高二“質(zhì)量監(jiān)測”聯(lián)合調(diào)考

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在

答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第四冊第十章，選擇性必修第一冊，選擇

性必修第二冊第三章。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知點(diǎn)M是點(diǎn)N(9,9,6)在平面Oxy內(nèi)的射影，則IOM|=

A.√117B.9C.9√2D.18

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(2—i)(11—i)對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個基底，則下列選項(xiàng)中的向量也可以作為基底的是

A.a—b,b+c,c+aB.a-c,2b—c,a—2b

C.b—2c,a+b—c,a+cD.a,b+a,c+b

4.某人計(jì)劃到山東旅游，打算用連續(xù)5天時間游玩泰山、嶗山、蓬萊閣3個景點(diǎn)，其中泰山、嶗山

2個景點(diǎn)分別安排連續(xù)的兩天游玩，則不同的日程安排種數(shù)為

A.3B.4C.5D.6

5.已知直線1:x+ay-1-2a=0與圓C:(zπ-3)2+(y-4)2=9交于A,B兩點(diǎn)，則cos∠ACB

的最大值為

ABCD

6.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個定理：三角形的外心、垂心

和重心都在同一條直線上.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)為

A(9,1),B(8,2),C(5,—1),則△ABC的歐拉線方程為

A.x-2y-6=0B.2x-y—14=0C.x+2y-26=0D.6x+3y—46=0

7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F?,F?.M是橢圓C上一點(diǎn)，直線

MF?與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N,若MF?·NF?=0,且NF?=3F?M,則橢圓C的離心率為

AB

CD

【高二數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】·B1·

8.在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，E,F,G分別為棱A?A,BC,C?D?的中點(diǎn)，

A?C?∩B?D?=P,Q∈平面EFG,若PQ=1,則Q的軌跡長度為

ABCD

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知,則

CD.|z|=2√2

10.李清照，齊州章丘(今山東省濟(jì)南市章丘區(qū))人，宋代女詞人，婉約詞派代表，有“千古第一才

女”之稱.現(xiàn)將李清照不同的9本詩集全部獎勵給3名同學(xué)(每人至少會分到1本),則下列

選項(xiàng)正確的有

A.若剛好每人分到3本書，則有1680種不同的分法

B.若每人至少分到2本書，則有11508種不同的分法

C.若剛好有1人只分到1本書，則有6326種不同的分法

D.若每人至多分到4本書，則有13020種不同的分法

11.阿基米德在數(shù)學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大.拋物線上任意兩點(diǎn)E,F處的切線交于點(diǎn)M,稱△MEF為“阿基

米德三角形”.已知拋物線C:x2=16y的焦點(diǎn)為F,過F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，拋物

線C在A,B處的切線交于點(diǎn)P,則關(guān)于“阿基米德三角形”PAB,下列選項(xiàng)正確的是

A.△PAB有可能是等邊三角形B.頂點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上

C.若邊AB的中點(diǎn)為M,則PM//y軸D.△PAB面積的最小值為64

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.雙曲線C)的焦距是虛軸長的2倍，則C的離心率為▲

13.已知拋物線C:y2=20x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個交

點(diǎn)，若PF=5FQ,則IQF|=▲.

14.如圖所示，楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)的一種幾何排列，第n行是(a+b)”的展開式的二項(xiàng)式系

數(shù)，直觀解釋了二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律.記第n行從左至右的第i個數(shù)為an,若262?被675除所

得的余數(shù)為m,則m=▲,am,25=.▲_·

楊輝三角

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

第7行172135352171

第8行

::

【高二數(shù)學(xué)第2頁(共4頁)】·B1·

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

已知圓C:x2+y2—4x-5=0,直線l過點(diǎn)P(-1,4).

(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0,求直線l的方程；

(2)若直線l與圓C相切，求直線l的方程.

16.(15分)

已知(3x—2)”=a?+a?x+a2x2+…十a(chǎn)x”,且展開式中有且僅有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

最大.

(1)求(3x—2)”的展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和；

(2)的值；

(3)判斷(3x—2)”的展開式中第幾項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大.

17.(15分)

曲率半徑可用來描述曲線上某點(diǎn)處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎

曲程度越小.已知橢圓C:(a>b>0)上點(diǎn)P(ro,y%)處的曲率半徑公式為R=

.已知橢圓C上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值為9√2,最小值

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,—1),求直線l的

方程；

(3)記橢圓C的左焦點(diǎn)為F,P為橢圓C上一動點(diǎn)，定點(diǎn)M(1,1),求|PF|+|PM|的最

大值.

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18.(17分)

如圖，直三棱柱ABC-DEF的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱AD=3,P是線段CF的延

長線上一點(diǎn)，平面PAB分別與DF,EF相交于M,N.

