第十五章軸對稱圖形與等腰三角形（含熱考模型）

思維導(dǎo)圖

l沿T直線折疊、

定義一個圖形直線兩旁重合

軸對稱圖形

對稱軸沿著折羲的直線

各部分

對稱點對折后重合的點

城對稱兩個圖形沿一條直線折疊能夠望合

定義經(jīng)過線段中點與線段垂直的直線

垂直平分線垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

判定到線段兩個端點在垂直平分線上

距離相等的點

基礎(chǔ)性質(zhì)角平分線上的點到角兩邊的距離相等

角內(nèi)部到角兩邊

距離相等的點

角平分線判定在角平分線上

折疊法

作圖方法度塞去

軸

對點坐標(X,y)

稱與坐標系

關(guān)于x軸對稱（x,-y）

對稱點坐標

圖

關(guān)于y軸對稱（+,y）

形

與

等邊對等角

等近-------------

三線合一

等腰三角形

腰

判定等角對等邊

三

特殊圖形性質(zhì)三個角相等都等于60°

角

三個角相等

形等邊三角形

f三角形--------------

三條邊相等

判定

等腰三角胖有一個角60°

找對稱點

思路------------

平移

將軍飲馬

應(yīng)用兩點之間線段最短

領(lǐng)--------------------

垂直平分線的性質(zhì)

知識清單

1.軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱軸對稱圖形

圖形A?D

△△△

BC*F"\C

把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

一個圖形______,那么稱這兩個圖形關(guān)于這條

定義能夠互相_____,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形.這

______對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線條直線就是它的對稱軸.

叫做.折疊后重合的點是______點，也叫做

對稱點.

性質(zhì)1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是_____.

2）兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任意一對對應(yīng)點所連線段的_____.

3）如果圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，那么交點在上.

判定1）兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.

2）兩個圖形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么對稱軸是對折重合的

2.線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段的______并且______于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

（或線段的中垂線）.

性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離_____.

幾何語言敘述；???點P在線段AB的垂直平分線上，???PA-______尸］

判定：到一條線段兩個端點距離______的點在這條線段的垂直平分線上.

幾何語言敘述：???PA=_____，，點P在線段AB的垂直平分線上/Jx

小結(jié)：線段的垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的______.c

三角形垂直平分線的性質(zhì)：

1）三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三個頂點的距離_____.

2）三角形三邊的垂直平分線的交點又稱三角形的外心.

3.角平分線的性質(zhì)與判定

性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離

用符號語言表示為：VZ1=Z2,PD±OA,PE±OB

，PD二

判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離的點在角的平分線上.

用符號語言表示為：???PD1______,PEX______,PD=______

:.ZPOD=ZPOE

【補充】性質(zhì)中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”，因此在應(yīng)用時必須含有“______”這個條

件，否則不能得到線段相等.

4.等腰三角形的性質(zhì)與判定

等腰三角形性質(zhì)：

1）等腰三角形是______圖形，它有______條或______條對稱軸，

①當腰和底邊不相等的等腰三角形只有______條對稱軸，

②當腰和底邊不相等的等腰三角形只有______條對稱軸.

2）等腰三角形的兩個______相等（簡稱“等邊對等角“）.

3）等腰三角形的頂角、底邊上的、底邊上的相互重合.（簡稱“三線合一”）.

【注意】“三線合一”的前提是_____三角形，且必須是頂角的由平分線，底邊上的高和底邊上的中線.

等腰三角形的判定：

1）定義法：兩邊______的三角形是等腰三角形；

2）定理法：有兩個角的三角形是等腰三角形，即這兩個角所對的______也相等（簡稱“等角對

5.等邊三角形的性質(zhì)與判定

等邊三角形的性質(zhì)：

1）等邊三角形是______圖形，并且有______條對稱軸；

2）等邊三角形的三條邊______；

3）三個內(nèi)角都______,并且每個內(nèi)角都是______.

等邊三角形的判定：

1）定義法：三邊______的三角形是等邊三角形；

2）二個角都的二角形是等邊二角形.

3）有一個角是的等腰三角形是等邊三角形.

