2025-2026學年人教版九年級數(shù)學下冊《第27章相似》

知識點分類選擇題專題提升訓練（附答案）

一、圖形的相似

1.以下列各組數(shù)為長度的四條線段成比例的是（）

A.2、4、6、8B.3、6、4、7C.5、6、7、8D.2、3、6、9

2.已知E=：=J（b+dH0）,則器的值為（）

ba6b+d

A25、5-4c5

A.—B.—C.1D.—

3663

3.下列命題正確的是（）

A.等邊三角形都是相似圖形：B.矩形都是相似圖形；

C.菱形都是相似圖形；D.等腰三角形都是相似圖形.

4.若如圖所示的兩個四邊形相似，則4a的度數(shù)是（）

C.75°D.120°

5.黃金分割是漢字結構最基本的規(guī)律，如圖，漢字“干〃剛勁有力、舒展美觀.已知線段AB=2,

點P恰好是線段4B的黃金分割點（/PV8P）,則線段BP的長為（）

干

A.至C.y/S—1D.3—V5

*2

6.如圖，矩形紙片/BCD的長4D=a,寬48=b,E,尸分別為4D,BC兩邊的中點.若將這張

紙片沿著直線EF對折，得到的兩個矩形與原矩形均相似，則當Q=2時，〃的值為（）

A.B.1C.D.V2

7.如圖，iIILIIb，兩條直線與這三條平行線分別交于點4氏C和D,E,F.已知黑=?，

BC2

DE=3.6,則DF的長為（）

A.2.4B.6C.5.4D,4.8

8.如圖是某位同學用帶有刻度的直尺在數(shù)軸工作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點P

A.1B.V2C.—D.5

?5

二、相似三角形的判定

9.下列兩個三角形不一定相似的是（）

A.有一個內角是105。的兩個等腰三角形B.腰與底的比都是2:3的兩個等腰三角形

C.兩邊對應成比例的兩個直角三角形D.一個內角為50。的兩個直角三角形

10.如圖，已知點。是邊8c邊上的一點，連接40.以下條件中不能判定△48。?

