第十四章全等三角形（含熱考模型）

思維導(dǎo)圖

形狀相同

一大〃廂等

全

等形

s表示形狀相同

符號(hào)合圖形心圖形B------------------------

---------------------------------=表示大〃汨同

對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)

各部分對(duì)應(yīng)邊

對(duì)應(yīng)角

全等三角形

對(duì)應(yīng)邊相等

對(duì)應(yīng)角相等

麗--------------

-------周長(zhǎng)、面積相等

對(duì)應(yīng)的角平分線，中線，高相等

常見(jiàn)的全等變換平移變換、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換

全邊邊邊SSS

邊角邊SAS

等?股三角形

角邊角ASA

角—判定角角邊AAS

形直角三角形斜邊、直角邊HL

判找第三邊SSS

定

已知兩邊找?jiàn)A角SAS

兩

個(gè)找直角HL

三一邊為角的對(duì)邊找另一角AAS

角已知一邊、一角找?jiàn)A角的另一邊SAS

形

一邊是角的鄰邊找?jiàn)A邊的另一角ASA

全

等找邊的對(duì)角AAS

的找?jiàn)A邊ASA

已知兩角---------------------

思-----------找其中一角的對(duì)邊AAS

路

知識(shí)清單

1.全等三角形的概念及性質(zhì)

全等形的概念：能的兩個(gè)圖形叫做全等形.

全等形的性質(zhì)：全等形的形狀______、相等.

全等三角形的概念：能的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

全等三角形的對(duì)應(yīng)元素：兩個(gè)三隹形全等，的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，

的角叫做對(duì)應(yīng)角.

全等三角形的表示：全等用符號(hào)“_______"，讀作“_______”.

確定全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法：

1）在兩個(gè)全等三角形中，最長(zhǎng)邊對(duì)_______,最短邊對(duì)_______,最大角對(duì)_______,最小角對(duì)_______:

2）公共角、對(duì)頂角必為_(kāi)______,公共邊必為_(kāi)______;

3）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是：

4）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是；

5）根據(jù)書寫規(guī)范，按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，如△ABEgZXACD.則對(duì)應(yīng)邊是AB與_______,BE與

_.AE與_______；對(duì)應(yīng)角是NABE與_______,/AEB與________.NBAE與_______.

2.全等三角形的性質(zhì)：

1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊______,對(duì)應(yīng)角________.

2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線_______,對(duì)應(yīng)邊上的中線_______,對(duì)應(yīng)角的角平分線_______.

3）全等三角形的周長(zhǎng)，面積（注意：周長(zhǎng)或面積相等的三角形是全等三角形）.

3.三角形全等的判定

1）邊邊邊文字描述：______相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊"或“________"）；

2）邊角邊文字描述:______和它們的_______對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊"或“_______"）；

3）角邊角文字描述:______和它們的_______對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角"或“_______"）；

4）角角邊文字描述：______分別相等且其中一組等角的相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角

邊”或“_______）；

5）斜邊、直角邊文字描述：和一條對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直

角邊"或“_______”）.

【總結(jié)】從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)

元素（其中至少有一個(gè)元素是）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)

充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路.

【提問(wèn)】判斷以下兩種情況能否判斷全等，若不能請(qǐng)畫圖給出反例.

文字描述圖示（反例）能否判斷全等

AAA有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的

兩個(gè)三角形不一定全

等.

SSA有兩邊和其中一邊對(duì)

應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

不一定全等.

4.三角形全等的應(yīng)用

1）應(yīng)用全等三角形”對(duì)應(yīng)邊______,對(duì)應(yīng)角________”求線段的長(zhǎng)度和角的大小.

2）應(yīng)用三角形全等可以測(cè)出不能（或不易）直接測(cè)量長(zhǎng)度的線段的長(zhǎng)，例如測(cè)量河寬，隧道的長(zhǎng)度、小口瓶

的內(nèi)徑等.應(yīng)用時(shí)，常把問(wèn)題轉(zhuǎn)億為可以的線段.其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，依捱是全等三角

形的_______.

易錯(cuò)辨析

序號(hào)易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)題注意事項(xiàng)

1添加條件證明兩三角形全1-4證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，要認(rèn)真分析已知條件，仔細(xì)觀察圖

等形，弄清一具備了哪些條件，從中找出已知條件和所要說(shuō)明

的結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，從而選擇最適當(dāng)?shù)姆椒?/p>

2未明確指明兩個(gè)具體的全5-9若△ABC0ADEF,則前后對(duì)應(yīng)關(guān)系確定；若△ABC與△DEF全

等三角形時(shí)，需分類討論等，則前后對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，需分情況討論.

