第1課時(shí)用空間向量研究距離問題

一、選擇題

1.已知A(0,02).8(1,0,2),0(020)廁點(diǎn)A到直線BC的距離為()

A2V2

B.IC.V2D.2V2

2.已知點(diǎn)A(l,0,0)1(0,1,0),C(0,0,2),尸那么過(guò)點(diǎn)尸且平行于平面A8C的平面與平面ABC的距離

是)

A.V2B與c?|

3.己知平面a的一個(gè)法向量為〃=(-2,-2,1),點(diǎn)A(x,3,0)在平面a內(nèi)，若點(diǎn)P(-21,4)到平面a的距離則

x=)

A.-1B.11C.-1或-11D.9或?21

4如圖，在四棱錐P-ABCD中,P8_L平面A8CO,ABJ_8cp8=A8=28C=2,則點(diǎn)C到直線PA的距離為

)

A.V3B.V5C.V2D.2

5.在三棱錐P-ABC中,PA/反PC兩兩垂直，且P4=P8=PL1,則點(diǎn)P到平面ABC的距離是()

ARB號(hào)

A?不4喈

6.如圖，在直三棱柱ABC-A^Ci中,NA8C=],。是棱AC的中點(diǎn)，且A8=8C二班產(chǎn)1,則直線A&到平面

8Go的距離為()

ATB-TC.

7.如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為4,MME,E分別為4。AB6GBG的中點(diǎn)，則平面

AMN與平面EFBD的距離為()

A.2B.4琮

8.（多選題汝口圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CD-A陽(yáng)G。中產(chǎn)是棱AB上一動(dòng)點(diǎn)，則P到平面4G。的距

離可能是（）

.存

ATB.V3

9.（多選題）已知正方體A8CD-ABGC的棱長(zhǎng)為1。是4G的中點(diǎn),P在正方體內(nèi)部且滿足

而三而+；而+,而測(cè)下列說(shuō)法正確的是（）

A.Q|=萼B.點(diǎn)0到平面ABC^的距離是乎

JL4乙

C.平面A/。與平面BiCDi的距離為千D.點(diǎn)P到直線AB的距離為）

J6

二、填空題

1（）.如圖，在四棱錐P-ABCD中,ACnBO=O,底面ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2,NABC=6（）\POJ_平面A8CO,異

面直線8P與CO所成的角為60。,若E為線段OC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線BP的距離為.

11.如圖，在直三棱柱ABCABC中,所有棱長(zhǎng)均為2,E/分別是A8CG的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面4E廠的

距離為

12.在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA_L底面ABCD,BC〃AD,/

■△。二90。,幺=/\8=8。=2,4。=1,則直線AO至IJ平面P8C的距離為.

三、解答題

13.如圖，四棱錐P-AI3CD的底面是矩形,PO_L底面人灰為,。=。01,“為灰?的中點(diǎn)，且PBLAM.

⑴求8c的長(zhǎng)；

(2)求點(diǎn)B到平面PAM的距離.

14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱心J_底面ABCD,AB=如,BC=1,PA=2,E為PD

的中點(diǎn).

(1)求異面直線AC與刊?的距離；

(2)在側(cè)面PA8內(nèi)(包括邊界)找一點(diǎn)N,使NE_L平面P4C,并求出點(diǎn)N到直線48和42的距離.

An

15.如圖，正四棱柱A5CD-A出CQi的底面邊長(zhǎng)為2.3G與底面A8C。所成角的正切值為2,M是。A的

中點(diǎn)、,N是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)麗=AD§(0<；.<1).

⑴當(dāng)7=孑寸，證明:MN與平面48G。平行;

(2)若點(diǎn)N到平面8cM的距離為a試用2表示d,并求出d的取值范圍.

DiCi

答案

1.A［解析］連接48,：Z(0,0,2),8(1,0,2),C(0,2,0),?：近=(1,0,0),前=(-1,2,-2),?：點(diǎn)A到直線BA的距離

6/=|A§|J1-COS2<AB^BC>=】xjl-島)，苧.故選A.