的是（）

乙2絲=竺

A.BAD=B.Z.ADB=ABACC.AB=BD-BCD.ACBC

11.如圖，小正方形的邊長均為1，則下面圖中的三角形（陰影部分）與△A8C相似的是（：）

A______B

12.如圖，在中，^.ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,點P由點8出發(fā)沿BA方

向向點4勻速運動，速度為lcm/s,同時點。由A出發(fā)沿AC方向向點。勻速運動，速度為

lcm/s,連接PQ.設運動的時間為t（s）,其中0<t<4.當時，，的值為

13.如圖，在銳角△力BC中，BE、CO分別是邊力C、上的高，它們相交于點0,則圖中與

△80。相似的三角形（不含AB0D）有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

三、相似三角形的性質

14.如圖，點D,E分別在A力8c的邊AB,AC上，且4ABCAED,若,=3,S^ADE=1,

則S-8C值為（）

A.9B.6C.3D.1

15.如圖，在RtZkABC中，若CD是斜邊上的高，則下列等式錯誤的是（）

A.AC2=AD-ABB.BC?=BD?ABC.CD2=ACBCD.AC-BC=CD-AB

16.如圖，在團A8CD中，對角線4c與BD相交于點O,E是DC延長線上的一點，連接0E交BC

17.如圖，在4力8。中，點。、￡：分別在邊4。、力8上，連接DE,DEIIBC,過點8作II4C,

交OE的延長線于點心若祭=3，DE=6,則EF的長為（）

C

一

A.2B.6C.3D.4

18.如圖，在矩形88co中，E,尸是灰:邊上的三等分點，連接。瓦力尸相交于點G,連接CG.若

力B=8,BC=12,則CG的長為（）

A.2同B.2遍C.3同D.3x/5

19.如圖，有一塊三角形余料4BC,BC=120mm,高線4。=80mm,要把它加工成一個

矩形零件，使矩形的一邊在BC上，點P、M分別在48,4C上，若滿足PM:PQ=5:2,貝”Q的

長為（）

A.15mmB.30mmC.75mmD.20mm

四、相似三角形的應用

20.如圖所示，某校數(shù)學興趣小組利用標桿BE測量建筑物的高度，已知標桿8E高1.5m,測

得4B=1.2m,BC=12.8m,則建筑物CD的高是（）

A.17.5mB.17mC.16.5mD.16m

21.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第一個小孔成像的實驗（如圖甲），

解釋了小孔成像的原理，并在《墨經》中有這樣的記錄：“景到，在午有端，與景長，說在

端”.物理課上，小軒記錄了他和同桌所做的小孔成像實驗數(shù)據（如圖乙）：像距為50cm,

物距為25cm,蠟燭燭焰倒立的像的高度是4cm,則蠟燭火焰的高度是（）

甲乙

A.8cmB.4cmC.2cmD.lcm

22.如圖，小悅正在使用手電筒進行物理學實驗，地面上從左到右依次是增、木板和平面鏡，

手電筒的燈光位于點G處,手電筒的光從平面鏡上的點B處反射后，恰好經過木板的邊緣點心

落在墻上的點E處，現(xiàn)測得4G=1.2米，CD=5米，AC=5.4米，CF=1.5米，已知圖中點

A,B,C,。在同一水平面上（物理學中入射角等于反射角，即=

FCLAD,GA1AD,則E。的長為（）

kG

?I表板II

c-TAittA

A.6米B.5米C.4米D.3米

23.如圖，4c是凸透鏡的主光軸，點。是光心，點F是焦點.蠟燭A3的像為C。，測量得到

物距與像距之比為3:2,若像CO的長為6cm,則蠟燭48n勺高為（）

24.小李在學習了相似三角形的知識后，用標桿來測量學校旗桿的高度.如圖所示，已知標

桿高度AB=4m,人與標桿的水平距離BC=2m,人的眼睛距離地面的高度CD=1.6m,標

桿與旗桿的水平距離BE=8m,則旗桿EF的高度為（）

EBC

A.12mB.12.8mC.13.6mD.15m

五、位似

25.如圖，△4BC與△NB'U是位似圖形，點。是位似中心，相似比為3:1.若0/1=6,則0"

的長為（）

A.1B.2C.3D.4

26.如圖,以點。為位似中心，把△48C放大到原來的2倍得到△4B7T.以下說法中錯誤

A.AABCfA'BCB.點C,0,。三點在同一條直線上

C.A0-.AA'=1:2D.AB114?

27.如圖，已知E（—6,0）,F（-4,-2）,以點。為位似中心，按1:2的相似比把△EF。放大,

則點尸的對應點F'的坐標為（）

—^7^5----J

F

A.或(2,1)B.(-8,-4)或(8,4)

C.(-2,0)D.(8,-4i

28.如圖，在平面直角坐標系中，△力8C與△A夕L是位似圖形，則位似中心為（）

A.點AB.點NC.點。

29.如圖，點E（-2,1）,F（-L-1），以點O為位似中心，將△EF。放大為原來的2倍，則點

E的對應點場的坐標是（）

B.(一2,4)或(2,-4)C.(一4,2)或(4,-2)D.(4,-2)

30.如圖，△ABC中，4B兩個頂點在工軸上方，點C的圣標是（一1,0）,以點C為位似中心，

在x軸的下方作△48C的位似圖形，得到夕C,并把AA8C放大到原來的2倍，設點8的

對應點夕的橫坐標為2,則點B的橫坐標為（）

C.-2D—三

?2

參考答案

1.解：A、2x8=16,4x6=24,16H24,不成比例；

B、3x7=21,6x4=24,21工24,不成比例；

C、5x8=40,6x7=42,40W42,不成比例：

D、2x9=18,3x6=18,18=18,成比例；

故選：D.

2.B

【分析】本題考查了比例的性質，分式的化簡求值，根據比例關系，將Q和C分別用b和d表

示，然后代入所求分式化海即可求值，掌握比例的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：回三=：,

b6

0a=6

回：=

a6

0C=y6dt

團a+c二》二都+〃=5

b+clb+db+d6>

故選：B.

3.A

【分析】本題考查相似圖形的識別，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同.根據相似圖

形的定義，對各選項逐一判斷即可得答案.

【詳解】解：A、等邊三角形都是相似圖形，故該選項符合題意；

B、矩形的長和寬不能確定，不一定相似，故該選項不符合題意；

C、菱形各角不能確定，不定相似，故該選項不符合題意；

D、等腰三角形的底角與頂角均不能確定，邊長也不確定，不一定相似，故該選項不符合題

意；

故選：A.

4.C

【分析】本題考查了相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的對應角相等是解題的關鍵.根據

相似多邊形的對應角相等求出的度數(shù)，四邊形的內角和等于360。計算即可.

【詳解】解：如圖所示，??兩個四邊形相似,

zl=150°,

???四邊形的內角和等于360。，

【分析】本題考查了黃金分割的定義，由點P恰好是線段AB的黃金分割點，AP<BP,則

BP2=AP-AB,然后代入得BP?=2(2-BP),整理得BP?+28P-4=0,然后求解即可，

掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：團點P恰好是線段力8的黃金分割點，AP<BP.

團BP?=AP-AB,

0FP2=2(2-BP),整理得：BP?+2BP-4=0,

解得：BP=y[5-l(負值已舍去)，

故選：C.

6.D

【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質"相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例”，熟

練掌握相似多邊形的性質是解題關鍵.先根據題意可得矩形4BCD與矩形AEFB相似，再根

據相似多邊形的性質可得*=由此即可得.