(1)證明：MN//平面CDE.

(2)當(dāng)PF為何值時，平面PAB⊥平面CDE?

(3)當(dāng)PC為何值時，平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為?

19.(17分)

已知雙曲線C:的左頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)B(1,0)的直線l與圓O:x2+

y2=a2交于D,E兩點(diǎn)，且|DE|的最小值為2√3,當(dāng)直線l平行于雙曲線C的漸近線時，點(diǎn)

A到直線l的距離

(1)求雙曲線C的方程.

(2)若直線AD,AE與雙曲線C分別交于P,Q兩點(diǎn)(均不與A重合),試判斷直線PQ是否

過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

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高二“質(zhì)量監(jiān)測”聯(lián)合調(diào)考

數(shù)學(xué)參考答案

1.C由題意知M(9,9,0),所以IOM|=√92+92+02=9√2.

2.D因?yàn)?2—i)(11—i)=21-13i,所以其對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

3.D因?yàn)閍—b=—(b+c)+(c+a),a—c=(2b—c)+(a-2b),b—2c=(a+b—c)—(a+

c),所以A,B,C中的向量不能作為基底；因?yàn)椴淮嬖趚,y,使得a=x(b+a)+y(c+b),所

以a,b+a,c+b不共面，可以作為基底.

4.D首先考慮蓬萊閣的游玩，可能安排在第1天或第3天或第5天，所以共有C?A2=6種不

同的日程安排.

5.D將x+ay-1-2a=0整理得x-1+a(y-2)=0.由得

所以直線l過定點(diǎn)P(1,2).因?yàn)镻(1,2)在圓C內(nèi)，所以要使cos∠ACB最大，則∠ACB最

小，即|AB|最小.

當(dāng)AB⊥CP時，|AB|最小，因?yàn)閨PC|=2√2,所以|ABlmin=2,所以(cos∠ACB)mx=

6.B因?yàn)閗AB=-1,kBc=1,所以kAB·kBc=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC的外心為AC

的中點(diǎn)(7,0),垂心為(8,2)所以△ABC的歐拉線方程,即2x-y-14=0.

7.C如圖所示，設(shè)|MF?|=m,則|NF?|=3m=|NF?|,

在Rt△MNF?中，由|MF?I2=|MN|2—|NF?I2,

,由橢圓的定義，知M|F?|+

|MF?|=2a,可得

在△NF?F?中，|NF?|=|NF?|=(√7-1a,|F?F?|=2c,

由,得到。

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第1頁(共6頁)】·B1·

8.D如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則P(1,1,2),E(2,0,1),F(1,2,

0),G(0,1,2).設(shè)平面EFG的法向量為n=(x,y,z),

因?yàn)镋F=(-1,2,-1),EG=(-2,1,1),

所以令x=1,得n=(1,1,1).

因?yàn)镻Q=1,所以點(diǎn)Q在以P為球心，1為半徑的球上.

因?yàn)镻G=(-1,0,0),所以P到平面EFG的距離，

所以以P為球心，1為半徑的球被平面EFG截得的截面圓的半徑

所以點(diǎn)Q的軌跡長度

9.AD因?yàn)?所以其實(shí)部為,虛部

10.AB若剛好每人分到3本書，則)種不同的分法，故A正確；

若每人至少分到2本書，則3人分書的本數(shù)可能是(2,3,4),(2,2,5),(3,3,3),所以有

種不同的分法，故B正確；

若剛好有1人只分到1本書，則3人分書的本數(shù)可能是(1,2,6),(1,3,5),(1,4,4),所以有

CA=6426種不同的分法，故C不正確，

若每人至多分到4本書，則3人分書的本數(shù)可能是(2,3,4),(3,3,3),(1,4,4),所以有

種不同的分法，故D不正確

11.BCD拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,4),準(zhǔn)線方程為y=—4.顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l

得

的方程為y=kz+4,,),P(zo,y),由x2—16kx—64=

0,則x?+x2=16k,x?x2=-64.設(shè)直線PA的方程為

得x2—16k?x+16k1x?-x2=0.

因?yàn)橹本€PA與拋物線C相切，所以△=(16k?)2—4(16k?x?-x2)=4(8k?-x?)2=0,所以

,即直線PA的方程為同理，直線PB的方程為：,所以xo

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第2頁(共6頁)】·B1·

即頂點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上，故B正確.

因?yàn)镻在拋物線C的準(zhǔn)線上，若△PAB是等邊三角形，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,一4),此時|AB|

=|PF|=8,△PAB不是等邊三角形，所以A不正確.