2.C［解析］連接AP,因?yàn)辄c(diǎn)A(1,O0),B(0,1,0),C(002),P(l,-L0),所以而二(-1,1.0)J?=(-1.0,2),而=(0,-1,0).設(shè)

平面ABC的法向量為〃=(xj,z),貝!像;二:唧｛::工為，令E，得產(chǎn)1后則片(1,1$,所以過(guò)點(diǎn)P且

平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離介吟W，故選C.

回3

3.CI解析］由題意可=(1+2,2,-4),所以以喀匕名即筆翳邛，解得x=＞或戶-11.故選C.

|H|3V4+4+13

4.A［解析］因?yàn)镻3_L平面4/3CDA8U平面AACDBCu平面A6CO,所以PBLABFB工BC,又/W_L8c，所以

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bx.vz,則C(1,0,0),A(0,2,0),P(0,0,2),所以麗=(10,-

2)西=。2「2),即正屆=4.正在直線PA上的投影向量的長(zhǎng)度為埸壹焉=逐故點(diǎn)。到直線PA的距離為

\PA\2V2

Ji正『-(魚)2=機(jī).故選A.

”…沙

5.D［解析］以P為原點(diǎn)，尸A,P8,PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

P(0A0)4(l,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),所以刀=(1,0,0),荏=(-1,1,0),元=(-1,0,1).設(shè)平面A5C的法向量為”(x,y,z),

則「絲=°，即產(chǎn):'令尸1,得平面.C的一個(gè)法向量為〃=(1,1」),所以點(diǎn)P到平面AEC的距離

In/lC=0,k~x+z=0,

^_|PX-n|_V3

/P

6.A［解析］以B為原點(diǎn),BC,BA,8Bi所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

8(0,0,0),。1(1,01),。G金,0)4(0/,0),(0,0,1),所以跖二(1,0,1),前二&：,0)鬲二(0「1,1).設(shè)平面垢0的法

x+z=0,,

向量為〃=(x,y,z),則即11令x=l,則〃因?yàn)锳8"『0xl+(-l)x(/)+lx(-l)=0,

n=0,/十］y—u,

所以麗_L〃,又AZ?此平面"G2所以A3〃平面“GD設(shè)直線A0到平面〃G。的距離為&因?yàn)槿f(wàn)彳=(0,1,0),

所以公里嘰殍金所以直線AB到平面BGD的距離為第.

|n|?333

7.C［解析］如圖所示，以。為原點(diǎn)QAQC,。。所在直線分別為x軸、)，軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系廁

4(4,O,O),M(2,O,4)I(4,4,O),￡：(O,2,4)F(2,4,4),M4,2,4),.：EF=(2,2,0),麗=(2,2,0).俞=(-2,0,4),而=(-2.0,4),,：

跟=而而=而，「正尸〃MN&M〃BF.7EFU平面AMMMNu平面AMN,8尸C平面AMN<Mu平面AMN7.

EF〃平面AMMBF〃平面4MM又E/S"二￡.：平面4MN〃平面設(shè)平面AMN的法向量為〃=(x?,z),

則pr竺=2%+2y=0,取則〃二(2,-2」).：?通=(0,40),.：平面AMM與平面EFBD的距離

jiAM=-2x4-4z=0,

,|n<4B|_8_g

~~jn1~-V4+4+1~3?

8.BC［解析］如圖，以O(shè)i為坐標(biāo)原點(diǎn)，以取7，酩*,瓦方的方向分別為x軸、)，軸、z軸的正方向，建立空間

直角坐標(biāo)系，則4(2,0,0),8(222),"0,0,2),C(020),故宿=(-2,2,0),布=(-2,0,2),設(shè)尸(222)(國(guó)32),平面

72\4IG--2x+2y=0,

AC。的法向量為〃=(x4z),則取JT=1,則〃=(11,1),又布=((M,2),所以P到平面

n-A1D=-2x+2z=0,

4C。的距離仁等二等.因?yàn)?寸￡2,所以痣殍，用.故選BC.

