第二十二章一元二次方程(舉一反三講義)全章題型歸納

【華東師大版】

題型歸納

【培優(yōu)篇】.......................................................................................7

【題型1一元二次方程的相關(guān)概念】..............................................................7

【題型2一元二次方程的一般解法】..............................................................7

【題型3配方法的應(yīng)用】.........................................................................8

【題型4根的判別式與一元二次方程根的情況】....................................................9

【題型5根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】......................................................9

【題型6一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】.............................................................10

【拔尖篇】.......................................................................................11

【題型7利用根與系數(shù)的關(guān)系求值】..............................................................11

【題型8利用一元二次方程的根求取值范圍】.....................................................11

【題型9一元二次方程解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】...........................................................12

【題型1。一元二次方程與幾何圖形】.............................................................13

舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1濠二次方程的定義

1.定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有二個(gè)未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫做

一元二次方程.

2?一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：是整式方程、只含有一個(gè)未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

例如：/+%=2,%2+1,x2+y-3=0,x3—3x+8=0,(%—1)(%-2)=土一1均不是一元二次方程.

知識(shí)點(diǎn)2一元二次方程的一般形式

1.一元二次方程的一般形式是a/+hx+c=O(o=0).其中ax?是二次項(xiàng).0是二次項(xiàng)系數(shù);皿是一次項(xiàng).h

是一次項(xiàng)系數(shù)：C是常數(shù)項(xiàng).

2.(1)工0是一元二次方程一般形式的重要條件，但是'c可以為0；(2)任何一個(gè)一元二次方程都可

以化成一般形式;(3)一元二次方程的各項(xiàng)都包含它前面的符號(hào).

3?一元二次方程的特殊形式.

(1)當(dāng)b=0時(shí),得Q/+c=0(a工0)；

(2)當(dāng)<?=0時(shí)，得Q/+bx=0(a豐0)；

(3)當(dāng)b=0且c=0時(shí)，得@元2=o(ah0).

知識(shí)點(diǎn)3一元二次方程的解(根)

L定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次

方程的根.

2.一元二次方程可能沒(méi)有實(shí)數(shù)根，可能有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，也可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.若必，不是一元

二次方程a/+與+。=0(。工0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列兩個(gè)等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知參數(shù):

2

ax^+bx1+c=0(aH0),ax2+bx2+c=0(aH0).

知識(shí)點(diǎn)4直接開平方法解一元二次方程

1.非負(fù)數(shù)〃的算術(shù)平方根為歷，平方根為

例如：144的算術(shù)平方根為12,平方根為±4^=±12.

2.根據(jù)平方根的意義直接開平方求解一元二次方程的方法,叫做直接開平方法.

例如/=25,解得x=±5.

一般地，對(duì)于方程/=〃.

p>0方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根/=赤，&=-y/p

p=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根%=X2=0

p<0方程無(wú)實(shí)數(shù)根

3.直接降次解一元二次方程的步驟

(1)洛方程化為/=p或(mx+n)2=p(p>0,m0)的形式；

(2)直接開平方化為兩個(gè)一元一次方程；

(3)解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解.

知識(shí)點(diǎn)5配方法解一元二次方程

1.解一元二次方程時(shí)，先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊,再把它的左邊配成含有未知數(shù)的完全平方式,口】將方程化為

Q+a)2=b的形式，如果右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，那么就可以利用直接開平方的方法求解.這種通過(guò)配成完全

平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫做配方法.

2.配方法解一元二次方程的一般步驟(示例)

一般步驟方法實(shí)例(9y2-18y-4=0)

將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，含

一移移項(xiàng)9y2-18y=4

未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊

方程左、右兩邊同時(shí)除以二S24

二化二次項(xiàng)系數(shù)化為1y-2y=-

項(xiàng)系數(shù)

,4

y2-2y+l=-+l

方程左、右兩邊同時(shí)加上次

三配配方

項(xiàng)系數(shù)一半的平方

即⑶-1)2號(hào)

利用平方根的意義直接開平V13

四開開平方

方(y-i)=±T

11VH->/i3

五解得出兩個(gè)根移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)Yi=1+丁，丫2=1---

歸納；當(dāng)方程一邊配成了關(guān)于未知數(shù)的完全平方式后,如果另一邊是正數(shù),那么這個(gè)方程就有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根；如果另一邊是雯，那么這個(gè)方程就有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；如果另一邊是負(fù)教，那么這個(gè)方程就

沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

3.解題依據(jù)：（Q士6）2=。2±2g+匕2,把公式中的Q看作未知數(shù)，并用工代替，則（％±6）2=%2±2版+

b2.