AEAB

【詳解】解：回矩形紙片4BCD的長/W=a=2,寬AB=b,瓦尸分別為AD,BC兩邊的中點，

l?l/?F=AE=^AD=1,叫l(wèi)iU診是矩，歷，

團將矩形紙片ABC。沿著直線EF對折，得到的兩個矩形與原矩形均相似，

回矩形48co與矩形4EF8相似，

嗯嚼即瀉，

勵2=2,

乂助力均為正數(shù),

0b=V2?

故選：D.

7.B

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解

題的關鍵.

根據平行線分線段成比例定理可以得出普二翌=?，解分式方程即可求得EF的長，根據

EroCN

DF=DE+EF即可求得DF的長.

【詳解】解：???紀叼&，兩條直線與這三條平行線分別交于點小B、C和D、E、F,

DEAB

???一3?

EFBC2

嘮4，

EEF=2.4,

經檢驗，EF=2.4是原方程的解，

WF=DE+EF=3.6+2.4=6.

故選：B.

8.D

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵.設

點。表示的數(shù)是“，根據平行線分線段成比例列出方程，解出x的值即可.

【詳解】解：設點夕表示的數(shù)是”,

???圖中的虛線相互平行，

???根據平行線分線段成比例可得，合=右

解得：x=5,

???點P表示的數(shù)是5.

故選：D.

9.C

【分析】本題主要考查了用似三角形的判定定理，熟練掌握相似三角形的判定條件（兩角分

別相等、三邊成比例、兩邊成比例且夾角相等）是解題的關鍵.

根據相似三角形的判定定理，逐一分析每個選項是否滿足相似條件，從而找出不一定相似的

選項.

【詳解】解：有一個內角是105。的等腰三角形，105。只能為頂角，底角均為37.5。，故兩三

角形角均相等，故A項一定相似，不符合題意；

腰與底的比都是2:3的等腰三角形，三邊比例相同(2:2:3),滿足此條件的兩個三角形三邊

對應成比例，故B項一定相似，不符合題意；

兩邊對應成比例的兩個直角三角形，雖兩邊成比例，但夾角不一定相等(如三角形三邊3,4,5

和4,5,同，兩邊4和5成比例，但夾角不相等)，故C項不一定相似，符合題意；

一個內角為50。的兩個直角三角形有兩個角分別相等，故D項一定相似，不符合題意；

故選：C.

10.D

【分析】本題主要考查了三角形相似的判定，解決此題的關鍵是熟練掌握三角形相似的各種

判定方法；判定三角形相似的方法有兩組相等的角的三角形相似，兩組對應邊成比例及其夾

角相等的三角形相似，三邊對應成比例的三角形相似，根據判定方法一一判斷即可：

【詳解】解：團NB是公共角，

回當/BAD=NC或乙4DB=NB4C時，根據有兩組相等的角的三角形相似得^ABDCBA,

故A和B正確;

當胎=器時，即”2=8。?8C,根據兩組對應邊成比例及其夾角相等的三角形相似得△

ABDCBA,

故C正確；

當牛=瑞時，乙B不是夾角,故不能判定△月8。和△5I相似，

故D錯誤：

故選D.

11.B

【分析】本題主要考查了相似三角形判定，準確分析判斷是解題的關鍵.

先確定△48C的夾角及兩邊長度，再分析各選項三角形的夾角和兩邊長度，依據兩邊對應成

比例且夾角相等的兩個三角形相似判定即可；

【詳解】在A/IBC中，/.ABC=135°,AB=2,BC=&,

在A、C、D三個選項中，都沒有135。的角，

選項B中，兩邊為1和魚,

2V2

???友=7

??.B選項中得三角形與相似;

故選B.

12.B

【分析】本題考查相似三角形的判定，由勾股定理求出A8長，再由兩組對應邊的比相等且

夾角對應相等的兩個三角形相似，分別列出關于七的方程，求出3即可解決問題.

【詳解】解：由勾股定理得：

AB=\/AC2+BC2=遮2+42=5(cm),

由題意得:AQ=tcm,AP=(5-t)cm,

當=4P:AB時,

國乙PAQ=ABAC,

0AAPQABC,

此時t:4=(5-t):5,

???y3

9

故選:B.

13.C

【分析】本題主要考查相似三角形的判定，根據已知及相似三角形的判定方法從而找到圖中

存在的相似三角形即可.

【詳解】解：①團乙8。。=90°,Z.BEA=90°,

0ZBDO=Z.BEA,

又乙DBO=乙EBA,

BODBAE：

②(3NBD。=90°,乙CEO=90°；

團N8D0=乙CEO,

又上BOD=ACOE,

0ABODCOE；

③團匕BOO=90°,ACDA=90°,

團43D。=Z.CDA,

又乙BOD=Z.COE,

團Z_OB。=乙ECO,

0ABODCAD；

0圖中與△BOD相似的三角形（不含△BOD）有3個

故選：C.

