第1章整式的乘除（單元測試?拔尖卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.1968年科學家發(fā)現(xiàn)世界上最小的物質(zhì)是夸克，物質(zhì)就是由這種極其小的物質(zhì)而構(gòu)成的，夸克有多小

呢？它的大小是1介米，約為原子核的百萬分之一.百萬分之一用科學記數(shù)法表示為（）

A.1x10$B.lxlO6C.lxlO6D.lxlO8

2.方程產(chǎn)=27,2r=4y-,?則x-)'二()

A.1B.0c.1.5D.2

32+32+32

3.化簡-、+?,7的結(jié)果為（）

32X32X32

]_D.±

A.1B.-c.

3927

4.計算（21+3），-4）（21+胡+。）得到的多項式不含黑），的一次項，其中〃，人是常數(shù),則的值為

（）

A.1B.-1C.-7D.7

5.W細菌為二分裂增殖（1個細菌分裂成2個細菌），30分鐘分裂一次，培養(yǎng)皿上約有5x2。個細菌，

其中W細菌占其中的」，在加入7試劑后，如果該培養(yǎng)皿中的W細菌的數(shù)量達到產(chǎn)后會使了變色，那么

40

需要（）小時丁恰好變色.

4

A.—B.4C.8D.10

25

6.若A、&C均為整式，如果4/3=。，則稱A能整除C,例如由（x+3）（x—2）=x?+x—6,可知x-2

能整除V+x-6.若已知x-3能整除d+H—7,則A的值為（）

7242

A.——B.——C.—D.-

3333

7.如圖，長方形A8CD中，8<42vl2,8vA力<12,放入兩個邊長都為4的正方形AEFG,正方形DJIH

及一個邊長為8的正方形KCML,S「邑分別表示對應(yīng)陰影部分的面積，若不也,則長方形A8C。的周長

是（）

A.36B.40C.44D.48

8.關(guān)于多項式〃+6岫+13/f+4）的值說法正確的是（）

A.非負數(shù)B.不少于1C.不大于1D.不低于-1

9.某家具生產(chǎn)廠一月份生產(chǎn)沙發(fā)。件，生產(chǎn)椅子4a件.已知沙發(fā)產(chǎn)量每月平均增長率為X,椅子產(chǎn)量

每月平均降低率為A若該生產(chǎn)廠三月份椅子生產(chǎn)數(shù)量比沙發(fā)數(shù)量多。件，且2.y+x=；,則2），-'為（）.

35

A.1B.-C.2D.-

22

10.下列算式是小明的作業(yè)，那么小明做對的題數(shù)為（）

（1）若（尸=3,，=7,則產(chǎn)”=21;（2）（-0.125蘆丸成=8；

（3）（2a2b-ab）-i-ab=2a；（4）（-2〃）'=8/；

（5）（X-3）（2X+1）=Z--7X—3.

A.2個B.3個C.4個D.5個

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.已知x=5?,），=75,用含x,y的代數(shù)式表示257-4935+35"為

12.數(shù)字"1”非常的神奇，它可以寫成目32，還可以寫成2x（1-；

也可以寫成鏟5,請把數(shù)字"1"

2

進行轉(zhuǎn)換然后計算：（1+；）［1+別1+/）+:

13.實數(shù)x,），滿足方程（/+21+3）（3）尸+2），+1）=：則個=

14.若9/-仕-1）沖+259是關(guān)于1的完全平方式，則心

15.若“，人滿足2/+/f+2岫-4。+4=0,則4+3Z?的值為.

16.已知下面兩個關(guān)于x的等式：a（x-1）2+b（x-1）+c=（x+2）2,a（x+2）2+b（x+2）+c=（x+，〃）

2（加＞0）,對于x的任意一個取值，兩個等式總成立，則〃?的值為一.

17.如圖，將邊長為（。+3的大正方形分成四部分.

探究：

（1）請用不同的方法表示這個大正方形的面積，從而得到的等量關(guān)系是.

應(yīng)用：

（2）利用（1）中的結(jié)論計算10『=.若x滿足（2023-x）（x-2017）=8,則

(2023-x『+(x-2017『=.

18.填空：

(a-b)(a+b)=a2-b2；

(^a-b)(a2+ab+b2^=a3-b-；

(6/-Z>)(a,+a~b+ab~+//)=/-

(1)("0)(/6+/02%+-+油2+產(chǎn)2)=.

(2)猜想:

nln2n2ni

(a-b)(a-+a~b+L+ab~+b-)；(其中〃為正整數(shù)，且〃22)

(3)利用(2)中的猜想的結(jié)論計算：

①1+2+2?+,,+22°2、22022+22023

②3。-3"+38-y…+3,-3,+3?-3.

