第二十四章圓-不規(guī)則陰影部分周長(zhǎng)、面積及最值相關(guān)計(jì)算常見題型總結(jié)練

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)

一、不規(guī)則陰影部分周長(zhǎng)計(jì)算

1.如圖，在扇形AO8中，半徑。4=9,將扇形AO8沿過點(diǎn)8的直線折疊，點(diǎn)。恰好落在A8上

的點(diǎn)。處，折痕交OA于點(diǎn)C,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)是.

2.如圖，在V/WC中，4AC=90。，人4=3,AC=4,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)A、C為圓心，

以A。、CQ的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為(結(jié)果

保留江).

3.如圖，等腰三角形042的頂角405=120。，和底邊相切于點(diǎn)C,并與兩腰04,OB

分別相交于。，E兩點(diǎn)，連接C。，CE,

(1)求證：四邊形OQCE是菱形：

⑵若"O的半徑為4,求圖中陰影部分的周長(zhǎng).

4.如圖，AA為G。的直徑，弦COJ.AB于點(diǎn)E,連接AC,BC,BD,尸為AC中點(diǎn)，且。斤=1.

(1)求8。的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)N￡>=30°時(shí),

?C￡>-；

②求陰影部分的周長(zhǎng)和面積.

二、不規(guī)則陰影部分面積計(jì)算

1.如圖，直角V48C中，乙4=90。，ZB=30°,AC=4,以A為圓心，4c長(zhǎng)為半徑畫四分之一

圓，則圖中陰影部分的面積是

2.如圖，扇形的圓心角為120。，點(diǎn)C在圓弧上，Z4BC=30°,QA=2,陰影部分的面積為

3.如圖，以A為圓心，A8為半徑作扇形A8C,線段AC恰好與以A8為直徑的半圓弧相交，交

點(diǎn)。為弧48的中點(diǎn)，若A8=4,則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留根號(hào)和兀）.

4.如圖，C為QO上一點(diǎn)，是的直徑，48=4,Z4BC=30°,現(xiàn)將VA8C繞點(diǎn)B按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)30。后得到△4AC,BC交O于點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為.

C

二、不規(guī)則陰影部分面積中的最值相關(guān)的計(jì)算

1如圖，在扇形AOB中403=90。，C為A8上一點(diǎn)且4c=24C，點(diǎn)。為半徑08上一動(dòng)點(diǎn).若

OB=6則陰影部分局長(zhǎng)的最小值為

2如圖，一張直徑為40的列餅被切掉了一塊，數(shù)據(jù)如圖所示，連接AC,則AC=—；圖中陰

影部分面積的最小值為.

3.如圖，。。的半徑為2cm,弦人8=26m,C是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧4/)8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則圖中陰

影部分的面積之和的最小值是cm2.

4.如圖，在扇形30。中，/BOC=60°,OD平分NBOC交8c于點(diǎn)。，點(diǎn)E為半徑03上一動(dòng)點(diǎn).若

。8=1,則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為.

拓展練

I.某學(xué)校把一個(gè)長(zhǎng)方形場(chǎng)地改造成如圖所示的花園，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2。，窗為匕

⑴用含。、的式子表示圖中陰影部分的面積S.

⑵當(dāng)4=8,%=10時(shí)，求圖中陰影部分的面積.

2.如圖，A3是。的直徑，AC是9。的切線，切點(diǎn)為A,BC交CO于點(diǎn)D,點(diǎn)后是AC的中點(diǎn),

⑵若C。的半徑為2,N8=45。，AC=4,求圖中陰影部分的面枳.

3.綜合探究

如圖，在VA3C中，AB=AC,以A8為直徑作：O,AC與&O交于點(diǎn)Q,3c與。。交于點(diǎn)E,過

點(diǎn)C作C/〃A3,且C/=CO,連接M.

⑴求證：BF是。的切線；

⑵若/劭。=45。，4)=4,求圖中陰影部分的面積.

4.如圖，已知中，OA=OB,。。與A4切于點(diǎn)C,與。4、04分別交于點(diǎn)E、G,與40的延長(zhǎng)線

交于點(diǎn)。，連接4。、DG,延長(zhǎng)DG交AB于點(diǎn)F,已知BO=3C.

⑴判斷80與。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若，，。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留2

5.如圖，在A48C中，NC=90°,點(diǎn)例在圓。上，4c交圓。于點(diǎn)例，與圓。交于點(diǎn)O,DM=DE,

DEJ.AD交AB于點(diǎn)E,AE為,。的直徑，DF.LA13.

⑵若Z)M平分N4DC,求NCA力的度數(shù)；

⑶若AD=BD=6cm,求圖中陰影部分的面枳.

