第03講等式與不等式性質(zhì)

目錄

考情探究................................................................2

知識梳理................................................................2

探究核心考點...........................................................4

考點一用不等式（組）表示不等關(guān)系................................................4

考點二數(shù)（式）大小的比較.....................................................5

考點三不等式的實際應(yīng)用.......................................................5

考點四利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式......................................6

考點五利用不等式的性質(zhì)求范圍.................................................6

考點六糖水不等式及其應(yīng)用.....................................................7

三階突破訓(xùn)練............................................................8

基礎(chǔ)過關(guān)...................................................................................8

能力提升...................................................................................9

真題感知..................................................................................10

A考情探究＜

一、5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2025年高考I卷，第8題，5分不等式比較大小函數(shù)

二、命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】

近三年考情顯示，高考對不等式性質(zhì)的考查雖單獨命題頻率較低，但相關(guān)知識貫穿各類題型，是進(jìn)行不等

式變形、證明及解題的核心工具。其重要性體現(xiàn)在：作為數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)支撐，不等式性質(zhì)為函數(shù)、數(shù)列、

幾何等模塊的解題提供理論依據(jù)：同時，其應(yīng)用能力直接影響考生對復(fù)雜問題的轉(zhuǎn)化與分析能力，成為高

考數(shù)學(xué)考查邏輯思維與運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵載體。因此，掌握不等式性質(zhì)不僅是應(yīng)對單一題型的需要，更是提

升整體數(shù)學(xué)能力的必備基礎(chǔ)。

【備考策略】

I.會用不等式（組）表示實際問題中的不等關(guān)系.

2.掌握不等式的有關(guān)性質(zhì).

3.能利用不等式的性質(zhì)比較數(shù)或式的大小或證明不等式.

4.能利用糖水不等式解決不等式的相關(guān)問題

【命題預(yù)測】

高考還是結(jié)合函數(shù)，數(shù)列交叉命題，不單獨設(shè)置考點。

＞知識梳理＜

一、比較兩個數(shù)大小

作差法：

如果〃一。是正數(shù)，那么

如果4—0等于零，那么4=。；

如果〃一〃是負(fù)數(shù)，那么av/九

反過來也對.

這個基本事實可以表示為：aa-b>0,a=b<^>a-b=0ya<b<=>a-b<0.

作商法:

任意兩個值為_______的代數(shù)式。、h,可以作商a+b后比較:與________的關(guān)系，進(jìn)一步比較。與〃

b

的大小.

則有=—<\<=>a<b；—=1<=>?=/?.

bbb

二、不等式性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意

對稱性a>b<=>b<cio

傳遞性a>b,b>c=>a>c=

可加性a>b<^>a+c>b+c<=>

a>b,c>0=>ac>be

可乘性C的符號

a>b,c<0=acvbc

同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+cl=>

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0=ac>bd=>

可乘方性〃>Z?>0=a">b"(neN,n..2)同正

A探究核心考點<

考點一用不等式（組）表示不等關(guān)系

典例L為更好實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，加強(qiáng)村民對本村事務(wù)的參與和監(jiān)督，根據(jù)《村委會組織法》，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)準(zhǔn)

備在各村推選村民代表.規(guī)定各村每15戶推選1人，當(dāng)全村戶數(shù)除以15所得的余數(shù)大于10時再增加1人.

那么，各村可推選的人數(shù)），與該村戶數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)），=［用（國表示不大于x的最大整數(shù)）

可以表示為（）

.V+11x+10x+5

A.y=C.尸D.>,=

1515"7F

典例2.生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜.若

工＞心0,〃eR?，則下列數(shù)學(xué)模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）

「a+na

A.a+b>h+nB.------>-

b+nb

a

C.a+n<b+nDn.-〃--+--〃-<-

b+nb

跟蹤訓(xùn)練1.在函數(shù)），=凡文?-1』的圖象上有一點P（川），此函數(shù)與x軸、直線x=-l及圍成圖形

如圖陰影部分的面積為S,則S與/的函數(shù)關(guān)系圖可表示為

跟蹤訓(xùn)練2.鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下:乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過

160cm,設(shè)攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為。、b、c（單位：cm）,這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可?表示為

()

A.a+b+c＞\60B.t/+Z?+c＜160C.a+人+cN160D.a+力+。石160

跟蹤訓(xùn)練3.下列說法正確的是（）

A.某人月收入x不高于2000元可表示為七＜2000”

B.某變量y不超過。可表示為

C.某變量x至少為?？杀硎緸?/p>

D.小明的身高xcm,小華的身高），cm,則小明比小華矮表示為七＞產(chǎn)

考點二數(shù)（式）大小的比較

典例1.已知則（）

A.^^>7B.aob1C.J—>」-D.?(c2-l)>Z>(c2-1)

b+cbb+ca+c\/\/

典例2.已知實數(shù)〃，b,c滿足ln(a+/?)=a+〃+c,且/?是小c的等比中項，則()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.b>c>a

