第10章空間直線與平面（高效培優(yōu)單元測(cè)試?強(qiáng)化卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）

1.己知直線〃力和平面若a/仍，blla,則〃與a的位置關(guān)系是.

【答案】alia或aua

【分析】由線面的位置關(guān)系判斷求解即可.

【詳解】若a"b,b//a,如圖：

b-b-

則a//a或aua.

故答案為：alia或aua

2.如圖所示，正方形為一個(gè)水平放置的平面圖形用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，且。4=2,則原平

面圖形的面積為.

【答案】8應(yīng)

【分析】利用斜二測(cè)畫法，可得原圖形是平行四邊形，求得一邊長(zhǎng)及這邊上的高即可求面積.

【詳解】因?yàn)檎叫蜲'HB'C'為一個(gè)平面圖形的水平直觀圖，

所以可得原圖形。48。是一平行四邊形，且04=2,0B10A,OB=2OP=4日

所以平行四邊形。48。的面積為2x4及=872.

故答案為：8夜.

3.如圖，已知/8JL平面8CQ,8C_LCO,則圖中互相垂直的平面有對(duì).

【答案】3

I/19

【分析】結(jié)合線面垂直的判定定理，根據(jù)面面垂直的判定定理判斷即可.

【詳解】Q48_L平面BCZ）,48u平面力i平面力BC,

.,?平面J.平面8CO,平面48cl■平面8CO,又CQu平面8CO,48J.CZ).

又相,3Cu平面ABC,BC1CD,ABcBC=B,「.CO1平面48c.

又CQu平面力C力，，平面4col.平面48。.

故互相垂直的平面有3對(duì).

故答案為：3

4.已知平面a//平面/，點(diǎn)戶是平面。,夕外一點(diǎn)（如圖所示），且直線P8,PQ分別與a］相交于點(diǎn)48C。，

若PA=6,AB=2、BD=T2,則/C=

【分析】先由題意，根據(jù)面面平行性質(zhì)定理，得到4C//8Q,推出△HC~△尸8。，進(jìn)而得到會(huì)=P胃A，根

BDKD

據(jù)題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可得：AC//BD,

所以NP4C=NP8O,NPCA=/PDB,又NAPC=/APD,

所以△PXCrPB。,

ACPAPA63

(因J1此tI——=—=-------=-=-

BDPBPA+AB84

又BD=12,所以彳。=9.

故答案為：9

5.將一個(gè)蘋果切3刀，最多可以切成x塊，最少可切成p塊，則x+y的值為.

【答案】12

【分析】分類討論得到三個(gè)平面可以把空間分成4,6,7,8部分，從而得到x=8,y=4,所以x+y=12.

【詳解】當(dāng)三個(gè)平面無交線，即三個(gè)平面平行時(shí)，可以把空間分為4個(gè)部分；

2/19

當(dāng)三個(gè)平面經(jīng)過同一條直線或三個(gè)平面有兩條交線（一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交）時(shí)，可以把空間分為6

當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且3條交線平行時(shí)，可以把空間分為7個(gè)部分;

當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且3條交線共點(diǎn)時(shí)，可以把空間分為8個(gè)部分,

所以三個(gè)平面可以把空間分成4,6,7,8部分.

將一個(gè)蘋果切3刀可得塊數(shù)最多與最少問題，相當(dāng)于三個(gè)平面把空間分成的部分?jǐn)?shù)最多與最少問題,

故工=8,y=4,所以x+y=12.

故答案為：12

6.已知正四面體力-BC。，則二面角的余弦值為.

【答案】；

【分析】取力8中點(diǎn)E，連接。瓦。￡,則4A,DE1AB,由二面角的概念可知/CE。即為二面角

C-力3-D的平面角，在4CED中利用余弦定理求解即可.

【詳解】取力8中點(diǎn)E，連接。瓦。石，

3/19

因?yàn)檎拿骟w4-AU。.所以C7?=C4=O?=O4.

