專題03等腰（邊）三角形（期中復(fù)習(xí)講義）

.明?期中考情.

核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律

掌握軸對(duì)稱圖形的定義，學(xué)會(huì)識(shí)別基礎(chǔ)題，選擇/填空為主，難度低，易因忽

軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

常見軸對(duì)稱圖形及對(duì)稱軸數(shù)量。略“完全重合”條件或漏數(shù)對(duì)稱軸出錯(cuò)。

掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用性質(zhì)高頻基礎(chǔ)題，?？肌罢覍?duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)”，易

軸對(duì)稱的性質(zhì)

找對(duì)稱點(diǎn)、補(bǔ)全軸對(duì)稱圖形。因“垂直平分”理解不深出錯(cuò)。

掌握折疊問題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)利用折中檔題，常結(jié)合矩形、正方形折疊，易因折

軸對(duì)稱與折疊問題

疊性質(zhì)列等式，求線段長(zhǎng)度、角度。疊后對(duì)應(yīng)關(guān)系找錯(cuò)出錯(cuò)。

掌握“三線合一”內(nèi)容，學(xué)會(huì)利高頻考點(diǎn)，解答題證明/計(jì)算為主，易因忽

等腰三角形的三線合一用“三線合一”證明線段相等、略”等腰三角形”前提（非等腰三角形不

角相等或垂直。適用）出錯(cuò)。

等腰三角形的等邊對(duì)等掌握“等邊對(duì)等角”性質(zhì)，會(huì)利基礎(chǔ)題，常結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，易因混

角用該性質(zhì)計(jì)算等腰三角形的內(nèi)角。淆“腰與底”對(duì)應(yīng)的角出錯(cuò)。

掌握等腰三角形的定義（有兩條邊基礎(chǔ)題，多結(jié)合其他考點(diǎn)（如性質(zhì)、判定）

等腰三角形的定義相等的三角形），學(xué)會(huì)識(shí)別等腰三考查，難度低，易因腰和底區(qū)分錯(cuò)誤影響后

角形，區(qū)分腰、底、頂角、底角。續(xù)計(jì)算。

掌握等腰三角形的核心性質(zhì)，學(xué)會(huì)高頻基礎(chǔ)題，貫穿選擇、填空、解答題，是

等腰三角形的性質(zhì)綜合運(yùn)用性質(zhì)解決線段、角度問等腰三角形相關(guān)題目的核心，易因性質(zhì)混淆

題。（如與等邊三角形性質(zhì)混淆）出錯(cuò)。

掌握等邊三角形的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用中檔題，易因忽略“三角均為60°”或

等邊三角形的性質(zhì)

性質(zhì)計(jì)算邊長(zhǎng)、角度?！叭呄嗟取钡奶厥庑猿鲥e(cuò)。

掌握等腰三角形的判定方法（兩邊高頻考點(diǎn)，解答題證明為主，易因”等角

相等、等角對(duì)等邊），學(xué)會(huì)根據(jù)已對(duì)等邊”的條件（需在同一三角形內(nèi)）忽

等腰三角形的判定

知條件（邊或角）判定三角形是否略而出錯(cuò)。

為等腰三角形。

掌握等邊一:角形的判定方法（三邊中檔題，選擇/填空/解答題小問，易因

等邊三角形的判定

相等、三角均為60。、有一個(gè)角漏用“有一個(gè)角為60。的等腰三角形是

為60。的等腰三角形），學(xué)會(huì)根等邊三角形”這一簡(jiǎn)便判定方法出錯(cuò)。

據(jù)邊或角的條件判定等邊三角形。

掌握將軍飲馬問題的解題思路，學(xué)高頻中檔題，常結(jié)合三角形、四邊形背景，

將軍飲馬問題會(huì)在直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到兩定易因找錯(cuò)對(duì)稱點(diǎn)（如對(duì)稱點(diǎn)找反）導(dǎo)致路徑

點(diǎn)距離和最小。計(jì)算錯(cuò)誤。

掌握等腰三角形中最短路徑的求中檔偏難題，填空/解答題小問，易因未結(jié)