跟蹤訓(xùn)練1.已知非零實數(shù)a*.c滿足a>O>c,則下列不等式成立的是（）

11

A.-<-B.2e-h>r~a

ab

C.tan(?-c)>tan(Z?-c)D.ln(2^-/?-c)>0

跟蹤訓(xùn)練2.（多選）對于實數(shù)mb,切下列真命題的為（）

..,八c[hia+〃？。

A.若a>b,貝ljam2>hm~B.若o〃>a>0,〃?>0,則---->—

b+rnb

C.若a>b,則愴丹>電/D.若a>b>0,且l】na|=|ln/?|,則。+2〃的最小值為2夜

跟蹤訓(xùn)練3.（多選）下面說法正確的是).

若f.嗎

R.k

人?若則￡<5

C.若a<b,c>d,則a-c〈〃一dD.若則一<----

bb+m

考點三不等式的實際應(yīng)用

典例1.將進(jìn)貨單價為80元的商品按90元一個售出時，能賣出400個，每漲價1元，其銷售量就減少20

個，為獲得最大利潤，售價應(yīng)定在（）

A.每個95元B.每個10（）元

C.每個105元D.每個110元

典例2.設(shè)計用32m2的材料制造某種長方體車廂（無蓋）,按交通規(guī)定車廂寬為2m,則車廂的最大容積是（）

A.（38—3巾5）m'B.16m3

C.4啦/D.14m3

跟蹤訓(xùn)練1.光線透過一塊玻璃，其強(qiáng)度要減弱吉.要使光線的強(qiáng)度減弱到原來的!以下，至少需這樣的玻璃

板塊.（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.477l）

跟蹤訓(xùn)練2.某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用

鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)用磚墻，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元.計算：

（1）倉庫底面積5的最大允許值是多少？

（2）為使S達(dá)到最大，而實際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長？

考點四利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式

\a+b\同\b\2|。+目

典例1?若abNO,求證：--;ri--：―ri+i—iTj―i--H,

\+\a+b\\+\a\1+例l+\a+b\

典例2.已知函數(shù)/(力=*+0￥和g(x)=x-〃，其中awR且〃工0.若〃和4是方程數(shù)(x)-g(x)=O的兩

根，且滿足求證：當(dāng)X￡(0,〃)時，g(x)<f(x)<p-a.

跟蹤訓(xùn)練1.(2025?河北保定?模擬預(yù)測)記maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)，設(shè)乂)'"為正數(shù)，

123、

M=<2x+y+-,x+z+—,y+->,則maxM的最小值為________.

Iz)，X,

跟蹤訓(xùn)練2.已知V4KC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,。，且2c=acosB-灰:osA,b*c.

(1)證明：a2=b2+2c2i

2t2

(2)證明：絲囪>4；

be

(3)證明：3c<2a<&).

考點五利用不等式的性質(zhì)求范圍

典例1.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(“，滿足"0)=2021,且對任意xcR,滿足/(x+2)-〃x)23-21

/(x+6)-/(x)<632\則f(2020)=()

A.22O2O+2O19B.22O2O+2O2OC.220l9+20I9D.220l9+2020

典例2.己知f(x)=a?+力若74/(7)42,2</(l)<4,Rac-+bc-b=0,則實數(shù)c的取值

范圍是.

跟蹤訓(xùn)練1.?0<6z<p0</?<p則2a4的范圍是()

〈5兀、(n5n\(it\

A.0,—B.C.(0,7i)D.

\67k66；ko；

跟蹤訓(xùn)練2.已知x>)>z且x+y+z=0,求上的取值范圍.

x

跟蹤訓(xùn)練3.已知/")=加+6工滿足1W/(T)W2且2Wf(l)W4,求證：5</(-2)<10.

考點六糖水不等式及其應(yīng)用

典例1.已知克糖水中含有〃克糖(力>a>0),再添加利克糖(〃?>0,假設(shè)全部溶解)，糖水變甜了，將

這一事實表示為一個不等式()

aa

A.—>------B,空竺

bb+inbb+in

「aa+mcaa+/n

C.------<-------D.-<------

b+mb+inbb+in

典例2.?？颂撬泻小颂?，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添

a

加“，克糖（假設(shè)全部溶解），生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，對應(yīng)的不等式為寒>夕?！?gt;。,，〃>°）,這

