專題14垂徑定理的四類綜合題型

目錄

典例詳解

類型一、利用垂徑定理求線段長問題

類型二、利用垂徑定理求平行弦問題

類型三、利用垂徑定理求同心圓問題

類型四、利用垂徑定理解實(shí)際應(yīng)用問題

壓軸專練

典例詳解

彥類型一、利用垂徑定理求線段長問題

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.核心定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的兩條弧，可拓展為“過圓心、垂直弦、平分弦（非

直徑）、平分優(yōu)弧、平分劣弧”知二推三。

2.關(guān)鍵公式：結(jié)合勾股定理，設(shè)圓半徑為八弦心距為4弦長為/,則戶=心+（1）2,用于關(guān)聯(lián)未知線

段。

解題技巧

1.構(gòu)造直角三角形：作圓心到弦的垂線，連接圓心與弦端點(diǎn)，將半徑、弦心距、半弦長轉(zhuǎn)化為直角三角

形三邊。

2.方程思想：設(shè)未知量（如半徑、弦心距），根據(jù)定理和勾股定理列方程，代入已知數(shù)據(jù)求解，避免漏用

半弦長條件。

例I.（2025?江蘇泰州?三模）如圖，CD為。的直徑，A4為CO的弦，A8JLCD于“，若CO=5cm,

Afi=4cm,則OM=cm.

【分析】連接OA,根據(jù)已知易得：（9A=2.5cm,再根據(jù)垂徑定理可得：AM=BM=2cm,然后在RlAOM

中，利川勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

本題考杳了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接0A,

（）CD為。的直徑，CD=5cm,

A

D

..OA=^CD=2.5（cm）,

AB±CD,

AM=BMAB=2（cm）,

在Rt40M中，OMZACP-AM?=巧?=1.5（?！ǎ?

故答案為：L5.

【變式1-1］（24-25九年級(jí)上?湖南湘西?期末）如圖，已知。。為GO的直徑，A4為的弦，且CD_LAB.若

CQ=10,48=8,則CE的長是

【答案】2

【分析】本題考查了勾股定理和垂徑定理，能根據(jù)垂徑定理求出AE的長是解此題的關(guān)鍵.根據(jù)垂徑定理即

可求得AE的長，然后利用勾股定理即可求得OE的長，即可得出答案.

【詳解】解：OC=1CD=5,

.CDA.AB

：.AE=-AB=4

2f

在RtZ\OAE中，OE=ylOAi-AE2=752-42=3?

:.CE=OC-OE=5-3=2,

故答案為：2.

【變式1-2］（2025?湖北襄陽?模擬預(yù)測(cè)）已知。的直徑CD=10cm,四是O的弦，AB=8cm,且A3J_C。,

垂足為M,則AC的長為.

【答案】26或4后

【分析】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為

解題的關(guān)鍵.

如圖，連接ACAO,由垂徑定理可得4W=4cm,0￡>=OC=5cm,然后分當(dāng)C點(diǎn)位于優(yōu)弧AC上和劣弧4C

上兩種情況，分別根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接4C,40,

*/。的直徑8=10cm,ABLCD,A3=8cm,

AM=—AB=—x8=4cm,OD=OC=5cm,

22

如圖1：當(dāng)。點(diǎn)位于優(yōu)弧AC上時(shí)，

*/OA=5cm,AM=—AB=4cm.CDJ.AB,

2

,OM=40#-AM?=V52-42=3cm，

???CW=OC+OM=5+3=8cm,

'AC=y/AM2+CM2=>/42+82=4辰m:

如圖2：當(dāng)。點(diǎn)位于劣弧/上時(shí)，同理可得：OM=3cm,

V0C=5cm,

.?.歷C=5—3=2cm,

：?AC=7AM2+GV/2=V42+22=2辰m-

綜上，AC的長為2?；?5行.

故答案為2君或46.

【變式1-3］（24-25九年級(jí)上?廣東?期末）如圖，A8為。的直徑，點(diǎn)。是弧AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Z）作DE4

于點(diǎn)E,延長OE交：。于點(diǎn)F,若AC=12,AE=3,貝U。的直徑長為.

B

【答案】15

【分析】本題考查了垂徑定理及其推論，弧、弦的關(guān)系，勾股定理，根據(jù)題意可知=AD=AF^

從而得到AD=OC=AF，AD+DC=AD+AF^得AQC=D4/,得到4C=OF=I2,得DE=EF=6,設(shè)圓

的半徑為此連接O。，根據(jù)勾股定理，得至lja=(R—3『+62,計(jì)算2R的值即可.

【詳解】解：???點(diǎn)。是弧AC的中點(diǎn)，

AAD=DCf

八8為。O的宜徑，DE_LAB,

*'?AD=AF，

/.AD=DC=AFAD+DC=AD+AFf

ADC=DAF，

AC=DF=\2,

DE=EF=6.