三、解答題(本大題共6小題，共58分)

19.(8分)計算：

(1)f^x3/-0.6xy\|x/(2)(2a+3by-\2a+b)(3a-2b)

20.（8分）若（2/+2）（/+3X-〃）的乘積中不含x2與X-項，求-〃2的值.

21.（10分）閱讀下面的圖示，并按要求解決問題：

1我是1，町當HL科的收學看字叫“師”+2|（即-5

我是2號町當?shù)?我的數(shù)學名字叫-irnrr-lf

花有兩個何吆:

（1）用1號減去2號應(yīng)該得到一個什么樣的數(shù)學名字呢？

（2）〃?=5,〃=0.5的話，會有什么結(jié)果呢？

22.（10分）閱讀下列材料，完成下列任務(wù).

小麗在數(shù)學資料上看到這樣一道題：

己知工=返+1，求代數(shù)式尸一21-1的值.

解：=41+1，1=41，

0（X-1）2=（V2）\0X2-2A-+I=2,（2/-2%=1,

任務(wù);

（1）在材料解答過程中，主要用了我們學過的數(shù)學知識是（）

A.平方差公式B.完全平方公式

C.因式分解D.單項式與多項式的乘法

（2）在材料解答的過程中，主要用的思想方法是（）

A.整體與化歸思想B.方程思想

C.分類討論思想D.數(shù)形結(jié)合思想

（3）已知x=JJ—2,求f+4x-4的值.

23.（10分）閱讀下列解答過程：己知：了。（），且滿足V—3x=l.求：/+二的值.

x

解：x2-3x=1>/.x2-3x-l=0

.-.x-3--=0,HPx--=3.

AA

/+，=口」）+2=32+2=ll.

請通過閱讀以上內(nèi)容，解答下列問題：

已知4工0,且滿足（2々+1）（1-2〃）一（3-勿）2+9片=144一7,求：

（1）片+4?的值；

（2）,“I的值.

5/+/+5

24.（12分）【閱讀材料】配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法.它是指將一個式子的某一部分通過恒

等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法.這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)

的意義來解決一些問題.

我們定義：一個整數(shù)能表示成人是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)〃.例如，5是“完

美數(shù)〃.理由：因為5=22+/,所以5是“完美數(shù)〃.

【解決問題】

（1）數(shù)61"完美數(shù)"（填"是"或"不是"）；

【探究問題】

（2）已知/+2./-4工+4），+6=0,則%+丁=；

（3）己知S=5/+），2+2冷，+12x+k（x、N是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為"完美數(shù)"，試求出符合條件

的」值;

【拓展結(jié)論】

（4）已知工、N滿足一Y+§x-y+l=O,求7x-3），的最小值.

參考答案:

1.B

【分析】先把百萬分之一變成數(shù)字的形式，再用科學記數(shù)法表示.

解：百萬分之一即一'—=0.000001=1x10-6.

1000000

故選:B.

【點撥】本題考查了科學記數(shù)法表示絕對值比1小的數(shù)，形式為4X10-〃，其中指數(shù)中的〃

等于第一個非0數(shù)前面0的個數(shù).

2.A

【分析】由題意可得：31=33,2、2*日），進而可得1-1=3,x=2（y-\）,求出x=4,產(chǎn)3,代入

式子求解即可.

解：團=27,2'=4'1,即：3E=312V=（22）＞-'=2^0,

0X-1=3,x=2（y-\）,

□x=4,y=3,

0A--y=4-3=l,

故選：A.

【點撥】本題考查轅得乘方的逆運用，將方程變形為：3i=33,2'=（22）1=2可以）是解決問題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)，同底數(shù)鼎乘除法的運算，求解分子和分母，然后化簡求解即可.

I32+32+323x3?3311

解：32x32x32~=F=?=i7

故選：D

【點撥】此題考查了同底數(shù)寤乘除法的運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運算法則.

4.B

【分析】先利用多項式與多項式乘法法則，展開后合并同類項，再令含x、y的一次項的系數(shù)均為零，

列方程組求解即可得到答案.

解：（2x+3y-4）（2x+ay+h）

=4x2+2axy+2bx+6xy+3ay2+3by-3x-4ay-4b

=4x2+（2a+6悶+（2b-8）x+0b-4。）），+3ay2-4b

丫展開后多項式不含X、y的一次項，

2/?-8=0

.’m—4（=0，

4=3

匠4

:.a-b=-\,

故選B.