易錯辨析

序號易錯點易錯題注意事項

1軸對稱圖形與軸1-5詳見知識清單1中軸對稱圖形與軸對稱的聯(lián)系與區(qū)別

對稱的混淆

2坐標系中對稱點6-8關(guān)于誰對稱誰不變，關(guān)于原點對稱都改變.

的坐標變化錯誤

3折疊問題中隱藏9-111）折疊的本質(zhì)是軸對稱，會產(chǎn)生新的角與角的關(guān)系.

條件遺留2）解題關(guān)鍵:找到對應(yīng)相等的角.

3）折疊問題的本質(zhì)是全等變換.折疊前的部分與折疊后的部分是全

等形.

4）折痕可看作垂直平分線（對應(yīng)兩點之間的連線被折痕垂直平分）.

5）折痕可看作角平分線（對應(yīng)線段所在的直線與折痕的夾角相等）.

4利用角平分線性12-14應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)時，角的平分線、角的平分線上的點到角兩

質(zhì)定理遺漏垂直邊的距離兩個條件缺一不可，不能錯用為角的平分線上的點到角兩

的限制條件邊任意點的距離相等.

5垂直平分線與角15-20

平分線的混淆

1.（21-22八年級上?安徽馬鞍山?期末）下列四個互聯(lián)網(wǎng)公司log。中，是軸對稱圖形的是1）

2.（23-24八年級上?河北唐山?期末）下列圖形中，“'9仁與V45C成軸對稱的是（）

3.（23-24八年級上-安徽蕪湖-期末）下列說法正確的是（）

A.如果兩個三角形全等，則它們必是關(guān)于某條直線成軸對稱的圖形

B.如果兩個三角形關(guān)于某條直線成軸對稱，那么它們是全等三角形

C.等腰三角形是軸對稱的圖形，底邊上的高是它的對稱軸

D.一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點的直線成軸對稱的圖形

4.124-25八年級上?安徽淮南?期中）如圖，VA4c與△A8C關(guān)于直線對稱，尸為上任一點（尸

不與AA共線），下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.AP=A,PB.MN垂直平分八4

C.I）.直線八8,A馬的交點不一定在“N上

5.（24-25八年級上?北京-期中）如圖所示的4組圖形中，成軸對稱的是（）

a9Eb55cEEd52

6.（24-25八年級下?湖南懷化-期末）某班級開展剪窗花活動,小華同學(xué)將剪好的兔子放在適當?shù)钠矫嬷?/p>

角坐標系中.若兔子兩只耳朵上的點4（2,。）與點8（43）恰好關(guān)于》軸對稱，則的值為.

7.（24-25八年級上?廣西欽州?期中）如圖是蠟燭平面鏡成像原理圖，若以平面為4軸，鏡面?zhèn)让鏋椋?軸

（鏡面厚度忽路不計）建立平面直角坐標系，若某時刻火焰頂尖S點的坐標是2）.此時對應(yīng)的虛像S'

的坐標是（3,），），則3x+y=.

8.（24-25八年級下?河北保定?期末）在平面直角坐標系中，已知點A（1,6）,8（3,-2）,點用在x軸上，

當AM最大時，點M的坐標為.

9.124-25八年級上?安徽淮北?期末）如圖，將VA4c沿A。所在的直線折疊，使點8落在AC邊上的點E

處，/8=48。且￡。=小九那一AOE的度數(shù)是（)

A.70°B.75°C.78°D.80°

10.（24-25八年級上?安徽合肥?期中）在VA6C中，將N方，ZC按如圖所示方式折疊，點8，C均落

在邊5。上點〃處，線段力E,AG為折痕.若NA=60。，則ND//E的度數(shù)為（）

A.90°B.80°C.75°D.60°

11.（23-24八年級上?湖北十堰?期末）如圖，在VA8C中，AB=AC,N84C=50°,N84C的平分線與

AB的垂直平分線交于點0,將NC沿斯（￡在8c上，/在AC上）折疊，點。與點。恰好重合，貝IJ/CFE

等于（）

12.（24-25八年級上-安徽六安?期末）點尸在的平分線上，點，到。4邊的距離等于5,點。是08

邊上任意一點，則PO的最小值是.

13.（24-25八年級上-安徽淮北?期末）在VA8C中，NC=90。，A￡＞是V/WC的角平分線，BC=3,AC=4,

AB=5.