知識(shí)點(diǎn)g一元二次方程根的判別式

1.對(duì)于一元二次方程Q32+bx+c=0（a工0）,通過(guò)配方可得（％+1）2=b則方程根的情況由垓一

4ac的符號(hào)決定.

一般地，式子62—4QC叫做一元二次方程a/+以+c=0根的判別式，通常用希臘字母“A”表示它，即A二

b2-4ac.

2.根的判別式△的符號(hào)與一元二次方程根的情況

（1）△>0Q一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:

（2）△=0=一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

（3）△<0o一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

3.應(yīng)用

（I）不解方程判斷一元二次方程根的情況；

（2）根據(jù)方程根的情況求字母系數(shù)的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)7公式法解一元二次方程

1.當(dāng)AZO時(shí)，方程以2+以+c=0(QH0)通過(guò)配方，其實(shí)數(shù)根可寫為x=±等工的形式，這個(gè)式子叫

做一元二次方程32+以+。=0的求根公式.將各系數(shù)直接代入求根公式，這種解一元二次方程的方法叫

做公式法.

△>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X=-嗎Jac

△=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根與=乃=

△<0方程無(wú)實(shí)數(shù)根

2.利用公式法解一元二次方程的一般步驟

(1)把方程化為一般形式，確定。，b,c的值:

(2)求出A=爐一4。6：的值；

(3)若AZO,則將小b,。的值代人求根公式％=生”亞求出方程的根，若△<(),則方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

2a~

知識(shí)點(diǎn)8因式分解法解一元二次方程

1.先因式分解，使一元二次方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從

而實(shí)現(xiàn)降次,這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

2.適合用因式分解法求解的一元二次方程的形式

3.利用因式分解法解一元二次方程的一般步驟

一移使方程的右邊為。

二分將方程的左邊因式分解

三化將方程化為兩個(gè)一元一次方程

四解寫出方程的兩個(gè)解

知識(shí)點(diǎn)9一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1.由求根公式可得當(dāng)空LQ時(shí)，一元二次方程aM+hx+c=0（a工0）的兩根分別為修=一"'：一“",x2=

一”；；4弋則修+&=-*X/2=:

例如：方程/+px+q=0的兩根為工1，%2，則+%2=-p，X1X2=Q-

2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用

（I）不解方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值.

（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值.

（3）已知方程兩根的關(guān)系，求方程中字母的值.

（4）與根的判別式相結(jié)合，解決?些綜合題.

知識(shí)點(diǎn)10實(shí)際問(wèn)題中常見的數(shù)量關(guān)系及表示方法

1.平均增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題

設(shè)增長(zhǎng)（降低）的基數(shù)為。，每次的平均增長(zhǎng)率（降低率）為X,增長(zhǎng)（降低）〃次后的數(shù)量為乩則增長(zhǎng)

率公式為Q（1+x）n=b,降低率公式為a（l-x）n=b.

2.銷售利潤(rùn)問(wèn)題

⑴利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)；

<2）利潤(rùn)率二筆x100%=當(dāng)萼x100%：

進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)

（3）售價(jià)二進(jìn)價(jià)x（l+利潤(rùn)率）；

（4）總利潤(rùn)=每件商品的利潤(rùn)X銷售量=總收入一總支出.

3.幾何問(wèn)題

（I）面積公式：S長(zhǎng)方形=ab,S正方形二/，$圓="2，s三角形二：a/i；

說(shuō)明：①。，方分別為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬；

②〃為正方形的邊長(zhǎng)；

③，為圓的半徑；

④。為三角形的一邊長(zhǎng)，h為邊長(zhǎng)為a的邊上的高.

（2）體積公式：曝方體=abh,々方體=。兀％柱=7tR2hiP圓錐=”產(chǎn)兒

說(shuō)明：①a,b,h分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高;

②a為正方體的棱長(zhǎng)；

③R為圓柱底面圓的半徑，h為圓柱的高；

④R為圓錐底面圓的半徑，h為圓錐的高.

