專題15.3等腰三角形中的幾何綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在.剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進(jìn)行探索的思維方式，比如止向思維無法解決問題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采

用間接證明。

?知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、等腰三角形

1.定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

2.等腰三角形性質(zhì)：

①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，口】“等邊對(duì)等角”：

②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合(簡稱“三線合一”).特別地，等腰直

角三角形的每個(gè)底角都等于45°.

3.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(即“等幫對(duì)等邊“).

?典例分析

【典例1】在RtaA8C中，乙4c8=90。，AC=BC.點(diǎn)。為△48C內(nèi)部一點(diǎn)，連接CD,AD,BD.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若40=4。，CD=8,求點(diǎn)B到直線CO的距離;

(2)如圖2,以C。為直角邊作等腰直角△CDE,DE=DC,線段EC,40交于點(diǎn)F,若乙DCB=UBD,求

訐：AF=DF：

(3)如圖3,點(diǎn)Q在45邊上，且點(diǎn)M為直線4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MQ,過點(diǎn)Q作扭Q1MQ,且

滿足NQ=MQ,連接BN,當(dāng)8N最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出ZCMQ的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)過點(diǎn)力作4H1CD于H,過點(diǎn)B作8G1CD于G,可證得△/1CH三/iCBG(AAS),得出BG=CH,再由等

腰三角形性質(zhì)可得CH=3。。=4；

(2)延箕BD交CE于點(diǎn)、L,過點(diǎn)A作AS1。后于點(diǎn)5,可證得△ACS三△C8乙(AA5),進(jìn)而曠證

DFL(AAS),即可證得結(jié)論；

(3)作點(diǎn)C關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)P,連接AP、CP,CP交于點(diǎn)。，過點(diǎn)Q作QW_L/8交AC的延長線于點(diǎn)W,

連接AN,可證得△QWM三△QHN(SAS),得出NQAN=4皿=45。，即點(diǎn)N在直線4P上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)且僅當(dāng)8N1

力P時(shí)，BN最短,即點(diǎn)N與點(diǎn)P重合，作點(diǎn)C關(guān)于48的對(duì)稱點(diǎn)P,連接CQ,則QP=QC,即QN=QC,再利

用等腰三角形性質(zhì)即可求得答案.

【解題過程】

(1)解：過點(diǎn)4作AH1CD于H,過點(diǎn)8作BGJLCD于G,如圖1,

貝此4//C=乙CGB=90°,

圖1

???ZLACH+Z.CAH=90°,

v￡ACH+乙BCG=乙ACB=90°,

A￡CAH=乙BCG,

在和^CBG中，

Z-AHC=Z-CGB

乙CAH=乙BCG，

AC=BC

:心ACH三△CBG(AAS),

:.BG=CH,

?：AD=AC,AH1CD,

：.CH=DH=3CD=4,

???BG=4,

即點(diǎn)8到直線CD的距離為4；

(2)證明：延長8D交CE于點(diǎn)3過點(diǎn)A作AS1CE于點(diǎn)S,

C

圖2

則乙1SC=90°,

???△CDE是等腰直角三角形，DE=DC,

Z.DCE=乙DEC=45%

v/.ABD+乙CBD=LABC=45°,乙DCB=/-ABD,

Z.DCB+乙CBD=45°,

AZ.DCB+乙CBD+乙DCE=90°,

:?乙BLC=180°-90°=90°,

:.Z.ASC=乙BLC,

ALACS+LCAS=90°,

???AACS+/.BCL=/.ACB=90°,

???Z.CAS=乙BCL,

在AACS和△CBM,

LASC=￡.BLC

Z.CAS=Z-BCL>

AC=BC

.??△4CS三△CBL(AAS),

AS-CLt

v乙DCE=45°,Z.CLD=90°,

:.Z.CDL=90°-45°=45°=乙DCE,

???CL=DL,

???AS=DL,

在zMFS和ADFL中,

Z-ASF=Z-DLF=90°

Z.AFS=DFL

AS=DL

三△DFL(AAS),

AF=DF；

(3)解：如圖3,作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P,連接4P、CP,CP交AB于點(diǎn)0,過點(diǎn)Q作QW1AB交AC的延長

線于點(diǎn)W，連接AN,

則心力Q〃=90°,Z-BAP=/,BAC,

?:乙ACB=90。，AC=BC,

:.Z.BAC=45°,

:.ZIV=90°-45°=45°=/.BAC,

QA=QW,

vNQ1MQ,且滿足NQ=MQ,

???Z.AQM+LMQW=Z-AQM+乙NQA=90°,

AZ.MQW=乙NQA,

在和AQAN中，

(QW=QA

△MQW=Z.NQA,

(QM=QN

QWM=△QAN(SAS),

乙QAN=Z-W=45°,

即點(diǎn)N在直線8P上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)且僅當(dāng)BN_LAP時(shí)，BN最短,即點(diǎn)N與點(diǎn)P重合,

如圖4,連接CQ,

c

則QP=QC,即QN=QC,

vQM=QN,

:.QC=QM,

-AQ=AC,

???Z.ACQ=Z.AQC=-(180°-45°)=67.5°,

vQM=QC,

???Z.CMQ=Z.ACQ=67.5°.