（2）△A3。的面積為

14.（22-23八年級下?陜西咸陽?期中）如圖，VABC的三邊AC、BC、48長分別為40、50、70,其三

條角平分線交于點。，則SJB°：S皿°：Sqo=

15.（24-25九年級下?黑龍江綏化?開學(xué)考試）如圖，三條直線表示三條公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,

要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

B.兩處C.三處D.四處

16.（23-24八年級上-安徽安慶?期末）如圖,三條公路4、4、4兩兩相交，計劃建一座加洵站，滿足到

三條公路的距離相等，則可供選址的地方有（）

A.1個B.2個C.3個I）.4個

17.（12-13八年級上?浙江臺州?期中）如圖，有力、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個

小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）

A

a

/'、、

/、、

/、、、、

令----令

A.在AC,BC兩邊高線的交點史B.在AC,BC兩邊中線的交點處

C.在AC,8c兩邊垂宜平分線的交點處D.在/A,N8兩內(nèi)角平分線的交點處

18.（23-24八年級上?江蘇鹽城?期中）已知：如圖，N8AC角平分線與3c的垂直平分線ZX；交于點〃,

DEJ.AB,DF1AC,垂足分別為樂F.

A

（1）求證：BE=CF；

(2)若A8=8,4C=6,求跖的長.

19.（22-23八年級上?湖北武漢?期中）如圖，N8AC的角平分線與線段BC的垂直平分線相交于點〃,

DE±AB.DF±AC,垂足分別為點反F.

（1）求證：BE=CF；

(2)求證：AB-AC=2BE.

20.（21-22八年級上?安徽合肥?期末）如圖，z^BC=100°.

（1）用尺規(guī)作出的角平分線和線段8C的垂直平分線G”（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）按下面要求畫出圖形：BM和GH交于點、GH交BC于點E,連接C。并延長，交人8于點尸;

(3)求證：FD=2DE.

重難突破

重難點01軸對稱圖形的識別

1.（24-25八年級下-重慶渝北-期末）下列漢字中屬于軸對稱圖形的是（)

A日B月。星。辰

2.（24-25七年級下?江蘇徐州?期末）正方體的下列展開圖為軸對稱圖形的是（)

3.（24-25七年級下?重慶南岸?期末）方格紙的格線上，有八條等長線段形成一個軸對稱圖形.圖中標示

了號碼的四條線段中，擦去其中兩條線段后，得到的圖形下揖軸對稱圖形，則擦去的線段是：）

B.①和③C.①和④D.②和③

重難點02鏡面對稱

5.（20-21八年級上-安徽淮南?期中）從鏡中看到六位數(shù)是“cQ￡Vd€"，則該六位數(shù)應(yīng)該是

6.（20-21八年級上?四川德陽?期中）如圖，在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示，這時的實

際時間應(yīng)該是（）

A.8：15B.21：02C.15：20I）.21：05

7.（24-25七年級上?山東煙臺?期中）小明從鏡子里看到鏡子對面墻上的時鐘如圖所示，則實際時間

8.（24-25八年級上-全國?單元測試）雨后，地上的積水猶如一塊澄澈的平面鏡，某路段監(jiān)控攝像頭在雨

后拍攝，由于位置偏崗，拍攝中心聚集在了水面上，攝像頭偵測到一小轎午超速行駛，積水中倒映的車牌

為“丑，那么該小轎車的真實車牌號為?

重難點03作軸對稱圖形

9.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，平面直角坐標系中，VA3C的頂點均在格點上.

（1）先畫出VA3C關(guān)于y軸對稱的△人田6，再畫出44eG關(guān)于x軸對稱的△&層G；

（2）點，（〃?,〃）是VA3C內(nèi)一點，經(jīng)過上述兩次變換后，得到的對應(yīng)點鳥坐標為

10.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在平面直角坐標系X。'，中，A（-l,5）,B（-2,0）,C（-4,3）.

⑴畫出VA8C關(guān)于〉軸對稱的（其中4、夕、C分別是A、B、C的對應(yīng)點）；

（2）在y軸上標出點P的位置，使得PA+PB的值最?。?/p>

（3）填空：ZBAC=。.

