第二十四章解直角三角形（舉一反三講義）全章題型歸納

【華東師大版】

題型歸納

【培優(yōu)篇】.......................................................................................4

【題型1設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】.............................................................4

【題型2網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】..............................................................8

【題型3靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】........................................................12

【題型4解雙直角三角形】......................................................................15

【題型5在四邊形中解直接三角形】.............................................................22

【拔尖篇】......................................................................................28

【題型6構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值】.....................................................28

【題型7等角轉(zhuǎn)換法求銳角三角函數(shù)值】.........................................................33

【題型g巧設(shè)未知數(shù)解直角三角形】.............................................................39

【題型9構(gòu)造直角三角形進(jìn)行線段或角的計(jì)算】...................................................46

【題型10解直角三角形的應(yīng)用】.................................................................51

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1銳角的三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如圖所示，在中/C=90。,我們把銳角A的近邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA即sinA=￡.

把銳角4的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cos4即cos/=g.

把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做/A的正切,記作tan4即tan/=；.

2.脫角A的正切、正弦、余弦都是銳角A的三角函數(shù).

3.由于直角三角形的斜邊大于任意一條直角邊，所以有0Vsin.4V1且0<cosA<1,tanA>0.

知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)的值

i.根據(jù)銳角的三角函數(shù)的定義和直角三角形的性質(zhì)可得下表:

三角函藪一二一30°45°60°

1V2V3

sina

222

夜1

cosaV3

222

tanaV31V3

T

知識(shí)點(diǎn)3銳角的三角函數(shù)間的關(guān)系

在RtA/BC中，ZC=90°,24乙B,NC的對(duì)邊分別為a,b,c.由勾股定理可得(^+/=c?.

(1)同角三角函數(shù)間的關(guān)系：sinM+cos2/l=(^)2+(^)2=a=1.

a

(2)tan力與sin4,cos4間的關(guān)系：絲4=壬=f=tan4

-b

cos4c

知識(shí)點(diǎn)4解直角三角形的概念

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.由直角三角形中的已知元素，

求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)5解直龜三角形的依據(jù)

在RtZk/BC中，Z.C=90°,乙4,乙B,4C的對(duì)邊分別為小b,c.

(1)三邊之間的關(guān)系：。2+(勾股定理)：

(2)兩銳角之間的關(guān)系：+48=90。(兩角互余)；

(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=cosA=*,tanA=：.

ccb

知識(shí)點(diǎn)6解直角三角形的基本類型及解法

解直角三角形有四種基本類型：①已知斜邊和一直角邊；②已知兩直角邊；③已知斜邊和一銳角；④已知

一直角邊和一銳角.其解法步驟列表如下：

已知類型已知條件解法步驟圖示

(1)b=Vc2—a2；

斜邊C、一直

(2)由sinA=求/A；

c

角邊（如4）

(3)Z-B=90°-Z-A

兩邊

(1)c=Va2+b2\

兩直角邊RtaABC中，z.C=90°,

(2)由tanA二￡求乙A；

b

（a,b）乙4匕8,4?的對(duì)邊分別為

(3)乙B=90。-44

a,b,c,如圖所示：

(1)乙B=90。一443

斜邊c、一銳

(2)由sin/=g,得a=c?sin4a

c

角（如乙4）

Ah(

(3)由cos/l=2,得b=c?cos4

一邊c

一角(1)z￡?=90°-AA：

一直角邊、

(2)由tanA=￡得b=—^—；

一銳角（如btanA

a、Z.A）(3)由sinA=g,得c=

csinA

知識(shí)點(diǎn)7解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用

1.利用解直角三角形解決實(shí)際問題的步驟：

（1）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題：

（2）根據(jù)問題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；

（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；

（4）得到實(shí)際問題的答案.

2.常見類型

（1；仰角、俯角

當(dāng)視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線所成的角叫做仰角;當(dāng)視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線所成的

角叫做俯角.

如圖（1）所示，0C為水平線，0。為鉛垂線，0A,OB為視線，我們把4A0C稱為仰角，乙B0C稱為俯角.

圖（1）圖(2)

（2）方位角

正北方向或正南方向與目標(biāo)方向所形成的小于90°的角叫做方位角.

如圖（2）所示，所表示的方位先是北偏東斐。，OB所表示的方位先是南偏東亞。，。。所表示的方位先

是南偏西70°,OD所表示的方位角是北偏西30°.

（3）坡度、坡角

坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作人即i二/坡度通常寫成a：1的形式.