/、

?學(xué)霸必刷

I.（23-24八年級(jí)上.黑龍江齊齊哈爾?期中）如圖，△/8。是等腰三角形048=4。*8。），在A4BC所在平

面內(nèi)有一點(diǎn)P，且使得AABP,A.4CP,aBCP均為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）

B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2.（23-24八年級(jí)上?河南周口?期末）如圖，2LCAB=￡.DAE=36°,△4DE和△4BC均為等腰三角形，其中

AB=AC,AD=AE.連接BE■井延長交4C,AD于點(diǎn)F,G,連接CD.若8E平分NA8C,則下列選項(xiàng)中不正

確的是（）

D

E

AB

A.Z-DAC=Z.EABB.CDWABC.AF=CFD.AF=BF

3.（2024八年級(jí).全國.競賽）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC,點(diǎn)”為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)。為8。

延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為A8延長線上一點(diǎn),E廣與BC相交于點(diǎn)G,如果〃8C=2LD,LCAD=LBAC,BE=CF,

那么下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（）

(1)EG=FG,(2)AD=AB-iBC,(3)乙E=^D,(4)點(diǎn)G到A3,AC的距離之和為定值.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.（23-24八年級(jí)上.福建南平?期中）如圖，等腰直角三角形力BC中，ABAC=90°,。、E分別為48、AC邊

上點(diǎn)，AD=AE,AF工BE交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作FG1CD交BE的延長線于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)也；以下五個(gè)

結(jié)論：?^ADC=^AEB；②〃EG=zCDB；③AEGM是等腰三角形；④BG=A尸+FG；恒成立的結(jié)論有

C.②③④D.①②④

5.（23-24八年級(jí)上?山東荷澤?期中）問題背景：已知，在AABC中，AB=AC,如果過某一頂點(diǎn)的直線可

以將Az48c分割成兩個(gè)等腰三角形，求4A的大小.

某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的成員在自主探究后得出如卜結(jié)果：①乙4=36。，②44=90°,③〃=108°,④乙4=早,

你認(rèn)為其中正確的結(jié)果有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

6.（23-24八年級(jí)上?北京海淀?期中）如下圖，在等腰A4BC中，乙4=90。,8。平分乙4BC,BE平分乙DBC,M、N

分別為射線BE、8c上的動(dòng)點(diǎn)，若80=10,則CM+MN的最小值為.

A

D

E

7.（2024?四川達(dá)州?一模）如圖，AABC和都是等腰直角三角形,乙BAC=cCEF=90。，點(diǎn)E在AC邊

上.將ACE尸繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)成0。＜。V180。），旋轉(zhuǎn)過程中，直線EF分別與直線4C,BC交于點(diǎn)、M,N,

8.（23-24八年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，ZiABC三△48'C',LABC=90°,乙4=27。（0。＜乙48AW

54。），4C'與AC交于點(diǎn)F,與力B交于點(diǎn)E,連接8口當(dāng)△BEr為等腰三角形時(shí)，々1B4'的度數(shù)為.

9.⑵-24八年級(jí)上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期末）如圖,在^ABC中,乙48c=45°,CD1AB于點(diǎn)D,BE平分乙48C,

且BEJ.AC于點(diǎn)E,與CD相交于點(diǎn)F,"是BC邊的中點(diǎn)，連接OH與8E相交于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①8F=AC；

②2AE=8F；③S四邊形.DGE=S四邊形CGE；④△DGF、△力8c都是等腰三角形.其中正確的是.

10.（23-24七年級(jí)下?上海浦東新?期末）如圖,△8。0和△C4E是等腰三角形且2氏4。=Z.CAE=90°,AF1

CB,垂足為F.

c

(1)試說明乙4BF=的理由

(2)猜想CF和CE的位置關(guān)系，并說明理由;

(3)試說明：CD=2BF+DE.

11.(23-24八年級(jí)上?湖北鄂州?期末)問題情境：

定義：如果兩個(gè)等腰三角形的頂角互補(bǔ)，頂角的頂點(diǎn)乂是同一個(gè)點(diǎn)，而且這兩個(gè)等腰三角形的腰也分別相

等，則稱這兩個(gè)三角形互為“頂補(bǔ)等腰三角形”.