11.（24-25八年級上-安徽合肥?期末）如圖，在平面直角坐標系中，VABC的頂點坐標為A（T,1）,B（-3,2）,

C（-2,4）.

（1）將V48C向右平移4個單位，再向下平移5個單位得到△A4G，在圖中作出△A^C；

（2）在圖中作出與△44G關(guān)于＞軸對稱的△A/C；

12.（2024?安徽宿州?一模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的8x14網(wǎng)格中，VA4C的

頂點都在格點上，直線/與網(wǎng)格線重合.

（1）以直線/為對稱軸，畫出VABC關(guān)于I對稱的△AB￡；

（2）畫出將VA4C向左平移11個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的△人與G；

（3）選擇兩個網(wǎng)格點，利用直尺畫出線段A4的垂直平分線.（保留作圖痕跡）

重難點04軸對稱與坐標系綜合

13.（24-25八年級上-安徽淮南-期中）若點A?3）和點鞏-11）關(guān)于y軸對稱，則點C（a⑼在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

14.（24-25八年級上?安徽宿州?期末）已知點〃4（。+1,4）和點孫（3力-1）關(guān)于x軸對稱，則（。+〃產(chǎn)5的值

為（）

A.0B.-1C.1D.5202s

15.（24-25八年級上-安徽合肥?期末）在平面直角坐標系中，將點從（-1,2）向右平移3個單位長度得到點

區(qū)則點〃關(guān)于y軸的對稱點C的坐標在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

16.（24-25八年級上?安徽淮南?期末）若x2+Ar+c=（x+5）（x—3）,其中反c為常數(shù)，則點P優(yōu),c）關(guān)于＞

軸對稱的點的坐標是.

17.（24-25八年級上?安徽淮南?期中）已知點加（-2,3）,規(guī)定一次變換是：先作點M關(guān)于軸對稱，再

將對稱點向右平移I個單位長度，則連續(xù)經(jīng)過2024次變換后，點”的坐標變?yōu)?/p>

重難點05設(shè)計軸對稱圖形

18.（24-25八年級上-安徽淮南?期中）由16個相同的小正方形拼成的正方形網(wǎng)格，現(xiàn)將其中的兩個小正

方形涂黑（如圖），請你用三種不同的方法分別在圖中再將兩個空白的小正方形涂黑，使它成為軸對稱圖形.

19.（22-23八年級上?北京通州?期末）如圖是4x4正方形網(wǎng)格，其中有兩個小正方形是涂黑的，請再選

擇三個小正方形并涂黑，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形.請補全圖形，并且畫出對稱如（如圖例），

20.（22-23八年級上?安徽合肥?階段練習(xí)）請你在下列每一個5x7的方格紙上，任意選出6個小方塊，

用筆涂黑，使被涂黑的方格所構(gòu)成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.要求：不同的方格上畫出

21.（24-25八年級上-四川廣安?期中）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角

形涂黑，且滿足下列條件：（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；（2）涂黑部分成軸對稱圖形.

圖乙與圖丙是一種涂法，請在圖1?3中分別設(shè)計另外三種涂法.（注：在所設(shè)計的圖案中，若涂黑部分全等，

圖1圖2圖3

重難點06利用垂直平分線的性質(zhì)求解

22.（24-25八年級上?安徽淮北?期末）如圖，在VA4c中，AB=AC,A8的垂直平分線交AC干G,BC=6,

△4CG周長是13,則A3的長是（）

23.（2020?安徽合肥?一模）如圖，在VA8C中，分別以點A和點C為圓心，以大于（AC的長為半徑作

弧,兩弧相交于例、N兩點；作直線MN分別交BC、AC于點。、E,若AE=6cm,△ABO的周長為26cm,

C.44cmi).50cm

24.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在V4BC中，AB=AC,BC=2,48的垂直平分線分別