等腰三角形上最短路徑

解方法，學(xué)會(huì)求等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)合等腰三角形的對(duì)稱性（如對(duì)稱軸上的點(diǎn)到

問題

到各頂點(diǎn)/邊的最短距離和。兩腰距離相等）簡(jiǎn)化計(jì)算出錯(cuò)。

掌握等腰三角形性質(zhì)/判定與全高頻解答題，拉分點(diǎn)之一，易因全等條件找

等腰三角形與全等三角等三角形判定的結(jié)合運(yùn)用，學(xué)會(huì)通錯(cuò)（如忽略等腰三角形的邊/角等量關(guān)系）

形綜合過證明全等推導(dǎo)等腰三角形的邊/或證明邏輯混亂出錯(cuò)。

角關(guān)系，或反之.

學(xué)會(huì)利用等邊三角形的“三邊相中檔偏難題，解答題為主，?？肌睒?gòu)造等

等邊三角形與全等三角

等、三角60。”構(gòu)造全等條件，邊三角形證明全等”，易因未利用60°角

形綜合

解決證明、計(jì)算問題。或等邊的特殊性構(gòu)造全等出錯(cuò)。

■記?必備知識(shí).

知識(shí)點(diǎn)01軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

1.軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖

形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱。

2.軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這

條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。

3.軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系:

區(qū)別：①軸對(duì)稱圖形說的是一個(gè)具有特殊形狀的圖形；軸對(duì)稱說的是兩個(gè)圖形的一種特殊位置關(guān)系。

②軸對(duì)稱是對(duì)兩個(gè)圖形說的，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形說的。

聯(lián)系：①都沿某條直線對(duì)折，圖形重合。

②如把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過來，把軸對(duì)稱圖形的

兩部分分別看作兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱。

知識(shí)點(diǎn)02軸對(duì)稱的性質(zhì)

①由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線L成軸對(duì)稱的圖形，這個(gè)圖形與原圖形全等（即形狀、大

小完全相同）

②新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)。

③連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分。

知識(shí)點(diǎn)03等腰三角形的概念

1.定義

有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩務(wù)邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角

叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，NA是頂角，NB、

ZC是底角.

2.等腰三角形的作法

已知線段a,b（如圖）.用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使

bb

BC

AB-AC=b,BC—a.

b

作法：1.作線段BC=a：

2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A;

3.連接AB.AC.

△ABC為所求作的等腰三隹形.

知識(shí)點(diǎn)04等腰三角形的性質(zhì)

1.性質(zhì)

①兩腰相等

②兩底角相等（簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角）

③等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱為“三線合一”）

④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，其頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線所在的直線式對(duì)稱軸。

證明題目中的寫法：

①已知高線：???AB=AC,AD±BC,.*.BD=CD,ZBAD=ZCAD

②已知中線：VAB=AC,BD=CD,AAD±BC,ZBAD=ZCAD

③已知角平分線：VAB=AC,ZBAD=ZCAD.AAD±BC,BD=CD

2.等腰三角形的構(gòu)造

（1）“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形

①如下左圖所示，0P評(píng)分NAOB,CD/70A,則4OCD是等腰三角形

②如下右圖所示，0P評(píng)分NAOB,CD/70B,則4OCD是等腰三角形

（2）“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形

如下左圖所示，已知AD是/BAC的平分線，AD_LBC,得出等腰三角形

（3）“角平分線+中線”構(gòu)造等腰三角形

如下中圖所示，已知AD是NBAC的平分線，D是BC中點(diǎn)，則△ABC是等腰三角形

（4）“中點(diǎn)+垂直”構(gòu)造等腰三角形（垂直平分線）如下右圖所示

已知等腰△ABC,過腰或底上作腰或底的平行線

知識(shí)點(diǎn)05等腰三角形的判定①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（簡(jiǎn)稱”等角對(duì)等邊”）

知識(shí)點(diǎn)06等邊三角形的概念

（1）定義：有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形。

（2）性質(zhì)：三條邊都相等，三個(gè)角都相等，每一個(gè)角都等于60°

（3）判定：①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有?個(gè)

角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

（4）推論：在直角三角形中，銳角為30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

.破?重難題型.