個不等式趣稱為糖水不等式.根據(jù)糖水不等式，下列不等式正確的是（）

A幣,5-2口加方+2

B.再<際

吆7?IgU.愴7+吆11

C.log5<log10

816*l+lg71+lglll+lg7+lgll

跟蹤訓(xùn)練1.已知?？颂撬泻小颂牵粼偬砑有】颂侨芙庠谄渲?，則糖水變得更甜（即糖水中含糖濃

度更大）,對應(yīng)的不等式為空片（—>。）,若百=皿，x2=log2114,x3=log6328,則（）

A.k<x3<,v,B.$<x2<xy

C.x3<x2<xiD.七<%<x2

跟蹤訓(xùn)練2.（多選）生活經(jīng)驗告訴我們：?？颂撬杏小颂牵?。>0,匕>0,且“>〃），若再添加，〃克糖

（加>0）后，糖水會更甜.于是得出一個不等式：,越稱之為“糖水不等式”根據(jù)“糖水不等式”判

aa+m

斷F列命題一定正確的是（）

A.若a>b>。,m<0,M—<"'

aa+in

B.log32<log1510

C.若。，人，c?為VA8C三條邊長，則二十3<3

D.若4,b,。為VABC三條邊長，貝1」1<二+上+，7

b+ca+ca+b

跟蹤訓(xùn)練3.已知〃克糖水中含有?？颂窃偬砑永颂牵ㄐ?gt;（））（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了，

（1）請將這一事實表示為一個不等式，并證明這個不等式成立：

（2）運(yùn)用該不等式比較以下三個值的大小：log??,log.4,log45；

（3）當(dāng)x>0時，比較log/］（4+2）1嗎+2（x+3）的大小.

A三階突破訓(xùn)練<

基礎(chǔ)過關(guān)

1.如圖，在一塊長為22m,寬為17m的矩形地面上，要修建同洋寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別

與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪的面積不小于300m2.設(shè)道路寬為xm,根據(jù)題意可列出

的不等式為（）

B.(22-x)(17-x)>300

C.(22-x)(17-x)>300D.(22-x)(17-x)<300

2.王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個學(xué)習(xí)小組的釘釘

群，群的成員由學(xué)生、家長、老師共同組成.已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多

于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該釘釘群人數(shù)的最小值為（）

A.18B.20C.22D.28

3.（2025?山東泰安?模擬預(yù)測）已知x,）*R,則孫，<。是=N+N的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分乂不必聚條件

4.若a>b>0,c>d,則下列結(jié)論正確的是（）

A.?>|d|B.ac>bdC.ac2>be1D.->—

小+1d~+\

5.已知實數(shù)avb,則“仁>0”是《〈警”的（）

bb+m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.〃的取值范圍為[4,7]B.人〃的取值范圍為[1,4]

C.他的取值范圍為[3,10]D.（取值范圍為托

7.（2025?四川瀘州?模擬預(yù)測）（多選）若qbwR,則（）

A.a2+b~>-2abB.a+b>2\[ab

C.ci2+2lr>2\ab\D.a2+b~>2（a+b-l）

8.（2025?山東聊城?二模）（多選）已知實數(shù)。力滿足必>0,則（）

A.（i+b<abB.-+^->2

ab

C.若心b,則D.若a〈b,m>0,則3<￡1^仍+〃?工0）

abbb+m

9.已知實數(shù)x,丁滿足關(guān)系：-l<x+y<4,2<“一），<3.則版+2），的取值范圍是.

10.已知對一切2KxK3,3<y<6,不等式限*-孫+），恒成立，則實數(shù)，〃的取值范圍是

能力提升

I.已知正實數(shù)且若2"-3""+3，"=1+2”,則（）

A.b>c,2b>a+cB.b<c,2b<a+c

C.b>c,2b<a+cD.b<c,2b>a+c

2.已知a=k>g23,Z?=log34,c=ab,則“，4c的大小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.a>b>c

C.b>c>aD.a>c>b

3.若〃>〃，則（）

A.ln（?-Z?）>0B.3"v3"C.^-b3>0D.|?|>H

4.（多選）建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面枳必須小于地板面枳,但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比

值不小于10%,并且這個比值越大，住宅的采光條件越好.現(xiàn)欲在原設(shè)計方案的基礎(chǔ)上，同時增加住宅的

窗戶面積和地板面枳，則卜.列有關(guān)說法正確的是（）

A.若增加的窗戶面積和地板面積相同，則住宅的采光條件一定變好

B.若增加的窗戶面積和地板面枳相同，則住宅的采光條件一定變差

C.若增加的窗戶面積和地板面積比值為則住宅的采光條件一定變差

D.若增加的窗戶面積和地板面積比值為則住宅的采光條件?定變差

5.（多選）下列說法正確的是（）

A.若a>力，則ac2>be2

B.命題“IreR,l</（x）?2”的否定是“VxeR,或/（x）>2"

C.如果必>0,那么是“a>zr的充分不必要條件

ab

D.當(dāng)xeR時，不等式質(zhì)2一5+]>0恒成立，則&的取值范圍是[0,4）

6.已知正數(shù)a,b,。滿足3a+cK%K4疝，則竺牛的取值范圍是___.

a-b

7.已知正數(shù)a,b,c滿足a?〃+c43a,3從4a