坡而與水平面的夾角叫坡角（或傾斜角），記作a，于是有i=tanm

【題型1設(shè)參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】

［例J1］（2425九年級(jí)上?甘肅天水?期末）如圖，在菱形48CD中，DE1AB交AB于點(diǎn)E,連接B。，若BE=

則cos乙08E的值是.

【答案】q

6

【分析】本題可先根據(jù)菱形的性質(zhì)設(shè)出邊長(zhǎng)，再結(jié)合已知條件得出線段長(zhǎng)度，最后利用三角函數(shù)的定義求解

C0S408E的值.本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的定義，熟練掌握這些知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)48=3%，

v四邊形力BCD是菱形，

,AD=AB=3%，

???哈，

BE=x,

vDE1AB,

在Rt△ADE'V，AE=AB-BE=3x-x=2x,

由勾股定理可得OE=>/AD2-AE2=V(3x)2-(2x)2=V5x,

在Rt△BDE中，BD=y/DE2+BE2=J(V5x)2+x2=瓜x,

DLBExV6

?，3SKDBE=-=—=-f

故答案為:咚.

o

【變式11](2025?河南平頂山?三模)如圖，在矩形ABC。中，=3,710=5,點(diǎn)E在0C上，將矩形48。。沿

力E折疊，點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么tan乙￡-?=

【答案w

【分析】本題考杳了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等，由矩形和折疊的性質(zhì)可得BC=4。=5,

CD=AB=3,zF=ZC=90°,AF=AD=5,EF=DE,即得BF=\/AF2-AB2=4,得到CF=BC-BF=

1,設(shè)CE=x,在Rt△取了中利用勾股定理可得CE=%進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回四邊形ABCO為矩形，

團(tuán)BC=AD=5,CD=AB=3,=￡C=90°,

由折疊可得，AF=AD=5,EF=DE,

0在Rt△48"中，BF=>/Ab2-AB2=Vb2-32=4,

^CF=BC-BF=5-4=1,

設(shè)CE=x,則EF=DE=CD-CE=3-x,

國(guó)在RtaECF中，CE2+FC2=EF2,

Hx2+12=(3-x)2,

解得％=￡

4

田CE=/

4

0tanzEFC=與CF=1

FC3

故答案為：

【變式12］如圖，在等邊AABC中，CD1AB,垂足為D,以/W,CD為鄰邊作矩形ACCE,連接BE交CD邊

于點(diǎn)F,則cos4C8E的值為（）

A.-V7B.-V7C.-VHD.-V21

147147

【答案】A

【分析】設(shè)等邊AABC的邊長(zhǎng)為小則48=8C=AC=a.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=BD=從

而可由勾股定理求出CO="a.根據(jù)矩形的性質(zhì)又可得出4E=CD=劣，

AD=CE=\i,LBAE=90°,

即又可利用勾股定理求出BE==a.過(guò)點(diǎn)C作CG_L8E于點(diǎn)G,由?CG=：（'E-AE,可得出

CG=等a,進(jìn)而由勾股定理可求出BG=￥a,最后由余弦的定義即可求解..

1414

【詳解】解：設(shè)等邊△48C的邊長(zhǎng)為小^AB=BC=AC=a.

團(tuán)CD1AB,

mAD=BD=\AB=：Q,Z,ADC=Z-BDC=90%

22

QCD=>/AC2^AD2=

團(tuán)四邊形MCE是矩形，

^AE=CD=—a,AD=CE=-a,/,BAE=90°,

22

WE=7AB2+=且*

2

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CGIBE于點(diǎn)G,

AE

產(chǎn)

B

^ShBCE=\BE-CG=\CE-AE,

0yaxCG=1a-ya,

?CG=4

咖=跡』=萍，

面。S"BE嗤=單=萼

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，求角的余弦值.正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

【變式13】（2025?四川南充?一模）如圖，把矩形48CD沿對(duì)角線47翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，48'交CD于點(diǎn)E,

若3=；，則sin/D4E的值為（）

LC2

.V51「3c2西

A-TBD-2c.gD.v

【答案】c

【分析】本題考宜矩形與折疊，解直角三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，得到4E=CE,設(shè)40=X,CD=

2x.AE=CE=y,貝必DE=2x-y,勾股定理求出％y之間的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)銳角三角形的定義，進(jìn)行

求解即可.

