第二章函數(shù)（高效培優(yōu)單元測試?強化卷）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第一部分（選擇題共58分）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。）

1.張大爺種植了10畝小麥，每畝施肥x千克，小麥總產(chǎn)量為y千克，則（）

A.X,之間有依賴關(guān)系B.x,y之間有函數(shù)關(guān)系

C.y是x的函數(shù)D.x是y的函數(shù)

【答案】A

【分析】影響小麥產(chǎn)量的因素有種子、施肥量、水、日照時間等，可判斷得答案.

【詳解】小麥的總產(chǎn)量與種子、施肥量、水、日照時間等因素有相關(guān)關(guān)系，但不一定是函數(shù)關(guān)系.

故選:A.

2.如圖是函數(shù)y=/（x）的圖象，則函數(shù)/（“）的單調(diào)遞增區(qū)間為｛）

A.(-2,0)B.(-2,0)U(2,~hx))

C.(2,+e)D.(-2,0)和(2,依)

【答案】D

【詳解】結(jié)合f(x)的圖象可得人之)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一2,0)和(2,4冷).故選C.

3.已知/(4+1)=X+2,則函數(shù)/(x)的解析式為()

A.f(x)=x2B./(x)=x2+1(x>\)

C./(x)=x2-2x+2(x>l)D./(x)=f-2x+3(x>l)

【答案】D

【分析】令石+l=f（/Nl）,采用換元法求函數(shù)的解析式.

【詳解】令4+1=巾21),則x=(-l)2,

.,./(r)=(r-l)2+2=r2-2r+3,所以/(4)=/-2￥+3(1之1).

故選：D.

4?函數(shù)尸言的圖象大致是()

【答案】A

【分析】應用奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，結(jié)合x>0的函數(shù)符號，應用排除法即可得.

—2%2x

【詳解】令y=/(幻且定義域為R，f(-x)=--2—7=—T—=-/(x),即)，=/.")為奇函數(shù)，排除c、

(-x)+1x+1

D：當x>0時，y=>0恒成立排除B.

+1

故選:A

5.已知函數(shù)丁=/(幻的定義域為[-5,3],則函數(shù)),=△￡?的定義域為()

x+1

A.[-6,-1)0(-1,2]B.[-4,-1)5-1,4]

C.M,4]D.[-5,-l)5T3]

【答案】B

【分析】先求出/(x-1)的定義域，再結(jié)合x+IwO,從而可求解.

【詳解】由函數(shù)y=/(X)的定義域為[-5,域,

/(x-l)有意義，則得一5KX-1K3,解得TWXW4,

y="上I)有意義,需滿足-4WxW4且x+1*0,即-44x?4H.*w-l,

x+1

所以函數(shù)y=的定義域為[y-i)5T4].

故選：B.

6.函數(shù)一2大的值域為()

(51(71/ri(15

A.IB.1-8，-1C.(-oo,-2]D.I-Y

【答案】D

【分析】換元法，令得至1]),=一21-'丫-",從而得到函數(shù)值域一

I4；8

【詳解】令V^T=/NO,則x=/+1,

1215

4；8

故當f=!時，/("=一2(/-，[-”取得最大值，最大值為-1，

4八，(4J88

所以/(x)二&二T一2x的值域為卜際-.

故選：D

7./。)的定義域為(0,+8),滿足2/3)-/(1)=2x+l,則/(%)的最小值為()

A.J逑B」+拽C.3D,也

3333

【答案】A

【分析】建立方程組求出八幻的解析式，再利用基本不等式求出最小值.

【詳解】由2/(*)-/d)=2.r+l,得2/(3—/(X)=2+1,聯(lián)立消去〃,)，得/(X)=](2X+3+1,

xxxx3x

而工>0,貝4/。)=2(2,1+,)+122.2^7^+1=逑+1,

3.i3Yx3

當且僅當2x=,，即x=立時取等號，

x2

所以當X=變時，八制取得最小值1+±巨.

23

故選：A

8.若定義在R上的奇函數(shù)/(幻，對白,/￡(-<?,0),且x戶占有以土匕9>°,且八2)=0,則滿足

*2-玉

4(X7)之。的X的取值范圍是()

A.|-U1U[3,4OO)B.[T0]3L3]C.l-l,0]u[l,+oo)D.[-3,-l]|J[0Jl

【答案】B

【分析】利用函數(shù)/")的奇偶性和在(-8,0)上的單調(diào)性，判斷函數(shù)/(X)在R上的單調(diào)性，從而得到函數(shù)

/(上)的正負，分x>0、x=0、x<0三種情況討論，得到使得A/(x—1)20成立的X的取值范圍.