設(shè)圓的半徑為R,連接O。，

根據(jù)勾股定理,得到H2=(R-3)，62,

解得2R=15,

故答案為：15.

啰類型二、利用垂徑定理求平行弦問題

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.核心定理：垂直于弦的直徑平分弦及弦所對(duì)孤，平行弦可共用同?條與它們垂直的直徑（或弦心距），

該直徑平分兩條平行弦。

2.關(guān)鍵關(guān)系：設(shè)圓半徑八弦心距分別為力、力，弦長人/2,則戶二兩仔）2和小前停）2,兩弦心

距和或差需結(jié)合位置（同側(cè)/異側(cè)）確定。

解題技巧

1.定位弦心距：先作垂直于平行弦的直徑，明確兩弦與圓心的位置關(guān)系（同側(cè)或異側(cè)），確定弦心距是相

加還是相減。

2.列方程求解：利用半徑相等建立等式，代入已知弦長或弦心也，設(shè)未知量求解，避免忽略位置對(duì)弦心

距關(guān)系的影響。____________________________________________________________________________________

例2.（25-26九年級(jí)上?黑龍江綏化?開學(xué)考試）己知在。。中，半徑r=13,弦A8〃C￡>,且48=24,8=10,

則A8與。。的距離為（）.

A.7或17B.7C.7或12D.12

【答案】4

【分析】本題考查圓中兩條平行線間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理分別求出兩弦的弦心距，分兩弦

在圓的同側(cè)和異側(cè)進(jìn)行討論.由勾股定理，垂徑定理，分兩種情況討論，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)A氏CO在點(diǎn)。的兩側(cè)，作于延長例。交CO于M連接OAOC,

AB//CD,A8=24,8=10,

則。Nj_m

AM=-AI3=\2,CN=-CD=5

22

:.OM=y/OA'-AM2=V132-122=5?ON=A/OC2-CN2=V132-52=12?

:.MN=OM+ON=5+\2=\1f

???此時(shí)弦AB與CO的距離為17；

當(dāng)AA,CO在點(diǎn)。的同側(cè)，作OQ_LCO「。，交AB于夕，連接。A。。,

同理，AP=-AI3=\2,CQ=-CD=5

22t

OP=yjOAL-AP2=A/132-122=5?OQ=yjoC2-CQ2=V132-52=12，

?，?PQ=OQ-OP=l2-5=7,

此時(shí)弦AB與CD的距離為7,

??.弦AB與CO的距離為17或7.

故選：A.

【變式2-1］（24-25九年級(jí)上?河北石家莊?期中）已知。的半徑為5,弦A8=6,弦CO=8,AB//CD,

則這兩條平行弦A3、C。的距離為.

【答案】1或7

【分析】分兩種情況討論，即弦48和。。在圓心。的同側(cè)或異側(cè)，分別求出圓心到兩條弦的距離，再計(jì)算

兩條平行弦的距離.本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理并分情況討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)。作OE_LAB于點(diǎn)￡,交CD于點(diǎn)F,連接Q4，OC.

ABCD,OE1AB,

：.OFA.CD.

-,OA=OC=5,AB=6,CD=8,

/.AE=-AB=3,CF=-CD=4.

22

在RlQAE中，QE=y/0A2-AE2=y/52-32=4.

在RlOC產(chǎn)中，0F=yl0C2-CF,2=>/52-42=3-

當(dāng)AB,CO在圓心。的同側(cè)時(shí),

故答案為：1或7.

【變式2-2］（2024.江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一

次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的

上下邊沿分別與杯口相交于4B,C,。四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為4.2cm,/IB=3.6cm,

CD=4.8cm.則紙杯的直徑為.

【答案】6cm

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，由垂徑定理求出BN,的長，設(shè)OM=x,由勾股定理

得到犬+2.42=（4.2-力2+182,求出x的值，得到的0W長，由勾股定理求出長，即可求出紙杯的直徑

長.

【詳解】解：如圖，設(shè)杯口所在圓的圓心為。，CO的中點(diǎn)為A8的中點(diǎn)為M

連接O。，OB,則MN_ZAB,MN1CD,且MN過圓心O,

DM=-CD=-x4.8=2.4,BA'=-^B=-x3.6=1.8,

2222

由題意，得MN=4.2,設(shè)QV7=x,

：?ON=MN-OM=42-x,

0M2+MD2=OD2，ON2+BN1=OB2,

?\OM2+MD2=ON2+BN\

.,.?+2,42=（4,2-X）2+1.82,

???H=1.X,即OM=1.8，

?*-OD=4oM2+MFJr=3，

???紙杯的宜徑為3x2=6（cm）.

故答案為：6cm.

【變式2-3］（24-25九年級(jí)上?安徽亳州?期中）如圖，在V4BC中，AC=BC=5,48=6,點(diǎn)D為AC上一

點(diǎn)，作?！辍ˋ〃交。C于點(diǎn)石，點(diǎn)。關(guān)于。石的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)O,以04為半徑作。恰好經(jīng)過點(diǎn)。，并交直

（1）點(diǎn)C到A8的距離為

（2）MN的值為________.