舊題型一軸對(duì)稱圖形的識(shí)別

【典例1】（2223八年級(jí)下?浙江期中）圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史.下

列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）

題型二軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)

【典例1】（2425八年級(jí)上?浙江寧波?期中）如圖，△力BC與關(guān)于直線/對(duì)稱,乙B=35。，=50°,

則”=()

C.95°D.105°

【變式1］（2425八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期中）如圖，A8=A。，點(diǎn)6關(guān)丁AC的對(duì)稱點(diǎn)EtA好落在CD上.若

ZR4D=a（0°<a<180°）,乙4cB=氏則下列關(guān)系正確的是（）

D

B

A.a-/?=90°B,a+/?=180°

C.a=3pD.a+2p=180°

【變式2】（2223八年級(jí)上?浙江麗水?期中）如圖，A4BC三個(gè)頂點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)?X2的方格

中畫出三個(gè)頂點(diǎn)都落在小方格的頂點(diǎn)上，且與△ABC成軸對(duì)稱的三角形.（要求畫出兩種不同的三角形）

（7題型三軸對(duì)稱與折疊問題

【典例I】按如圖的方法折紙，下列說法不正確的是（）

A.N1與互余B.42=90。

C.4E平分48EFD.與44EC互才卜

【變式1】如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片F(xiàn)BCC沿MN折疊后，點(diǎn)。，C分別落在點(diǎn)。，C'的位置，CD'交BC干點(diǎn)、

F,若41MD'=36。，則乙MNC'的度數(shù)為（）

A.108°B.72°C.144°D.126°

【變式2］（2526八年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖，直線DE分別交△力八邊北、A8于點(diǎn)。、E,將△A8C沿

DE翻折，使點(diǎn)力恰好與點(diǎn)C重合.若AB=3,BC=2,則△8CE的周長(zhǎng)是.

【變式3】如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片/WC。沿EF折疊后，。、C分別落在U的位置上，E。與BC交于G

點(diǎn)，若ZEFG=56。，則41EG=

【變式4］（2425八年級(jí)上?浙江金華?期中）在中，AB=AC,Z.BAC=140°.

⑴如圖1,。為BC功上一定點(diǎn)（不與點(diǎn)從。重合），將△力8。沿4。翻折至△力夕0,連結(jié)B'C,求與

"C夕的數(shù)量關(guān)系.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)/）在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，仍將△4BD沿/D翻折至△A夕D,連結(jié)B'C.

①當(dāng)AB'IBC時(shí)，求N4B'C的度數(shù).

②當(dāng)△DB'C為等腰三角形時(shí)，求工B4D的度數(shù).

0題型四等腰三角形的三線合一

【典例1】如圖，在△48C中，AB=AC=10,BC=12,AD=8,4。是BC邊上的高，若P,Q分別是4D和

4C上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

A.2.4B.4.8C.7.2D.9.6

【變式1］（2425八年級(jí)下?河南鄭州?期中）如圖，在AABC中，A8=AC,BC=6,△A8C的面積為18,AB

的垂直平分線EF交/1C于點(diǎn)/，若。為8C邊的中點(diǎn)，M是線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△BOM周長(zhǎng)的最小值為（）

A

8C.9D.10

【變式2】（2526八年級(jí)上?江蘇?期中）如圖，&.LABC中，BC=AC,48=37。，LECM=21°.AF1CM,

垂足為F.若力F=a,則？18的長(zhǎng)為.（用含Q的代數(shù)式表示）

【變式3】（2324八年級(jí)上.安徽蕪湖.期中）如圖，^LACB=70°,G）是。力的垂直平分線，則/AC。的度數(shù)

為.

【變式4】如圖，在△ABC中，AB=AC,AD上BC于點(diǎn)D,BEJL4C于點(diǎn)E,AD,BE相交于點(diǎn)”，AE=BE.

（1）求證：AAEH三ABEC；

（2）若4”=4,求BD的長(zhǎng).