4.傳播問(wèn)題

傳染源+第一輪被傳染的+第二輪被傳染的二二輪傳染后被傳染的總數(shù).

5.計(jì)數(shù)問(wèn)題

若參賽隊(duì)伍數(shù)為〃，則單循環(huán)賽中每隊(duì)比賽場(chǎng)數(shù)為(九-1)場(chǎng)，比賽總場(chǎng)數(shù)為的尸場(chǎng)。雙循環(huán)賽中每隊(duì)比賽場(chǎng)

數(shù)為2(〃一1)場(chǎng)，比賽總場(chǎng)數(shù)為一1)場(chǎng).

6.數(shù)字問(wèn)題

兩位數(shù)十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字三位數(shù)百位數(shù)字十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字

100a+10b

10x+yXyabC

+c

7.存款利息問(wèn)題

本息和二本金+利息；利息二本金x利率x存期.

8.工程(行程)問(wèn)題

工作總量;工作效率X工作時(shí)間；路程二速度X時(shí)間.

9.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

解決幾何圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，通常是在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化中，列出相關(guān)線段的代數(shù)式，再利用面積公式、勾股

定理等列出一元二次方程解決.

知識(shí)點(diǎn)2列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

可簡(jiǎn)單地分為審、設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答六個(gè)步驟.

(1)審：認(rèn)真審題，分析題意，明確已知量、未知量及它們之間的關(guān)系；

(2)設(shè)：用字母(如x)表示題目中的一個(gè)未知量；

(3)歹!J：根據(jù)等量關(guān)系，列出所需的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程；

(4)解：解方程，求出未知數(shù)的值；

(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，不符合實(shí)際意義的舍去；

(6)答：寫出答案(包括單位名稱).

【培優(yōu)篇】

【題型1一元二次方程的相關(guān)概念】

【例1】（24-25九年級(jí)上?江西宜春?階段練習(xí)）已知。是方程/-2%+1=0的解，則代數(shù)式2023-次+2。

的值為.

【變式1-1］（24-25八年級(jí)下?浙江溫州?階段練習(xí)）下列是一元二次方程的是（）

A.x2+3=B.x2—x=0C.2（x—1）=3%D.x2+2y=1

【變式1-2］（24?25九年級(jí)上?安徽合肥?階段練習(xí)）將方程4%-1=3/化成一元二次方程的一般形式，當(dāng)二

次項(xiàng)系數(shù)為3時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（）

A.4?-1B.4,1C.-4,—1D.-4,1

【變式1-3］（24-25九年級(jí)上?安徽蕪湖?階段練習(xí)）若方程（Q—2）工團(tuán)+3%—Q=0是關(guān)于％的一元二次方程,

貝！Ja=.

【題型2一元二次方程的一般解法】

【例2】（24-25八年級(jí)下?山東威海?期中）已知實(shí)數(shù)乃滿足方程（＞2+無(wú)）（1一/—無(wú)）+6=0,則爐+%的值

是.

【變式2-1］（24-25八年級(jí)下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）解下列方程

⑴（％+5）2=25

（2）x2+2x=0

（3）x2+10x+21=0

（4）3*2+6x-4=0

【變式2-2］（24-25八年級(jí)下?浙江紹興?期中）關(guān)于%的方程1）=3（%-1）,下列四種不同解法中，完

全正確的是（）

①兩邊同時(shí)除以（％-1）得x=3.

②化簡(jiǎn)整理得好—4%=—3,va=1,b——4,c——3,—4ac=28,二%=^^^二2±

③整理得/-4%=-3,配方得/+4X+2=-1,--2=±1,=1,x2=3.

④移項(xiàng)得：（x—3）（%-1）=0,-3=0或％—1=0,.，.必=1,x2=3.