【答案】4

8

【分析】本題考查垂徑定理，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問題，屬于中考?？碱}型.

（1）如圖，連接CO并延長交AB廣點(diǎn)，，先得出CO_LO￡,求出A”=8〃=3,根據(jù)勾股定理即可得出

答案;

（2）連接QM.記C”與的交點(diǎn)為設(shè)。4=OC=x,根據(jù)勾股定理得出f=3?+（4-力？，得出

Q4=O"=OC=?=5，再求出Q/=JC=2亍5，再根據(jù)勾股定理得出答案即可.

816

【詳解】（1）如圖，連接CO并延長交人B于點(diǎn)”,

c

???。，C兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱,

：?CO工DE,

又DE〃AB,

：,CH1AB,

JAH=BH=3,

?*-CH=JAC?—AH?=后吁=4,

???點(diǎn)。到Ab的距離為4；

故答案為：4；

(2)如圖，連接。W.記C”與MN的交點(diǎn)為J,

設(shè)OA=OC=x,

在RiZXAO“中，x2=32+(4-X)2,

25

解得X=§，

O

25

：.OA=OM=OC=—

8f

,：0,。兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，

25

/.0J=JC=—,

16

,?OCIMN,

,MJ=JN=dOM。"=j；)(；：)=2：；

?XAK1OA4Z25\/5

?,MN=2MJ=-----.

8

故答案為：生叵.

8

類型三、利用垂徑定理求同心圓問題

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.核心性質(zhì)：同心圓半徑不同（設(shè)為R、兄"），若一條直線截兩圓得弦A8（大圓）、CD［小圓），且

直線垂直于過圓心的半徑，則由垂徑定理，半徑平分兩弦，即。A=ROC=r,AB=2AE,CD=2CE.

2.關(guān)鍵等式：結(jié)合勾股定理，得=R2-OE2,CE2=心-

OE1（OE為圓心到直線的距離），可關(guān)聯(lián)兩弦長或距離。

解題技巧

1.作公共弦心距：過圓心作截線的垂線（公共弦心距0E），構(gòu)建含大圓半徑、小圓半徑、弦心距的兩個(gè)直

角三角形。

2.用半徑差列算：利用兩直角三角形共弦心距的特點(diǎn)，通過勾股定理表示弦長一半，再根據(jù)所求（如弦長

差、距離）設(shè)未知量求解，避免混淆兩圓半徑。

例3.（24-25九年級(jí)上?安徽合肥?期末）將一盛行不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置

在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8c〃?，水的最大深度是2cm,則杯底

有水面AB的寬度是（）cm.

C.4A/3D.4石

【答案】C

【分析】作。于C,交小圓于。，可得CD=2,AC=BC,由AO、8。為半徑，則。4=0/>4；然后運(yùn)

用勾股定理即可求得AC的長，即可求得A8的長.

【詳解】解：作OZM48于C,交小圓于D,則CD=2,AC=BC,

團(tuán)QA=OZ>4,CD=2,

團(tuán)0C=2,

財(cái)C=\lo^-OC2=2后，

[?L4^=2AC=4>/3.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（24-25九年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，在以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的半徑是小圓

半徑的2倍，大圓的弦A3和小圓交于C,。兩點(diǎn)，若4C=CO=4,則小圓半徑是.

【答案】

【分析】過。點(diǎn)作于，點(diǎn)，連接OA、OC,如圖，根據(jù)垂徑定理得到=C〃=OH=gcO=2,

設(shè)0C=〃，則04=2人再利用XX勾股得到/-2?=4/一6?,然后解方程求出，?即可.

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧?也考查了勾股定理.

【詳解】解：過。點(diǎn)作O”_LA8于“點(diǎn)，連接。4、0C,如圖，則CH=DH=^CD=2.

設(shè)0C=r,則OA=2r,

回AC=4,

(?1AH=AC+CH=6,

^OH2=OC2-CH2=r2~22,

^OH2=OA2-AH2=4r2-62,

解得「=生生或,?=-生四（舍去）,

33

即小圓半徑是勺色，

3

故答案為：生員.

3

【變式3-2］（24-25九年級(jí)上?河南駐馬店?期末）如圖，兩個(gè)圓都是以。為圓心，大圓的弦八8交小圓于CJ）

兩點(diǎn).

(2)若人8=8,8。=1,小圓的半徑為5,求大圓的半徑/?的值.

【答案】(1)見解析

⑵大圓的半徑為4人

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理；

(I)作于E,根據(jù)垂徑定理得到AE=8E,CE=O2即可得到AC=8。：

(2)連接00,08,在Rt。皿;和Rtz^ODE中根據(jù)勾股定理得到。7)2-￡＞爐=。62-662,代入求值計(jì)算即

可.