【變式5】（2425八年級(jí)上?湖南衡陽?期中）如圖，/-BAD=/-CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF1CB,

垂足為廣.

c

⑴求證：/\ABC=A/1DE；

（2）求/凡4C的度數(shù)；

（3）求證：^ABF=^ADC,并直接寫出線段CO、BC、8尸之間的數(shù)量關(guān)系.

「題型五等腰三角形的等邊對(duì)等角

【典例1］如圖，在4力8。中，力3=4。,4力=36。"。的乖育平分線交48于石，。為乖足，連接EC,若CE=5,

則BC等于（）

A.6B.5C.4D.3

【變式1】在等腰三角形力8C中，AB=AC,。是48邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)。不與力、8兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)。作力B的

垂線，與直線AC交于點(diǎn)E,若ZAED=5O。，則N8的度數(shù)為（）

A.60°B.70°C.70?；?0°D.60?；?0。

【變式2］（2324八年級(jí)下?湖南衡陽?期中）如圖，已知/B=20。,4c=25。，若PM和QN分別垂直平分4B

和？1C,則NP4Q=.

【變式3】如圖，AB=AC,4c的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CD.

￡

D

CB

(1)若乙4=40。，求/BCD的度數(shù)；

(2)若448。與48C。的周長(zhǎng)之差為10,求4E的長(zhǎng).

【變式4】如圖，4。平分484C,C01A8,BOLAC,垂足分別為0,E.求證：乙OBCZ.OCB.

【變式5】(2425八年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中)在△ABC中，40是中線.

圖1圖2

(1)如圖1,若48=8,AC=5,求40的取值范圍：

(2)如圖2,4E是△4CO的中線，若&4=CO,求證：AB=2AE.

【變式6】如圖，在△48C中，高線力。和角平分線8E相交于點(diǎn)F.已知ABO尸三△/WC.

(2)求4C的度數(shù).

Q題型六等腰三角形的定義

【典例1】(2425八年級(jí)上?廣東肇慶?期中)等腰二角形周長(zhǎng)是29,具中一邊長(zhǎng)是7,則等腰二角形的底邊

長(zhǎng)是（）

A.11B.15或7C.7D.15

【變式l】（2021八年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中）如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是6cm和4cm,那么它的周長(zhǎng)是（）

A.10cmB.12cmC.14cm或16cmD.18cm

【變式2】等腰三角形的一個(gè)角是70。，則它的底角是（）

A.70°B.55°C.80?；?00。D.70?；?5。

【變式3］（2223八年級(jí)下?遼寧錦州?期中）如圖，在△力BC中，AB=AC,/.A=42°,CE平分的外

角〃CD,則Nl=度.

「題型七等腰三角形的性質(zhì)

【典例1】（2425八年級(jí)上?四川德陽?期中）如圖，在△ABC中，乙氏4c是銳角，以為斜邊在△4BC內(nèi)部作一

個(gè)等腰直角三角形過點(diǎn)。作DE于點(diǎn)E,交友?于點(diǎn)F,若F為71C的中點(diǎn)，AB=5,DF=1,則

BE=（）

【變式1］（2324八年級(jí)下?廣西河池?期中）如圖，在△48C中，40是高，CE是中線，DC=BE,G是CE的

中點(diǎn).求證：

A

(1)DG1CE；

⑵工B=2乙BCE.

【變式2】如圖，在△力8c中，Z-ACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)4作力。143交BE的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)。，CG平分41cB交3。于點(diǎn)G,F為AB邊上一點(diǎn)、,連接CF,且="BG.求證：

(V)AF=CG；

(2)C尸=2DE.

【變式3】(2425八年級(jí)上?江蘇南通?期中)如圖，在中，AB=AC,D、￡1是△力內(nèi)兩點(diǎn)，40平分

Z.BAC,LEBC=ZE=60°,若BE=7cm,DE=3cm,求BC的長(zhǎng).

「“題型八等邊三角形的性質(zhì)

【典例I】如圖，在等邊三角形A8。中，。是4C邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)8c到點(diǎn)E,使CE=C。，則NE的度數(shù)為

()

A

【變式1】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)以C、。、E在同一直線上，且CG=CD,DF=DE,則/E=

()

A

A.20°B.25°C.10°D,15°

【變式2】如圖，在等邊三角形"C中，/1。是邊BC上的高，E是AD上一點(diǎn).若“ED=55。，則4/BE=—度.