交AC,A8于點M此邊上的高A"與MN交于點E,點尸是線段MN的中點，點〃為線段MN上一動

點，連接/必，PC,則下列關(guān)于△P8C周長的說法正確的是（）

A.點尸與點"重合時，△P8C的周長最小

B.點〃與點N重合時，△P8C的周長最小

C.點〃與點〃重合時，△P8C的周長最小

D.點P與點/重合時，△P3C的周長最小

25.（17T8八年級上?北京東城?期末）如圖，點夕是—AOB內(nèi)任意一點，且403=40。，當△PMN周

長取最小值時，則NMAV的度數(shù)為（）

B

P

OA

A.1400B.100°C.50°I）.40°

26.（23-24八年級上?上海?期末）如圖，V4BC中，的垂直平分線交BC邊于點E,AC的垂直平分

線交BC邊于點N,若NBAC=74°,則NM4E的度數(shù)為（）

A.30°B.32°C,36°I）.37°

重難點07垂直平分線的判定

27.（24-25八年級上?河南南陽-階段練習(xí)）如圖，在VA4C中，NR4C>90。，A3的垂直平分線分別交A8,

BC于點E,F,AC的垂直平分線分別交4C,BC于點M,N,直線石戶與直線交于點夕.

（D求證：點p在線段BC的垂直平分線上.

⑵已知NE4N=52。，求NFPN的度數(shù).

28.（24-25八年級上?云南曲靖?期末）如圖，AO是VA3c的角平分線，DEJ.AB,DFJ.AC,垂足分

別為必F,連接E尸，所與A。相交于點G,求證：A。是防的垂直平分線.

29.（23-24八年級上?河南信陽?期中）如圖，已知：6是—404的平分線上一點，EJOB,ED1OA,

C、〃是垂足，連接C。，且交OE丁點尸.

（1）求證：OE是C。的垂直平分線.

（2）若乙箕加=60°,請你探究a之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

30.（23-24八年級上?安徽蚌埠?階段練習(xí)）如圖，在四邊形AKCO中，AH=AD,BC=Z）C,我們把這

種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”.

（1）求證：AABCgAADC；

（2）直線AC是線段8。的垂直平分線嗎？請說明理由.

31.（22-23八年級上?廣西河池?期末）如圖，在VABC中，邊AB,8C的垂直平分線交于點P.

(1)求證：PA=PB=PC；

（2）求證：點P在線段AC的垂直平分線上.

重難點08作垂直平分線

32.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，VA3c中，Z4BC=90°.

⑴用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：在AC邊上求作點0,使得。8=QC；

⑵在（1）的條件下，連接BQ,若NC=60。，80=5,求AC長.

33.（24-25八年級上-安徽池州?期末）如圖，已知銳角必是邊尸B上一點，利用尺規(guī)完成作圖（不

寫作法，保留作圖痕跡）.

B

M

（D作PM的垂直平分線交24于點出連接MN,并直接寫出N/VVM與一0的數(shù)量關(guān)系；

（2）在邊小上求作點。使得NQM8=3NP.

34.（23-24八年級上-安徽合肥?期末）如圖，在RlZVlBC中，ZC=90°,請用尺規(guī)作圖（不要求寫作法,

保留作圖痕跡）.

⑴在線段43上找一點反使得￡點到邊AC的距離與到邊AC的距離相等.

⑵在線段3c上找一點〃，使得

35.（23-24八年級上-安徽黃山-期末）如圖，兩條公路04與相交于點0,在“408的內(nèi)部有兩個小

區(qū)C與。，現(xiàn)要在NAO8的內(nèi)部修建一個市場產(chǎn)，使市場P到網(wǎng)條公路QA,08的距離相等，且到兩個小區(qū)

C,。的距離相等.

⑴市場尸應(yīng)修建在什么位置？（請用文字加以說明）

（2）在圖中標出點P的位置（要求：用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并寫出結(jié)論）.

重難點09利用角平分線的性質(zhì)求解

36.（24-25八年級下?安徽宿州?期中）如圖，VA3c的三邊,48、BC、C4長分別是50、60、70,其

三條角平分線將VABC分為三個三角形，則S,:S,“：Sqo等于（)

A.1：1：1B.7：6：5C.6：5：7I).5：6：7

37.（24-25八年級下?安徽宿州-期中）如圖，已知14OB=150°.OP平分/AOA,叨_1。用于點〃,PC//OB

交OA于點C,若叨=4,則。。的長為（)

38.（24-25八年級下?安徽合肥?期中）如圖，在△04/中，Q4=3,O3=4,A3=5,2OA3的平分線AC交

06于點C,點尸，Q分別為線段AC,邊。4上的動點.則。尸十尸Q的最小值為（）

A.2B.2.4C.2.5D.2.6

39.（24-25八年級上?安徽淮南?期中）如圖，四邊形A88中，AC平分NBA。，BC=DC,CE1AD

于點E,AD=12,AB=7,則求線段。石的長為多少？

重難點10利用角平分線的判定求解

40.（22-23八年級上?湖北武漢?期末）如圖，4=4=90°,點E是BC的中點.平分/ADC.