6.已知：如圖，在。中，AB=AC,以A8為直徑的交8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作力E_LAC于點(diǎn)

E.

⑴求證：DE是。的切線.

⑵若，。的半徑為女m,ZC=30°,求圖中陰影部分的面積.

7.如圖，在VABC中，以48為直徑的。與AC相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在(O上，且NE=NC.

⑵若NE=60。，人6=4,直接寫出圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積.

答案

一、不規(guī)則陰影部分周長(zhǎng)計(jì)算

I.解：如圖，連接。。，由折疊可知40=08,

?：OD=OB,

：.OD=OB=BD,

???.08。為等邊三角形,

，NBQD=60。，BD=OB=OA=9t

60兀x9

:8。的長(zhǎng)為=3兀，

180

，陰影部分的周長(zhǎng)為：3兀+9.

2.解：???在VA8C中，ZABC=90°,AB=3,AC=4,

,AC=，AB'+BCi=5,ZA+ZC=90°,

???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

???AD=CD=-AC=2.5,

2

/.AE=AD=CD=CF=2.5,

.AAI/JAA,izAATn'JCD?兀2cAD?兀乙AAD?(NC+NA)_5

??OE的長(zhǎng)與O尸的長(zhǎng)的和為----------+----------=——

180。180°Tsir~4^

，陰影部分的周長(zhǎng)為1乃+2.5-2.5+2.5+2.5=］乃+10,

44

故答案為：7^+10.

3.(1)證明：連接。C,

O和底邊4B相切于點(diǎn)C,

:.OCLAB,

-OA=OB,4408=120。，

/.ZAOC=NBOC=-ZAOB=60°，

2

OD=OC,OC=OE,

:...ODC和△OCE都是等邊三角形,

\OD=OC=DC,OC=OE=CE,

..OD=CD=CE=OEt

二.四邊形ODCE是菱形：

(2)解：四邊形ODCE是菱形，

???DC=CE=OD=4，

又：ZAOB=120°,

.?圖中陰景?部分的周長(zhǎng)為嚕匕+2*4=：71+8

1OV3

4.(I)解：???/W為CO的直徑，

???Z4CB=90°,

???尸為AC中點(diǎn),。為A8中點(diǎn)，

???O/〃且=，8C,

2

VOF=1,

BC=2OF=2,

???弦CD_L48于點(diǎn)E,

,BC=BD，

/.BD=BC=2；

(2)解：①???弦CO_L4A于點(diǎn)￡,

/.BELCD,CD=2DE

VZD=30°,BD=2,

：?BE=1,DE=ylBDr-BE2=V3?

:?CD=2瓜

故答案為：2A/J

②連接oc,

VZC4?=ZD=30°,OA=OC,

???ZQ4C=ZOC4=30°,

JZAOC=120°.

在RtAABC,

VZAC^=90°,BC=2,NCAA=30°,

AAB=2BC=4,AC=6BC=?B

??s匕⑵)?a?24萬

FC的長(zhǎng)=-[^=7

陰影部分的周長(zhǎng)二f+26,

陰影部分的面積=冷薩92信號(hào).6

二、不規(guī)則陰影部分面積計(jì)算

1.解：如圖所示，連接AO,設(shè)QA分別交AEBC于E、D,

:?直角V/WC中，ZA=90°,N4=30。，AC=4,

，BC=2AC=8,

???AB=ylBC2-AC2=4>/3,

由題意得，AE=AD=AC=4,

???ZACB=\80°-90°-30°=60°,

???ACD是等邊三角形，

???C￡>=AC=4,/D4c=60。，

:.BD=4=CD,ZD4E=30°

??S陰影=S△八8。-S崩形DAE

3_s

一5°AABC-J用形DAE

J」X4X46-迎衛(wèi)

22360

=4百一±7T,

3

故答案為：4百-3乃.

2.解：連接AC,CO

/.ZAOC=2ZABC=60°,

又OA=OC,

.1AOC是等邊三角形，

/.ZC4O=60°,

又QNAO4=120°,

:.ZCAO+ZAOB=\8(T,

:.ACOB,

/DOA=90。，

又QOD=O4,

.?.NOAO=45。，

AB=4,

.?.04=2,扇形ABC面積=受竺t=2兀，

360

.?…AOD面積=：X22=2,扇形。4。面積=扇形08。面積=JX兀X22=TT,

24

???陰影部分的面積=（2兀一兀一2）+（兀-2）二2兀-4.

故答案為：27T-4.

4.解：連接。GC2。。，如圖所示;

??ZB是《。的直徑，A8=4,

:.。的半徑為2,且ZACB=90。，

???ZABC=30°,

，ZQ4C=60°,

'：OA=OC.