【變式3】如圖△力BC、△40E都是等邊三角形，點(diǎn)E在C8延長(zhǎng)線上.求證:

(1)DB=CE；

(2)求NDBE的度數(shù).

【變式4】如圖，△A8C是等邊三角形，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)。，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使/W=BE,連結(jié)AE,CD,EA的

延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F.

B

（1）求證：

⑵求乙CFE的度數(shù)

Q題型九等腰三角形的判定

解I題I技I巧

1.等角判定法（高頻）：

已知“兩角相等”（如NB=/C）,直接用“等角對(duì)等邊“證AB=AC,判定為等腰三角形；

2.三線逆用法：

若“一個(gè)三角形中，一條線段既是中線又是面"（如AD是4ABC的中線且AD_LBC）,則AB=AC,

判定為等腰；

3.全等輔助法：

缺角相等時(shí)，作角平分線/高，證三角形全等（如作AD平分NBAC,證△ABDgZXACD）,得

AB=ACo

【典例I】己知：如圖DEIIBCj1=ZE.

⑴求證：BE平分4ABC.

（2）三角形BDE是什么三角形？

【變式1】如圖，在中，AC=BC,乙4c8=90。，。為BC的中點(diǎn)，DELAB,垂足為E,過點(diǎn)8

作BFII4C交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)立連接CF.

c

D

F

⑴求證：AD1CFx

(2)連接入尸，試判斷△ACF的形狀，并說明理由.

【變式2】(2425八年級(jí)下?陜西榆林?期中)如圖，在△4B2和ADCV中,AB=DC,AC交BD于點(diǎn)、0,且AC=

DB.求證：△400是等腰三角形.

【變式3】如圖，在AABC中，力8=AC,點(diǎn)D、E、F分別在88、BC、/C邊上，月.BE=CRCE=DB.

(I)求證：4OEF是等腰三角形；

(2)當(dāng)乙4=50°時(shí),求4DEB+"EC的度數(shù);

(3)當(dāng)/ED尸=60。時(shí),求乙4的度數(shù).

【變式4】如圖，在△4BC中，^ABC=2zC,484c的平分線4。交BC于點(diǎn)。，過8作BF14D,垂足為凡

延KBF交AC丁點(diǎn)E.

(2)已知AC=13,8。=5,求A8的長(zhǎng).

［題型十等邊三角形的判定

解I題I技I巧

1.等腰+60°法（高頻）：

已知”等腰三角形+一個(gè)角=60°”（無論頂角還是底角），直接判定為等邊，如AB=AC且/

A=60°-*AB=AC=BC；

2.三角相等法：

已知“三個(gè)角都相等“（如NA=NB=NC=60°）,直接判定；

3.全等證邊法：

已知“一個(gè)三角形與等邊三角形全等"（如AABC絲ZXDEF,ADEF是等邊），則AABC是等邊。

【典例1］如圖.AG.RG均是的兩邊./G的垂直平分線DM交8G的垂直平分線EN于點(diǎn)

⑴若AGMN的周長(zhǎng)為15cm,求4B的長(zhǎng).

（2）若々MHN=80。，求乙MGN的度數(shù).

（3）若M、N是線段A8的三等分點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），直接判斷AMGN的形狀.

【變式1］（2425七年級(jí)下?吉林?期中）如圖，△48c是等邊三角形，BD1AC,AELBC,垂足分別為D,E,

連接。艮求證：是等邊三角形.

【變式2】如圖，已知點(diǎn)人、F、E、8在同一條直線上，CE與OF交于點(diǎn)例，4￡=8凡4c=8D,CE=OF,

若"ME=60°,求證：AM/E是等邊三角形.

【變式3】(2425八年級(jí)上?天津?期中)在△ABC中，AB=AC.

圖1圖2

(I)天規(guī)作圖：在圖1中作的弟平分線，交4C于點(diǎn)。(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)如圖2,在(1)條件，若B0J.4C,求證：△48C為等邊三角形.