⑴求證：AE是//MB的平分線；

（2）已知AE=4,DE=3,求四邊形ABC。的面積.

41.（24-25八年級上?安徽蕪湖?期末）如圖，在VA3C中，ZC=90°,于?點E,CD=DE,

ZCBD=26°,則/A的度數(shù)為()

C

D/\

AB

E

A.34°B.36°C.38°I).40°

42.（2024?安徽安慶?一模）如圖，現(xiàn)有兩把一樣的直尺，將一把直尺的邊與射線。4重合，另一把直尺

的邊與射線08重合，兩把直尺的另一邊在24OB的內(nèi)部交于點P,作射線。尸，若乙4。8=50。，則4OP

的度數(shù)為（）

OB

A.50°B.40°C.30°D.25°

43.（24-25八年級上?安徽淮北?期中）已知在平面直角坐標系中，點。的坐標為（〃?,〃），且有機=〃，則

點。在（）

A.第一、三象限角平分線上B.第二、四象限角平分線上

C.坐標軸上D.坐標原點

44.（21-22八年級上-云南昆明-期中）如圖，點。在△月比'內(nèi)且到三邊的距離相等.若/力=58°,則/敗

=_度.

45.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）己知等腰直角VA8C中，AB=AC,ZBAC=90°,。為AC上的一

點，連接80,過點。作CEJ_AC丁點C,過A作A￡_L8￡）丁點

⑵如圖2,G為8c的中點，連接4G、FG,求證：FG平分ZBFE.

重難點11作角平分線

46.（22-23八年級下?安徽宿州?階段練習(xí)）如圖，已知甲工廠靠近公路a,乙工廠靠近公路"為了發(fā)展

經(jīng)濟，甲、乙兩工廠準備合建一個倉庫，經(jīng)協(xié)商，倉庫必須滿足以下兩個要求：

M

?甲

,乙

①到兩工廠的距離相等；

②在NA/ON內(nèi)，且到兩條公路的陰離相等.

你能幫忙確定倉庫的位置嗎？（保留作圖痕跡，不寫作法）

47.（24-25八年級上?遼寧大連?階段練習(xí)）尺規(guī)作圖：（不寫作圖過程，但要保留作圖痕跡）

⑴作44c=NO；

⑵在直線/上求作一點只使點尸到射線04和OA的距離相等.

48.（22-23八年級上?湖北荊門?期末）作圖題（不寫作法，保留作圖痕跡）：已知MW是/AO3內(nèi)、外

的兩點，直接在圖中作出點只使點〃同時滿足條件①尸點到NAQB的兩邊的距離相等；②兒點到機N兩

點的距離相等.

重難點12利用等腰三角形的性質(zhì)求解

49.（24-25八年級上?安徽淮南?期末）如圖，已知VAAC中，AB=AC=10cm,BC=8cm,點〃為/歷

的中點.如果點，在線段比上以3cm/s的速度由點8向C點運動，同時，點0在線段。上由點。向4點

運動.

(1)若點。的運動速度與點產(chǎn)的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，a也與VCQP是否全等，請說明理由.

(2)若點0的運動速度與點，的運動速度不相等，當點0的運動速度為多少時，能夠使與VCQ。全等？

50.(24-25八年級上?安徽合肥?期末)已知，在VA8C中，點〃是AC上一點，過點〃的直線交于點

區(qū)交8c延長線于點月點。是A。上一點，連接GE并延長交C8延長線于點"/EGC=2ZA,NGEF=2NF.

(1)若44=//=36。，求的度數(shù);

(2)若AE=C尸，DG=DE,求證：AC=EF.