:.△AOC是等邊三角形.

由旋轉(zhuǎn)可知：NA為C=Z43C=30。,

/.NO3￡>=60°,

?：OB=OD,

:.BOD是等邊三角形,

，ZAOC=ZBOD=60°,

/.ZCOD=60°,

,:△COD是等邊三角形，

/.ZC/X>=60°,

/.NCDO=/BOD,

：.CD〃AB,

,,S'CDB~Svc/W?

60。7

???圖中陰影部分的面積=S加收加二寶法'"'22=可萬,

JOUJ

2

故答案為：

三、不規(guī)則陰影部分面積中的最值相關(guān)的計(jì)算

1.解：作點(diǎn)C關(guān)于08的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接E4,與08交點(diǎn)為。/C交08于點(diǎn)E,過點(diǎn)尸作“_LAO,交

AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)，山對(duì)稱可知。一。尸,

"￡0=90。，

NAOB=90。,AC=2BC

ZBOC=30。,^AOC=60°,

?./CEO=90。,OC=OA=瓜

0E=Jg-5=M、（用=|,

???四邊形EFDO是矩形，

...PF=-,OP=—f

22

???AP=OA+OP=43+—=—，

22

??Ab=1AP，+/V。=f4-g）=3,

I_60乃xJ5_8兀

AC~-180"~

???陰影部分周長(zhǎng)的最小值為匝+3,

c

故答案為：叵+3.

3

2.解：如圖I,設(shè)圓心為。，連接。4,OC,AC,則。4=OC=20,

?AC=ACt

???NAOC=2N9=90。，

由勾股定理得，AC=yJo^+OC2=20>/2，

設(shè)〃到AC的距離為力，

由題意、知?s陰影=so-s扇形/0c—s八0cHs八8c]

90/rx2()211rr,

=TTX20'-----------------x20x20+—X20V2X//

36022

=400乃-[l(.XU-200+10>/2/?]

=300乃+200-10同，

當(dāng)h最大時(shí),S裕影最小，

?,?當(dāng)8O_LAC時(shí)，h最大,如圖1,作8O_L4C于。，

???AD=-AC=\0y/2t

2

由勾股定理得，OD=>JO^-AD2=10V2?

工〃=OB+OO=20+10&，

:.S明彩=300萬+200—10忘x(20+10夜)=30()乃-2000,

故答案為：20匹，300乃-2OC0.

3.解：過點(diǎn)C作CE/AB于E,

，:S用影=S刈-S..=2冗x2—;ABCE=(4TT-x/3CE)cnr,

???當(dāng)CE最大時(shí)，S用影最小，此時(shí)，CE經(jīng)過圓心O,即OC垂宜平分AB,點(diǎn)C為優(yōu)弧AOB的中點(diǎn)，

連接。4，

?：OE1AB,

:.AE=^AB=ix2V3=V3(cm),

由勾股定理，^OE=>JOA2-AE2=^22-(73)：=l(cm),

,CE=OC+OE=2+I=3(cm),

:.s陰比最〃、值=(47t-3V5)cm2,

故答案為：4n—3\/3.

4.解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)以，連接。。交于點(diǎn)E,連接ED、0。,

C

此時(shí)￡。+￡。最小，即：EfC+E,D=EC+E'D'=CDf,

由題意得，ZC0D=ZDOB==30°,

\?COM90,?,

：.CD=^oc12+oty2=Vi2+i2=V2-CD的長(zhǎng)

1oUO

???陰影部分周長(zhǎng)的最小值為V2+-=逑土工.

66

拓展練

1.(1)S=ab

(2)80

(1)解：S=2ab-2x—ab=ab；

2

(2)解：當(dāng)a=8,)=10時(shí)，

^=8x10=80,

則陰影部分的面積為80.

2.(1)見解析

(2)4一4

(1)證明：連接。￡、。。，如圖,

A

4。是（。的切線,

0

。、B

：.AB±AC,

ZOAC=90°,

點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，。點(diǎn)為AB的中點(diǎn),

OE〃BC,

.*.Z1=ZB,N2=N3,

OB=OD,

...NB=N3,

...N1=N2,

在A4OE和DOE中,

OA=OD

Z1=Z2,

OE=OE

.[AO%DOE(SAS).

；2ODE=/OAE=90°,

s.DELOD,

OD為。的半徑,

??.OE為，。的切線:

（2）由（1）可知.AC。與.4）8是直角三角形

???4=45。，

則AC=4A=4,AE=EC=AO=DO=BO=2,

二四邊形4EOO為正方形,

則圖中陰影部分的面積=正方形4EDO的面枳一扇形A。。的面積=4-4.

