四邊形．所以又因為，所以又因為平面，平面，所以平面．（ⅱ）解：如圖，在平行四邊形中因為，，所以以為原點建立空間直角坐標系則，，，所以，，，平面的法向量為設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，則所以銳二面角的余弦值為（2）設(shè)所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，因為直線與平面所成的角的正弦值為，所以解得所以存在滿足，使得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】此題二查線面平行的證明，考查銳二面角的余弦值的求法，考查滿足線面角的正弦值的點是