特例證明：

(1)如圖I,若AABC與A4DE互為“頂補(bǔ)等腰三角形”.ABAC>90°,AM1BC于M,AN1ED于N,求證:

NE=AM；

拓展運(yùn)用：

(2)如圖2,在四邊形力BC。中，AD=ABtCD=BC,=90°,乙4=60。，在四邊形ABCD的內(nèi)部是否

存在點(diǎn)P，使得△P4B與△0以；互為”頂補(bǔ)等腰三角形”？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12.（23-24八年級(jí)上?北京海淀?期中）在等腰△48C中，48=AC,點(diǎn)。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與

點(diǎn)、B,。重合），連接4D,作等腰△40E,使40=4E,=點(diǎn)。，E在直線4C兩旁，連接CE.

備用圖

（1）如圖1,當(dāng)/BAC=90。時(shí)，判斷BC與CE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,當(dāng)＜90。時(shí)，過點(diǎn)4作4F1CE于點(diǎn)孔請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形，用等式表示線段

BD,CD,2EF之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

13.(23-24八年級(jí)上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末)(1)問題發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共

的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，我們把具有這種規(guī)律的圖形稱

為“手拉手”圖形，如圖1,△力和△/IDE是頂角相等的等腰三帶形，^AB=AC,AD=AE,且乙8AC=

乙DAE,分別連接8D,CE.求證：BD=CE；

(2)類比探究：如圖2,△ABC^\LAOE都是等腰三角形，即88=AC,AD=AE,且4BHC=LDAE=90°,

B,C,。在同一條直線上.請(qǐng)判斷線段80與CE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并說明理由.

(3)問題解決：如圖3,若△力或和^OCE均為等腰更角二角形，且CA=CB,CD=CE,乙ACB=乙DCE=90°,

點(diǎn)4D,E在同一條直線上，CM為ADCE中DE邊上的高，連接BE,若AE=7,BE=2,請(qǐng)直接寫出四邊

形4BEC的面積.

14.(23-24八年級(jí)下?廣東深圳?階段練習(xí))如圖①，在A/IBC中，延長力C到。，使CD=4B,E是4。上方

一點(diǎn)，且=乙BCE=Z-D

圖①

(1)求證：ABCE是等腰三角形:

(2)如圖①，若44cB=90。，將DE沿直線CD翻折得至連接BE'和CE',BE'與CE交于F,若BE'IIED,

求證：F是8。的中點(diǎn)；

(3)在如圖②，若乙4cB=90°,AC=BC,連接BE'交CE于F,交。。于G.若AC=a,AB=b(b>a>0),

求線段CG的長度.

15.（23-24七年級(jí)下?遼寧遼陽?期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們利用全等三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)以力8和4C為

腰的等腰「角形4BC,從特殊情形到一般情形進(jìn)行如下探究：

【獨(dú)立思考】（1）如圖\,^BAC=60。，即△ABC為等邊三角形分別是BC,力C上的點(diǎn)，且AE=CD.

①求證：AD=BE；

②求44FB的度數(shù)；

【實(shí)踐探究】（2）如圖2,在等腰△A8C中，48月C=90。，點(diǎn)。是8c上的點(diǎn)，過點(diǎn)B作8E1/.D于點(diǎn)￡若

CD=AC,猜想線段3E和AO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【問題拓展】（3）如圖3,在等腰△力8c中，LBAC=80°,。，E分別是BC,AC上的點(diǎn)，且HE=CD,當(dāng)

40+BE的值最小時(shí)，求41DC的度數(shù).

16.(23-24八年級(jí)上?山東濰坊?期中)如圖，C為線段力B上一點(diǎn)，分別以AC,8C為底邊，在48的同側(cè)作

等腰△/(?￡)和等腰ABCE,且=在線段EC上取一點(diǎn)F,使EF=4D,連接B凡DE.

圖1

(1)如圖1，判斷DE與8r的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)如圖2,若乙力=%延長BF交CE于點(diǎn)G,探究NBGE與4GBC的關(guān)系，并說明理由.

17.(23-24八年級(jí)上?湖北武漢?期中)如圖1,在等腰RtaABC中，ZC=90°,AC=BC,力。是△ABC的

角平分線.

圖1圖2圖3

(1)直接寫出N4DC的大??；

(2)求證：AC+CD=AB-,

(3)E在BC上,過點(diǎn)E作4D垂線，垂足為點(diǎn)G,延長EG交4c的延長線于點(diǎn)E

①如圖2,若E是80的中點(diǎn)，求證：BD=2CF；

②如圖3,若E是8c的中點(diǎn)，直接寫出三條線段48,BD,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

18.（23-24八年級(jí)上.福建泉州?階段練習(xí)）如圖1,△力為等腰三角形，AABC=90°,點(diǎn)P在射線BC上

（不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合），以4戶為腰長作等