【詳解】解：回矩形4BC0,翌二：,

團(tuán)4D=90°,AB||CD,設(shè)力D=x,CD=2%,

0Z.4CD=Z.BAC,

13折疊,

^Z-EAC=Z-BACt

^LEAC=Z.ECA,

團(tuán)4E=CE,

設(shè)4E=CE=y,則：DE=2x-y,

在RtZkADE中，AE2=AD2+DE2,

0y2=x2+(2x-y)2,

解得：x=0(舍去)或％=

ME=2x—y=|y,

3y

^sinz.DAE=^=-^-=

故選C.

【題型2網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】

【例2】如圖，網(wǎng)格中的點(diǎn)A、B、C、D都在小正方形頂點(diǎn)上，連接/B、CO交于點(diǎn)P,貝叱BPC的正切值是

()

A.c3廣距r20

A.2B?一C.—D.—

223

【答案】A

【分析】本題考查了正切函數(shù)，勾股定理，正方形的性質(zhì)等，連接BE、AE/BDC="BE=/BED=^AED=

45c,由平行線的性質(zhì)得48PC=乙48E,由勾股定理求出4E、BE的長(zhǎng)，由正切函數(shù)求出tanNAEE的值；掌

握正切函數(shù)的定義，作出輔助線使得=構(gòu)建直角三角形求解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接BE、AE,

由正方形的性質(zhì)得：

乙BDC=Z.DBE=乙BED=Z.AED=45°,

/.BEKD,Z.AEB=90°,

:.Z.BPC=Z.ABE,

,'.AE=V224-22=2V2,

BE=712+了=V2,

ranz>4/?/?=—=孳=2,

BEV2

???tanzBPC=2；

故選:A.

【變式21］如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)4,B,C均在格點(diǎn)上，。是AB與網(wǎng)格線

的交點(diǎn)，則sin罕的值是.

【答案】?

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根據(jù)直角三角斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

CD=AD=DB,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)可得N8由此可得sin^=sinB.

【詳解】解：根據(jù)題意由勾股定理得：

AC=V22+I2=VS,AB=J32+42=5,BC=742+22=2限

^AB2=AC2+BC2,

團(tuán)4alBC,0C=9O%

結(jié)合網(wǎng)格可知。分別為/18的中點(diǎn)，

回CD=AO=Q4,

回回6=團(tuán)。。3,

又困3+國(guó)。。8=財(cái)。。，

回48=^Z-ADCf

.^ADC.口AC6

Orasin------=sinB=—=一,

2AB5

故答案為：?.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).關(guān)鍵是得出

Z-B=-Z-ADC.

2

【變式22】（2025?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）如圖是由6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)

稱為格點(diǎn)，已知菱形的一個(gè)角乙408=60。，點(diǎn)A,8,C都在格點(diǎn)上，則cos~18c的值是.

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)、特殊三角形邊角關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角

三角形解決問題.

如圖，連接E4EC,證明4AEC=90。，E、C、3共線，再根據(jù)cos4ABC=些解題即可.

AB

【詳解】解：如圖，連接EA,EC,

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，由題意得4力"*=30。，Z.BEF=60°,AE=EB=2a,

0Z4EC=90°,

則48=y/7a,

^ACE=Z.ACG=乙BCG=60°,

0ZECB=180°,

回E、C、B共線，

在Rt/kAEB中,

,4BE2a2>/7

cosZ-ABC=——=-p-=—.

ABy/7a7

故答案為：手.

【變式23】（2025?江蘇無(wú)錫?二模）如圖，在4X3的網(wǎng)格圖中，點(diǎn)力、B、C、D都在小正方形的頂點(diǎn)上，AB、

CO相交于點(diǎn)￡,則sin4的值是.

【答案】?jī)鬗

【分析】本題考查了解直角三角形及勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.連接D凡C尸，過(guò)點(diǎn)尸作“上CD,垂足為G,先利用勾股定理求出CD和DF的長(zhǎng)，再利用面積法求出FG

的長(zhǎng)，然后在RtZkDrG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出sin4尸DG的值，最后根據(jù)題意可得：AB||FD,從

而可得/BE0=乙FDG,即可解答.