所以CEJ.AB,DE1AB,

又因?yàn)槠矫鍯/〃n平面。48=48,所以結(jié)合圖象可知/CE。即為二面角C-48-。的平面角,

設(shè)正四面體力一8C。的棱長(zhǎng)為2%則CE=OE=G〃，DC=2a,

CE2+DE2-DC23a?+3/一4/1

在△CEO中由余弦定理可得cosNCED=

ICEDE2x百axCa3

所以二面角C-的余弦值為;,

故答案為：；

7.如圖，在四面體力8c。中，底面8c。為邊長(zhǎng)為2的正三角形，力Q_L平面8CO,M是力。的中點(diǎn)，若

AD=2BD,則異面直線8A/和4C所成角的余弦值為.

【答案】叵

4

【分析】取CO的中點(diǎn)E,利用三角形中位線得出歷后〃/C,將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面直線的夾角;

再借助線面垂宜的性質(zhì)及解三角形的知識(shí)即可求解.

【詳解】

4/19

A

B^^：：二D

C

取⑺的中點(diǎn)￡,連接ME.

因?yàn)?是力。的中點(diǎn)，

所以由三角形中位線可得：ME〃/。，

則/8ME或其補(bǔ)角為異面直線BM和AC所成角.

因?yàn)?O_L平面3CQ,BD,。。<Z平面8。。，

所以力O_LB。，ADLCD.

乂因?yàn)槿切?CO為邊長(zhǎng)為2的正三角形，AD=2BD

所以BM=y)BD2+DM?=VF7F=2近，

8E=8Z)sin60：=2x^=6

2

ME=-AC=->JCD2+DA2=-V22+42=M,

222

顯然A/E2+BE2=8M2,

所以△△四￡為直角三角形，

則cos/BME=—=—

BM4

印異面直線6M和AC所成角的余弦值為亟.

4

故答案為：業(yè)1.

4

8.在三棱柱力8c-48G,E是棱CC的中點(diǎn)，。是棱8c上一點(diǎn)，BD6DC,若48〃平面力

則4的值為.

【答案】2

【分析】根據(jù)線面平行可得線線平行，結(jié)合三角形相似可得參數(shù)值.

【詳解】

5/19

G

B

如圖所示，連接4c交力E于點(diǎn)連接DM,

則平面48Cc平面/￡>￡1=OM,

又Q48〃平面力QE,且44u平面4BC,.?.43//DW,

又皿MSAECM,￡1是棱CG的中點(diǎn)，

..CMCEI,CDCM1

所以TH7=77=3，則說=TT7=7，

A{MA1A2BD4M2

所以8Z)=2OC,故4=2,

故答案為：2.

9.如圖，正方體力44G4的棱長(zhǎng)為8,M,MP分別是力民42,84的中點(diǎn)，設(shè)過〃,MP三點(diǎn)的平面

與BG交于點(diǎn)2,尸。的長(zhǎng)為.

【分析】設(shè)",N,尸三點(diǎn)確定的平面為。，直線與直線44交于點(diǎn)R,連接RN,如圖所示，由題意知,

州〉與8c的交點(diǎn)為。，連接也，可得直線也是平面a與平面88￡C的交線，在RMP82中求解即可.

【詳解】設(shè)M,MP三點(diǎn)確定的平面為。，則a與平面祖￡8的交線為直線A".

設(shè)直線MP與直線4片交于點(diǎn)R,連接RV,如圖所示，

則直線RN是a與平面44GA的交線.

由題意知，RN與8c的交點(diǎn)為。，連接產(chǎn)。，

則直線尸。是平面a與平面B4GC的交線.

6/19

由題意知=8,耳。==4N=4.

因?yàn)??〃4N,所以整=笑=：，

A}NAyK3

I4

所以42=3x4=5.

4

在Rt△尸修。中，40=4,4。=§,

所以PQ={BF2+BiQ?