3理解使用“HL”適用情況10-13利用“HL”證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，只需判斷斜邊和直角邊

對(duì)應(yīng)相等，但其前提條件是：直角三角形，即有一個(gè)直角。

實(shí)際由勾股定理可知，在直角三角形中只要知道任意兩邊的

長(zhǎng)，即可求得第三邊的長(zhǎng)。因此“HL”的本質(zhì)是三邊分別相

等.

4隱含條件的識(shí)別14-17在證明三角形全等時(shí)，公共邊與公共角是常見(jiàn)的隱含條件.在

某些情況下，題目中的等角或等邊可以通過(guò)其它條件進(jìn)行轉(zhuǎn)

化.

1.（24-25七年級(jí)下?廣東佛山?期中）如圖，已知/B4C=ND4C,那么添加下列一個(gè)條件宕不能證明

A/lB&zMOC的是（）

A.AB=ADB.ZBCA=ZDCA

C.ZB=ZDD.BC=CD令

2.（24-25七年級(jí)下?山東煙臺(tái)?期末）如圖，在V43C與ZXEB尸中，若AB=BE,NA=NE,下列條件

不能使這兩個(gè)三角形全等的是（）

A.ZC=ZFB.AC=EF

C.BC=BFD./CRF=ZARE

3.（24-25七年級(jí)下-山西運(yùn)城?階段練習(xí)）沙燕風(fēng)箏以深厚的文化底蘊(yùn)、高超的制作技藝著稱，已被列入

國(guó)家級(jí)非遺名錄.在如圖所示的“風(fēng)箏”骨架圖案中，若==則添加如下的一個(gè)條件仍不

能證明AABC的是（）

A.ZBAC=ZDAEB.NBAF=NDAC

C.ZC=Z￡I).BC=DE

4.（24-25八年級(jí)上?湖北荊州?期中）在和氏"EC中，ZC=ZC=90°,有如下幾個(gè)條件：

?AC=AC',ZA=ZA'；?AC=AC',AB=AB\③4C=AC，BC=R'C；④AB=A8，Z4=ZA\其

中，能判定用ABC安氏的條件的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

5.（24-25七年級(jí)下?安徽宿州?期末）如下圖，在四邊形A8C。中，AD=BC=\O,AD〃BC,點(diǎn)、E從

點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿D4向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)廠從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位的速度，沿

C->4->C做勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).皮）=14,點(diǎn)G為BO的中點(diǎn)，

兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為，秒，在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△D￡G與4打6全等時(shí)，￡的值為秒.

R

6.（24-25七年級(jí)下?河南焦作?期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABC。中，入3=3,AO=9,延長(zhǎng)AC到點(diǎn)E,使

CE=6,連接。石，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿8C-CO-D4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)。的運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)E的值為秒時(shí)，..A6尸和△OCX全等.

7.（24-25八年級(jí)下?河北廊坊?期末）如圖，直線A3:y=x+。分別與x、y軸交于兒《兩點(diǎn)，點(diǎn)力的坐

標(biāo)為（-4,0）,過(guò)點(diǎn)8的直線交x軸正半軸于點(diǎn)。，且O8:OC=4:3,在x軸上方有一點(diǎn)〃，使以點(diǎn)力，B,D

為頂點(diǎn)的三角形與VA3C全等，此時(shí)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為.

8.124-25八年級(jí)上?江西上饒?期中）如圖，C4_LA8于點(diǎn)A,AB=8,4c=4,射線8WJLA8于點(diǎn)8,

一動(dòng)點(diǎn)E從八點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位/秒沿射線八8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)力為射線上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，旦

始終保持若點(diǎn)E經(jīng)過(guò)f秒（/>0）,二?！?與V8cA全等，貝”的值為秒.

9.（24-25八年級(jí)上?河南周口?階段練習(xí)）2024年9月10口是第40個(gè)教師節(jié).數(shù)學(xué)老師用與教師節(jié)年

月日相關(guān)的數(shù)字，編擬了一道運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和解方程等知識(shí)求解的題目：一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分

別是4,9,10,另一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別是4,2x-3y,3x-y.若這兩個(gè)三角形全等，則工+丁的值為.