【詳解】解：如圖：連接OF，CF,過(guò)點(diǎn)F作FG1CO,垂足為G,

由題意得：CD=Vl2+Z2=V5,

DF=Vl2+32=<10,

△UCF的面積=3x3-^x3x2-1x2xl-^x3xl

3

=-，

7

-CDFG=-,

22

星FG=7,

7Vs

FvGr=—

7V5『

在RtADFG中,siMFDG=^=^=M

由題意得:ABIIFD,

/.BED=乙FDG,

二sinz.BED=sin乙FDG=

io

故答案為：隼

【題型3靈活運(yùn)用已知條件解直角三角形】

【例3】（2425九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）如圖，在△43C中，ZC=45°,乙4=60。，A。=1.按以下步驟

作圖：①分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N：②作直線MN交4c

于點(diǎn)。，則CD的長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問題.由作圖過(guò)程可知，直線MN為線段BC的垂直平分線，可得8D=CD,則NC=4DBC=45。，得出

^ADB=zC+/-DBC=90°,在□△48。中，可得BD=4。?tan60。=K，即可得CD=

【詳解】解：由作圖過(guò)程可知，直線MN為線段8c的垂直平分線，

MD=CD,

回乙。=乙DBC=45%

^Z-ADB=Z.C+乙DBC=90°.

在Rt△480中，tan乙4=tan600=—=—=>/3,

AD1

團(tuán)BD=V3?

團(tuán)CD=V3.

故選：D.

【變式31］（2425九年級(jí)下?陜西西安?期中）如圖，在△力BC中，AB=5,tan乙4二工，tan^S=-,

23

則BC的長(zhǎng)為（）

A.2通B.3C.2D.V10

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，過(guò)點(diǎn)C作。。1AB于點(diǎn)。，設(shè)則BD=5-x,根據(jù)

tan乙4=工，tanz.B=-,得至iJCZ）=工％=*（5—%）,求出x=2,進(jìn)而得到CO=1,80=3,利用勾股定

2323

理即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD148于點(diǎn)

設(shè)/1D=%,則BQ=5-%,

0tanZi4=-,tanZ-B=-,

23

團(tuán)CD==](5—x),

=2?

團(tuán)CD=1,BD=3,

OBC=>JBD2+CD2=710,

故選：D.

【變式32］（2025?黑龍江大慶?中考真題）如圖，Rt△48C中，/.ABC=90°,ABAC=60°,AB=2.在48和

力。上分別截取AM,AN,使4M=4N.分別以M,N為圓心、以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/8/1C內(nèi)

交于點(diǎn)F.作射線Ar交8c于點(diǎn)。，則點(diǎn)。到4c的距離為.

A

N

【答案】竽/|依

【分析】本題考查了角平分線的作法和角平分線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn).由作圖可知，AD平分N8AC,

求得DG=DB,^BAD=^BAC=30°,解直角三角形即可求解.

【詳解】解：作DGJ_4c于點(diǎn)G,則點(diǎn)。至以C的距離為0G的長(zhǎng)，

由作圖可知，4D平分NBAC,

團(tuán)乙WC=90°,

WG=DB,

0RtAi4FC+，Z-ABC=90°,Z-BAC=60°,

^Z-BAD=^Z-BAC=30°,

團(tuán)4B=2,

團(tuán)DB=AB-tan乙BA。=竽，

WG=DB=吟

3

故答案為：竽.

【變式33】（2025?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，^-45o,PC-3,tanC-1,則中線4。的長(zhǎng)為

V5

A.V5B.2C.D.

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)A作4E18C于點(diǎn)E,得到=然后解Rt△力EC,得到CE=2AE,然后根據(jù)線段和差以及三角形

中線得到8。=（?。=支則DE=8。-BE=去再對(duì)Rt△/1/）￡運(yùn)用勾股定理求解即可.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作/E1BC于點(diǎn)E,

vZH=45、

.??△48E是等腰直角三角形，

:.BE=AE,

（

3tanC=2

...一AE=1

CE2

CE=2AE,

ABC=3AE=3,

.?.AE=BE=1

?.TO是中線，

???BD=CD=

2

1

：?DE=BD-BE=—

2

故選：D.

【題型4解雙直角三角形】

【例4】(2425九年級(jí)上?山東青島?期中)如圖，將三角尺48CK三角尺OEF疊放在一起，直角邊力。與DE完

全重合，已知AB長(zhǎng)為16cm,若三角尺DEF沿CB方向移動(dòng)，此時(shí)測(cè)得0B長(zhǎng)是6cm,則移動(dòng)距離CD是()

A.2cmB.5V3cmC.(5A/3-3)cmD.(8V3-5)cm

【答案】C

【分析】由題意知，EF||BC,則/BD。=4尸=45。，如圖，作0MJ.8C于M,則8C=?cos30。，BM=

OB-cos30°,OM=OF-sin30°,DM=-^-,根據(jù)CO=8C-Z）M-8M,計(jì)算求解即可.