A.①B.②C.④D.③④

【變式2-3］（24-25八年級(jí)下?廣西南寧?期末）如圖，在長(zhǎng)方形A8CD中，以點(diǎn)力為圓心，AD為半徑作弧與AC

交于點(diǎn)尸，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧與AC交于點(diǎn)￡.設(shè)AB=a,AD=b,則方程/+2ax=廬的一個(gè)正

行.的長(zhǎng)C.2十.的長(zhǎng)D.AC的長(zhǎng)

【題型3配方法的應(yīng)用】

【例3】（24-25七年級(jí)下?廣西桂根階段練習(xí)）王老師在講完乘法公式（a±b）2=a2±2ab+乂的多種運(yùn)用

后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求代數(shù)式/+4x+5的最小值.同學(xué)們經(jīng)過(guò)交流討論，最后總結(jié)出如下解答

方法：

/+4x+5

=，+4%+4+1

=（x+2）2+1

因?yàn)椤?2）2工0,所以當(dāng)％=-2時(shí)，。+2）2的最小值是0.

所以（％+2）2+121.

所以當(dāng)（％+2）2=0時(shí)，（%+2y+1的值最小，最小值是1.

所以/+4丫+5的最小值是1.

依據(jù)上述方法，解決下列問(wèn)題：

⑴當(dāng)％=時(shí)，（％+5y+7有最小值是：

⑵多項(xiàng)式-/-軌+18有最（填“大〃或“小”）值，并求出該多項(xiàng)式的最值；

（3）已知△力8c的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足Q?+〃-2a=88—17,求當(dāng)c=4時(shí)，△ABC的周長(zhǎng).

【變式3-1]（2025?安徽六安?一模）已知％,y,z為實(shí)數(shù),且y+z=5-4%+3/,z-y=l-2x+x2,

則x,y,z之間的大小關(guān)系是（）

A.x<y<zB.y<x<zC.y<z<xD.z<x<y

【變式3-2]（2025?安徽池州?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)”，〃滿足a+2b=4,a>0,則下列判斷正確的是（）

A.a+b>2,M+5a+2b<4B.a+b<2,a25a+2b<4

C.a+b>2,a2+5a+2b>4D.a+b<2,a25a+2b>4

【變式3-3】（2025?浙江湖州一模）一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了兩個(gè)二次多項(xiàng)式2/+21+的-x24-

qx+c（其中p,q,c均是不為零的常數(shù)）及這兩個(gè)代數(shù)式的一些信息，如下表所示:

二次多項(xiàng)式對(duì)二次多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解對(duì)二次多項(xiàng)式使用配方法

2x2+px+c(2x+a)(x+b)2(x—m)2+k]

22

—x+qx+c(x+a)(-x+/9)-(x-n)+k2

（說(shuō)明：h,m,n,%,卜2均為常數(shù)）

有學(xué)生探究得到以下四個(gè)結(jié)論：①若p+q=12,則27九+6=71；②若p=q=2,則c=一：；③若有且

只有一個(gè)X的值，使代數(shù)式2/+口％+。的值為0,則p-4q=0；④若m-71=2,則c的值不可能是一5.其

中心有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【題型4根的判別式與一元二次方程根的情況】

【例4】（24-25八年級(jí)下?安徽六安?期末）已知關(guān)于》的一元二次方程M-（k+2）x+k-l=0.

⑴求證：無(wú)論A取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

⑵已知2是此方程的一個(gè)根，求A的值和這個(gè)方程的另一個(gè)根.

【變式4-1］（24-25八年級(jí)下?陜西銅川?階段練習(xí)）若關(guān)于》的一元二次方程2/-4%-1+k=。有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根，貝丸的值為（）

A.6B.4C.2D.3

【變式42］（2025?河南焦作?二模）定義運(yùn)算：a團(tuán)6=滔+出,一2匕2,例如4團(tuán)3=42+4x3-2x32,則

不解方程，判斷方程（工+1）02=0的根的情況是.

【變式4-3］（24-25八年級(jí)下?浙江溫州?階段練習(xí)）對(duì)于一元二次方程Q/+bx+c=0（a。。），下列說(shuō)法：

①若a+b+c=0,則/-^ac>0；②若方程a/+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax?+/?%+（?=0

必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程QM+入+c=0的一個(gè)根，則一定有ac+b+l=0成匕④若&是

一元二次方程a/+族+c=0的根，則/一4ac=（2a&+b）2,其中正確的（）

A.只有①②B.只有①②④C.只有②③④D.只有②③

【題型5根的判別式與根與系數(shù)關(guān)系的綜合】

【例5】（24-25八年級(jí)下?安徽安慶?期中）若關(guān)于%的一元二次方程/+2%-機(jī)2一血=0（巾>0）.