10.（24-25八年級(jí)下-全國(guó)-期中）如圖，在VA4c和△OC8中，ZA=ZD=90°,要使AABC且ADCB,

若根據(jù)“HL”判定，則還需要添加條件：

AD

11.（24-25八年級(jí)下?內(nèi)蒙古包頭?期末）如圖，點(diǎn)尸在—AO3內(nèi)部的一條射線上，PQA.OA,垂足為。,

且產(chǎn)。=4.已知點(diǎn)尸到射線CM的電離為4,且NOPQ=68。則NACM的度數(shù)為（）

A.22°B.44°C.45°D.68°

12.（21-22八年級(jí)下?廣西桂林?期中）如圖，在VABC中，〃為BC的中點(diǎn)，DE±AB,DFJ.AC,點(diǎn)、

E、/為垂足，旦DE=DF.求證：VBED^/CFD.

13.（24-25八年級(jí)下-廣東揭陽(yáng)?期中）按要求完成下列各小題：

（1）在V48C中，ZA=ZB+ZC.ZB=2ZC-6°,求NC的度數(shù)；

（2）如圖，N/l=NZ）=<Xr,AB=DE,BF=EC.求證：RtAXBC^RtADEF.

14.（24-25七年級(jí)下?陜西西安?期末）如圖，在等腰三角形/WE中，AB=AE,點(diǎn)。為AE右側(cè)一點(diǎn)，

連接A。，BD,DE,點(diǎn)C是BD上一點(diǎn),連接AC,AC=AD.若N84E=NC40,Zl+Z2+Z3=100°,

則/3的度數(shù)為（）

15.（24-25九年級(jí)下?福建福州?期中）如圖，已知N3=NCN1=N2,8￡=C。.求證：AB=AC.

16.（24-25八年級(jí)下?廣西崇左?期末）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F是邊BC,C力上的點(diǎn),

且BE=CF,那么，線段AE與防是否互相垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由.

17.（24-25八年級(jí)下?河南商丘?期末）如圖，點(diǎn)A（5,0）,B（0,4）,以線段A5為直角邊,在第一象限內(nèi)

作等腰直角三角形A8C,則邊4C所在直線的函數(shù)解析式為.

重難點(diǎn)01添加條件使三角形全等

1.（2025?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在,AAC7）中，點(diǎn)E,點(diǎn)尸在對(duì)角線AC上.要使△ABEg/XCT）”,可

添加的條件為（）

A.BE=DFB.AF=CE

C./BAE=/DCFD.ZCAD=ZACB

2.（23-24八年級(jí)下?安徽宣城?期末）如圖，在V48C和DEF中，點(diǎn)8E,C,尸共線，已知8E二C/,

添加下列條件不能使得斯的是（）

A.AB//DE,AC//DFB.ZA=ZD=90°,AB=DE

C.4=ZD，AC=DFI).AB=DE,AC=DF

3.(24-25八年級(jí)上-安徽合肥?期末)根據(jù)下列條件能畫出唯一VA8C的是()

A.ZA=30°,ZB=60°.ZC=90°B./A=60。,A8=4cm.AC=3cm

C.AB=4cm,BC=3cm,ZA-309D.AB=3cm,/A=60°

4.(24-25八年級(jí)上?安徽滁州?期末)如圖，在VA8C和中，點(diǎn)3、F、C、。在同一條直線上,

己知NA=NO,AB=DE,添加以下條件，不能判定△ANCg/XOE產(chǎn)的是()

A.BC=EFB.AC=DFC.ZACB=NDFE1).ZB=ZE

5.124-25八年級(jí)上?安徽淮南?期中）如圖，AC與BD交于點(diǎn)P,AP=CP,從以下四個(gè)論斷①NA=N。，

②8P=OP,③AB=CD,④4B〃C￡）中選擇一個(gè)論斷作為條件，則不一定能使.。的論斷是

重難點(diǎn)02靈活選用判定方法證全等

6.（24-25八年級(jí)上-山西長(zhǎng)治-期中）已知V4AC的三邊及三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)如圖所示，現(xiàn)要作一個(gè)與VABC

全等的三角形，下面是四位同學(xué)借出的圖形.

(1)(2)(3)(4)

其中符合條件的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

7.（23-24八年級(jí)上-吉林長(zhǎng)春?期末）如圖，小麗同學(xué)不慎把一塊三角形的玻璃打碎成四塊，現(xiàn)在要去玻

璃店配一塊和原來(lái)完全一樣的玻璃，下列選擇帶碎片的方法中不能配成和原來(lái)一樣的是（)

A.帶①②去B.帶②③去C.帶①?去I）.帶①③去

8.（2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小

明通過(guò)電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)、為了方便表述，將該三角形記為AA8C,提供了下列各組元素的數(shù)

據(jù)，配出來(lái)的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC.CAB.C.AB.AC^BD.NAN4.3C

9.（21-22八年級(jí)上-安徽合肥?期末）下列三角形與下圖全等的三角形是（）

10.（23-24八年級(jí)上?安徽阜陽(yáng)?期末）如圖，在VABC和SE/中，B,E,C,”在同一條直線上.下

面四個(gè)條件：①AB=DE：@AB//DEi③BE=CF；④ZA=N￡）.