tan45°

【詳解】解：由題意知,EFIIBC,

團(tuán)4BDO=ZF=45°,

如圖，作OM1BC于M,

團(tuán)B。=AB-cos30°=16xy=8、/5cm,BM=OB-cos30°=6xy=375cm,OM=OB-sin30°=3cm,

團(tuán)。"磊=3cm,

^CD=BC-DM-BM=8>/3-3-=（573-3）cm,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正切，正弦，余弦等知識(shí).熟練掌握平移的性質(zhì)，平行線

的性質(zhì)，正切，正弦，余弦是解題的關(guān)鍵.

【變式41】（2425九年級(jí)上?陜西西安?期末）如圖，在Rt△力8C中，41cB=90。，48的垂直平分線交AC與

點(diǎn)、E,若tan乙。區(qū)4=jBC=6,則CE的長(zhǎng)為.

【答案】7

4

【分析】本題主要考查了解直角三角形及線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意得出乙8=2。瓦4,進(jìn)而得出乙8的

正切值，再結(jié)合8C的長(zhǎng)即可求出力C的長(zhǎng)，進(jìn)一步得出48的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出力。的長(zhǎng)，最后在Rt^/lOE中，

求出4E的長(zhǎng)即可解決問題.

【詳解】解：由題知，

^ACB=90°,DELAB,

回乙B+Z.A=Z.DEA+Z.A=90°,

0/=/.DEA,

4

BtanI?=tanz.DEA=二，

又甌C=6,

團(tuán)4c=8,

^AB=V62+8Z=10,

13OE垂直平分48,

^AD=-AB=5,Z-EDA=90。，

2

在RtZkOEA中，tanzDF/l=

*=±,

DE3

WE=

4

歷歷倒M，

257

^CE=AC-AE=8--=-.

44

故答案為：:.

4

【變式42］（202S?山東青島?中考真題）如圖，在三角形紙片力"。中，ZF=57%zC=38%將紙片沿著過(guò)

點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在村邊上的點(diǎn)E處，折痕4。交BC于點(diǎn)D；再將紙片沿著過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)

C落在8。邊上的點(diǎn)G處，折痕EF交BC于點(diǎn)F.下列結(jié)論成立的是（）

A

A.DG=EGB.GE1AE

C.Z.DAE=42°D.DE=2GF

【答案】A

【分析】本題考杳了三角形的翻折問題，垂直的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形中正弦值的

求解，在翻折過(guò)程中由邊長(zhǎng)和角度不變，可求解翻折前后的角度是解決本題的關(guān)鍵.根據(jù)是由△48。

翻折得到可求解乙ZME的度數(shù)，由此判斷C選項(xiàng)；根據(jù)翻折前后角度的求解，可求解乙EDG與NOEG的度數(shù),

由”等角對(duì)■等邊"可判斷A選項(xiàng)，求解乙4EG的度數(shù)可判斷B選項(xiàng)：假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角三角形中的正弦

值求解邊長(zhǎng)即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：C選項(xiàng)，在AABC中，48=57。，Z.C=38°,

團(tuán)ZB4C=180°-57°-38°=85°,

是由4人⑶。翻折得至IJ,

0ZME=LDAB=^=42.5°,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

A選項(xiàng)，團(tuán)ZkAOE是由△力8D翻折得至lj,Z.DAE=Z.DAB=42.5°,

^Z-AED=￡B=57°,

^LADE=乙ADB=180°-57°-42.5°=80.5°,

回，EOG=180°-LADE-乙ADB=180°-80.5°x2=19°,

0AEFG是由△￡7也翻折得到，

ONEGF=zf=38°,

團(tuán)NEGD=180°-乙EGF=180°-38°=142°,

在AEGO中，Z.DEG=180°-142°-19°=19°,

0ZEDG=乙DEG=19°,

0DG=EG,故A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，團(tuán)乙4EO+乙DEG=570+19°=76°,

即，AEG=76。，

團(tuán)GE與AE不垂直，故B錯(cuò)誤：

D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)G作GM_LDE交DE于點(diǎn)M,如圖，

假設(shè)DE=2GF,

0AEFG是由△ER?翻折得至IJ,

0ZFFC=Z-EFG=90°,

團(tuán)DG=EG,

團(tuán)z\OGE為等腰三角形，

團(tuán)GM1DE,

團(tuán)OM=￡M,即0E=2EM,

團(tuán)G/=EM,

在RtAEMG中，sin/DEG=sinl9。=翳，

pp

在中，

RtAENGsinzEGF=sin38°=EG

0sinl9°*sin380,

回MG黃EF,

又倒EM=7EG2-MG2*GF=^EG2-EF2,與己知不符，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:A.