【點撥】此題考查了多項式與多項式的乘法，熟練掌握多項式與多項式乘法法則、合并同類項、“不含

某一項則某一項的系數(shù)為零"的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】由題意，先求出W細菌的數(shù)量，然后列式進行計算，得到分裂的次數(shù)，即可求出時間.

解：由題意，

W細菌的數(shù)最為：5x22ix4=*（個），

40

用該培養(yǎng)皿中的W細菌的數(shù)量達到*后會使7變色，

團設(shè)分裂〃次達到變色的數(shù)量，則

2"3=2%，

BM=8：

出每30分鐘分裂一次，

30

08x—=4（小時）;

60

故選：B.

【點撥】本題考查了同底數(shù)塞乘法的應(yīng)用，以及細胞分裂問題，解題的關(guān)鍵是正確的理解題意.

6.B

【分析】根據(jù)題意設(shè)Cr-3）a+a）=f+履-7,運算得到同類項對應(yīng)系數(shù)相等，即可得出答案.

解：團工一3能整除f+去一7,

團設(shè)（1一3）（工+。）二/+依一7.

+（a-3）x-3a=x2+H-7,

-3a=-7

□i.，

a-3=k

7

a=-

解得3

k=--

3

故選B.

【點撥】本題考查了整式的運算，根據(jù)題意設(shè)出方程是本題的關(guān)鍵.

7.B

【分析】根據(jù)圖形中各線段的關(guān)系，用x、y的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長，再根據(jù)SjSz，由矩形面積公

式列出x、y的方程，求得x+y便可求解.

解:設(shè)，AD=BC=y,

則E"=y-8,DK=x-8,

LN=KJ=4-DK=4-(x-8)=l2-x,FN=4-GN=4-(y-8)=12-y,

05；=52,

a(y-8)(x-8)=(12-x)(12-y),

整理得4(x+y)=80,

團2(x+y)=40,

則長方形A8CO的周長是40,

故選：B.

【點撥】本題考查借助幾何圖形，考查了整式的混合運算，根據(jù)所給圖形，數(shù)形結(jié)合，正確表示出相

關(guān)圖形的邊長和面積是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】利用完全平方公式將多項式變形，再根據(jù)平方的非負性，即可求出答案.

解：a2+6ab+13b2+4b

a2+6ub+9b2+4lr十4〃

=(“+3葉+492+〃)

=(a+3/?)2+4

=(a+3b)2+4,+5-1

(a+3/?)2>0,>0,

:.a2+()ab-i-\3b2+4b>-\，

即多項式式+6ab+l3b2+4b的值不低卜-1,

故選：D.

【點撥】本題考查了完全平方公式，非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.

9.A

【分析】先表示出三月份生產(chǎn)椅子數(shù)量為4a(l-)，『，生產(chǎn)沙發(fā)的數(shù)量為。(l+x『，根據(jù)該生產(chǎn)J三月

份椅子生產(chǎn)數(shù)量比沙發(fā)數(shù)量多。件,列出等式4“1-)，)2-(1+力2=。，即4(Jy)2_(l+x)2=l,整理變形

為[3—(2y—x)][l-(2y+x)]=l,最后將2)，+%=；代入求出結(jié)果即可.

解：根據(jù)題意得：該生產(chǎn)廠三月份生產(chǎn)椅子數(shù)量為4〃(1-療，生產(chǎn)沙發(fā)的數(shù)量為

自該生產(chǎn)廠三月份椅子生產(chǎn)數(shù)量比沙發(fā)數(shù)量多。件，

E4tz(l-y)2-tz(l+x)2=a,

團。工0,

04(l-y)2-(l+A)2=l,

即[2(1-y)+(l+x)][2(l-y)-(l+x)]=l,

整理得：[3-(23?-.r)][l-(2v+.r)]=l,

把2y+x=；代入得：[3-(2)，一1)](1-《)=1,

解得：2y-x=\,故A正確.

故選:A.

【點撥】本題主要考查了代數(shù)式求值，平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出

4?(l-j)2-a(l+Jt)2=a,熟練應(yīng)用平方差公式.

10.A

【分析】本題考杳了整式的運算問題，分別利用同底數(shù)哥的乘法法則、基的乘方、積的乘方法則、多

項式的除法、乘法法則計算各式進行判斷即可.

解:(1)若〃"=3,。"=7,則產(chǎn)'。1Md=3x7=21;小明計算正確;

(2)；小明計算正確；

(3)(1a2b—ab)-i-ab-2a2b—ab-i-ab—2a—\■小明計算錯誤；

(4)(_2?=-8小小明計算錯誤:

(5)(x-3)(2.r+1)=2x2+X-6A-3=2x2-5.r-3.小明計算錯誤；

故正確的有2個

故答案為：A.