【變式4】如圖，在△4BC中，AB=AC,/-ACB>60°,在力。邊上取點(diǎn)D,連接8D,使=8C.以4D為

一邊作等邊△/1/)￡■,且使點(diǎn)E與點(diǎn)8位于直線AC的同側(cè)，LEAB=2LBAC.

(1)求4805的度數(shù)；

(2)點(diǎn)尸在48上，連接DF,0尸=8。，請(qǐng)判斷△80尸是否是等邊三角形，并說明理由.

但題型十一將軍飲馬問題

解|題|技|巧

兩點(diǎn)一線模型：

目標(biāo)：在直線1上找P,使PA+PB最??；

步驟：①作A關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)A'：②連AB,與1的交點(diǎn)即為P；@PA+PB=A'B(最短)；

兩點(diǎn)兩線模型：

目標(biāo)：在1、m上找P、Q,使PA+PQ+QB最小;

步驟：①作A關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)A\B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B'；②連A'B\交1于P、交m于Q；

③PA+PQ+QB=AE；

【典例1】如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形方格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△48C,利用無刻度直尺作圖.

(1)畫使它與A48C關(guān)于直線/對(duì)稱；

(2)在直線/上作點(diǎn)P,使AP+CP的值最小；

(3)在直線/上找一點(diǎn)。，使點(diǎn)。到45、8C兩邊的距離相等.

【變式1】如圖，在邊長(zhǎng)為I的小正方形方格紙中，有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的利用無刻度直尺作圖.

(1)畫夕C',使它與△4BC關(guān)于直線/對(duì)稱;

(2)在直線/上作點(diǎn)P,使4P+CP的值最小，此時(shí)乙4PC=_；

(3)在直線/上找一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q到力8、BC兩邊的距離相等.

【變式2】如圖.已知

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出8C的垂直平分線DE,垂足為。，交AC于點(diǎn)4

(2)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作出乙C的平分線CF,交？18于點(diǎn)F；

(3)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在8c上找一?點(diǎn)P,使aPEF的周長(zhǎng)最小.(注意：保留作圖痕跡，不寫作法)

Q題型十二等腰三角形上最短路徑問題

【典例1】如圖，BD是等邊△ABC邊AC上的高，M,N分別是AB,4c上的兩個(gè)定點(diǎn)，BM=AN=2cm,AD=

4.5cm,若在BD上有一動(dòng)點(diǎn)”，使MH+NH最短，則MH+N”的最小值為(

C.8cmD.7cm

【變式1】加圖,等邊△ARC^^CD149千點(diǎn)。.點(diǎn)從尸分另lj為卜的兩個(gè)定點(diǎn)096=CF=3,DE=2,

在CD上有一動(dòng)點(diǎn)M使ME+MF最短，則ME+MF的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式2】（2526八年級(jí)上?江蘇徐州?期中）如圖，在△力BC中，AB=AC,AC的垂直平分線分別交48、AC于

點(diǎn)M,N,。是的中點(diǎn)，P是MN上任意一點(diǎn),連接PC,PD.若乙B=a,則當(dāng)△PCD的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，

乙CPD=.（用含a的代數(shù)式表示）

【變式3】如圖，等邊△4BC（三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是60。的三角形）的邊長(zhǎng)為10cm,動(dòng)點(diǎn)。和動(dòng)點(diǎn)E同時(shí)

出發(fā)，分別以每秒1cm的速度由A向B和由C向A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為30<t<10,DC和司E交于點(diǎn)F.

⑴在運(yùn)動(dòng)過程中，CD與BE始終相等嗎？請(qǐng)說明理由；

（2）連接DE,求t為何值時(shí),DEWBC；

（3）若8M于點(diǎn)M,點(diǎn)P為上的點(diǎn)，且使PO+PE最短.當(dāng)￡=7時(shí)，戶。+PE的最小值為多少？請(qǐng)直

接寫出這個(gè)最小值，無需說明理由.

秀題型十三等腰三角形與全等三角形綜合

【典例1】如圖，D為AABC內(nèi)一點(diǎn),8平分乙4CB,BE1CD,垂足為點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,〃=N/1BE,

若4C=10,BC=6,則80的長(zhǎng)為()

C.4D.2

連接8E,過A作AD18E于。，Z-DAE=/-ABD.