AE=BE,CE=DE,

:.BE-DE=AE-CE,

即AC=BD；

(2)解：如圖，連接ODOB.

.-./?￡=AE=4,D￡=4-l=3

在RtO8E和RtZ\O￡)E中，由勾股定理，得:

OE2=OD2-DE\OE2=OB2-BE1,

OD2-DE2=OB2-BE2，

即52-32=OB2-42?

解得：OB=442

「?大圓的半徑為4&.

【變式3-3］（24-25九年級(jí)上?浙匚杭州?階段練習(xí)）如圖，在兩個(gè)同心圓。中，大圓的弦A3與小圓相交于

C,。兩點(diǎn).

（2）若AC=2,BC=4,大圓的半徑A=5,求小圓的半徑r.

【答案】⑴證明見解析

⑵小圓的半徑廣為J廳.

【分析】（1）過。作尸點(diǎn)E,由垂徑定理可知￡為8和A8的中點(diǎn)，則可證得結(jié)論；

（2）連接由條件可求得CD的長,則可求得CE和AE的長,在RtAAOE中,利用勾股定理可求

得。E的長，在RJCOE中可求得OC的長；

【詳解】（I）證明：過。作OEJ_AB于點(diǎn)E,如圖I,

由垂徑定理可得AE=BE,CE=DE,

?AE-CE=BE-DE,

^AC=BD.

（2）解：連接0co4,如圖2,

圖2

團(tuán)AC=2,BC=4,

團(tuán)AB=2+4=6>

回4E=3,

^CE=AE-AC=\,

在RlAAOE中,由勾股定理可得0E2=O^-AE2=52-32=16,

在RlCOE中，由勾股定理可得OC?=o爐+庭2=[6+『=]7,

（38=而，即小圓的半徑，?為JT7.

【點(diǎn)睛】本題考杳了垂徑定理與勾股定理的知識(shí).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,

注意輔助線的作法.

卷類型四、利用垂徑定理解實(shí)際應(yīng)用問題

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.核心關(guān)聯(lián)：實(shí)際問題（如隧道、拱橋、管道械面）常可抽象為圓或圓弧模型，垂徑定理適用于此類圓

形截面，即垂直于弦的直徑平分弦，結(jié)合勾股定理（/=/+（J?，/?為半徑，d為弦心距，/為弦長）建

立等量關(guān)系。

2.關(guān)鍵轉(zhuǎn)化：需將實(shí)際中的“跨度”“高度”“直徑”等條件，刈?應(yīng)為圓中的弦長、弦心距、半徑，明確

已知量與未知量的幾何意義。

解題技巧

1.建模畫圖：先根據(jù)題意畫出圓形截面圖，標(biāo)注圓心、半徑、弦（對(duì)應(yīng)實(shí)際跨度）、弦心距（對(duì)應(yīng)實(shí)際高

度相關(guān)量），將文字條件轉(zhuǎn)化為幾何元素。

2.設(shè)元列方程：設(shè)未知量（如半徑「），用「表示弦心距（如--實(shí)際高度），代入勾股定理列方程，求解

后驗(yàn)證是否符合實(shí)際場(chǎng)景（如半徑為正）。___________________________________________________________

例4.（24-25九年級(jí)上?廣西南宇?階段練習(xí)）如圖，這是一種用于液體蒸馀或分儲(chǔ)物質(zhì)的玻璃容器一一蒸儲(chǔ)

瓶，其底都是圓球形.球的半徑為13cm,瓶?jī)?nèi)液體的最大深度CO=8cm,則截面圓中弦A3的長為

cm

D

【答案】24

【分析】本題考查了垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦）和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理

得到直角三角形OAC,通過半徑和已知深度求出直角邊0C的長度，再計(jì)算弦長.

確定OC=OD—8=5cm：在RtQ4C中用勾股定理求4c=12cm：由垂徑定理得A8=2AC=24cm.

【詳解】由題意知，（。的半徑Q4=O8=8=13cm,且于點(diǎn)C,根據(jù)垂徑定理，平分弦48,

即AC=CB.

已知液體最大深度CD=8cm,則。C=OD-8=13-8=5cm.

在RiOAC中，由勾股定理：AC2+OC2=OA\

代入數(shù)據(jù):AC2+52=132,解得AC=12cm.

因此，弦人4=2AC=2xl2=24cm.

故答案為：24.

【變式4-1］（24-25九年級(jí)上?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖（1）,是中國傳統(tǒng)園林建筑中的月亮門，拱門的上

部分是圓的一段弧.隨著四季更迭，半遮半掩之間，便將絲絲景致幻化成詩情畫意.圖（2）是月亮門的示

意圖，弦48長2m,拱高CO長3m,則該拱門的半徑是m.

ACB

圖⑴圖⑵

【答案】|

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理，連接3,設(shè)該拱門的半徑OA=O￡）=nn,根據(jù)垂徑定理求

出AC,將OC用含，?的代數(shù)式表示出來，在RIACO中利用勾股定理列關(guān)于，?的方程并求解即可.