3.（1）見解析

(2)乃-2近

（1）證明：如圖所示，連接80,

B

ADC

「AB是O的直徑,

/.ZBDA=90°,

???N'5DC=90°，

,:AB=AC,

，ZABC=ZACB,

'：CF//AB,

，ZFCB=ZABC,ZABF+ZF=180°,

：?4FCB=ZACB、

義?：CF=CD,BC=BC,

:,BCF出BCD(SAS),

???NF=NBDC=900,

又：ZAZ?F+ZF=180°,

AZABF=90°,UPABA.BF,

又???AB是CO的直徑，

，斷是。的切線；

(2)解：如圖所示，連接OE交80于M,

VZBDA=90°,N班C=45。，

???4)8為等腰直角三角形

，8D=AD=4,NO8M=45°,

?*-AB=JAD?+BD?=4A/2，

???OE=OB=-AB=2y/2,

2

???4OEB=ZABC,

/.NOEB=ZACB,

：,OE//AC,

，4OMB=ZADB=90°，/BOE=ZBAC=45°，

，△OM3為等腰直角三角形,

/.BM=OM，

,OB=UOM'+BM?=6BM=2五,

/.BM=OM=2,

45乃X(2&Y

,?S叨影二S由形OBE

360

4.⑴是。的切線，理由見解析

⑵拽.四

23

(1)訐明:/，)是：。的切線,理由：

連接OC,

A8與。相切于點(diǎn)C,

在和QB。中,

OC=OD,BC=BD,BO=BO,

...OBC^OBD(SSS),

;./ODB=/OCB=90°,即OD_L8。，

OD是。的半徑,

.?.8。是。。的切線:

(2)解：??00=06,

:.Z€)DG=NOGD,

OA=OB,0C1AB,

ZAOC=4B0C=-ZAOB,

2

ZAOB=Z.ODG+ZOGD，

...NAOC=NOQG,

OCDF,

OCLAB,

:.DFLAB,

由(1)可知.Q3C@080,

.,.ZCOB=ZDOB,

ZA0C=NC0B,

：.zLCOB=乙DOB=ZAOC，

.Z.COB+Z.DOB+ZAOC=180°,

/.4COB=/DOB=ZAOC=60°,

在心.4OC中，OC=2,Z40C=60°,

.\OA=2OC=4,

AD=OA+OD=6,

在m-AZ)「中，ZD=60°,AD=6,

1/?

:.DF=-AD=3tAF=—AD=^,

I2(UX22

7x/34/r

=-------?

23

5.(1)見解析

(2)30°

2

(3)(2乃一一—-)(c??z)

(1)證明：DM=DE,

??DM=DEf

;.RCAD=/DAB；

(2)解：連接OM,OD,作。“JLM。于〃,

OA=OD,

：.^OAD=ZODA,

；NCAD=/DAB,

：.^CAD=ZODA,

：.ODAC,

ZC=90°,

AC_L8C,

：.ODA.BC,

：.NMDC十乙MDO=90°,

OM=OD,OH工MD,

：.NDOH=、NMOD,

2

ZCAD=-ZMOD,

2

:"CAD=/DOH,

:/DOH+/MDO=V中,

："DOH=4CDM,

/.ZC4D=ZCDM,

DM平分NAOC,

/.Z.CDM=ZADM,

.ZC4D+ZADM+ZCDM=90°,

NO=30。；

(3)解：?;DA=DB,

:"DAB=/B,

QOD=OA,

：.ZDAB=ZADO,

NDOB=NDAB+ZADO=2ZB,

NZX>4+NB=900,

.?.NB=ND/\B=30°,

.?.NBOD=60。,

AD=6c〃z,

DF=-AD=3cni

2f

0F=—FD=>j3cm,

3

OD=2OF=2也cm,

???扇形ODE的面枳=池"：仔”=2%(cW),AODF的面枳=,OF?。尸=Lx3x6=空“力),

3602227

???陰影部分的面積二扇形ODE的面積-AODF的面積=2乃-亭］卜〃，).

6.(1)證明詳見解析

(2)371--

4

(I)解：連接O。，

：2B=/ODB,

-AB=AC,

NB=NC,

NODB=NC,

.?.0。平行于AC,

DELAC,

:.DELOD,

.?.OE是的切線.

(2)解：過點(diǎn)。作OF上BD干點(diǎn)F,

.ZC=30°,AB=AC,OB=OD

ZOBD=NODB=ZC=30°,

407)=120°,

在RlOFO中，

ZF￡)O=30°,

13

OF=—OD=—cm,

22

二.DF=y]OD2-OF2=—cm,

2

BD=2DF=3\/3cm,

1207rx32°