【詳解】因為對",赴￡(<，°)，且內(nèi)工1有/(*)："*)>0,所以/(x)在(F,0)上單調(diào)遞減，

X2~X]

因為/(幻是奇函數(shù)，所以“X)在(0,+8)上也單調(diào)遞減，且/(-2)=-〃2)=0,

所以當x?-2,0)U(2,”)時，/(x)<0,當X?YO,—2)U(0,2)時，/(x)>0,當x=0時，/(x)=0,

①當x>0時，要使得91—1)20,則要求1)20,所以OMx—1K2,解得14x43；

②當x=0時，MXx-1)=0符合；

③當xvO時，要使得MXx—l)N0,則要求/。-1居0,所以一2。-叱0,解得一l<x<0；

綜上，x的取值范圍是[-1，()]=[1，引，

故選:B.

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.)

9.下列四組函數(shù)中，表示不同函數(shù)的是()

2

A./(x)=^—g(x)=x-lB./(x)=x2-l,g(/)="一]

c.=g(x)=(6「D./(x)=Jx+1Jx-1,g(x)=\lx2-｝

【答案】ACD

【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義分別判斷即可.

【詳解】兩個函數(shù)在定義域及對應關(guān)系相同時是同一個函數(shù)，

對于A,顯然/(x)的定義域為｛4-0｝,與g(x)的定義域為R,定義域不同，即A選項兩函數(shù)不同；

對干B,顯然/(x)與g。)的定義域相同，對應關(guān)系也相同，即B選項兩函數(shù)相同；

對于C,顯然/(x)的定義域為R,與g(x)的定義域為｛乂M。｝,定義域不同，即C選項兩函數(shù)不同：

對干D,顯然.：[；；：=心1,即/(力的定義域為｛小訓，

而犬_后0,即xNl或即g(')的定義域為(Y>,T]U[1，”)，兩函數(shù)的定義域不同，即D選項兩

函數(shù)不同；故選：ACD.

10.已知基函數(shù)/(》)的圖象經(jīng)過點(3.1,則下列說法正確的是()

A./(力的定義域為RB.f(x)的值域為(O,+8)

C./(x)為偶函數(shù)D.〃力是其定義域上的減函數(shù)

【答案】BC

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性對選項逐一判斷即可.

【詳解】設f(x)=/,其圖象經(jīng)過點(3,

則3@=，解得〃=一2,故/(力=婷=3，

那么/("的定義域為kk*O｝,故A錯誤：

“X)的值域為｛中>。｝，故B正確;

因為/(r)=』=/(x)，則為偶函數(shù)，故C正確；

X

因為/(X)在(e，0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，不能說是在其定義域上的減函數(shù)，故D錯誤.

故選：BC.

11.對于任意的xeR，國表示不超過％的最大整數(shù)，例如：=[-1.2]=—2.十八世紀，)，=國被

“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習慣稱為“雙整函數(shù)下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=[x],xeR的圖象關(guān)于原點對稱

B.設/(x)=x-[x],XGR,則有/(x+l)=/(x)

C.函數(shù)尸"-卜],xeR的值域為[。,1)

D.不等式2k7+國-1<0的解集為k|0"<1｝

【答案】BCD

【分析】根據(jù)給定條件，取值驗證判斷A：利用[x+l]=[x]+l,計算可判斷B：由取整函數(shù)的定義得

[X]^X<[A]+1,進而判斷C：解一元二次不等式，然后取整函數(shù)的定義求出解集判斷D.

【詳解】對于A：當時，￥=[；]=°，當]=—；時,

即點6，。｝(-最-1)都在函數(shù))，=國的圖象上，它們關(guān)于原點不對稱,

則函數(shù)y=卜]的圖象關(guān)于原點不對稱，故A錯誤;

對于B,因為[x+l]=[x]+l,

所以/（x+l）=x+l-[x+l]=x+l-[x]-l=x-[x]=/（x），故B正確；

對于C：由取整函數(shù)的定義知，34xv3+1,則0"一3<1,

因此函數(shù)尸尸兇，xwR的值域為[0,1）,故C正確；

對于D：由2[才+[可一1<0,得（23—1）（印+1）<0,解得-1<區(qū)<3，

而卜]eZ,則國=0,因止匕0Wx<l,不等式的解集為{工|0?%<1},故D正確.

故選：BCD.

【點睛】關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思：（2）由已知

條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)

合數(shù)學知識進行解答.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

已知函數(shù)小/、）tX2（+12?）X,<9I,則“/4、）=——.