（1）該方程根的情況是（填“兩個(gè)相等實(shí)根”、“兩個(gè)不相等實(shí)根”或"無(wú)實(shí)根〃）:

（2）當(dāng)m=l,2,3,2025時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程的兩人根分別記為由、用，a2,凡，叼，%

….?2025?。2025，則2+2+"+^+2----k1―+彳一Ml僅為---------

alPla2P2a3P3a2O2SP202S

【變式5-1］（24-25八年級(jí)下?安徽安慶?期末）已知關(guān)于x的一元二次方程％2一4%一2血+5=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)

根X］，X2，且滿足+%2=血2+6,則m=（）

A.-3或1B.1C.3或一1D.-1

【變式5-2］（24-25九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）關(guān)于x的方程Q/+bx+c=。有兩個(gè)不相等的實(shí)根修，

%2,若欠2=2*1，則4b-3ac的最大值是（）

A.1B.4C.6D.8

【變式5-3］（24-25八年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí)）對(duì)于關(guān)于x的代數(shù)式a/+M+C,若存在實(shí)數(shù)/〃，使得

當(dāng)％=m時(shí)，代數(shù)式的值也等于如則稱機(jī)為這個(gè)代數(shù)式的"不動(dòng)值”.例如：對(duì)于關(guān)于x的代數(shù)式當(dāng)％=0

時(shí)，代數(shù)式的值等于0：當(dāng)％=1時(shí)，代數(shù)式的值等于1,我們就稱。和1都是這個(gè)代數(shù)式的“穴動(dòng)值〃.

⑴關(guān)于x的代數(shù)式/-6的不動(dòng)值是

（2）判斷關(guān)于x的代數(shù)式2%2一%+1是否有不動(dòng)值，若有，請(qǐng)求出代數(shù)式的不動(dòng)值；若沒(méi)有，則說(shuō)明理由.

⑶已知關(guān)于x的代數(shù)式a尤2十（4-a）x-3（a豐0）.

①若此代數(shù)式僅有一個(gè)不動(dòng)值，求4的值；

②若此代數(shù)式有兩個(gè)不動(dòng)值，且兩個(gè)不動(dòng)值的差為2,直接寫出正整數(shù)a的值.

【題型6一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用】

【例6】（24-25九年級(jí)下?重慶石根期中）一家工廠為了生產(chǎn)某種特殊材料，決定從供應(yīng)商處購(gòu)買甲、乙兩

種化工原料.已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料貴4元，工廠第一次花費(fèi)800元采購(gòu)甲化工原料和240

元采購(gòu)乙化工原料，發(fā)現(xiàn)甲化工原料的桶數(shù)是乙化工原料桶數(shù)的2倍.

⑴求每桶甲化工原料與乙化工原料的售價(jià)分別為多少元.

⑵已知供應(yīng)商每桶甲化工原料的進(jìn)價(jià)是a元，每桶乙化工原料的進(jìn)價(jià)是:a元，甲、乙售價(jià)不變.為了擴(kuò)大生

產(chǎn)，工廠決定再次購(gòu)買這兩種化工原料，且第二次購(gòu)買甲化工原料的數(shù)量比第一次購(gòu)買的數(shù)量少10a%,購(gòu)

買的乙化工原料的數(shù)量是第一次的3倍.若供應(yīng)商第二次共獲利368元，求Q的值.

【變式6-1］如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒I人感染后，經(jīng)過(guò)兩輪傳播，共有361人感

染.

⑴平均每人每輪感染多少人？

⑵第二輪傳播后，人們加強(qiáng)防范，使病毒的傳播力度減少到原來(lái)的a%,這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是

第二輪傳播后感染人數(shù)的10倍，求a的值.

【變式6-2】2025年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干旱，一居民小區(qū)的部分綠化樹枯死.小區(qū)物業(yè)管理公司決

定補(bǔ)種綠化樹，計(jì)劃購(gòu)買小葉榕和香樟共50棵進(jìn)行栽種.其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經(jīng)

測(cè)算，購(gòu)買兩種樹共需38800元.