（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題（寫出兩種情況即可，填序號(hào)）.

①已知：;求證：__________；

②己知：；求證：；

⑵在（1）的條件下，選擇一種情況進(jìn)行證明.

重難點(diǎn)03利用全等三角形的性質(zhì)求解

11.（24-25八年級(jí)上?安徽合肥?期末）如圖，點(diǎn)/AC,〃在同一直線上，若^ABCgMDE,AB=9,

BD=14,則4c等于（）

A.9B.4C.5D.6

12.（24-25八年級(jí)下?安徽蕪湖?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，4C兩點(diǎn)分別位于坐標(biāo)軸

上，且RtzXOABgRtAOC。，若。8=2石，AB=2,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是（）

D.(4,-2)

13.（22-23八年級(jí)上?江蘇宿遷?期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的，圖形的各個(gè)頂

點(diǎn)均為格點(diǎn)，則N1-N2-N3的度數(shù)為（)

B.45°C.55°D.60°

14.（2024?山東荷澤-三模）如圖，.A8C中，Z4CB=90°,△ABC點(diǎn)〃在邊A8上，AC.ED

交干點(diǎn)凡若NA=24。，則NEFC的度數(shù)是

重難點(diǎn)04補(bǔ)充全等三角的證明過(guò)程

15.（24-25七年級(jí)下?上海?期中）如圖，已知：N1=N2,AB=AC,AD=AE,且3、C、。三點(diǎn)在

同一直線上.求證：N8=NACE.把以下證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

證明：-/Zl=Z2,

/.Zl+Z__________=N2+N_

z=z.

在AABD和AACE中，

AB=AC

???，/_____=Z______

.UABD^ACE().

;.NB=ZACE(__________).

16.(24-25八年級(jí)上?河北石家莊?期中)如圖是一個(gè)四邊形木架A3CD.

(1)加上木條8D后，木架不易變形，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是」

(2)若NC=NA4O平分/48C,且A4=5,S=I2,求四邊形木架的周長(zhǎng).

下面是(2)的解答過(guò)程，請(qǐng)大家補(bǔ)充完整：

解：二"。平分NA3C,

在△4B。和△C8O中，

ZA=ZC

<—

Z.r\ABD^^CBD(_),

AAB=CB=5,AD=CD=\2(_),

J四邊形木架的周長(zhǎng)為AB+8C+CD+AD=5+5+12+12=34.

17.(24-25七年級(jí)下?山西太原?階段練習(xí))在VA8C中，N3AC=90。,A4=AC,點(diǎn)。為直線8c上一點(diǎn)

(點(diǎn)。不與點(diǎn)仇。重合)，連接4D,在AO的右側(cè)作V4QE,使得NDAE=90。,AO=AE,連接C￡,過(guò)點(diǎn)

A作4/18。于點(diǎn)尸.

E

CD

圖2備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)。和點(diǎn)尸重合時(shí)，如圖1,判斷線段CE和6c之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)叨理由；下面是小穎不完整的

解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:

BC=2CE,理由如下:

ZBAC=ZDAE=90，

,一

即ZMP=NC4E.

在△A8O和A4CE中，

AB=AC,

/BAD=ZCAE,

AD=4E,

/.ABD^.ACE.(依據(jù)1：_________)

「?__________=___________■

vAB=AC,AFLBC,

BC=2BF.(依據(jù)2：)

BC=2CE.

⑵當(dāng)點(diǎn)。位于點(diǎn)。右側(cè)時(shí)，如圖2,判斷線段CEOEBC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)。位于射線號(hào)上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CEOE8C之間的數(shù)量關(guān)系.

18.(24-25八年級(jí)上-安徽池州?期末)【問(wèn)題提出】

數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在VA6C中，A6=8,AC=6,〃是6C的中

點(diǎn),求8C邊上的中線AO的取值范圍.

【問(wèn)題探究】

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AO到反使OE=4),請(qǐng)補(bǔ)充完整證明

“△ADC經(jīng)△EQ8”的推理過(guò)程.