11.x2-yl4+x5y7

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的逆運算、塞的乘方的逆用、積的乘方與事的乘方法則即可得.

解：x=5',y=75,

...257-4935+3535

=(5>[(72)[+(5x7戶

=(57)2-|^(75)2J+535X735

=,"(4+(5戶(叫,

=x2-y,4+x5/,

故答案為：x2-y,4+x5/.

【點撥】本題考查了有理數(shù)乘方的逆運算、幕的乘方的逆用、積的乘方與幕的乘方，熟練掌握各運算

法則是解題關(guān)鍵.

12.2

【分析】本題考查了數(shù)字“1〃轉(zhuǎn)換，將數(shù)字"1"化成2x[1-；]添加到原式中，然后利用平方差公式依次

計算化簡即可得解，采用平方差的公式計算化簡是解題關(guān)鍵.

cI1

=2三+>

故答案為：2.

【分析】原方程可變形為[31『+2][（3），+1），2]=4,再根據(jù)平方的非負性可求出a+lf+222,

（3J+1）2+2>2,從而可求出尸-1,），=-：,最后代入求值即可.

解：（f+2x+3）（3y2+2y+l）=g,

3（f+2x+3）（3y2+2），+l）=4,

（f+2x+3）（9y2+6y+3）=4,

22

[（x+l）+2][（3y+l）4-2]=4.

（3（x+l）2>0,（3y+l）2>0,

團（x十if+2之2,（3），十十2N2,

0（x+l）2=O,（3y+l）2=0,

0x=-l,y=,

1

田孫=§.

故答案為：

【點撥】本題考查平方的非負性，根據(jù)完全平方公式計算，代數(shù)式求值.巧妙運用完全平方公式和非

負數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

14.31或-29/-29或31

【分析】由9/一（攵-1）-+25）；是關(guān)于x的完全平方式，得出9/—仕-1）冷+25.F=（3X±5），）2,進而

得出一（攵-1）=±30,即可求出，的值.

解：團9/母+25)，是關(guān)于x的完全平方式，

09x2-(A:-l)A>'+25/=(3x±5y)2,

回-仕-1)=±30,

解得：R=31或-29,

故答案為：31或-29

【點撥】本題考查了完全平方式，掌握完全平方式的特點，考慮兩種情況是解決問題的關(guān)鍵.

15.-4

【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)求出4，8的值，代入原式計算即可得

到結(jié)果.

解：已知等式變形得：(/+加+從)+(/-4。+4)=0,

即(67+/?)2+(0-2)2=0,

0(f?+Z?)2>O,(〃-2)吆0,

國。+6=0,。-2=(),

解得：。=2,b=-2,

則a+3Z?=2—6=4

故答案為：-4.

【點撥】此題考杳了配方法的應(yīng)用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

16.5

【分析】根據(jù)整式的混合運算法則，先對第一個等式化簡求得〃與C,代入第二個等式印可求得相.

解：0^(x-1)2+b(x-1)+c=(x+2)2,

-2ax+bx-/?+c=x2+4.r-4.

(Mr2+(b-2a)x+a-Z?+C=X2+4A+4.

函=1,b-2?=4,a-b+c=^.

0a=l,b=6,c=9.

0a(x+2)2+b(A+2)+C=(A+/H)2(w>0),

⑦(x+2)2+6(x+2)+9=(x+w)2,

(ar2+4+4x+6x+12+9=/+滸+2,心,

□^+10.￥+25=x2+2/m+/n2,

[32〃?=10,〃/=25,

（3m=5.

故答案為：5.

【點撥】本題考查整式的混合運算和完全平方公式，根據(jù)化簡后等式兩邊相同項的系數(shù)相同求出。、h

與c是解題的關(guān)鍵.

17.（〃+）『=/+2他+61020120

【分析】（1）由大的正方形的面積的兩種不同的汁算方法可得公式（。+勾2="+2,而+〃；

（2）把1（”2化為（100+1『，再利用公式進行計算即可；再設(shè)設(shè)2023-%=〃，工-2017=6可得。+/?=6,

時=8,則（。+6『="+2必+廿=36,求解/+從=36-2、8=20,從而可得答案.

解：（1）大正方形的面積為（。+〃）2或療+為力+從，

3（?+Z?）2=a2+2ab+b2；

故答案為：（〃+）『=/+2而+從，

（2）1012=（100+1）2=I002+2XJ00XI+12=10201：

0（2O23-A）（X-2O17）=8,

設(shè)2023-x=a,x-20n=b.