【詳解】解：如圖，連接。4,

D

圖⑵

設(shè)該拱門的半徑OA=OD=rm.

根據(jù)題意得C￡＞在（0的直徑上，ABA.CD,

回AB=2m，

0AC=—AB=Im,

2

0CD=3m?

=CD-OD=（3-r）m,

在Rta4c。中利用勾股定理，得4c2+002=042,

0l+（3-r）2=r2,

0r=-.

3

團(tuán)該拱門的半徑是gm,

故答案為：g.

【變式4-2］（24-25九年級(jí)上?陜西渭南?期末）丁字尺是一種作圖工具，如圖I所示為丁字尺，可以看作由

兩把互相垂直的直尺（直尺的寬度均忽略不計(jì)）組成，并且C。部分平分八方部分.現(xiàn)將丁字尺放在一個(gè)圓

形工件上（圓心為。），其示意圖如圖2所示，使得A、B、。分別落在：。上，這樣圓心。就會(huì)落在上，

已知A8=CO=8cm,AC=BC,請(qǐng)求出該圓形工件的半徑。。.

圖1圖2

【答案】該圓形工件的半徑8=5cm.

【分析】此題考杳了垂徑定理的應(yīng)用.根據(jù)線段CO垂直平分線段A8,得出=連接AO,則

AC2+OC2=AO2,再設(shè)。的半徑為廣，可得4?+(8-然后解方程即可.

【詳解】解：「圓心。落在CD上,C。平分AB，

「?線段C。垂直平分線段

A、B、。三點(diǎn)所在圓的圓心。在CD上，

AC=BC=；AB=gx8=4(cm),

連接AO,則4c2+"2=人。2,

設(shè)。。的半徑為「，

CD=8cm,

/.0C=(8-r)cm,

/.4;+(8-r)2=r2,

解得：r=5cm,

???該圓形工件的半徑OD=5cm.

【變式4-3](24-25九年級(jí)上?山東煙臺(tái)?期末)如圖1,裝有水的水槽放置在水平桌面上，其橫截面是以AB

為直徑的半圓。，A6=50cm,MN為水面截線，MN=48cm,G”為桌面截線，MN〃GH.

⑴作OC_LMN于點(diǎn)C,求OC的長；

⑵將圖1中的水倒出一部分得到圖2,發(fā)現(xiàn)水面高度下降了13cm,求此時(shí)水面截線減少了多少？

【答案】(l)OC的長7cm

⑵此時(shí)水面截線減少了18cm

【分析】本題主要考查了垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，理解垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

（1）如圖1：連接OM,由圓的性質(zhì)可得OM=25cm,再利用歪徑定理得出MC=24cm,再運(yùn)用勾股定理計(jì)

算即可解答；

（2）如圖2：過點(diǎn)。作0￡>_1.以"垂足為點(diǎn)。，連接。石，利用勾股定理求出后。=15,再利用垂徑定理得

出EF=2ED=2xl5=30,最后MN與EF相減即可解答.

【詳解】（1）解：如圖I：連接。必，

回O\f=25cm

G]OC_LMN,

團(tuán)N%M=90。，A/C=^C=-A//V=-x48=24cm,

22

在RlOMC中，根據(jù)勾股定理得：OC2+MC2=OM2,

0OC2+242=252,解得：OC=7,

回OC的長7cm.

（2）解：如圖2：過點(diǎn)。作。。1斯，垂足為點(diǎn)。，連接OE,

AOB

GH

圖2

0ZODE=9O°,EF=2ED

由題意可知：OD=7+13=20cm

在Rt.OED中，根據(jù)勾股定理得：O￡>2+EQ2=O￡2,

團(tuán)202+￡￡>2=25?,解得：及)=力，

(UEF=2ED=2xl5=30,

048-30=18,

團(tuán)此時(shí)水面截線減少了18cm.

壓軸專練

一、單選題

I-'25?26九年級(jí)上.全國?課后作業(yè)）在半徑為km的O中，弦長為0cm的弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)為（）

A.60°B.90°C.120°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理并結(jié)合題意作出輔

助線.

根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)線段長度相等得到等腰直角三角形，進(jìn)而得到圓心角度數(shù)為90。.

【詳解】解：由題意得：OA=OB=lcm,AB=&cm,

過點(diǎn)。作。力J.人反

/.AD=1cm,

.?.AADO是等腰直角三角形，ZAOD=45°.

/.ZAOB=9()0.

2.12025?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是。的直徑，CO是，。的弦，AB1CD,垂足為七.若CD=8,

00=5,則8E的長為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查了垂徑定理及勾股定理，熟知垂徑定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)垂徑定理得出OE的長，再利用勾股定理求出。上的長即可解決問題.

【詳解】解：是。的直徑，且

???DE=-CD=A.

2

在Rtz^OOE中，OE=\IOD2-DE2=3?

/.BE=5-3=2.