(1)求證：△AZ)C也△也出；

證明：延長(zhǎng)A。到點(diǎn)打使?！?")

A

。是BC的中點(diǎn)（已知）

E

:.CD=BD（中點(diǎn)定義）

在AAOC和△瓦）3中

AD=EQ（己作）

、ZADC=NED/3（）

圖1圖2

CO=8。（已證）

：?4OC沿4EDB（________）

（2）探究得出AO的取值范圍是

【問(wèn)題解決】

（3）如圖2,V/1AC中，2B90?,4?=3,A。是VABC的中線，CE1BC,CE=6,且乙4。石=90。，

求4E的長(zhǎng).

重難點(diǎn)05選用合適的方法證明兩個(gè)三角形全等

19.（24-25八年級(jí)下?安徽亳州，期中）已知：如圖，E,尸為；A4CO對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且A￡=C〃,

連接BE,DF,求證：BE=DF.

20.（23-24八年級(jí)上?云南曲靖?期中）如圖，在VABC和“TB'C中，ZC=ZC=90°,AB=ABAD

與ATT分別為BC,邊上的中線，且8=C77,求證：△A8CgZ\A'*C'.

21.（24-25七年級(jí)下?陜西咸陽(yáng)?期中）如圖，在中，Z4BC=90°,點(diǎn)〃在8C的延長(zhǎng)線上，且

BD=AB.過(guò)點(diǎn)8作8￡_LAC,與8。的垂線OE交于點(diǎn)后

(1)求證：AABC/ABDE；

（2）若人4=13,DE=6,求CO的長(zhǎng).

22.（2025?海南海口?三模）如空，4。是等邊VABC的中線，以〃為圓心，?！鞯拈L(zhǎng)為半徑畫弧，交BC

的延長(zhǎng)線于反連接OE.

（2）若VA4C的邊長(zhǎng)為6,求C￡的長(zhǎng).

23.（2025?安徽淮北?三模）如圖1,點(diǎn)。在2陰C的平分線AN上.

⑵如圖2,若AC=AB+BD.

①已知480=50，求NAC。的愛(ài)數(shù).

②點(diǎn)七在AN上，若CE=DE,求證：ZACE=^BDE.

重難點(diǎn)06與全等三角形性質(zhì)與判定有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題

24.（24-25八年級(jí)上?河南洛陽(yáng)?期中）程老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來(lái)探究“邊邊角條件是否可

確定三角形的形狀”問(wèn)題.操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)。在軌道槽AM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸既能在以力為圓心、以8為半徑

的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng)，也能在軌道槽QN上運(yùn)動(dòng)，圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖.

有以下結(jié)論：

①當(dāng)NP4Q=30。，PQ=6時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ：

②當(dāng)NPAQ=90。，PQ=10時(shí)，可得到形狀唯一確定的△尸AQ：

③當(dāng)NPAQ=150。，PQ=12時(shí)，可得到形狀唯一確定的△PAQ.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①@B.②③C.@@D.?（2X3）

25.（24-25八年級(jí)上?四川廣元?期中）如圖，已知A8=AC,點(diǎn)。、E分別在AC、A8上且AE=4）,

連接EC,BD,EC交BD于點(diǎn)、M,連接AM,過(guò)點(diǎn)A分別作A/_LCE,AG_L3。垂足分別為尸、G,下

列結(jié)論：①，EBM0DCM；?ZEMB=^FAG；③平分NEAG：④若點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，則

RM+AOEM^BD,⑤如果院.=.S“人則E是4"的中點(diǎn),；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

26.（20-21八年級(jí)上?福建南平?期中）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在4￡同側(cè)

分別作等邊三角形八AC和等邊三侑形COE,AD與BE交于點(diǎn)0,A力與AC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,

連接PQ.下列六個(gè)結(jié)論：?AD=BEx②尸。〃AE：@AP=/3Q.④DE=DP；⑤4OB=60。；⑥，CPQ

是等邊三角形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）.

27.（24-25八年級(jí)上?安徽黃山?期末）如圖，在四邊形A8CD中，AB=CB,AD=CDt我們把這種兩

組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.已知NADC=120。，ZABC=6O°.“箏形”A4C。的對(duì)角線AC、

80相交于點(diǎn)O.如下結(jié)論：①VA8C是等邊三角形；②AO=：8。；

③S四邊物8m=A08Q；④點(diǎn)P、。分別在線段48、8c上，且NPOQ=60。，貝|JPQ=AP+C。，其中正確

的結(jié)論有.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

28.（24-25八年級(jí)上?安徽蕪湖?期中）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、七重合），在AE同側(cè)

分別作正VA8C和正AD與BE交于點(diǎn)、0,AD與AC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接P。.以

下五個(gè)結(jié)論：①4）=跳:：@PQ//AE.?AP=BQ.④連接。C,OC平分/AOE；⑤N498=60°.