51.(24-25八年級上?安徽合肥?期末)在RtZkABC中，NAC8=90。，AC=8C,點〃是AB的中點，點

少是線段AO上一點.BF工CE于點、F,RF交CDF

點S.

(1)如圖1,求證：

①ZACE=NCBG：

?AE=CG.

⑵如圖2,過點力作A〃J_CE交C￡的延長線于點〃，A4的延長線交CD的延長線于點M請在圖中找出

與8E相等的線段，并證明.

重難點13利用等腰三角形的判定求解

52.(24-25八年級上-安徽安慶?期末)如圖，在VA8C中，AB=CB,點〃是邊AC上一點，點E為YABC

外的任意一點，連接AD,BE,DE,其中8E=3C,ZABD=NEBD.

(1)求證：Z4=ZE；

(2)若NC44=NO4A,BE=6,AC=10,求△肛?的周長.

53.(24-25八年級上?安徽六安?期末)如圖，AD//BC,NA=90。，E是A8上的一點，且

Zl=Z2.

(1)求證：LADE%ABEC；

(2)若AO=2,AB=6,求△￡)&7的面積.

54.(24-25八年級上?山東煙臺?期中)如圖，在VA3c中，ZBAC=45°,高A。，CE交于點H.

(2)若A8=17,CE=12,求C4的長度.

55.(24-25八年級上?安徽合肥?階段練習(xí))如圖，在R(Z\A6C中，？690?,點￡是AC的中點，AC=2A6,

NBAC的平分線AO交3c于點〃，作AF//8C,連接OE并延長交A/于點F,連接FC.求證：AF=DA.

AR

重難點14利用等腰三角形的性質(zhì)與判定求解

56.（24-25八年級上-安徽安慶?期末）如圖，CO為RtAA8c斜邊上的高，N8AC的平分線分別交8,

BC于點瓜F,FG±AB,垂足為點￡

（1）求證：CE=FG；

⑵若47=12,A4=15,CE=4,求VA4C的面積.

57.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）已知等邊V人4c中，點。為射線84上一點，作DE=DC,交直

線BC于點￡.

（1）如圖1，當點。在線段A8上時，線段CE、AD.AC之間的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,當點。在的的延長線上時，（1）中的CE、AD.AC數(shù)量關(guān)系是否成立，若成立，說明理由，

若不成立，求出CE、AD.人。之間的數(shù)量關(guān)系；

⑶如圖3,在（2）的條件下，/ABC的平分線交C。于點尸，過點力作A”_LCO于”，當

ZEDC=30°,b=10時，求的長.

58.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在VA8C中，AC=ABtN84C=90。，點。是射線C4上

的一點，連接8P,在管右側(cè)以8P為斜邊作等腰直角三角形

圖1圖2

（1）如圖1,若點尸在邊4c上，PD交AB于點、E.

①求證：/DPA=4CBP；

②當4。平分NAHC時，求證：BE=2AP.

⑵如圖2,C/平分NACB交AB于點尸，BM平分NPBD交CF于點M,若6=6,則線段3M的最小值

為一.

59.（24-25八年級上?安徽亳州?期末）如圖，在VA8C中，AB=AC,點。是邊8c上一點，BD=CE,

點E在邊AC上.

⑴若ZADE=NB,求證：AB=CD；

(2)若A8=C。，NB4C=70"，求ZAOE的度數(shù)；

(3)若A8=C￡),ZADE=NC,求證：ZDAE=ZAED.

60.(24-25八年級上?安徽阜陽?期末)如圖，在VA3C中A8=AC,ZBAC=80°,點力為VABC內(nèi)一點,

NA3D=NACD=20。,E為3D延長線上的一點，且AB=4E.

（1）求證：Z）石平分一人”；

（2）請判斷AO,BD,。石之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

重難點15利用等邊三角形的性質(zhì)求解

61.（24-25八年級上?安徽阜陽?期末）如圖，在VA8C中，AB=ACf。為AC的中點，DEX八3于點

DF工BC于點、F,且DE=DF,連接8。，點G在3c的延長線上，且CO=CG.

（1）求證：VA8C是等邊三角形：

⑵若8/二3,求線段2的長.