【答案】2

【分析】由分段函數(shù)的解析式，代入已知值，可得答案.

【詳解】由題意可得/（4）=/（2）=/（0）=。2+2=2.

12.已知函數(shù)/（x）具有下列性質(zhì)：①V〃7,〃eR,/（/??）+f（n）=f（m+n）；②X/機，〃eR,當m>〃

時，f（〃7）</（〃），則函數(shù)可能的一個解析式為.

【答案】/（x）=-x（答案不唯一）

【分析】根據(jù)函數(shù)的運算性質(zhì)，求解函數(shù)解析式；

【詳解】由②可知f（x）為R上的遞減函數(shù),且滿足①/（"7）+/（〃）=/（〃2+〃），

故f（X）的一個解析式為/（力=T.

14.設函數(shù)/"）=2。24（犬二2）-+J.（%€[-]00,100]）的最大值為M,最小值為“，則知+m=________

x+4

【答案】4048

[分析]將函數(shù)/。)=2°24(彳；2『+.叼(xg[_100100]>>化簡為/(x)=2024+-2必產(chǎn)—產(chǎn)

x+4r+4

(xe[-100J00]),構(gòu)造函數(shù)雇工)=/(/)-2024=出隼等二■(xe[-100.100]),判斷奇偶性，根據(jù)

奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.

【詳解】由題意得

、2024(%-2>+產(chǎn)2024(/-4x+4)+產(chǎn)-2O24x4x+x2027

/(-V)=-------5------=---------5~：--------=2024+------5-：-----，

.V+4A-+4.V+4

令雇力=/("-2024=-202)覺產(chǎn),(XG[-100,100])

7074x4r—r2027

則g(_)=-「；，—=-g(x),即g(x)為奇函數(shù)，

(T)+4

則g⑸mx+g(x)11M=0，

又函數(shù)/。)=2。24(入;2)-+巖:,(XG[-100,100])的最大值為〃，最小值為出，

JT+4

得A7-2024+m-2024=0,貝ljM+m=4048,

三、解答題(本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

15.(本小題滿分13分)

已知累函數(shù)f(x)=xa的圖象過點(2.4).

⑴求函數(shù)的解析式；

⑵若不等式rv/(x)十2%對任意的人0R恒成立，求實數(shù)/的取值范圍.

【分析】(1)將點(2,4)代入解析式求出a,得解；

(2)問題轉(zhuǎn)化為1工/+2》恒成立，令g(x)=/+2x,求出g")的最小值得解.

【詳解】(1)由題意可得2a=4，

:.a=2,(5分)

/./(A)=A2.(6分)

(2)由(1)可得WxeR,/恒成立，.」<(x2+2x)mh,(9分)

22

4-(X)=x+2x=(x+1)-1,.,.^Wmin=-1,

「?實數(shù)r的取值范圍為(―I].(i3分)

16.(本小題滿分15分)

定義在R上的函數(shù)/(人)為奇函數(shù)，且當x>0時，/(.X)=A2-2A-3.

（1）求/（2）和/㈠）的值：

（2）求函數(shù)/'（X）的解析式；

（3）作的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間和值域（直接寫出單調(diào)區(qū)間和值域）.

16.【分析】（1）根據(jù)解析式及奇函數(shù)性質(zhì)，將自變量代入求值即可；

（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解析式即可；

（3）根據(jù)解析式畫出圖象，數(shù)形結(jié)合確定單調(diào)區(qū)間和值域.

【詳解】（1）由題設/（2）=22-2乂2-3=-3,（2分）

=⑴=_（「_2x]_3）=4；（4分）

（2）若x<（）,則—x>0,故/*）=-/（一K）=一[（一幻2-2?（一幻-3]=-/-2八+3,（6分）

由在R上的函數(shù)/(“為奇函數(shù)，則/(。)=0,且x>0時，/(^|=<-2.<-3,(9分)

~x~—2x+3,x<0

所以/(%)=?0,x=0.(10分)

x2-2x-3,x>0

(3)

J'A

由圖知，/'（X）的單調(diào)增區(qū)間為（F，-1）,（1,+8）,單調(diào)減區(qū)間為（-1』），且值域為R.（15分）

17.(本小題15分)

Labubu已然成為2025年年輕人的新寵，它為年輕人提供了情緒價值，成為了很多年輕人的精神寄托.現(xiàn)有

國內(nèi)一家工廠決定在國內(nèi)專項生產(chǎn)銷售此款玩具，已知生產(chǎn)這種玩具的年固定成本為15萬元，每生產(chǎn)x千

ax2+bx,0<x<20,xeN*

件需另投入C(x)萬元.其中c(x)與R之間的關(guān)系為：c(x)=c.，且函數(shù)c(x)的圖

22x+---------950,x220,xwN

x—2

象過43,9),B(6,24),C(82,1054)三點.通過市場分析，公司決定每千件Labubu售價定為12萬元，且該廠

年內(nèi)生產(chǎn)的此款玩具能全部銷售完.