成立的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

重難點(diǎn)07結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問(wèn)題

29.（23-24八年級(jí)上?安徽蕪湖?期末）如圖，RL^A3c中，ZC=90°,ZA=3O0,請(qǐng)解決以下問(wèn)題:

（1）作出邊44的垂直平分線，分別交邊A/3、AC于點(diǎn)￡'、凡交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃（尺規(guī)作圖，不寫畫法,

保留作圖痕跡）:

(2)求證：AC=DE-

(3)若C/=1,求OE的長(zhǎng).

30.（22-23八年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期末）圖①、圖②均為4x4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格

點(diǎn)，邊長(zhǎng)均為L(zhǎng)在圖①、圖②中按下列要求各畫一個(gè)三角形.

要求：（1）三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.

⑵與VAAC全等，且位置不同.

31.（24-25八年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）（1）如圖，在V4BC中，以為一邊作△BC。，使得△A8C也△DC8,

畫出所有符合條件的△8CO（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

A

(2)請(qǐng)用兩種不同方法作出8C邊上的中點(diǎn)E.(用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

CB

32.(24-25八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)B的坐

標(biāo)為(-1,0)，回答下列問(wèn)題：

(1)在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系；

(2)標(biāo)出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C,并寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶分別連接A3,AC,BC,得到VA4C,在平面內(nèi)找一點(diǎn)。使VA4c與△4C。全等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)。的

坐標(biāo).

重難點(diǎn)08利用全等三角形的性質(zhì)與判定求解

33.(24-25八年級(jí)上?安徽宣城?期末)如圖，等腰VA3c中，AB=AC,點(diǎn)〃是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)反P

分別在50延長(zhǎng)線上，且A6=AE,CP=EP.

［問(wèn)題思考］

（1）在圖1中，求證：NBPC="AC；

［問(wèn)題再探］

（2）若NWC=60。，如圖2,探究線段小、BP、EP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

34.（24-25八年級(jí)上?安徽六安?期中）在VA8C中，ZACB=90°,CD為45邊上的高.

①當(dāng)NCM=55。時(shí)，求一人的度數(shù)；②NCFE與NCEf相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵如圖2,若E為AC的中點(diǎn)，BE交CD于點(diǎn)F,AD=2BD,VA8C的面積為36,連接心，則△人￡下的

面積為.

35.（24-25八年級(jí)上?安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)）在VA6c中，AB=AC,點(diǎn)〃在C4延長(zhǎng)線上，以CO為邊,

在AC上方作任意.?.a）以連接BE交DC于點(diǎn)G.

圖1圖2

⑴如圖1,若G為BE中點(diǎn)、,DE//BC,DA=3AG=6,求CG的長(zhǎng)；

（2）如圖2,點(diǎn)〃在4C的延長(zhǎng)線上，連接班若EF=BC,NF=ZABC,NDEF+NBCE=180。,試猜想

線段QG,C尸和CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

36.（24-25八年級(jí)上?安徽阜陽(yáng)?期末）如圖，在VA4C中，AB=AC,。為AC的中點(diǎn)，DEJ.AB千點(diǎn)、E,

DFA.BC于點(diǎn)、F,且DE=D尸,連接見(jiàn)），點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，且CO=CG.

（1）求證：VA4c是等邊三角形;

（2）若8/=3,求線段汽;的長(zhǎng).

37.（24-25八年級(jí)上?安徽淮南?期中）如圖，在VABC與V4OE中，^C=^E,BC=DE,AC=AE,過(guò)

點(diǎn)A作A510E垂足為F,DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AG.

E

（1）求證：G4平分NDGC；

⑵若四邊形QG8A的面積為6,AF=3,求的長(zhǎng).

重難點(diǎn)09與全等三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

38.（24-25八年級(jí)k?安徽蕪湖?期中）如圖，己知VA8C中，45=AC=12cm,4C=10cm,點(diǎn)。為人片的

中點(diǎn)，如果點(diǎn)Q在線段8C上以2cm/s的速度由點(diǎn)B向。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段AC上由點(diǎn)A向C點(diǎn)以

4cni/s的速度運(yùn)動(dòng).經(jīng)過(guò)（）秒后，ABPD與YCQP全等.