故答案為：!Vio

10.已知矩形力8C。的邊/3=〃,8。=2,4_1.平面彳8。。，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：①。=，②4=1;③。=百；

④。=2；④。=4,當(dāng)在8c邊上存在點(diǎn)。，使尸。_L。。時(shí)，貝心可以取.（填序號(hào)）

【答案】①②

【分析】根據(jù)〃力_L平面48CO,結(jié)合已知可證平面/MQ,進(jìn)而可得力Q，Q。，得到。點(diǎn)在以力”為

直徑的圓上，進(jìn)而由4C與以力。為直徑的圓有公共點(diǎn)，可求解.

【詳解】連接力0，

因?yàn)镠_L平面力8CO,QDu平面力BCD,

所以21_L。。，又PQiQD,PQcPA=P,/>0,P4u平面產(chǎn)力0,

所以QQJ,平面4。，因?yàn)锳Qu平面40,所以力。，。。，

在平面48CQ內(nèi)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，

所以。點(diǎn)在以4。為直徑的圓上，

故當(dāng)EC與以力。為直徑的圓有公共點(diǎn)時(shí)，在8c邊上存在點(diǎn)。，^PQLQD,

因此4力。=1,即aKl.

2

故答案為：①②.

7/19

11.如圖，在四棱臺(tái)/也中，。。1_1_平面/8。。，四邊形/BCD為正方形，AB=2,CC]=Ji,

則直線8G與平面/CG4所成角的正弦值為.

【答案】g

3

【分析】根據(jù)線面垂直判定定理得出BD,平面NCG4,則"G。即為所求的線面角，再計(jì)算求解.

【詳解】連接80,AC與8。交于點(diǎn)O，因?yàn)镃GJ■平面力BCD,8Z)u平面/8CQ,

所以8O_LCG，

因?yàn)樗倪呅瘟CD為正方形，所以8Q14C8D1CG，力CCGu平面彳。U同，

x^cncq=c,則8。4平面力CG4，

故G。即為G6在平面4CG4上的射影，N8G。即為所求的線面角，

又B0=4i，BC\二屈,故s\n/BCQ==斗=￡.

故答案為：立.

3

12.如圖所示，在三棱錐S-48C中，平面S/C_L平面/18C,S/=SC=48=8C=2立4C=4,若￡為線段

/1B上一動(dòng)點(diǎn),則SE+CE的最小值為.

8/19

s

【答案】2追+2

【分析】利用勾股定理得S/，SC,切J,8C,記NC的中點(diǎn)為。，得OS_L力C,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得

出。SJLO8、AS4B為等邊三角形,把△S/4繞川？翻折，使得平面S/月與平面48C在同?平面上，貝1J

SE+CE的最小值為平面4s8。內(nèi)SC的長(zhǎng)度，再利用余弦定理可得答案.

【詳解】

因?yàn)镾4=SC=/18=3C=2vlMc=4,

所以ST+SC-4C2,AB2+BC2=AC2fSAISC.BAIBC,

記力。的中點(diǎn)為O,連接。S,O8,因?yàn)?=SC,所以O(shè)S_L4C,

因?yàn)槠矫鍿AC±平面ABC,平面SACQ平面ABC=AC,

所以O(shè)S_L平面/14C,O8u平面49C,所以O(shè)S_LO〃，

由。5=。4=2,得SB=2y/i=SA=AB，所以為等邊三角形,

把a(bǔ)S/iB繞力8翻折，使得平面S48與平面力8。在同一平面上，

連接SC交48于點(diǎn)E,則NS8C=15（1，如圖所示，

則SE+CE的最小值為平面力S8C內(nèi)SC的長(zhǎng)度，所以

SC2=SB2+BC2-2SBBCcos^SBC=

=8+8-2x272x2N/2xf-^l=16+8V3=（2V3+2）2,

所以SC=2指+2,即SE+CE的最小值為26+2.