回a+6=6,ab=8,

^（a+b）2=a2+2ab+b2=36,

團。2+力2=36-2x8=20,

0（2O23-x）2+（x-2O17）2-20.

故答案為：10201：20.

【點撥】本題考查的是完全平方公式的幾何意義，完全平方公式的靈活應(yīng)用，理解公式是解本題的關(guān)

鍵.

n20

18.（1）＜產(chǎn)3_〃2023；（2）a"-h.（3）①2"-1，②44286

【分析】（1）根據(jù)題中條件總結(jié)歸納即可求解;

（2）根據(jù)題中條件總結(jié)歸納即可求解;

（3）①根據(jù)題中條件可得。=2/=1,即可求出答案；②由題意可得：a=3,〃=T,從而求得答案.

（1）解：根據(jù)上式總結(jié)歸納得：,

故答案為：/023-6023；

（2）解：根據(jù)上式猜想得：（4-3（a"T+/-2/?+L+4/-2+〃,i）=，—/,

故答案為：a"-b";

(3)解：①1+2+2?+4-22O2,+22O22+22023

=2,b=1,

（3原式=2的_1：

②由題意可得：。=31=-1,

03,0-39+38-37+34-35+32-3

=[3-(-1)]X[3,0+39X(-I)'+3SX(-I)2+......+3Jx(-l)?+32x(-l)s-3'x(-l)9+(-1)'°]=3"-(-I)"=177148

03,0-39+38-37+34-33+32-3=^x(3"+1)-1=44286.

【點撥】本題考查了新定義下的運算，靈活運用題中條件是解題關(guān)鍵.

c28

19.（1）2尸y—=；（2）TG?+IMab

5y

【分析】（1）根據(jù)多項式除以單項式法則計算即可;

（2）先算乘法，再合并同類項.

（3、3

ft?：（1）解尸3y4_06中?節(jié)3

\4J8

3…33g3

-~xy+gD-06P+-xy

3…838

=-xyx------xyx---r

4,3AJ，35"3A/

=2cr,y-8-；

5y-

（2）解：（2a+3b『-伽+3（3。-3）

=4a2+9/r+12ab-6a2+4ab-3ab+2h2

=4(r-6a2+9b2+2Z?2+1lab+4ab-3ab

=-2a2+11Z?2+13>ab.

【點撥】本題考查的是整式的混合運算，平方差公式，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其運算

法則.

20.-28

【分析】多項式乘多項式法則，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積

相加，結(jié)果中不含一次項和二次項，則說明這兩項的系數(shù)為0,建立關(guān)于機，〃的等式，求出后再求代數(shù)式

值.

解：原式=2x4+6.V3—2/ir2—inx3—3tnx2+mnx+2x2+6x—2n，

=2x4+(6-/W)J?—(3m+2n—2)x2+(mn+6)x-2n,

團乘積中不含x2與/項，

06-//?=0,3〃?+2〃-2=0,

解得：，〃=6,〃=一8,

回"/-〃2=6?-(-8)2=-28.

【點撥】此題考查了多項式乘以多項式，根據(jù)不含某一項就是這一項的系數(shù)等于。列式求解〃［、〃的值

是解題的關(guān)鍵.

21.(1)2mn-5；(2)0

【分析】本題考查整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是整式的混合運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

C1)根據(jù)題意用1號減去2號即可.求出答案.

(2)根據(jù)題意將m=5,〃=0.5代入原式即可求出答案.

(1)解：(〃"?+2)(nm-2)-\nm-\y

=ftTn2-4-("「//-2mn+1)

=nfif-4-m2n2+2mn-1

=2mn-5,

所以用1號減去2號應(yīng)該得到一個“2〃切-5〃的數(shù)學名字；

(2)當加=5,72=0.5時,

原式.

22.(1)B：(2)A；(3)-5

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，整體代入法求代數(shù)式的值，熟練掌握完全平方公式,是解答

本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)變形時用到了"-if可知用到的數(shù)學知識是完全平方公式；

(2)由X2-2x=l可知用了整體代入法；

(3)由X=6-2得X+2=U5,兩邊平方后用整體代入法求解即可.

解：(1)在材料解答過程中，主要用了我們學過的數(shù)學知識是完全平方公式.

故選B；

(2)在材料解答的過程中，主要用的思想方法是整體與化U思想.

故選A；

(3)0x=V3-2,

團X+2=5

0(X+2)2=3,

0x2+4x+4=3