若AB的中點(diǎn)為M,則M的坐標(biāo)為,所以C正確.

不妨設(shè)x?>0,x?<0,則

當(dāng)且僅當(dāng)x?=-x?=8時，等號成立，所以△PAB面積的最小值為64,故D正確.

12.因?yàn)閏=2b,所以c2=4b2=4(c2—a2),得,即雙曲線C的離心率

13.12記l與x軸的交點(diǎn)為M,過Q向l作垂線，垂足為N(圖略),則IQF|=IQNI.因?yàn)镻F

=5FQ,所以.因?yàn)閨MF|=10,所以|QF|=|QN|=12.

14.26;325因?yàn)?62?=26×262=26×67612=26(1+675)12=26(C?+Cl?675+C2?6752+…

+C267512)=26+26(Cl?675+C??6752+…+C267512),所以262?被675除所得的余數(shù)為

26,所以am,25=C2=C2?=325.

15.解：(1)當(dāng)直線l經(jīng)過原點(diǎn)時，直線l的方程為y=-4x;2分

當(dāng)直線l不經(jīng)過原點(diǎn)時，設(shè)直線l的方程為

解得所以直線l的方程為………5分

綜上所述，直線l的方程為4x+y=0或x-y+5=0.………………分

(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=9,其圓心為C(2,0),半徑r為3.………7分

當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-1,符合題意；…8分

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)+4,即kx-y+k+4=0,

由得,………11分

所以直線l的方程為：,即7x+24y-89=0.………12分

綜上所述，直線l的方程為x=-1或7x+24y-89=0.…………13分

16.解：(1)因?yàn)檎归_式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n=10,…分

所以展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為21?=1024.……5分

(2)令x=0,得a?=(0-2)1?=10247分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第3頁(共6頁)】·B1·

令,得……………9分

………10分

(3)由(2)可知(3x+2)1°展開式的通項(xiàng)T,+1=C1o31?-r×2x1??r12分

由……14分

因?yàn)閞為整數(shù)，所以r=4,所以(3x—2)1?的展開式中第5項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大.…15分

17.解：(1)因?yàn)榍拾霃皆酱?，曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小，

所以橢圓C在(±a,0)處的曲率半徑最小，則………2分

橢圓C在(0,±b)處的曲率半徑最大，則,…………4分

所以a=3√2,b=√2,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程……………5分

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則………6分

兩式相減,整理可…7分

因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,—1),所以x?+x?=-4,y?+y?=-2,……………分

所以直線l的斜率,…·9分

故直線l的方程為,即2x+9y+13=0.……10分

(3)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F′,則|PF|+|PF'|=2a=6√2,11分

所以|PF|+|PM|=|PM|-|PF′|+6√2.……………12分

因?yàn)閨PM|-|PF'|≤|MF'|=√10(當(dāng)P,F′,M三點(diǎn)共線且P在x軸下方時，等號成立),

……………………14分

所以|PF|+|PM|的最大值為√10+6√2.……15分

18.(1)證明：因?yàn)锳B//DE,AB平面DEF,DEC平面DEF,所以AB//平面DEF.…2分

因?yàn)槠矫鍼AB∩平面DEF=MN,所以AB//MN,所以DE//MN,3分

又MN丈平面CDE,DEC平面CDE,所以MN//平面CDE.………4分

(2)解：分別取線段AB,DE的中點(diǎn)G,H,連接CG,GH,CH,PG,則GH//CP,所以P,C,

G,H四點(diǎn)共面.………………………5分

易得Rt△PCA≌Rt△PCB,所以PA=PB,所以PG⊥AB.…………6分

【高二數(shù)學(xué)·參考答案第4頁(共6頁)】·B1·

因?yàn)锳B//DE,所以PG⊥DE7分

若PG⊥CH,則PG⊥平面CDE,平面PAB⊥平面CDE,

此時∠CP則……………8分

因?yàn)椤鰽BC是邊長為4的正三角形，

所以CG=4sin60°=2√3.

y

又GH=3,所以……………9分

所以PF=PC-FC=1,

所以當(dāng)PF=1時，平面PAB⊥平面CDE.………·10分

(3)解：由(2)知GC,GA,GH兩兩垂直，以G為原點(diǎn)，GC,GA,GH的方向分別為軸

的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(2√3,0,0),A(0,2,0),B(0,-2,0).……

…………11分

設(shè)P(2√3,0,t),平面PAB的法向量為m=(x?,y1,≈1).

因?yàn)镻A=(-2√3,2,一t),AB=(0,—4,0),

令x?=t,得m=(t,0,2√3).……………13分

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x?,y2,≈2).因?yàn)镻C=(0,0,一t),BC=(2√3,2,0),

令x?=1,