62.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在等腰VA4c中，AI3=AC,D,右分別為邊A3,AC上

的點，且AD=CE.連接C。，0E,點〃為。E的中點，連接AP.

⑵如圖②，若NZMC=60°,請你探究線段CO與線段A尸之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并加以證明.

63.(23-24八年級上?安徽合肥?期末)如圖1,夕是等邊VA8c左側(cè)一點，AE垂直平分PC于￡點，交

直線收于點MNEW的平分線交尸C于點片設(shè)NA4C=〃7(600<"7<120。).

(1)若〃7=90。，直接寫出度數(shù);

(2)改變尸點的位置，當60。<〃?<12()。時，的度數(shù)是否改變？說明理由;

(3)如圖2,連接8F,若BF=a,AF=b,求PC的長.

重難點16將軍飲馬模型

64.(23-24八年級上?安徽宿州?階段練習(xí))如圖，直線《：y=K+l與x軸交于點。，直線4-=-工+6與

x軸交于點A,且經(jīng)過點8(7,5),直線4與交于點C(2,〃z).

(2)點E是x軸上一動點，連接4E,CE,若△8CE的周長最小，則點E的坐標為

65.（21-22八年級上-四川廣元?期末）如圖所示，在四邊形力切9中，AO=2,ZA=ZD=90°,zTB=60°,

BC=2CD,在/以上找一點R使QC+必的值最??；則QC+總的最小值為（)

A.4B.3C.5D.6

66.（24-25八年級上?山東濟南?期中）如圖1,平面直角坐標系中，直線48：丁=依+〃交）'軸于點A（0,3）,

交；軸于點8（6,0）.直線x=2交A8于點O,交x軸于點E.

圖1圖2

（1）求直線AB的解析式和。點坐標：

⑵設(shè)點。是X軸上一動點，是否存在點Q使AQ+OQ的值最小？若存在，請求出AQ+OQ的最小值.

⑶如圖2,點〃坐標為（2,-4）,則的面積是

（4）以八8為腰在第?象限作等腰直角三角形A8C,寫出點C的坐標.

67.（24-25七年級下?全國?單元測試）按照下列要求作圖.（保留作圖痕跡）

（1）【“兩定一動”型（同側(cè)）】如圖，已知點尸，Q在直線A8同側(cè)，在直線A3上求作一點M,使MP+MQ

最短；

?P

AB

（2）【“一定兩動"型】如圖，NA8。內(nèi)有一點/）,分別在84,8C邊上各取一點/鳥，使優(yōu)的周長

最小;

A

(3)【“兩定兩動”型(異側(cè))】如圖，A,3是兩個村莊，中間有一條河，現(xiàn)準備在河上造一座橋MV,使

得通過橋到兩村的距離和最短；(假定河的兩岸是平行線，橋要與河岸垂直)

力?

?/?

(4)【“兩定兩動”型(同側(cè))】如圖，MN的長度為定值，在直線1上分別取點E,F,使EF=MN,連

接A￡,BF,當AE+EF+BF最小時，求點E,尸的位置.

■B

/■M-N

重難點17手拉手模型

68.(23-24八年級上?安徽蕪湖?階段練習(xí))小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，

若它們的頂角具有公共的頂點，并當把它們底角的頂點連接起來時會形成?組仝等的三角形，小明把具有

這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在VABC和VA￡>￡中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=40°(>4/?>AD),連

接BD,CE,當點E落在AB邊上，且DE,C三點共線時，則在這個“手拉手”圖形中，可得/8DC的

度數(shù)為40。.請證明這個結(jié)論；

(2)【拓展探究】如圖2,若Z\AC8和△￡>(7￡均為等邊三角形，點AD石在同一條直線上，連接跖，求

乙4座的度數(shù)；

⑶【解決問題】如圖3,AB=BC,48C=NH9C=6(r,試探究NA與N6CD的數(shù)量關(guān)系.

69.（22-23八年級上-江蘇無錫-期中）綜合實踐

在學(xué)習(xí)全等三角形的知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角

形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形，興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩

個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”因為頂點相連的四

條邊，可以形象地看作兩雙手?，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1,VA3C與V4OE都是等腰三角形,

其中NK4C=NZM￡\貝IJAA硒