1.5等腰三角形（第1課時等腰三角形的性質(zhì)）教學(xué)設(shè)計

^^教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容以解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)選自蘇科版2024八年級數(shù)學(xué)（上）第1章《三角形》第1.5節(jié)”等腰三角形”的第1課時，核

心知識點是“等腰三角形的性質(zhì),通過探究等腰三角形中“等邊對等角”及“一線具備，多線合一”等性

質(zhì)，幫助學(xué)生深入了解幾何圖形的對稱特征和推理方法。

2.內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容以“等腰三角形的性質(zhì)定理”為核心，圍繞AB=AC==乙。與“三線合一”等關(guān)鍵結(jié)

論，設(shè)計折疊、作中線、作高線及角平分線等多種探究活動。通過對三角形全等條件的運用，學(xué)生能

深入體會等腰三角形的內(nèi)在對稱性及其在計算與證明中的價值。同時，作圖探索“已知底邊及其上的高

作等腰三角形”培養(yǎng)了學(xué)生的兒何思維與動手實踐能力，進(jìn)一步為今后解題奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

?經(jīng)歷等腰三角形性質(zhì)的探究過程，體驗研究幾何圖形的基本過程。

?掌握等腰三角形的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用它們進(jìn)行計算和證明，發(fā)展推理能力。

?會利用基本作圖作三角形：已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。

2.目標(biāo)解析

?第一個目標(biāo)側(cè)重學(xué)生的幾何探究體驗，通過動手折疊與觀察等方式，激發(fā)興趣并感受幾何思想.

?第二個目標(biāo)強調(diào)對“等邊對等角”“三線合一”等性質(zhì)定理的理解與應(yīng)用，培養(yǎng)推理論證能力。

?第三個目標(biāo)突出學(xué)生動手能力和作圖技能，通過操作與實例構(gòu)建幾何圖形，掌握基本作圖方法。

學(xué)情分析一

學(xué)生已初步掌握三角形的全等判定方法和基本作圖技能，對“底邊”"高線''等概念也有認(rèn)識。本節(jié)

在此基礎(chǔ)上提升難度，重點在于讓學(xué)生理解等腰三角形的內(nèi)在對稱和推理過程。概念歸納與性質(zhì)理解

相對容易，但在綜合運用“三線合一”或多性質(zhì)結(jié)合時，學(xué)生可能存在思路不清的困難，需要在教學(xué)中

加強探究與示范，引導(dǎo)學(xué)生形戌完整的幾何思維鏈條。

教學(xué)過程設(shè)計

新深存入

創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

1.問題情境

“如圖，把一張長方形紙片對折，沿虛線剪卜并展開，得到的三角形有什么特征？”

教師演示：將長方形紙片對折后，剪出三角形，接著展示該三角形。

學(xué)生觀察：這個三角形有兩條邊相等，有兩個角相等。

【設(shè)計意圖】通過折紙活動，將生活中簡單易行的操作轉(zhuǎn)化為幾何情境，激發(fā)學(xué)生的好奇與思考，為

引入等腰三角形的概念做好鋪墊，明確學(xué)習(xí)方向。

新知探究

探究點1:等腰三角形的定義

?概念引入

有兩條邊相等的三角形，叫作等腰三角形(isoscelestriangle),相等的邊叫作腰。

并明確：

“如圖，在等腰三角形718c中，AB=AC,兩相等的邊稱為腰?！?/p>

A

【設(shè)計意圖】通過對折紙片的現(xiàn)實操作與幾何語言的提煉，引出等腰三角形的定義，讓學(xué)生體會到“抽

象概念源自實際操作”的過程，使定義的形成更加直觀易懂。

探究點2：等腰三角形的性質(zhì)-——等邊對等角

?問題引入

在等腰三角形48C中，A13=AC,那么哪兩個角相等？該怎樣證明？

A

在△A3。和△AC。中，

AB=AC,

BD=CD,

(AD=AD,

/.絲A4CD(SSS).

，NB=NC.

證明2：作邊8。的高線人。，

則NAOB=NAOC=90°.

在Rt/\ABD和RtAACD中,

AB=AC,

.AD=AD,

：.RtAABDgRt^ACD(HL).

???NB=/C.

證明3：作N8AC的平分線A。，則N84O=NCAO.

在△A4￡)和△C4Q中，

AB=AC,

Z.BAD=Z.CAD,

(AD=AD,

???△84。g△CAD(SAS).

JNB=NC.

證明4：如圖，在△48C中，AB=AC,沿NBAC

的平分線把△A3。翻折.

ZBAD=ZCAD,

???A8落在射線AC上.

\'AB=AC,

???點8與點C重合，

從而△A3。與△ACO重合.

???NB=NC.

?新知導(dǎo)出

等腰三角形的性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

符號語言：在三角形/BC中，若48=4。，則48=4。（等邊對等角）。

?補充概念：

等腰三角形中兩個相等的角叫作底角。

A

底焦/^底角

B^-------

【設(shè)計意圖】通過多種方法證明同一性質(zhì)，讓學(xué)生體驗幾何探究方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理

與綜合運用能力。同時借助對稱思想，激發(fā)學(xué)生從多角度思考幾何問題的意識。

探究點3：等腰三角形的性質(zhì)二——“三線合一”

?問題引入

由以上證明過程，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

由以上證明可得，

△ABDW4ACD,

：.ZBAD=ZCAD,

即AD是△48。的角平分線.

，NADB=ZADC,

?.?/4OB+NAOC=180°,

：.ZADB=ZADC=90°.

：.AD1BC,即八。是△ABC的高.