⑴原計(jì)劃購(gòu)買小葉榕、香樟各多少棵？

⑵實(shí)際購(gòu)買時(shí)，經(jīng)物業(yè)管理公司與商家協(xié)商，每棵小葉榕和香樟的售價(jià)均下降10m元（mW10））,且兩種

樹的售價(jià)每降低10元，物業(yè)管理公司將在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上多購(gòu)買小葉榕2棵，香樟1棵.物業(yè)管理公司實(shí)

際購(gòu)買的費(fèi)用比原計(jì)劃多3600元，求物業(yè)管理公司實(shí)際購(gòu)買兩種樹共多少棵？

【變式6-311月21日，重慶在除夕夜舉行了首屆重慶都市藝術(shù)節(jié)跨年焰火表演，以跨年整點(diǎn)焰火的形式辭舊

迎新，為感受喜慶、熱烈的現(xiàn)場(chǎng)氛圍，甲、乙兩人從各自家前往朝天門廣場(chǎng)觀看焰火表演、由于當(dāng)晚觀看

焰火表演的人較多，甲先將車開到距離自己家50千米的A停車場(chǎng)后，再步行1T?米到達(dá)目的地，共花了1.5小

時(shí)，此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的25倍.

⑴求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？

⑵乙先將車開到。停車場(chǎng)后，再步行前往H的地，總路程為46千米，此期間，已如乙開車的平均速度比甲開

車的平均速度快m千米/小時(shí)（巾＞0）,乙開車時(shí)間比甲開車時(shí)間少點(diǎn)m小時(shí)；乙步行的平均速度比甲步行的

平均速度快引千米/小時(shí)，乙步行了;小時(shí)后到達(dá)目的地，求m的值.

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【拔尖篇】

【題型7利用根與系數(shù)的關(guān)系求值】

【例7】（24-25九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）如果〃?，〃是一元二次方程/+工-3=0的兩個(gè)根，那么多

項(xiàng)式根3+一nm+三+2032的值是.

n---------

【變式7-1］（24-25九年級(jí)上?內(nèi)蒙古包頭?階段練習(xí)）若小、〃是一元二次方程3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

則也3.4n2+17的值是.

【變式7-2】已知互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足￡=一。一3,三=一6-3,求貯+尤-2的值_.

abccc

【變式7-3］（24-25九年級(jí)上?江蘇南京?期中）已知m,n,s,t為互不相等的實(shí)數(shù)，且（zn+s）（m+C）=2,

（ri+s）（n+t）=2,則nm-st的值為（）

A.-2B.0C.-D.2

【題型8利用一元二次方程的根求取值范圍】

［例8］若關(guān)于X的方程（1-m2）x2+2mx-l=0所有的根都是比1小的正數(shù).則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是.

【變式8-1］（2025?福建三明?一模）已知方程（％-2）（一-4%+口）=0的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根可作為三角

形的三邊邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.1<a<3B.1<a<4

C.3<a<4D.2<a<3

【變式8-2］一知關(guān)于工的一元二次方程/++匕=0有兩個(gè)根%i，工2,且滿足1<均<X2<2.記t=a+b,

貝狂的取值范圍是—.

【變式8-3］（24-25九年級(jí)上?湖北武漢?階段練習(xí)）關(guān)于"的一元二次方程/-（m+2）第-3m-3=0在-2<

XW2范圍內(nèi)有且只有一個(gè)根，則m的取值范圍為

【題型9一元二次方程解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】

【例9】（24-25八年級(jí)下?安徽亳舛?期中）如圖，在△ABC中，〃?=90。，/C=4cm,8c=3cm,一動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)C出發(fā)沿著CB方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著AC邊以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P,Q兩點(diǎn)

同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.當(dāng)PQ=：AB時(shí)，t=（）

【變式9-1］如圖，已知矩形力BCD的邊長(zhǎng)48=3cm,BC=6cm.某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方

向以lcm/s的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿。力方向以2cm/s的速度向點(diǎn)人勻速運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：

CB

DNA

⑴經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，MN長(zhǎng)為2/？

⑵經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，面積等于矩形面積的：？

【變式9-2］（24-25八年級(jí)下?廣西百色?期中）如圖,在Rt/kABC中，Z.BAC=30°,BC=5cm,點(diǎn)E從A

點(diǎn)出發(fā)，沿射線A8運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,連接ECE、F