【變式43】（2025?安徽宣城?一模）如圖，在aABC中，AB=AC=12,BC=10,點(diǎn)、D為BC中點(diǎn)、，點(diǎn)P以每

秒1個(gè)單位的速度從B出發(fā)沿8t4TC運(yùn)動(dòng).當(dāng)^PC0為等腰三角形時(shí)，￡的值為（）

A.1或18B.卷或18或19

C.給或18或19或空D.史或18或19或20

666

【答案】c

【分析】本題考直了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形應(yīng)用等知識(shí)，分點(diǎn)尸在BA上和AC上討論，然后根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的應(yīng)用求解即可.

【詳解】解：連接力D,

A

團(tuán)”=AC,BC=10,

^AD1BC,BD=CD=5,

①當(dāng)點(diǎn)P在84上時(shí)，^PDC>/-ADC=90°,

團(tuán)4PCD為等腰三角形時(shí)，只有PD=CD,

團(tuán)PD=BD,

過(guò)。作DQ1BP于Q,

則BP=2RQ,

cnBQBD

0COSfi=—BD=—AB,

脛=工

512

回BQ=泰

MP=T-

0t=y-l=y;

66

②當(dāng)點(diǎn)P在力c上時(shí)，

（HAPC。為等腰三角形，

配7）=CP或DP="或CO=DP,

當(dāng)CO=CP=5時(shí)，如圖,

A

t=(12X2-5)4-1=19；

當(dāng)DP=CP時(shí)，如圖，過(guò)尸作PQ_LCO于Q,

則CQ=,D=也

13cosc=果=寮

解得CP=6.

配=(2x12-6)+1=18：

當(dāng)CD=0P時(shí)，如圖，過(guò)。作DQ1CP于Q,

解得CQ=泉

0CP=-

6

酰=（2x12-高+1=尊

綜上，，的值為g或18或19或?,

66

故選：C.

【題型5在四邊形中解直接三角形】

【例5】（2025?湖南婁底?三模）如圖，在矩形/18C0中，40=2AB=8,瓦尸分別為4D,8C邊上的點(diǎn)，且BF=3,

將矩形48G）沿直線EF折置，得到四邊形EFNM,點(diǎn)4,8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)M,N（點(diǎn)M落在4。上方），連接

CN,當(dāng)C,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，AE的長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊問題，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)，合

理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵.如圖，記MC與力。的交點(diǎn)為7,延長(zhǎng)尸N交40于Q,結(jié)合“=FN=3,則

CF=5,可得CN=4,結(jié)合黑=sin匕NTQ=sin4NCF=9=』設(shè)NQ=3%,則TQ=5%,TN=

/Q?Cb

,/QT2-NQ2=4x,可得7c=4*+4,求解”=白，再進(jìn)一步求解即可.

3

【詳解】解：團(tuán)在矩形力BCD中，AD=2AB=8,

MD=BC=8,AB=CD=4,/.A=Z,B=乙BCD=Z.D=90°,AD\\BC,

由對(duì)折可得：BF=NF=3,^MNF=Z.B=90°,MN=AB=4,

0ZF/VC=90°,

0CF=5,

如圖，記MC與AD的交點(diǎn)為T,延長(zhǎng)FN交40于Q,

團(tuán)CN=V52-32=4,

由對(duì)折可得：乙BFE=“FE,

團(tuán)4DII8C,

0ZDEF=乙BFE,乙DTC=乙FCN,

回匕QEF=乙QFE,

團(tuán)QE=QF,

團(tuán)ZMNF=90°,

團(tuán)乙TNQ=90°,

嗡=sin^NTQ=sinz/VCF=皆=|，

設(shè)NQ=3%,則7Q=5x,TN=^QT2-NQ2=4x,

0TC=4%+4,

BsinzDTC=-=—=—,

5CT4x+4

解得：X=

?5

團(tuán)NQ=3x12=2,TQ=5X1210

團(tuán)EQ=FQ=3+2=5,

同理：tanz?C77)=tanzJVC/7=

4

0DT=g

3

%D=TD-TQ=y-y=2,

^AE=/ID-QE-DQ=8-5-2=1.