⑴求a,b,c的值，并寫出年利澗〃x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量的二(千件)的函數(shù)解析式;

⑵當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠所獲年利潤最大？并求出最大年利潤.

【分析】(1)將給定的三點坐標代入函數(shù)式，求出。/工,進而求出的表達式.

(2)由(1)按0<x<20與XN20分段求出最大值，再比較大小即得.

9=9。+3匕

【詳解】(1)將43,9),8(6,24),C(82,1054)三點代入,得.24=36a+6b

1054=22x82+———950

82-2

a=-

3-X2+2XJ)<X<20,XGN*

3

解得b=2即心)=<

__16000~、—八

c=1600022x+-----------950,x>20,xeN

x-2

」/+1015,0。<2044

3

依題意,L(A)=12X-C(X)-15=-mnnn0分)

-10x-12_J2+935,.r±20,XGN'

x-2

--x2+10x-15,0<x<20,jfGN*

3

(2)由(1)L(X)=12A-C(X)-15=^(8分)

-]Ox-1^922+935,x220”N'

x—2

當0<x<20時，L(X)=-1(X-15)2+60,則當為x=15時，L(x)取得最大值60萬元；(11分)

“2。時，幻)=-*整+935=-口。2)+鱉］+915

?2加1>鱉+9]5=1,當且僅當幽半時，即x=42時取得等號,

x-2

此時Ux)取得最大值，且最大值為115萬元,

所以當年產(chǎn)量為42千件時，該廠所獲年利潤最大，最大年利潤115萬元.(15分)

18.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(%)在R上滿足/(x+y)=/(x)〃y)+/(o)-l,且當％>0時,o</(.r)<l；當x<()時,

/(力>|.

(1)求”0)的值;

⑵判斷并證明函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

⑶若/(1)=|,求不等式/(X-X2)>4的解集.

【分析】(1)令x=y=O得/(0)=±1,再令丁=0并結(jié)合己知確定/(0)的值；

(2)由/(x+y)=/(x)/(y)得/(玉)=/(西一W+占)=/(王一毛)/(七)，討論司>/>。、。>內(nèi)>42，并

結(jié)合/(。)=1及已知即可證；

(3)首先求得/(-2)=4,再依據(jù)單調(diào)性解不等式求解集.

【詳解】(1)令x=y=o,則”0+0)=/⑼/⑼+/(o)—1,故/(0)=1,可得/(0)=±1,

令？=0,則外力=/(力〃0)+/⑼一I，

當f(0)=-l,則〃力=一/(力一2,即/3)=-1,與題設不符，

所以八0)=1;(4分)

(2)/(X)在R上單調(diào)遞減，證明如下：

當了>0時,0</(x)<l;當JVO時,/(%)>1,

由(1)知〃x+y)=f(x)f(y),

由/(4)=/(%-z+/)=/(玉-%)/(工2)，

當當>三>。，即0</(%-9)<1,0</(x,)<l,0</(x2)<l,

所以/(%)=/&-&)f(&)</(々)，即fW在(0,+00)上單調(diào)遞減，

當0、芭>巧，則Ov/(X|—xjvl,,

所以/a)=/(內(nèi)一w)/(/)</(々)，即fM在(F,0)上單調(diào)遞減，

綜上，結(jié)合"0)=1,易知/(X)在R上單調(diào)遞減，得證.(10分)

(3)令5=一不，則/(幻=-^,故/(1)=77^;=:，即/(-1)=2,

/(-X)/(-I)2

所以/(-2)=/(-1)/(-1)=4,則/卜一/)>/(_2),

2

由(2)知，X-X<-2^即可得不<—1或x>2,

所以不等式解集為(—，-l)u(2,+oo).(15分)

19.(本小題滿分17分)

設。為實數(shù)，已知函數(shù)/。)=/7以一川_2〃.

⑴若是R上的單調(diào)函數(shù)，求〃的取值范圍；

⑵已知a=l.

①求/5)的最小值；

②設函數(shù)g(x)=|/(x)|(xNl).若區(qū)間［川,川01,+8),且對任意NW［孫川,都