故選：B.

3.（24-25九年級(jí)上?廣東廣州?期天）我國明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了一種我國古代常用的

水利灌溉工具——筒車，如圖，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，已知圓心0在水面的上方，

。被水面截得的弦A8長為8米，點(diǎn)C是運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，點(diǎn)C到弦AB的距離為2米，則的

半徑長為（）

A.4米8.5米C.6米8米

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.連接0A、

OC,交AB于點(diǎn)D,設(shè)。的半徑長為X,由垂徑定理得AO=8O=4（米），再由勾股定理列方程求出工的

值即可.

【詳解】解：如圖，連接。4、0C,交AB于點(diǎn)。，設(shè)：。的半徑長為x,

圖2

丁點(diǎn)C是運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，點(diǎn)C到弦AH的距離為2米,

/.0C1AB,OD=x-2,

?,.AD=HD=-AB=4,

2

在RtZ\OA。中，OA1=OD2+AD1，

.???=42+（X-2）2,

解得：x=5,

???00的半徑長為5米.

故選:B.

4.（22-23九年級(jí)上?全國?期中）如圖所示：兩個(gè)同心圓，半徑分別是26與46,矩形A8C0邊人民C。分

別為兩圓的弦，當(dāng)矩形48CD面積取最大值時(shí)，矩形A8c。的周長是（）

A.22+6無B.20+872C.18+10夜16+12加

【答案】D

【分析】題目主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

連接OAOO,作OP_L/WrP,0M1ADJM,ONLCDJW.根據(jù)矩形的性質(zhì)得出矩形的面積是三角

形AOO的面積的4倍，再由題意得出當(dāng)NA8=90。時(shí)，三角形的面積最大，利用勾股定理得出AQ=6上，

再由等面積法確定OM=4,結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】解：連接。A。。，作OP_LABFROMJ.AO于M,ON工CD于N.

，四邊形OM4P為矩形，A8=2A產(chǎn)，

：,OM=AP,AB=2OM,

/.S八8=；xAOxOM=；ADxAB,S^ABCD=ADxAB,

???矩形的面積是三角形AOD的面積的4倍.

???040。的長是定值，

???當(dāng)NA8=90。時(shí)，三角形的面枳最大，

?；0A=25。。=46，

,AD=xIOA^+OD2=672，

-xOAxOD=-xADxOM,即，x2#x4G」x60xOM

2222

???OM=4,

/.A8=2OM=8,

???矩形A8CO的周長是2（8+6夜）=16+12夜，

故選:D.

5.（2024九年級(jí)下.湖南長沙?競(jìng)賽）如圖，MN為。。的直徑，A、8是。上的兩點(diǎn)，過4作AC_LMV于

點(diǎn)C,過B作3DJ.MN于點(diǎn)。，尸為。。上的任意一點(diǎn)，若MN=26,AC=12,BD=5,則必+28的最小

值為（）

A.150B.17>/2C.17cD.1573

【答案】B

【分析】連接。4、。8,根據(jù)AC_LMN,BD工MN,用勾股定理計(jì)算得到OC、OD；延長8D與。。相交

于點(diǎn)G,推導(dǎo)得當(dāng)點(diǎn)P在直線AG上時(shí)，B4+G夕取最小值；過G作G/7J.AC于點(diǎn)兒經(jīng)證明四邊形CDG”

是矩形，并經(jīng)勾股定理計(jì)算即可得到AG的值，即可完成求解.

【詳解】解：如圖，連接04OB,

???過4作4CJ_MN于點(diǎn)C,過8作于點(diǎn)D,

1212221

?'?OB-BD-十OD-25+OD，OA-AC+OC-144+OC，

,:MN=26,A、8是。上的兩點(diǎn)，

：.OA=OB=-MN=13，

2

A169=25+OD2,169=144+OC2，

：.0D=\2,OC=5,

:?CD=OD+OC=17,

延長與。。相交于點(diǎn)3

?:MN為。的直徑，BD工MN,

：?BP=GP,BD=GD=5,

APA+PB=PA+GP,

當(dāng)點(diǎn)尸在直線AG上時(shí)，尸A+G尸取最小值，且最小值二46,

過G作G”_LAC于點(diǎn)力

又?：ACLMN,BDLMN,

ACD//GH,DG//CH,ZDCH=90°,

???西邊形CQGH是矩形，

:?GH=CD=mCH=DG=5,

AAFi=AC+CH=\7,

?**AG=>jAH2+GH2=X/172+I72=17>/2，

???A4+P8的最小值是：17枝，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理、矩形、兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股

定理、垂徑定理、矩形、兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，從而完成求解.

二、填空題

6.（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，48,AC,8c是半圓。的弦，48過圓心O,過。作O￡）_LAC于點(diǎn)

D.若。D=3,則BC=

D.