“在等腰三角形力8C中，AB=AC,為什么底邊上的高線、中線和頂角平分線會重合？它們能洽我們解

決哪些問題提供便擾？”

?新知導(dǎo)出

等腰三角形的性質(zhì)定理2：等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（即“三線合一”）。

符號語言：在△ABC中，AB=AC.

（\y：ADLBC,，八。平分/胡（7,且8。=。￡）；

（2y：BD=CD,???A。平分NBA。，且AQ_L8C；

（3）TA￡）平分N5AC,；.BD=CD,且人OJLBC.

該結(jié)論可從前面全等三角形的推導(dǎo)中得到：AD既是高，又是中線，還是角平分線。

應(yīng)用“三線合一''時需滿足：先確定三角形是等腰三角形；再確認(rèn)這條線已是其中的一種線（高線、中

線或頂角平分線）即可推知其余性質(zhì).

【設(shè)計意圖】學(xué)生在學(xué)習(xí)“等邊對等角“后，自然過渡到“三線合一”，進(jìn)一步感受到等腰三角形具有較

強的對稱性與簡潔性，提高對幾何問題的整體把握能力。

典例分析

例1如圖，在△48C中，A8=/4C,點D在BC上，且4。=82求證：Z.ADB=Z.BAC.

:.ZB=NC,N8八。=/8（等邊對等角）

：.ZC=ZBAD.

■:NAOB是△AOC的外角，

/.NADB=ZC+ZCAD.

：.ZADB=N84O+ZCAD.

：.NADB=NBAC

變式如圖，在△ABC中，點。在8c上，AD=BD,AB=AC=CD,求N8AC的度數(shù)。

?；AD=BD,

:,NBAD=/B=x°.

：.ZADC=ZBAD+ZB=(2xY.

,/DC=AC,

：.ZDAC=ZADC=(2x)°.

,：AB=AC,

.\ZC=ZB=x°.

???NC+N￡)AC+NAOC=18(r,

.??x+2x+2r=180.

：.x=36,即NB=36°.

???N64C=180°—36°—36°=108°.

例2已知點°、E在AAB。的邊BC上，AB=AC.

(1)如圖①，若/O=71E,求證：BD=CE：

(2)如圖②，若BD=CE,且F為DE的中點，求證：AFLBC.

證明：（1）如圖①，過4作AG_LBC于G.

?：AB=AC,AD=AE,

:?BG=CG,DG=EG,

：.BG-DG=CG-EG,

:.BD=CE.

(2)???/為。E的中點，

:?DF=EF.

":BD=CE,

；.BD+DF=CE+EF,

：,BF=CF.

\'AB=AC,

：.AF±BC.

嘗試交流：

如圖，已知線段a和八，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形48C,使底邊BC=a,高4D=歸

?作法

1.作線段8C=〃.

2.作線段8C的垂直平分線MMMN交BC于點、D.

3.在MN上截取線段D4,使AD=h.

4.連接AB、AC.

△ABC就是所求作的等腰三角形.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生親自動手操作，把握“線段垂直平分線''與'等腰三角形高線”的關(guān)系，進(jìn)而強化對

“三線合一”性質(zhì)的理解與應(yīng)用：并將抽象幾何知識遷移到作圖實踐，培養(yǎng)空間想象和動手能力。

【整體設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)通過對課本中典型例題的再次探究和延伸，幫助學(xué)生在掌握等腰三角形基本

性質(zhì)的同時，進(jìn)一步提升思維深度。通過變式訓(xùn)練和綜合應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與靈活解題思

路。

鞏固練習(xí)

1.在△ABC中，AB=AC.

(1)如果有一個角等于120°,那么/A=°,NB=—°,ZC=

(2)如果有一個角等于50°,那么另兩個角分別等于多少度？

解：如果有一個角等于50°,有以下兩種情況：

①當(dāng)NA=50°時，ZB=ZC=1(180°-NA)=#1800-50°)=65°

②當(dāng)N3=50。時，NC=N6=50。，

/人=180°—(N8+NC)=180°—(50°+50°)=80°.

2.如圖的房屋人字梁架中，AB=AC,BD=DC,ZBAC=l\O0,

(1)求N3、NC、Nl、N2的度數(shù)；

⑵求證:ADLBC.

解：⑴??F8=AC,BD=DC,

r.zi=Z2=21z^c.

VZB/lC=110o,

/.Z1=Z2=55°.

(2)證明：yAB=AC,BD=DC,

???ADLBC.

3.如圖，AB=AD,CB=CD,連接AC,8D求證：ACA.BD.

證明：\'AB=AD,CB=CD,

J點八、。在BO的垂直平分線上.

:.AC垂直平分8Q,

，ACLBD.

4.已知：如圖，在△48C中，AB=AC,。是8c的中點，DELAB,DFLAC,垂足分別是

E,FO求證：DE=DF.

證明：連接AD.

VAB=AC,。是8C的中點，

；?AO平分NR4C.

DEVAB,DF±AC,

：.DE=DF.

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)通過“新知鞏固”題目，讓學(xué)生在基礎(chǔ)知識、基本方法層面牢固掌握等腰三角形的

性質(zhì)、公理與推理論證手段，并熟練運用“三線合一”、”等邊對等角”等關(guān)鍵結(jié)論。

課堂小結(jié)

1.認(rèn)識等腰三角形：通過剪紙引入，了解等腰三角形的定義與特點（兩腰相等、兩底角相等）。

2.等腰三角形性質(zhì)一（”等邊對等角“）：在等腰三角形中，相等的邊所對的角相等。

3.等腰三角形性質(zhì)二（“三線合一”）：在等腰三角形中，頂角對應(yīng)的高線、中線、角平分線三線