圖1圖2圖3

(1)求4CBD的度數(shù);

2

(2)連接CO,求證:AD=2S&ACD;

(3)在(2)的條件下，若BD+BC=2/W,SABCD=9,求CD的長(zhǎng).

［變式2］如圖①，已知點(diǎn)D在線段4B上,在^ABC^WLADE中，NB4c=/-BCA=45。/區(qū)4D=LAED=45°,

且M為EC的中點(diǎn).

⑴若DM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N,求證：CN=AD；

(2)判斷直線8M與0M的位置關(guān)系，并說明理由；

⑶若將△40E按如圖②所示位置放置，使點(diǎn)E在線段G1的延長(zhǎng)線上(其它條件不變)，(2)中結(jié)論是否仍

成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

【變式3】如圖,在等腰A/IBC中，AB=AC,。為BC的中點(diǎn).

(1)如圖1,若0F14C,垂足分別為E,尸，請(qǐng)你說明△BEO三△CFD.

(2)如圖2,連接AC.若G是AD上一點(diǎn)(點(diǎn)A,D除外)，GE1AB,GF1AC,垂足分別為E,F,GE=GF成立

嗎？請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,若(2)中GE,GF分別不垂直于AB,AC,要使GE=GF,需添加什么條件？請(qǐng)?jiān)谀闾砑拥臈l件

下說明GE=GF.

Q題型十四等邊三角形全等三角形綜合

【典例1］如圖，已知△力8c和ACCE都是等邊三角形.

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①，若點(diǎn)8,C,E在同一條直線上，P為線段AE,8。的交點(diǎn)，則線段4E與8。之間的數(shù)

量關(guān)系為二乙APB=_.

(2)如圖②，若點(diǎn)B,C,E在同一條直線上，F(xiàn)為線段8。，4C的交點(diǎn)，H為線段AE,CD的交點(diǎn)，連接丹/,

猜想FH與8E的位置關(guān)系，并證明.

(3)深入探究：如圖③，若點(diǎn)、B,C,E不在同一條直線上，P為線段力E,BD的交點(diǎn).(1)中的結(jié)論仍成立嗎？

若戌立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

(4)連接CP,求證:PC平分乙8PE.

【變式I】如圖所示，已知A/IBC為等邊三角形，點(diǎn)。為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CE平分乙4C。，CE=BD,求

證：

(2)A/1DE是等邊三角形.

【變式2】已知在等邊三角形力BC中，點(diǎn)。在8C上，點(diǎn)E在力B的延長(zhǎng)線上，且CD=BE,連接40,DE.

【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖①，當(dāng)。為BC的中點(diǎn)時(shí)，探究線段力。與1之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論：AD_DE：（選填

或“=”）

【類比探究】

（2）如圖②，當(dāng)。為8c邊上任意一點(diǎn)時(shí)，探究線段4D與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

【拓展延伸】

（3）當(dāng)。為BC的中點(diǎn)，48=10E寸，P,。分別為射線48、射線C4上的動(dòng)點(diǎn)，且4POQ=120。.若4Q=4,

求BP的長(zhǎng).

【變式3】綜合探究.

【初步感知】（1）如圖1,已知△48c為等邊三角形，點(diǎn)。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)B,點(diǎn)。重合）.以

力。為邊向右側(cè)作等邊△/1/）￡,連接CE.求證：△48。三△4CE：

【類比探究】（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在動(dòng)8。的延長(zhǎng)線卜.時(shí)，寫出力B與西的位曾關(guān)系為二線段EC,AC.CD之

間的數(shù)量關(guān)系為二

【拓展應(yīng)用】（3）如圖3,在等邊A/IBC中，AB=3,點(diǎn)P是邊AC上一定點(diǎn)且AP=1,若點(diǎn)〃為射線BC上

一動(dòng)點(diǎn)，以DP為邊向右側(cè)作等邊ADPE,連接CE,BE.PE+BE是否有最小值？若有，請(qǐng)求出其最小值；

若沒有，請(qǐng)說明理由.

