單元檢測七立體幾何與空間向量（提升卷）

1.設m,n是兩條不同的直線，*p是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若7九〃a,an/?=n.則m//n

B.若小〃。，mln,貝Unia

C.若m1a,n1a,貝11m//n

D.若mua,nc/?,alp,則m_L?i

2.一個圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個球的表面積相等，那么這個圓柱的體積與這個球的

體積之比為（）

A.1:3B,3:1C.2:3D.3:2

3.如圖所示，在長方體ABCD中，AB=AD=1,AAI=>[2,面對角線Bi。1上存在

一點P使得A.P+PB最短，貝I」&P+P8的最小值為（）

夜十又

A.V5B.C.2+72D.2

2

4.如圖，在空間四邊形0/1BC中，。八=G,OB=b,0C=c,且0M=2M4BN=NC,則MN

A2T,2工，1-i,iri-

A.-a+-b+-cB.-a+-b—c

332222

「2.ir,i1-21,1t

C.-++TCD.-a--b+-c

322232

5.在長方體ABCD-A$iCiDi中，AB=3,AD=1,=&，點0為長方形ABCD對角線的

交點，E為棱eq的中點，則異面直線ADt與0E所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.如圖，在直三棱柱ABC-A^Ci中，乙4cB=90。，2AC=AAr=BC=2,D為AAr上一

點.若二面角為一0。一。1的大小為60。，則AD的長為（）

A.V2B.V3

7.圓錐的母線長為2,其側(cè)面展開圖的中心角為0弧度，過圓錐頂點的截面中，面積的最大值為2,

則0的取值范圍是（）

A.[A/2IT,2TT)B.[TT,V2n]C.{V2ir}

8.如圖在一個60。的二面角的棱上有兩個點/I,B,線段AC,BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi),

并且都垂直于楂AB,且48=AC=1,BD=2,則CD的長為（）

AB

B.V3D.V5

9.已知m,n是兩條不重合的直線，*夕，y是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題，其中

命題正確的是（）

A.若m//幾〃氏m,nua,則a〃￡

B.若a1y,/?1y,aC\p=m,ncy,則m1九

C.若alp,adp=n,Mm//n

D.若m//a,m//p,an/?=n,則m//n

10.已知平面a外有兩條直線a,b,它們在平面a內(nèi)的射影分別是直線m,n,則下列命題錯誤的

是（）

A.若a_Lb，WOmln

B.若m_Ln,則alb

C.若m//n,貝ija//b

D.若m與n相交，則a與b相交或異面

IL如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點，將△40E,△CDF,△BEF分別沿

DE,DF,EF折起，使4B,C重合于點P,則下列結(jié)論正確的是（）

A.PD1EF

B.平面POE1平面PDF

C.二面角P-EF-D的余弦值為1

D.點P在平面DEF上的投影是ADEF的外心

12.如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，EOJ.平面218c0,J.平面4BQ9,且E0=

FB=1,G為線段EC上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.EC1AF

B.該幾何體外接球的表面積為3n

C.若G為EC的中點，則GB〃平面4EF

D.AG2+BG2的最小值為3

13.在三棱錐P-ABC中，PA1PB,PB1PC,PC1P4且PA=1,PB=2,PC=3,則該三

棱錐外接球的表面積為一.

14.如圖所示，在正方體ABCD-AABXCADA中，M,N分別是棱AA.和AB上的點，若乙B】MN

是直角，則乙GMN=—.

15.在正三棱錐A-BCD中，底面邊長為6,卿棱長等于5.則正三棱錐A-BCD的體積

V=；正三棱錐A-BCD的外接球的半徑R=

16.已知正方體ABCD的棱長為1,在對角線A^D上取點M,在CDt上取點N,使

得線段MN〃平面人力CC],則MN的最小值為

17.如圖，在直三棱柱ABC-AxBxCr中，0,E分別為BC,AC的中點，AB=BC.求證:

(1)為當〃平面DEQ；

(2)BE1C1E.

18.在Rt△A0B中，LOAB=-,斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)

6

得到，且二面角B-AO-C是直二面角.動點D在斜邊AB上.

(1)求證：平面C。。1平面力。8；

(2)求直線CD與平面AOB所成角的正弦值的最大值.

19.如圖1,在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將AP/IO,△P8C沿PA,PB

所在直線折疊，使點C與點D重合于點0,如圖2,在三棱錐P-O/IB中，E為PB中點.

圖2

(1)求證：PO1AB；

(2)求直線BP與平面POA所成角的正弦值;

(3)求二面角P-AO-E的大小.

20.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱S4底面48C0,AB垂直于AD

和BC,M為棱SB上的點，SA=AB=BC=2,AD=1.

⑴若M為楂SB的中點，求證：AM〃平面SCO.

