洛陽強基聯(lián)盟高二1月檢測●數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細則

n

1.B已知數(shù)列{an}的前4項為1,2,5,12,即a1=1,a2=2,a3=5,a4=12,驗證選項中的通項公式,只有an=2—n符合

n

題意,所以{an}的通項公式可以是an=2—n.故選B.

11

2.D由題意,拋物線r=—8y2的標準方程為y2=—r,C的焦點在r軸的負半軸上且p=,故其準線的方程為r=

816

1

.故選D.

32

r2y2r2y2

3.A因為雙曲線—=1的左頂點為(—3,0),漸近線方程為4r±3y=0,所以雙曲線—=1的左頂點到其一條

916916

1212

漸近線的距離為=.故選A.

、32+425

(a1+2d=8,(a1=2,

4.C設(shè){an}的公差為d,由題意得〈解得〈所以S9=9×2+×3=126.故選C.

(3a1+3d=15,(d=3,

3

5.A由題意知a=5,b=4,c=3,所以E的長軸長為10,離心率為,BF1=5,△BF1F2的周長為16,故BCD錯誤,

5

A正確.故選A.

(1

2an,0≤an<,

22443

6.C因為a1=且an+1=〈所以a2=2×a1=,a3=2×a2—1=2×—1=,a4=2×a3—1=2

51555

2an—1,≤an<1,

(2

3124

×—1=,a5=2×a4==a1,a6=2×a5==a2,…,所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列,且一個周期為4,所以a2025=

5555

2

a506×4+1=a1=.故選C.

5

7.B記7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列{an}(1≤n≤7,n∈N),由題意得a1+a2+a3=1.8,a5+a6+a7=2.4,

:3a2=1.8,3a6=2.4,故a2=0.6,a6=0.8,“2a4=a2+a6,:a4=0.7,即正中間的一根橫梁的長度是0.7m.故選B.

8.D由題意知,P,Q關(guān)于原點對稱,不妨設(shè)點P為第一象限內(nèi)一點,則QF1=PF2,PF1—PF2=2a,又

PF1+QF1=4a,PF1+PF2=4a,所以PF1=3a,PF2=a,記F1F2=2c,因為△PF1F2為銳角三角

222222222

形,所以PF1+PF2—F1F2>0,PF1+F1F2—PF2>0,F1F2+PF2—PF1>0,即

2

222222222c5、

9a+a—4c>0,9a+4c—a>0,4c+a—9a>0,解得2<2<,所以、2<e<.故選D.

a22

9.BCD對于A,若m=1,則曲線C表示圓,故A錯誤;

2

1222y

對于B,若m=,則r+my=1可化為r+=1,此時曲線C表示焦點在y軸上的橢圓,故B正確;

22

對于C,若m<0,則曲線C表示雙曲線,故C正確;

對于D,若m=0,則r2+my2=1可化為r2=1,此時曲線C表示兩條平行于y軸的直線,故D正確.故選BCD.

10.ABC由S2025<0,S2026>0,得=2025a1013<0,=1013(a1013+a1014)>0,即a1013

<0,a1013+a1014>0,所以a1013<0,a1014>0,a1013<a1014,所以d=a1014—a1013>0,所以a1<a2<…<a1013<0

【高二1月檢測.數(shù)學(xué)參考答案第1頁(共4頁)】

<a1014,所以S1013最小.故ABC正確,D錯誤.故選ABC.

11.ABD對于A,根據(jù)拋物線的定義得PF=1+=,解得p=1,所以拋物線C:x2=2y,F(0,,故A正確;對

于B,因為直線MN,OM,ON的斜率必存在,設(shè)直線MN的方程為y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程

(x2=2y,

22

〈消去y得x—2kx—2b=0,則Δ=4k+8b>0,x1+x2=2k,x1x2=—2b,因為OM丄ON,所以kOMkON=

(y=kx+b,

122

x1x2

y1y241b—→

==x1x2=—=—1,解得b=2,滿足Δ>0,所以直線MN過定點(0,2),故B正確;對于C,因為MF

x1x2x1x242

—→

=2FN,所以直線MN過焦點F,且MF=2FN,設(shè)直線MN的傾斜角為θ,當M在第一象限時,如圖,過點M,N

分別向準線作垂線段MA,NB,過點N向MA作垂線段ND,設(shè)FN=m,則

MD1

MN=3m,NB=m,MA=2m,則MD=m,sinθ==,cosθ=

MN3

2、、、

,tanθ=,當M在第二象限時,同理可得tanθ=—,所以直線MN的斜率

344

、2

為±,故C錯誤;對于D,因為線段OF的垂直平分線為y=,所以△MOF外接

4

圓圓心的縱坐標為,所以外接圓半徑為+=,故D正確.故選ABD.

54

12.—3750a6=S6—S5=[(—5)+3]—[(—5)+3]=—3750.

13.[5,9]由橢圓的定義,得PF1+PF2=6,所以PF2=6—PF1,記PF1=t,則1≤t≤5,所以PF1.

22

PF2=t(6—t)=—t+6t=—(t—3)+9,所以當t=3時,PF1.PF2取得最大值9,當t=1,或t=5時,

PF1.PF2取得最小值5,所以PF1.PF2的取值范圍是[5,9].