9/19

故答案為：26+2

二、選擇題（本題共有4題，滿分18分，第13?14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正

確選項(xiàng)）

13.設(shè)a,尸是兩個(gè)不同的平面，叫〃是兩條不同的直線，且/”ua,〃u〃，則（）

A.若a/R,則加〃〃B.若〃//a,則a/R

C.若a工0,則〃?_L〃D.若m10,則。，夕

【答案】D

【分析】根據(jù)面面平行、面面垂直的判定和性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

若。//夕，如〃可能平行，也可能異面，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：

若1//a,則尸可能平行，也可能相交，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：

若qJL〃，貝山〃力可能平行，可能垂直，可能異面，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：

若陽_L0,那么經(jīng)過，〃的平面與￡垂直，所以a_L/7,所以D正確.

故選：D.

14.經(jīng)過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)的平面（）

A.有且僅有一個(gè)B.有且僅有三個(gè)C.有無數(shù)個(gè)D.不存在

【答案】A

【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由公理：經(jīng)過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故A項(xiàng)正確.

故選：A.

15.在正方體力中，AB=\,。為側(cè)面力。。/上一動(dòng)點(diǎn).若PB=PD,則PC的長(zhǎng)的最大值為

（）

L3廠廠

A.J2B.-C.V3D.V5

【答案】C

【分析】根據(jù)=，確定出點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段即可求解.

【詳解】在正方體力8cO-4AGA中，AB=1,連接力C,8。，設(shè)力CCBO=O.連接PO,PB,PD,如下

圖：

10/19

P為側(cè)面4。44上?動(dòng)點(diǎn)，要使得尸8=

??,。為的中點(diǎn)，:.POIBD,

又,：4C工BD,ACcPO=O,,4C,POu平面Q4C,

，8。_1_平面P/C,I?平面P/1C,APaABDLAP,

又:力8J_平面/OR4，4（=平面月。。4，

:.ABLPA,

又?:ABcBD=B,AB,BDu平面ABCD,

:.P/1_L平面/8C。，

又：_L平面力8CQ,

P54,

反之，當(dāng)尸時(shí)，PB={PA[+AB?、PD=4PA、AD?,AB=RD=PA=PD，

???點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段力4.

當(dāng)點(diǎn)P與4重合時(shí)，Pc的長(zhǎng)取得最大值為：'/F+f+f=5

故選:c.

16.在棱長(zhǎng)為3的正方體"CO-48cA中，點(diǎn)。到平面力C4的距離為（）

4萬3

A.—B.3C.3及D.-

22

【答案】A

【分析】明確點(diǎn)到平面的距離，利用正方體的線面關(guān)系求距離.

【詳解】如圖：

11/19

因?yàn)闉檎襟w，所以平面48CO,又BDu平面力BCD,所以4耳，^。：

又底面48CO為正方體，所以力C18。.

因?yàn)椤?0/。=/!,44,4Cu平面44。，

所以8。/平面力4。.

故點(diǎn)D到平面ACA］的距離為DO=—.

2

故選：A.

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17?19題每題14分，第20、21題每題18分.）

17.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體力Bco-48cA中，點(diǎn)“為線段力4的中點(diǎn).

（1）9,^±MC

⑵.4/〃平面MC&

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，可得到力4，。4，利用線面垂直的判定定理得平

面4CG4，從而得到D網(wǎng)1MC.

（2）由題知四邊形8CR4為平行四邊形，故48〃C",由線面平行的判定定理即可證明.

【詳解】（1）在正方體力44GA中，44,平面44GR,而。聲U平面44GA，

所以44_LR4，

又正方形48cA中，4a，A4,4Cni4=4，4G，44u平面力cc/，

12/19

所以Q4_L平面力CC/，

而MCu平面力CG4,所以。4LHC.