⑵當SM=2MB時，，求平面AMC與平面SAB所成的銳二面角的余弦值.

(3)在第(2)問條件下，設點N是線段CD上的動點，MN與平面SAB所成的角為0,求當

sin6＞取最大值時點N的位置.

答案

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

【解析】如圖所示，以C為坐標原點，CA,CB,CC］所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建

立空間直角坐標系，

設y4D=t(0<t<2),則C(0,0,0),0(1,0,。，8式0,2,2),。式0,0,2),平面COC1的一個法向量

為而=(0,2,0).

設平面CDB］的法向量為m=(x,y,z),

由(函沆=0得(2y+2z=0,

令y=l,得平面CDB1的一個法向量為m=(t,l,-l).

由題意知cos600=露=』=:

7.【答案】A

【解析】設軸截面的頂角為防過圓錐頂點的截面的頂角為6,且夕三明過圓錐頂點的截面的

面積為x2x2xsina=2sin0,

又過圓錐頂點的截面中，面積的最大值為2,

故此時B=三，故5Wavn，圓錐底面半徑r=2sin^G［V2,2),

所以，側(cè)面展開圖的中心角為0弧度=吧等吸=2媵嗚€［加71,2丘)，故A正確.

8.【答案】C

【解析】因為CA1AB,BDLAB,

所以石J?肉=0,BD-AB=0,

乂因為CA與BD所在平面的二面角為60。，

所以同品)=60。,即(CA,~BD)=120°,

因為而=+而+而，

所以CD2=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2CAAB+2AB-BD^2CA-BD,

因為AB=AC=1,BD=2,

所以

CD2=CA2+AB2+BD2-i-2CA^AB+2ABBD+2^A-BD

=l+l+4+0+0+2xlx2xcosl20°

=4,

所以CD的長為2.

9.【答案】B：D

【解析】A選項中沒有說明兩條直線是否相交，結(jié)論錯誤；

B選」頁中能推出mly,所以結(jié)論正確；

C選項能推出mln,推不出m//n,結(jié)論錯誤；

D選項根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知正確.

10.【答案】A：B；C

【解析】由題意知，若aJLb,且a,b相交，則a,b在平面a內(nèi)的射影m,n重合或相交,

若a，b異面垂直，則a,b在平面a內(nèi)的射影m,n平行或相交，所以選項A錯誤；

若mln,則Q與匕可能垂直，也可能不垂直，所以選項B錯誤；

若m〃九，則Q與b平行或異面，所以選項C錯誤；

若m與九相交，則Q與匕相交或異面，所以選項D正確.

11.【答案】A；B；C

【解析】對于A選項，作出圖形，取EF的中點H,連接PH,DH,

又由原圖知&PEF和ADEF為等腰三角形，

故PH_LEF,DH1EF,且PHC\DH=H,

所以EF_L平面PD4,

所以PO_LEF,故A正確：

根據(jù)折起前后.可知PE.PF,PD二線兩兩垂育.

于是可證平面PD￡1■平面PD/7,故B正確；

根據(jù)A選項可知，乙PHD為二面角P-EF-D的平面角，

設正方形邊長為2,因此PE=PF=1,PH=華,

由余弦定理得COS乙PHD==3故c正確；

￡普rn-:n/D標3

由于PE=PF手PD,故點P在平面DEF上的投影不是ADEF的外心，故D錯誤.

【答案】A；B；C

【解析】如圖所示，該幾何體可補形為正方體，以D為坐標原點，04DC,DE所在直線分別

為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.

由正方體的性質(zhì)易得EC_L4F,故A正確.

該幾何體的外接球與正方體的外接球相同，其外接球半徑為白，故外接球的表面積為3m故B

正確.

由題怠可得A(L0,0)，舊(0,0,1)，"(1,1,1)，8(1,1,0),。(0,1,0),

所以荏=(一1,0,1),而=(0,1,1).

設平面力EF的法向量為n=(x,y,z).

山(n,AE=0,zq(—x+z=0,

由3而=。，得ly+z=。，

令z=l,得％=1,y=-1,則n=(1,—1,1).

當G為EC的中點時，G(0］，m，

所以GB-n=Q,

乂因為G8U平面4EF,

所以G8〃平面AEF,故C正確.

設G(0,￡,l-￡)(0WtWl),

2

則AG2+"2=4d_6t+5=4(t-B

故當￡=?時，AG2+BG2取得最小值,

4

且最小值為二，故D錯誤.

4

13.【答案】141T

【解析】根據(jù)題意得到棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱為長方體的棱將該三棱錐補成長

方體，兩者的外接球相同.

設球的半徑為R,則12+22+32=(2—)2=4腔，

所以三棱錐外接球的表面積為S=4TTR2=14n.

14.【答案】900

【解析】因為C/11平面ABB遇I，MNu平面4BBp4i，

所以QB11MN.