故選：D.

【變式51］（2025?山東聊城?三模）如圖，在四邊形力BCD中，AE=BE,DF=FB,DF1CE,AFWDC.tan^ABD=

EF=2,則BC的長(zhǎng)為（）

4

A.3\/2B.4魚C.2V5D.4%

【答案】D

【分析】本題考杳了三角形中位線定理，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理.先求得￡尸是

△240的中位線，求得4O=2EF=4,則tan乙48。=L求得DF=FB=8,再證明四邊形力。。產(chǎn)是平行四

4

邊形，求得40=CF=4,在中，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：EL4E=BE,DF=FB,

團(tuán)EF是△8力。的中位線，

^EFWAD,AD=2EF=4,

0Dr1CE,

田乙BFE=90°,

^tanz.ABD=

4

心L

BF4

團(tuán)EF=2,

WP=F8=8,

^AFWDC,EFWAD,

團(tuán)四邊形4DC9是平行四邊形，

團(tuán)4D=CF=4,

在口△"/中，BC=7CF?+BF?=4后

故選：D.

【變式52】（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形4BCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)￡為4。的中點(diǎn)，

連接8E并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,連接AF,連接尸。并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若tanNFAE=：時(shí)，則CG的長(zhǎng)為.

【答案】1

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，過(guò)尸作尸K_L4D于點(diǎn)K,^AKF=^FKD=90°,根據(jù)

題意可設(shè)FK=4,4K=5刈根據(jù)解直角三角形列方程求得，即可求得KD,進(jìn)而求解即可，熟練解直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???四邊形48。。為止方形，

:.AB=AD=CD,/.BAD=乙BCD=90°,AD||BC,

???￡為AD中點(diǎn)，

：.AE=ED=\AD=2,

??.在世2\8命中，tan±AEB=*；2,

如圖，過(guò)尸作尸KI力。于點(diǎn)K,^LAKF=Z.FKD=90°,

在△力中，tandAK=

RtKFAK5

設(shè)FK=4x,AK=5x,

???EK=5x-2,

vZ.FEK=4AEB,

tanzFF/C=tanZTlEB=2,

pzz

.?.在RtZkEK尸中，tanzFEK=—=2,

EK

即含=2,

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)解得x=

FK=4x=0/<=4-5x=4--=-

333

.??在Rt^FKD中，tan乙FOK=需=4,

-ADWBG,

???LG=Z.ADF,

???tanG=tanz.FDK=4,

在RMDCG中,tanG=^=4,

CG=1,

故答案為：1.

【變式53］（2025?河南商丘?二模）已知：如圖，在△4BC中,LB4C=90。,。為線段4c上一點(diǎn),RAB=AD,E

為線段BC的中點(diǎn)，連接30、ED,延長(zhǎng)8/1到點(diǎn)F,使得4F=B4連接DF,過(guò)點(diǎn)8作DF的平行線交04的延

⑴四邊形8Q"；是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由：

⑵若taMBC/l=：,C0=2,求線段DE的長(zhǎng)度.

【答案】（1）是，理由見解析

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得到4G84=4。凡4,再由兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合平行四邊形的

判定、菱形的判定及正方形的判定即可得到答案；

（2）由正切函數(shù)tan4BC4=*在Rt△48c中，求出線段長(zhǎng)，進(jìn)而在Rt△CDF中,同理求出線段長(zhǎng)，在Rt△DEF

中，由勾股定理求解即可得到答塞.

【詳解】（1）解：是，

理由如下：

???BG||DF,

Z.GBA=Z.DFA,

???LBAC=90°,

ALBAG=Z.FAD=90。，

在△ABG和△AF。中，

(Z-GBA=乙DFA

AB=AF

(4BAG=/.FAD=90°

??.△ABG=A/1FD(ASA),

???BG=FD,AG=ADt

vBG||DF,

???四邊形809G是平行四邊形，

???DG1AB,

二四邊形B0FG是菱形，

-：AB=AF,LBAC=90°,

???DA垂直平分BF,則DB=DF,

四邊形8DFG是正方形；

(2)解：在RtaABC中，Z.BAC=90°,tan^BCA=p則最=g

5ACS

設(shè)BA=3x,則4c=5%,AD=AB=3x,

ADC=AC—AD=5x-3x=2x=2,

解得x=1.