AB

【答案】6

【分析】由圓的性質(zhì)可得04=08,再根據(jù)垂徑定理可得AO=DC,則。。是VA8C的中位線，然后根據(jù)

中位線的性質(zhì)即可解答.本題主要考查了垂徑定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，說明0。是VABC

的中位線成為解答本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???4B過圓心0,

：.0A=0B,

0D1AC

JAD=DC,

工。。是VA3C的中位線，

???BC=2OD=6.

故答案為6.

7.(24-25九年級(jí)上?湖南長沙?階段練習(xí))如圖，這是一種用于液體蒸儲(chǔ)或分館物質(zhì)的玻璃容器一蒸鍋瓶，

其底都是圓球形.截面圓中弦的長為2伍m，瓶?jī)?nèi)液體的最大深度8=3cm,則截面圓的半徑為一

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，由垂徑定理得BC=AC=；人S=0Tcm,設(shè)球形的半徑

OB=OD=ix:m,則OC=O￡>-CD=(r-3)cm,由勾股定理解RtZ\OC8,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：由題意知OD_LA3.

BC=AC=—AB=V2Tcm,

2

設(shè)球形的半徑。B=8=/cm,則。。=。力—CD=(r-3)cm,

在RtZ\OC8中，OC2+BC2=OB?,

???(r-3)2+(x/21)2=r,

解得r;5,

故答案為：5.

8.(24-25九年級(jí)上?江蘇泰州?期末)如圖，AB為O的直徑，弦CD交04于點(diǎn)M,且NZW8=45。，若MC=2,

MD=4,則。的半徑為.

【答案】M

【分析】本題考查的是垂徑定理，勾股定理和等腰直角三角形，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形

是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)。作尸點(diǎn)E,連接。。，由垂徑定理得出CE=/)￡=g(MC+M。)，再由NDA〃=45。得出

OE=ME,利用勾股定理求出QD的長即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)。作0ELCD于點(diǎn)E,連接O。，

TAB是。的直徑，MC=2.MD=4,

.?.CE=DE=-(MC+MD)=-x(2+4)=3,

22

.\ME=CE-CM=3-2=\,

QNOMB=45。，

:.0E=ME=l,

:.0D=y]OE2^DE2=712+32=麗，

故答案為：＞/rd.

9.(24-25九年級(jí)上?山東德州?階段練習(xí))在半徑為5的圓中，有A8、CD兩條平行弦，已知A8=8,8=6,

則兩條平行弦的距離為.

【答案】1或7

【分析】本題考查了垂徑定理的知識(shí)，此題綜合運(yùn)用了垂徑定理和勾股定理，特別注意有時(shí)要考慮兩種情

況.連接OC、OA,過點(diǎn)。作于￡,交CD于F,則斯_ZC￡),根據(jù)垂徑定理求出CF,AE，根

據(jù)勾股定理求出。E、OF,即可得出答案.

【詳解】解：連接。4.OC.過點(diǎn)。作OE_LAB于E,交C。于尸，

當(dāng)和C。在圓心的同側(cè)時(shí)，如圖所示，

AB//CD,OELAB,

:.OF±CD,

OE±AB,OFLCD,

:.AE=-AB=4CF=-CD=3,

2t2

根據(jù)勾股定理，得

OE=S1AO2-AE2=V52-42=3^OF=X/OC2-CF2=752-32=4*

則EF=OF-OE=1.

當(dāng)AB和CD在圓心的兩側(cè)時(shí)，如圖所示，

AB//CD,OELAB,

:.EF1CD,

OELAB,OF1CD,

AE=-AB=4CF=-CD=3,

2t2

根據(jù)勾股定理，得

OE7Abi-AEZ二代-甲=3,OF=y]oC2-CF2=V52-32=4*

貝UE尸=O尸+OE=7.

故答案為：1或7.

10.（24-25九年級(jí)」二?安徽合肥?期末）如圖，長為定值的弦C。在以48為直徑的。上滑動(dòng)（點(diǎn)C、點(diǎn)。都

不與點(diǎn)A、8重合），點(diǎn)石是C。的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作。/_1.鉆于尸，若C￡）=3,AB=6.

O

A

(1)當(dāng)CDAB時(shí)，"的長為；

(2)C￡＞在滑動(dòng)過程中，E尸的最大值是—.

【答案】33

【分析】(1)如圖所示，連接OCOROE,可得,COD是等邊三角形，可證四邊形OEb是矩形，則

EF=OC=3,即可求解;

(2)如圖所示，延長Cb交。于點(diǎn)G,連接QG,可證E尸是「CDG的中位線，當(dāng)0G為直徑時(shí)，即

DG=AB=6,OG的值最大，則Ef的值最大，由此即可求解.