又因為MN1MB〉MB〉C$iu平面GM&,MB】ClG々=%，

所以用可上平面加河為，又GMU平面GM/,所以MNJ.GM,

所以NGMN=90。.

15.【答案】3V39；至浮

26

【解析】如圖所示，在正三棱錐A-BCD中，A在平面BCD內(nèi)的投影E為等邊△BCD的中

心.

底面邊長為6,則ED=\FD=2V3,

在Rt△AED中，利用勾股定理得到AE=V13,V=1s/i=^x1x6x6sin60°xV13=3739.

如圖所示，正三棱錐A-BCD的外接球的球心在AE上，設為0,

OE=713-/?,ED=2y/3,OD=R,

利用勾股定理得到R2=(B-R)2+(2⑹之，

所以R二誓.

26

A

16.【答案】三

【解析】作MM1LAD,垂足為a,作NN1±CD,垂足為此，連接場/，如圖所示,

在正方體ABCD-A^B^D^中,

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得NNI都垂直于平面ABCD,

由線面垂直的性質(zhì)，可知MMJ/NNi，

又MN〃平面AiACCi，

所以平面MiMNM〃平面HCG4，

由面面平行的性質(zhì)定理可知，M^Z/AC,

設DM】=DN[=x,則MM】=x,NN】=1-x,

在百角梯形MMiMN中,MN2=(V2x)2+(1-2x)2=6(x-i)2+

當久=：時，MN的最小值為當

17.【答案】

(1)因為0,E分別為BC,AC的中點，所以ED//AB.

在直三棱柱ABC-A$iG中，

所以A.RJ/ED.

又因為ECu平面。EG，兒/《平面0EC],

所以必a〃平面DEQ.

(2)因為AB=BC,E為AC的中點，所以BE1AC.

因為三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，

所以GC1平面48c.

又因為8Eu平面48C,所以gC上BE.

因為GCu平面&ACG，ACu平面Ai>Cq,C1CQAC=C,

所以BE_L平面AMCC].

因為6￡<=平面%4。r,所以BE1CXE.

18.【答案】

(1)因為A408為直角三角形，且斜邊為AB,

所以乙408=p

將Rt△A0B以直線A0為軸旋轉(zhuǎn)得到RtAA0C,則Z.A0C=p即0C1A0,

因為二面角B-A0-C是直二面角，即平面A。。1平面408,

又平面力0CCI平面力。8=A。，0Cc^AOC,

所以0C1平面力08,

因為0Cu平面C0D,

所以平面COO1平面408.

(2)在Rt△AOB中，Z-OAB=\斜邊AB=4,

6

所以OB=\AB=2且Z.OBA=p

由(1)知，OCJ■平面40B,

所以直線CD與平面AOB所成的角為乙。OC,

在Rt△OCD中，/-COD=p0C=0B=2,

CD=yJOD2+OC2=VOD2+4,

所以sin^.ODC=^=.—\——>

CD、/。爐+4

當OD1AB時，OD取得最小值，此時Sinz-ODC取得最大值，且OO=O8sing=V5,

因此，sinzODC=^=<-i=粵,

CDVOD2+4\!77

即直線CD與平面AOB所成角的正弦值的最大值為浮

19.【答案】

(1)在正方形ABCD中，P為CD中點，PD14D,PC1BC,

所以在三棱錐P-0/1B中，P01OA,POLOB.

因為O4COB=。，040Bu平面04B,所以PO1平面04B.因為4^(=平面0/8,所以

POLAB.

⑵取AB中點F,連接OF,取A0中點M,連接BM.

過點。作AB的平行線0G.

因為P01平面04B,所以P01OF,P010G.

因為04=OB,F為AB的中點，所以OF1AB.所以OF10G.

如圖所示，建立空間直角坐標系。盯z.

心百,0),8(-1,V5,0),P(0,0,l),M(泊,0).

因為BO=BA,M為0A的中點，所以BM1OA.

因為P01平面0/18,POu平面P0A,

所以平面P。/1平面04B.

因為平面POAn平面。48=OA,BMu平面。48,

所以BM1平面PO/I.

因為麗=6,一產(chǎn),0).

所以平面POA的一個法向量m=(V3,-l,0),FP=(1,-V3,1).

設直線BP與平面POA所成角為a,

則sina=\cos{m,BP)\==詈.

所以直線BP與平面POA所成角的正弦值為詈.

(3)由(2)知E(-分麗=64，/03=(1,73,0).

設平面ONE的法向量為n=(x,y,z),

則有［更了=。，

iOEn=0,

即卜+"=。

1-X4-V3y+z=0.

令y=-1,貝ijx=>/3,z=2>/3,BPn=(V3,—l,2x/3).

由(2)知平面