9.ACD［解析］以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直?角坐標(biāo)系，則

4(),(),0),8(1,0,()),/)((),1,0)/1(0,0,1),G(11,I)4((),1,1),因?yàn)槎?：而+：訊,所以而*所以

423\423/

I而1=J,+W等,故選項(xiàng)A正確;因?yàn)榫┤?=(彳,彳,0),而平面ABGA的一個(gè)法向量為

西二(0,-1,1),所以點(diǎn)O到平面ABC\Dx的距離〃產(chǎn)也祟0=+=半做選項(xiàng)B錯(cuò)誤;幣=(1,0,-1),所方=(0,1,-

1),百可=(0』,0),設(shè)平面A［8￡＞的法向量為z),則『±2一即匕：二，令2=1,510產(chǎn)1.=1,故?=(1,1,

(n/i。=0,(y-z-u,

所以點(diǎn)D,到平面MBD的距離公當(dāng)包苓哼因?yàn)槠矫?網(wǎng))〃平面%S,所以平面A由。與平面

的距離等于點(diǎn)功到平面AWD的距離，故平面48。與平面BiCD)的距離為￡故選項(xiàng)C正確;因?yàn)?/p>

而［而+3而+|甌:所以Q=G3，。又布=(1,0,0),所以等W所以點(diǎn)P到直線4B的距離

10§［解析］連接6旦以。為坐標(biāo)原點(diǎn)晌量而，沅，麗的方向分別為x》z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

：工8〃。。,」/尸84為異面直線PB與C。所成的角，即/P8A=60。.在菱形A8CO中,48=2,N4BC=60。,」

。4=1,08=6.設(shè)P0=a,則PA=7心+LBPZa?+3.在△P8A中，由PA2=BA2+BP2-2BABPCOSAPBAM

q2+i=4+/+3-2x2xV^TIxa可得。=n,?：8(g.0,0),尸(0.0,遍),《0，,0),?：麗二(-6,,0),麗=(-75,0,遍),

ll.y［解析］如圖，取4囪的中點(diǎn)G,連接EG,則EG〃A4i,則EG_L平面A8C.連接EC,由已知可得CE1.

4凡4七=1,以=75.以點(diǎn)￡為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以七。,￡4,僚7所在直線為0/軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，則￡(00,0)/(0,1,0),Ai(0,1,2),C(75,0,0)內(nèi)6,0,1)以0,?1,0),所以西二(0,1,2)而二(值0,1)麗=(0,-1,0).設(shè)

〃=(xj,z)是平面4環(huán)的法向量，則［竺M=y_+2z='取戶1,可得z=-6?，=2g,所以〃=(1,2百,-V5)是

(EFn=V3x+z=0,

平面4E尸的一個(gè)法向量,所以點(diǎn)8到平面4￡F的距離小噂、同回等.

|n|小2+(2a2M一百)22

12.您［解析］直線AD到平面PBC的距離等于點(diǎn)A到平面VBC的距離，由已知可得八〃/幾”兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)工員4。,4。所在宜線分別為工軸、)，軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則

40,0,0),8(2,0,0),。(220),尸(。,0,2),所以方二(2,0「2),瓦?:(0,2,0).設(shè)平面PBC的法向量為〃二伍力?，則

九?竺=2a-2c=0,取”［得〃=(|,0.1),乂而=(2,0.0),所以點(diǎn)A到平面PBC的距離公巫嘰魚.

{nBC=2b=0,同

13.解:⑴:PD_L平面A8CQ,四邊形A8CO為矩形，?：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)QAQCQP所在直線分別為xj,z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

設(shè)BC=2aMZX0,0,0),P(0,0』),B(3,l,0),M(a,l,0)4(勿,0,0),

,i

則方二(2〃』1),府=(七』,0),VPBlAMt..PBAM=-2a+1=0,可得a聾,

故BC=2a=y/2.

⑵設(shè)平面P4M的法向量為〃尸(xijg),：?=(-y,1,0),AP=(-i/2,0,1),.：加.竺=+'i=。，取

m-AP=+Zj=0,

xi=V2,r?Jt#m=(V2,l,2),

又標(biāo)二(0,1,0),.：點(diǎn)8到平面RAM的距離公甯1苓哼

14.解:⑴由題意得/WJ_ADE4_UO,P4J_A8.

以A為原點(diǎn)工8所在直線為x軸工。所在直線為)，軸,AP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則40,0,0),。(6,1,0),尸(0。2),8(>/10,0),?：元=(75,1,0),而=(6。-2),而=(0,0,2).設(shè)異面直線4。,尸8的公垂

線的方向向量為〃=(x?z),則卜_iLT/r即