???AB=3,AC=5,

在Rt△48c中，由勾股定理可得BC=7AB2+AC2=

過(guò)點(diǎn)。作。尸JLBC,如圖所示:

B

在RtZkCOF中，tan4801=三,CD=2,則竺二?,

5FC5

設(shè)DF=3y,則PC=5y,

:.V34y=2,解得y=

3付5^34

???E為線段8c的中點(diǎn)，

.?.EC=TBC=亨，則E尸=EC—FC=苧一嚕=粵，

在RtaOE"中，由勾股定理可得OE=7DF)+EF)=罟.

【點(diǎn)睛】本題考杳平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及平行線性質(zhì)、全等的判定與性質(zhì)、平行四邊形判

定、菱形判定、正方形判定、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題的關(guān)

鍵.

【拔尖篇】

【題型6構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值】

【例6】(2025?黑龍江綏化?模擬預(yù)測(cè))在平行四邊形MCD中，F(xiàn)是4D的中點(diǎn)，點(diǎn)E在射線8c上，且CE=[8C,

連接EF.若=4,4。=6,NB=60°,則tan△尸EC的值為.

【答案】V5或日

【分析】當(dāng)點(diǎn)石在線段BC上時(shí)，利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，結(jié)合特殊角二角函數(shù)計(jì)算即可；當(dāng)點(diǎn)E在線

段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)利用三角函數(shù)解答即可.

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)￡在線段BC上時(shí)，

團(tuán)平行四邊形力8C。中，/是的中點(diǎn)，

斯B=CD,AD=BC,AD||BC,AF=FD=^AD=如，

1

團(tuán)CEi=QBC,

^BEL-^BC,

ZBEi=AF,BE1||AF,

國(guó)四邊形48%尸是平行四邊形，

國(guó)AB||EiF,

團(tuán)"￡傳=匕8=60°,

BtanzFEjC=tanzfi=tan60°=V3；

當(dāng)點(diǎn)E在線段8C的延長(zhǎng)線上時(shí),

過(guò)點(diǎn)尸作FM于點(diǎn)M,

團(tuán)"￡傳=LB=60°,

BtanzFEiC=tanz.fi=tan60°=、耳,

0F/4=Ei/sin60。=26，=E/cos60。=2,

回BC=AD=6,

回BE】=EiC=CE=\BC=3,

團(tuán)EM=CE+EiC-EiM=3+1=4,

向*,rrr

0tanz.FFC=——FM=—2s/3=——6：

EM42

綜上所述，tan"EC的值為8或?，

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算，分類思想，熟

練掌握判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【變式61］（2425九年級(jí)上?山東淄博?期末）如圖，在△A5C中，^ACB=90°,AC=275,BC=6,CD是

48邊上的中線，則cos〃Z）C的值是（）

【答案】A

【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.利用勾股定理求出48=2V14,再根據(jù)直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半，求出A。=CD=45,過(guò)點(diǎn)力作AH_LC。于點(diǎn)”，利用三角形面積公式求出AH,

再求出OH,由余弦的定義代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

【詳解】解：回在Rt/kABC中，Z.ACB=90°,AC=2>/5,BC=6,

(34B=y/AC2+BC2=J(2V5)2+62=2V14,

團(tuán)CD是88邊上的中線，

回S“DC=\S^ABC=Tx\AC'BC=3?CD=AD=^AB='/!?,

過(guò)點(diǎn)工作AH1CD于點(diǎn)H,

3>/70

團(tuán)4H

在RtaAHD中，DH=y/AD2-AH2=

2m

團(tuán)cos41DC=器=備=4

故選：A.

【變式62】（2425九年級(jí)上叫川費(fèi)陽(yáng)?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形。力8c的邊OC在x軸上，OA

在y軸上且力8||OC,線段OA,48的長(zhǎng)分別是方程M_9%+20=0的兩個(gè)根（。4<AB）,P.。分別為。4、

OC上兩點(diǎn)，OQ=S,將APOQ翻折，使點(diǎn)O落在邊力口上的點(diǎn)。處，貝Utan/PQO=.

【分析】先利用因式分解法解方程,一9%+20=0可得到04=4,AB=5,得出四邊形40QB為矩形，則

BQ=0A=4,根據(jù)勾股定理求出=3,則04=2,由折疊得到OP=DP,乙PQD=4Q0,然后利用

勾股定理求出PD=會(huì)進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：X2-9%+20=0

(%-4)(%-5)=0

得彳1=4,“2=5.

vOA<AB,

???OA=4,AB=5,

連接BQ,

DB

A

P

Q°x-AB||OC,OQ=AB=