【詳解】解：(1)如圖所示，連接OCODOE,

?/AB=6,

...OA=OB=OC=OD=-AB=3,

2

：?OC=OD=CD=3,CO。是等邊三角形,

???點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

:.0C1CD,

13

???DE=CE=-CD=-

22t

VABCD,CF1AB,

；?ADCF=ZCFO=90。=NOEC,

???四邊形OEb是矩形，

???EF=OC=3,

(2)如圖所示，延長C/交。于點(diǎn)G,連接QG,

VCF1AB,AB是直徑，

：?CF=GF,即點(diǎn)尸是CG的中點(diǎn)，

???點(diǎn)七是。。的中點(diǎn)，

尸是二COG的中位線，

Z.EF=-DG,

2

當(dāng)OG為直徑時(shí)，即￡心=4?=6,DG的值最大，則E尸的值最大，

:.EF的最大值是EF=^AB=3；

故答案為：①3；②3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，中位線的判定和性質(zhì)，掌

握以上知識(shí)，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.（24-25九年級(jí)上?廣東東莞?期末）只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯II的直徑?小聰

同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法:如圖，將紙條拉直緊貼杯口上,紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A,

B,C,D四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為7cm.A3=6cm,CD=8cm.請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯杯口的直徑d.

【答案】10cm

【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

由垂徑定理求出OM，AN的長，設(shè)QV=x,由勾股定理得到（7-x『+42=f+32,求出x的值，得到ON

的長，由勾股定理求出OA長，即可求出紙杯的直徑長.

【詳解】解：如圖，取點(diǎn)O為圓心，過點(diǎn)、。作MNJ.AB于點(diǎn)、N,交.CD于點(diǎn)、M,連接。4，OD,

：,OA=OD,

VAB//CD,

:?MN1CD,

???紙條寬MV為7,A3=6,CD=S.

/.MN=7,AN=—>4B=-x6=3,

22

???DAf=-CD=-x8=4,

22

設(shè)ON=x,

：?0M=MN-0N=7-x,

?；OM'DM'ODlON2+AN2=0^，

A(W2+DM?=ON2+AN2,

:.(7-X)2+42=X2+32,

解得：x=4,

：.0N=4,

：?UA=^ON2+AN2=>/42+32=5?

d=26M=2x5=10(cm),

???紙杯的直徑長為10cm.

12.(24-25九年級(jí)上?甘肅張掖?期末)如圖，有一個(gè)圓形花園，圓心A處為一觀光亭，BC是一條橫穿圓形

花園的小路，與圓形花園的外圍柵欄交于。、E兩點(diǎn)，且兩端點(diǎn)4、C與觀光亭A距離相等.現(xiàn)在要從觀

光亭A向小路3c修一條小路防，使所垂直于8C,與小路交于點(diǎn)〃，與外圍柵欄交于點(diǎn)尸.

(1)試說明Q=CE;

(2)若量得花園內(nèi)的小路長￡>￡=80米，產(chǎn)〃=20米，求花園的半徑.

【答案】（1）見解析

⑵花園的半徑為50米

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理.

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得3"=CH,根據(jù)垂徑定理求得=再利用線段的和差計(jì)算即可得

到BD=CE；

（2）連接A。，設(shè)A的半徑為「米，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理列式計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）證明：在VA4c中，AB=AC,AFJ.BC,

:?BH=CH、DH=EH,

：.BH-DH=CH-EH,即BD=CE；

（2）解：連接A。，

設(shè)OA的半徑為八則AO=r米，4/=（廠一20）米,

VAF.LBC,

???￡>"=石"=石=40米,

2

在RtAO”中，402+（r-20）2=r2,

解得r=50,即花園的半徑為50米.

13.（24-25九年級(jí)下.河北滄州?開學(xué)考試）某隧道口是圓弧形拱頂，如圖，圓心為。，隧道口的水平寬AA為

12m,A8離地面的高度4E為5m,連接Q4,拱頂最高處C離地面的高度。。為9m.在拱頂?shù)腗,N處安

裝照明燈.

⑴求O的半徑OA的長;

⑵若安裝的兩組照明燈M,N離地面的高度均為8,5m，求例，N之間的水平距離.

【答案】(l)6.5m

(2)5m

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

(I)設(shè)44、C。交于點(diǎn)G,MN、CD交于點(diǎn)H,設(shè)：O的半徑04的長為,根據(jù)垂徑定理求出AG,

用含「的代數(shù)式將OG表示出來，在RtZ\AOG中利用勾股定理到關(guān)于「的方程并求解即可；

(2)連接求出OH,在中利用勾股定理求出用〃，再根據(jù)垂徑定理求出A/N即可.

【詳解】(1)解：如圖，設(shè)A3、CD交1點(diǎn)、G,MN、CO交于點(diǎn)H,

D

設(shè)(0的半徑0A的長為rm,

OCXAB,A4=12ni,

AG=—AB=6m,

2

AE=5m,

.-.DG=AE=5m,

CD=9m,

.\CG=CD-DG=9-5=

:.OG=OC-CG=(r-4)m,

在油AOG中利用勾股定理，得：AG2+OG2=OA\

即6?+(「-4)2=r-,

解得，?=6.5,

??.。的半徑。4的長是6.5m.

(2)解：連接OM