C.2或TD.無(wú)法確定

39.（23-24八年級(jí)上?江西南昌,期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)412,6）,NA4O=90。，一動(dòng)點(diǎn)。

從點(diǎn)/，出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線30運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)〃在y軸上，〃點(diǎn)隨著。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，目始終保持

OA=CD.當(dāng)點(diǎn)。經(jīng)過(guò)秒時(shí)，△。山與△及〃全等.

40.（20-21八年級(jí)下?廣西百色?期末）如圖，在長(zhǎng)方形/WCO中，A4=CQ=6cm,4C=IOcm,點(diǎn)P

從點(diǎn)O出發(fā)，以2cm/秒的速度沿4c向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒：

d）PC=_____cm.（用/的代數(shù)式表示）

⑵當(dāng)/為何值時(shí)，ABP^DCP?

（3）當(dāng)點(diǎn)〃從點(diǎn)8開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，問(wèn)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以wm/秒的速度沿CD向點(diǎn)、D運(yùn)動(dòng),是否存在

這樣封的值，使得ABP與△PQC全等？若存在，請(qǐng)求出丫的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

41.（24-25八年級(jí)上?安徽安慶?期末）如圖，在RtZXA3c中，?B90?,AC=10,NC=30。，點(diǎn)。從

點(diǎn)C出發(fā)沿6方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿A3方向以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)3勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)。、E運(yùn)

動(dòng)的時(shí)間是f秒。＞0）,過(guò)點(diǎn)。作力/_L8C于點(diǎn)尸，連接EF.

(1)DF=;（用含，的代數(shù)式表示）

(2)求證：MED^AFDE;

（3）當(dāng)/為何值時(shí)，VEDE為直角三角形？

重難點(diǎn)10倍長(zhǎng)中線模型

42.（22-23八年級(jí)上?福建泉州-期末）如圖，在VA3C中，八8=3,AC=5,是邊3c上的中線，AO=2,

則AACB的面積是.

43.（23-24八年級(jí)上?安徽安慶?期末）（1）如圖①，在VABC中，若AB=6,AC=4,八。為邊上

的巾線，求4。的取值范圍；

（2）如圖②，在VA3C中，點(diǎn)〃是8C的中點(diǎn)，DE上DF，DE交AB于點(diǎn)E,OF交AC于點(diǎn)尸，連接

判斷8￡+b與石廠的大小關(guān)系并證明；

（3）如圖③，在四邊形人4a＞中，AB//CD,■與0。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)R點(diǎn)是的中點(diǎn)，若AE是

N84尸的角平分線.試探究線段八A,AF,C尸之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖①圖②圖③

44.（24-25八年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期中）新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做偏等積三角

形.

初步嘗試

（1）如圖1,在VABC中，4CB=90。，AC=BC=6,尸為4c上一點(diǎn)，當(dāng)AP的長(zhǎng)為一時(shí)，4ABp與.CBP

為偏等積三角形.

理解運(yùn)用

（2）如圖2,△A3。與“IC。為偏等積三角形，AB=2,AC=4,且線段AO的長(zhǎng)度為正整數(shù)，過(guò)點(diǎn)C作

CE〃AB,交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)乞求A￡的長(zhǎng).

綜合應(yīng)用

（3）如圖3,已知V/WC和V/V犯為兩個(gè)等腰直角三角形，其中AC=A8,AD=AE,NC4B=ND4E=90。，

廠為CO的中點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)上述條件，回答以下問(wèn)題：

①KAD+^BAE的度數(shù)為_(kāi)。；

②試探究線段A廠與防的數(shù)顯關(guān)系，并寫出解答過(guò)程.

重難點(diǎn)11一線三垂直模型

45.（23-24八年級(jí)下?安徽蚌埠?開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在VA8C中，AC=BC,AE=CDtAE_LCE于

點(diǎn)E,BD工CD于點(diǎn)D,AE=1,BD=2,則OE的長(zhǎng)是（）

H

A.7B.5C.3D.2

4

46.（23-24八年級(jí)上?安徽亮州?期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)為+4與坐標(biāo)軸

交干A、B兩點(diǎn),若VA8C是等腰直角三角形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

47.（23-24八年級(jí)上?江蘇南通?期中）已知RtZ\/WC滿足4C=AC,448=90。，直角頂點(diǎn)C在x軸上,

圖①圖②圖③

⑴如圖①若A。垂直于x軸，垂足為點(diǎn)。.點(diǎn)C坐標(biāo)是包⑼，點(diǎn)8的坐標(biāo)是（0力），且滿足卜+1卜伍-3）2=0,

請(qǐng)直接寫出。、〃的值以及點(diǎn)Am坐標(biāo).