(2)在正方體4BCD-4BCR中,BC//4R,BC=AR,

所以四邊形“為平行四邊形，故48//C。，

乂A.B<z平面MCD.,u平面MCD、,

所以48〃平面MC&.

18.已知如圖甲，在梯形48。。中，AD〃BC,NABC=NB4DgAB=BC=2AD=4,E,尸分另U是

AB,CO上的點(diǎn)，EF〃BC,AE=x,沿即將梯形48CO翻折，使平面4EFO_L平面￡86(如圖乙).

(1)證明：E/F平面川的

(2)當(dāng)x=2時(shí),求二面角/一E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

唔

【分析】(1)由題意得到EFA.BE,從而得到線面垂直：

(2)作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，從而。G_LAF,進(jìn)而證明出故G"_LA尸，所以NZV/G為二

面角。-8萬-E的平面角，求出冬邊長(zhǎng)，求出tan/O〃G=疝，進(jìn)而求出二面角的余弦值.

【詳解】(1)證明：在直角梯形/4C。中，因?yàn)?43。=/8力。=1，故D4工4B,BC1AB,

因?yàn)镋/〃8C,故EF1AB.

所以在折疊后的幾何體中，有EF上AE,EF上BE,

而4EIBE=E,力億BEu平面Z8E,

故E產(chǎn)_L平面48K.

(2)如圖，在平面力￡7口中，過。作。G1E/7且交E尸于G.

在平面。中，過。作。〃_L8「且交于用連接G”.

AD

B匕C

13/19

因?yàn)槠矫媪ζ矫妗?CR平面XEFDc平面EBCF=EF,QGu平面力￡9,

故DGJL平面EBCF,

因?yàn)锽Eu平面F8CR故DG工BF,而力Gfl。，=力，故平面。G，，

又GHi平面。G”,故GH工BF,所以NQ〃G為二面角O-8P—￡的平面角，

在平面小七廠。中，因?yàn)?E_LM,DGLEF,故AE〃DG,

又在直角梯形48C。中，EF〃BC且EF=g（BC+師=3,

故）〃40,故四邊形彳EG。為平行四邊形，故DG=AE=2,GF=\,

RF2

在直角△5/中，tanZ5F￡=—=一，

EF3

因?yàn)?8FE為三角形內(nèi)角，所以/3碇為銳角，

ain/RFF7）

————sin2ZBFE+COS2ZBFE=\^解得sinNBFE=f,

cosZ.BFE3VI3

故GH=GFsEZBFE=W，/"DHG=爍=03,

因ZDHG為三角形內(nèi)角，故NDHG為銳角，

s\nZ.DHG2,,.?J17

——sin2ZZ）HG+cos2ZDHG=1，解/得Acos/Q〃G=^—,

cosZD//G314

所以二面角。-8/-￡的平面角的余弦值為巫.

14

19.如圖，四棱錐尸中，底面力8c。為矩形，PA=PB=AD=3,48=4,且該四棱錐的體積為4石.

⑴證明：平面P48_L底面48CQ；

（2）求異面直線0C和48所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵亞

3

【分析】（1）由四棱錐的體積為4石得到高力=石，取力8的中點(diǎn)為E,計(jì)算出=從而尸￡_L底

面48C力即可得證.

（2）因?yàn)?8//。，所以NPC0即為異面直線PC和所成的角或其補(bǔ)角，最后在△PCQ中利用余弦定

14/19

理即可求出夾角.

【詳解】（1）證明：設(shè)該四楂錐的高為力，則體積P=gsx〃=；x3x4〃=4石，從而/?=6,

等腰△P/18中，設(shè)邊48的中點(diǎn)為E,易知尸EJL/8,

在RSP/E中，PA=3,AE=2,所以尸E=石，

所以該四棱錐的高為h即為Pf=石，

即PE_L底面H8C。，又PEu平面尸力8,

所以面PZ8_L底面/4CO.