An3n+75

14.2因為等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為An和Bn,=,所以可設(shè)An=kn(3n+75)(k≠0),Bn=

Bn2n+5

kn(2n+5),所以n≥2時,an=An—An—1=kn(3n+75)—k(n—1)(3n+72)=6k(n+12),又a1=78k滿足上式,所

*

以an=6k(n+12)(n∈N),n≥2時,bn=Bn—Bn—1=kn(2n+5)—k(n—1)(2n+3)=k(4n+3),又b1=7k滿足上

*a2n6k(2n+12)12n+7263a2n

式,所以bn=k(4n+3),n∈N,===3+,因為∈z,所以4n+3是63的正因數(shù),即

bnk(4n+3)4n+34n+3bn

4n+3=1,3,7,9,21,63,又n∈N*,所以n=1,15,即滿足∈z的正整數(shù)n有2個.

15.解:(1)由題意知,雙曲線的焦點在x軸上,且半焦距c=3,

x2y2

故設(shè)所求雙曲線的標準方程為—=1(a>0,b>0)…,……………1分

a2b2

lAF1=、=5、,AF2=、=、,…………………3分

所以2a=AF1—AF2=5、—、=4、,所以a=2、,…………5分

所以b2=c2—a2=9—8=1,

故所求雙曲線的標準方程為—y2=1.………………7分

(2)設(shè)所求雙曲線的方程為—=λ(λ≠0),…………9分

【高二1月檢測.數(shù)學(xué)參考答案第2頁(共4頁)】

將點(3、,2、)代入上述方程,得—=λ,…………10分

所以λ=—2,所以—=—2,………………………12分

故所求雙曲線的方程為—=1.……………………13分

16.(1)證明:因為an+1=,a1=,所以=+1,即—=1,……………3分

所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.…………………6分

(2)解:因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,=2,所以=2+(n—1)×1=n+1,…………9分

1111

所以an=,bn=anan+1==—.………12分

n+1(n+1)(n+2)n+1n+2

設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,

則Tn=—+—+…+—=—=.…………………15分

17.解:(1)“點A(2,y0)為拋物線C上一點,且|AF|=4,根據(jù)拋物線的定義可得2+=4,解得p=4,……………4分

:拋物線C的標準方程為y2=8x.………………………5分

(2)不過原點o的直線l:y=x+m與拋物線C交于不同的兩點P,Q,

(y=x+m,

22

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立得〈得x+(2m—8)x+m=0,

(y2=8x,

:△=(2m—8)2—4×1×m2=—32m+64>0,解得m<2.……………8分

2

由韋達定理,得x1+x2=8—2m,x1x2=m,

——→—→

又oP.oQ=0,:x1x2+y1y2=0,……………………10分

又兩點P,Q在直線l:y=x+m上,:y1=x1+m,y2=x2+m,

2

故上式化為x1x2+(x1+m)(x2+m)=0,化簡得2x1x2+m(x1+x2)+m=0,…………………12分

把韋達定理代入,得2m2+m(8—2m)+m2=0→m2+8m=0,解得m=0或m=—8,

“直線l不過原點,:m≠0,

故m的值為—8.…………………………15分

18.解:(1)設(shè){an}的公差為d,則an=22+(n—1)d,……………………1分

所以a5=22+4d,a2=22+d,a9=22+8d,……………3分

因為a5為a2與a9+1的等差中項,所以2(22+4d)=22+d+22+8d+1,

解得d=—1,所以an=23—n.……………5分

n(n—1)n(n—1)45n—n2

(2)由(1)知d=—1,所以sn=na1+d=22n—=,………7分

222

所以=,…………………………8分

令=23,解得n=—1不是正整數(shù),

【高二1月檢測.數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共4頁)】

所以23不是的項.…………………10分

(3)由(1)知bn=23—n,

..................................................................................................

當n≤23時,an≥0,bn=an,當n≥24時,an<0,bn=—an,12分

45n—n2

所以當n≤23時,Tn=sn=,.....................................................................................................................................13分

2

當n≥24時,Tn=a1+a2+…+a23—a24—…—an

=2(a1+a2+…+a23)—(a1+a2+…+an)………14分

2

45n—n1245

=2s23—sn=506—=n—n+506.……………………16分

222

(—n2+n,n≤23,

所以Tn=〈…………………17分

2

(n—n+506,n≥24.

19.(1)解:圓E:x2+(y—1)2=4與x軸的兩個交點分別為(—、,0),(、3,0),與y軸的兩個交點分別為(0,3),(0,—1),

………………………………1分

則C的兩個焦點分別為(—、,0),(、,0),上頂點為(0,3),…………2分

所以b=3,c=、,a2=9+3=12,…………………………3分

22

xy……………

所以C的方程為+=1.4分

129

1—0、

(2)解:由(1)知,C的右焦點F(、,0),圓E的圓心E(0,1),直線EF的斜率為=—,……5分

0—、33

因為過F的圓E的切線與EF垂直,所以切線方程為y=、3(x—、3),………………6分

(x2y2

+=1,

12928、

聯(lián)立〈消去y,得5x—8、x=0,所以x=0或x=,……………7分

5

(y=、(x—、3),

8、16、

所以|AB|=、.0—=.………………………8分

55

(3)證明:設(shè)直線FM的方程為y=k(x—、)(不妨設(shè)k>0),