⑵如圖②，直角邊8c在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)8的坐標(biāo)為（0,4）,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5,0）時(shí)，求A的坐標(biāo)；

（3）如圖③，直角邊3C在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，AC與N軸交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作人石軸于E,若BD=2AE,

試說(shuō)明）'軸恰好平分ZABC.

48.（24-25八年級(jí)上-安徽六安?期中）已知RtAABC滿足&?=人C,48=90。，直角頂點(diǎn)C在％軸上，

頂點(diǎn)8在>軸上.

求點(diǎn)A坐標(biāo);

⑵如圖②，直角邊8c在兩坐標(biāo)地上滑動(dòng)，若)，軸恰好平分AC與y軸交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作人

軸于E,猜想：80與AE數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

(3)如圖③，直角邊AC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，過(guò)A點(diǎn)作人F上)，軸于b,在滑動(dòng)的過(guò)程

中，兩個(gè)結(jié)論：①笥盧為定值；②零盧為定值，只有一個(gè)結(jié)論成立，請(qǐng)你判斷正確的結(jié)論并直

接寫出這個(gè)定值.(不需要證明)

重難點(diǎn)12截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

49.(24-25八年級(jí)上?安徽淮南?期中)如圖，VA3c是等邊三角形，點(diǎn)。、E分別是射線48、射線8

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿射線A3移動(dòng)，點(diǎn)E從點(diǎn)7?出發(fā)沿8G移動(dòng)，點(diǎn)。、點(diǎn)￡同時(shí)出發(fā)并且運(yùn)動(dòng)速

度相同.連接C。、DE.

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：DE=DC.

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在線段A8上移動(dòng)但不是中點(diǎn)時(shí)，試探索DE與0C之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到線段A8的延長(zhǎng)線上，并且EDJLOC時(shí)，求NDEC度數(shù).

50.(24-25八年級(jí)上-安徽阜陽(yáng)?期末)如圖1和圖2,在四邊形A8CO中，N7MO+/8C。=18(),4。平

分NABC.

（1）如圖1,若/84D=90,則可得直接得出=.依據(jù)是___________.

（2）如圖2,求證AD=C￡>；

（3）問(wèn)題拓展：如圖3,在等腰VA3c中，N6AC=100,BD平分NABC,求證：BD+AD=BC.

51.（24-25八年級(jí)上?安徽蚌埠?期末）點(diǎn)M、N分別在等邊VA8C的兩邊A8、AC所在的直線上，點(diǎn)。

為VA4c外一點(diǎn)，且N/"W=60。，ZBDC=120°,HD=DC.探究：當(dāng)點(diǎn)用、N分別在直線A3、AC上

移動(dòng)時(shí)，AMN的周長(zhǎng)C與等邊VABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.

C

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N在也AB、AC上，且=時(shí)，—=_________；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)例、N在邊A3、AC上，且0MH0/V時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證

明；若不成立，請(qǐng)?zhí)骄緾與L的美系；

（3）如圖3,當(dāng)"、N分別在邊A6、C4的延長(zhǎng)線上，且4N=gcN時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄看藭r(shí)。與L的關(guān)系，并說(shuō)明

理由.

52.（24-25八年級(jí)上?安徽淮北?期末）【模型初現(xiàn)】（1）如圖1,在VAAC中，ZC=90°,AB=近，

AC=BC=\,A。平分N8AC交AC于點(diǎn)〃，DEJ.AB于點(diǎn)E,則CZ>=_

【模型歸納】（2）如圖2,八。是VA6C的角平分線，ZB=36n,ZC=72n,點(diǎn)￡在〃8上，AE=AC.探

索線段AC和C。之間的數(shù)最關(guān)系，并加以證明；

【模型應(yīng)用】（3）如圖3,點(diǎn)￡是等邊VA6C外一點(diǎn)，連接E4,EC,EB,恰好滿足忿=".已知4）平

分ZfiAB交EC于點(diǎn)〃，若CD=4DE=8,求4）的長(zhǎng).

重難點(diǎn)13手拉手模型

53.（24-25八年級(jí)」一?四川宜賓,期末）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1,VA8C和△DCE均為等邊三角形，連結(jié)AZ）,

且點(diǎn)從D、￡在同一直線上，連結(jié)BE,發(fā)現(xiàn)YAC的VBCE.