（2）因?yàn)?8//CQ,

所以NPCD即為異面直線PC和AB所成的角或其補(bǔ)角；

由（1）知平面尸力8J_底面48CO,且平面p力4c底面力8。。=48,

在矩形川火?。中，CB1AB,所以C4L平面以8,

因?yàn)镻4u平面214，從而C8_LP8,

RIAPAC中，PB=BC=3,所以PC=3及，

問理可得尸。=3夜，

△PC。中，PC=PD=3g,CD=4,

pr2+CD1-PD2=18+16-18_72

rh余弦定理可得cos//。=2P9

-2x3V2x4~

所以異面直線PC和?聽成角的余弦值為孝.

20.圖1是由正方形4CZ）E和等邊V"C組成的平面圖形，將V/8C沿4c折起.

⑴折起時(shí)點(diǎn)8與點(diǎn)P重合，且平面P4c，平面4C0E,如圖2,F、G分別是P￡、的中點(diǎn).

①證明：C。,EG四點(diǎn)共面:

15/19

②證明：平面方GJ■平面R4￡；

（2）折起時(shí)點(diǎn)8與點(diǎn)S重合，且SC=SO=2,如圖3,求點(diǎn)。到平面S4C的距離.

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析

⑵半.

【分析】（1）①判斷Gr〃C。，即可得到結(jié)果；②通過說明CG'/M,AE1CG,然后利用面面垂直的

判定定理可得結(jié)果；

（2）利用等體積法計(jì)算七一a=%3c即可.

【詳解】（1）證明①：/、G分別是PE、。/1的中點(diǎn)，則GF//AE,又AE//CD,所以GE/CQ,所以C,D,F,G

四點(diǎn)共面.

②因?yàn)槠矫娈a(chǎn)/ICJL平面NCQE,而力石_L4C,所以4S'J,平面P4c.

乂因?yàn)镃Gu平面21C,所以4E_LCG.

△P4C為等邊三角形，G是尸力的中點(diǎn)，所以因?yàn)橐浴Ａζ叨?，且兩直線在平面內(nèi),

所以CGJ■平面而CGu平面C0EG,所以平面CQR7J?平面P/E.

（2）連接4RCE交于點(diǎn)O,連接SO,

所以SO_L4。，故SO=4SA，-A（＞=6..

所以SC'SO'+CO"所以SO_LCE.且力。、4E是平血平血,4COE內(nèi)的兩條相交直線，

所以SOJ■平面ACDE，設(shè)點(diǎn)。到平面SAC的距離為d,

而￡〃普=公"，即:Sec-d=1Sy-S。，所以夜，解得仆坐.

33333

所以點(diǎn)。到平面SAC的距離為辿.

3

21.如圖，四棱錐P-/3c。的底面是矩形，尸。_1_平面/3CQ,郵為棱8c的中點(diǎn)，且,PD=3,

直線PM與平面月SC。所成的角為45°.

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⑴證明：AM±BD.

PF

（2）在棱〃。上是否存在一點(diǎn)兒使得直線小〃平面產(chǎn)4仞？若存在，寫出而的值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶求直線PB與平面PAM所成角的正切值.

【答案】（1）證明見解析

PFI

⑵存在，而管

（3）—

7

【分析X1）由PD_L平面AHCD,利用線面垂直的性質(zhì)定埋得〃。1AM,再由線面垂直的判定定理得AM±

平面P8。，又由線面垂直的性質(zhì)定理得證；

（2）存在點(diǎn)E為尸。中點(diǎn)時(shí)，CE〃平面尸取產(chǎn)力的中點(diǎn)為尸，連接即證M///CE,利用

線面'lz行的判定定理即可求解；

（3）連接力M,可得NPMZA45。，根據(jù)已知條件求出30,尸8,設(shè)點(diǎn)8到平面用的距離為力，利用

乙”=/皿求出h,進(jìn)而可求出答案.

【詳解】（1）由尸。L平