.過?分層驗(yàn)收.

期中基礎(chǔ)通關(guān)練（測(cè)試時(shí)間：10分鐘）

1.（2425八年級(jí)上?浙江金華?期中）下列圖形中，對(duì)稱軸最多的是（）

A.線段B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.（2324八年級(jí)上.浙江杭州?期中）下列命題中，是真命題的是（）

A.有兩條邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

B.等腰三角形的對(duì)稱軸是底邊上的高線

C.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線

D.同位角相等

3.（2425八年級(jí)上?浙江湖州?期中）如圖，△48。中，48=4C,。是BC中點(diǎn)，卜列結(jié)論中不止確的是（）

B.AD平分NBAC

C.AD1BCD.AB=2BD

4.（2223八年級(jí)上?浙江溫州?期中）“三等分角''被稱為三個(gè)古希臘尺規(guī)作圖三大難題之?一.如圖所示的“三

等分角儀“能三等分任意一角.這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒04、。8組成，兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞。轉(zhuǎn)

動(dòng)，C點(diǎn)固定，且0C=CD=DE,點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng).若NODE=105。，則NCDE的度數(shù)是（）

5.（2425八年級(jí)上?浙江湖州?期中）如圖，/W是A/IBC的對(duì)稱軸，E,尸是AD上的兩點(diǎn)，若=2,/D=3,

則圖中陰影部分的面積是.

6.（1920八年級(jí)上.浙江溫州.期中）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和9,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為.

7.（2425八年級(jí)上?浙江寧波?期中）如圖，已知正△ABC,D,E分別是力C,48的中點(diǎn)，力G=2GC,CF=2FB,

EG,OF相交于點(diǎn)〃，貝1）乙1+乙2二—度.

8.（2425八年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中點(diǎn)A,B,C均為格點(diǎn)，按要求作圖（保留作圖

痕跡，不寫作法）：

（1）作出△ABC關(guān)于直線/的對(duì)稱圖形△ABU；

（2）在直線/上找一點(diǎn)。，使力D+CD最小.

期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：I。分鐘）

1.（2425八年級(jí)上?浙江寧波?期中）如圖，A、C、B三點(diǎn)在同一條直線上，△O4C和△E8C都是等邊三角

形，AE.BD分別與C。、CE交于點(diǎn)、M、N,有如下結(jié)論：?AE=BD；②CM=CN；?AM=DN；④△CMN

是等邊三角形；其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2425八年級(jí)上?浙江湖州?期中）如圖，在△/WE和△48C中，匕E=乙。，DE=BC,AE=AC,過A作

1，垂足為兄0E交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接4G.四邊形DGB4的面積為64,AF=8,則FG的長(zhǎng)

A.8B.vC.個(gè)D.6

23

3.（2324八年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，在A/IB。中，。為邊AC上一點(diǎn)，且8。平分乙過力作/IE_L8。

于點(diǎn)E.若4+44C=180°,AB=5,BC=12,則4E=.

E

BC

4.（2425八年級(jí)上?浙江溫州?期中）如圖,在△4BC中,AB=AC,。為上的一點(diǎn)，乙BAD=25。,在4。的

右側(cè)作△40E,使得力E=4D,/.DAE=^.BAC,連接CE、DE,DE交AC于點(diǎn)。，若CE||48,則4D0C的度

數(shù)為.

5.（2425八年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，△力BD八AEC都是等邊三角形，則/B0C的度數(shù)是.

6.（2122八年級(jí)上?浙江溫州?期中）如圖，點(diǎn)4、八C、D在同一條直線上，AF=CD,AB=DE.LA=小線

段BC與線段E尸交于點(diǎn)H.

（2）求證：FH=CH.

7.（2425八年級(jí)上?浙江金華?期中）如圖1,在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)氏

C重合），在力。的左側(cè)作△>WE,使得力E=乙DAE=ABAC,連結(jié)BE.

A

A

E

BDCBDC

圖1圖2

（1）當(dāng)點(diǎn)0在線段8c上時(shí)，求證：AABE=^ACD.

(2)如圖2,^BE||AC,BC=