14.A

【分析】本題考查相似三角形的性質，本題可根據相似三角形的性質，利用相似三角形面積

比與相似比的關系來求解△/WC的面積.

【詳解】解：相似三角形面積比等于相似比的平方，

設^ABC與△4ED的面積分別為5MBe和S-DE，相似比為k,

則有沁￡=好，

S6.ADE

由題可知k=3,已知Su°E=l，

將其代入到*中，可得紅儂=32,

S“ADE1

即〃ABC=%

故選：A.

15.C

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關

鍵，證明4/1。8-2k。08,44。5~4/1。。,2\40。64。。9,列出比例式進行判斷即可.

【詳解】解：團在RtZkABC中，若CO是斜邊48上的高，

0Z/IDC=4BDC=Z-ACB=90。，

0Z/1=Z-A,Z-A=乙BCD=90°-Z.ACD,

0AACBCDBAACBADC,LADCCDB?

^BC2=BD-AB,AC2=AD-AB,AC-BC=CD-AB,CD2=BD-AD；

故錯誤的是C選項：

故選C.

16.C

【分析】此題重點考查平行四邊形的性質、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質等

知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵.取BC的中點H,連接?！?，則BH=CH=\BC=4,

由平行四邊形的性質得80=0。，CD=48=6,則，。IICD,HO=^CD=3,可證明△

CEFiHOF,得段=名=1,則于是得到問題的答案.

HFHC2

【詳解】解：取8C的中點從連接?！?，

團四邊形486是平行四邊形，對角線4。與BD相交于點。，AB=6,BC=8,

團BO=DO,BH=CH==BC=4,CD=AB=6,

2

WOIICD,HO=^CD=3,

團點E在DC的延長線上，CE=3,

WOIICE,

0ACEFHOF,

廷=啜=三=1,即c"=HF,

HFHO3

團C/=：CH=2.

2

故選：c.

17.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

先證明四邊形CD肥為平行四邊形得CD=BF,進而可得鋁=再證明△DAE。48得

nr2

器=喘=5即可得"值.

hrHrN

【詳解】解：VDEIIBC,BF||AC,

???四邊形。。尸8為平行四邊形，

CD=BF,

AC5

V-=一,

BF2

AD3

:.—=

BF2

,:DEIIBC,Z.DAE=乙CAB,

???△DAECAB,

:.-D-E=-A-D="3,

EFBF2

EF=-DE=4,

3

故選：D.

18.A

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理.根據矩形的性質，證

明^AGDFGE,得到案=然后過點G作GH1BC,得到△GHEDCE,根據相似三

ED4

角形對應邊成比例分別求出HE,G”的長，進而求出CH的長，再利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：團矩形48CD,E,尸是BC邊上的三等分點，AB=8,BC=12,

^AD=BC=12,CD=BC=8,AD||BC,BE=EF=FC=4,EC=8,

0AAGD?△FGE,

盛=空=9=匕

DGAD123

彥一，

ED4

過點G作GHJ.8C,則GHIICD,

MHGHEG1

%=訪=而=丁

0FH=-FC=-x8=2,GH=-CD=-x8=2,

4444

(3CH=CE-EH=8-2=6,

0CG=y/GH2+CH2=V22+62=2V10；

故選：A.

19.B

【分析】本題考查相似三角形的性質和判定，掌握相關知識是解決問題的關鍵.證明A

APMABC,PMiPQ=5:2,假設MP=5kmm,PQ=2kmm,利用相似三角形的性質

構建方程即可解決問題.

【詳解】解：如圖，設AD交PN于點K.

，可以假設MP=5kmm,PQ=2kmm,

???四邊形PQNM是矩形，

??.PM||BC,

△APMABC?

vAD1BC,BC||PM,

?.AD1PM,

PMAK

???__-__，

BCAD

5k80-2/C

/.——=-------，

12080

解得k=15,

???PQ=2k=30mm,

故選：B.

20.A

【分析】本題考查了相似三角形的應用，正確理解題意并利用相似三角形的判定與性質求解

是關鍵.先證明△ABK-AAC。，再根據相似三角形的對應邊成比例列方程求解即可.

【詳解】解：AB=1.2m,BC=12.8m,

vAC=1.2+12.8=14(m),

,:BEA.AC,DC1.AC,

???BEIIDC

???△ABEACD

AB_BE

"AC='CD

1.21.5

?\

14CD

解得CD=17.5m.

故選：A.

21.C

【分析】本題主要考查r相似三角形的判定與性質，利用題意畫出圖形，再利用相似三角形

的判定與性質解答即可.熟練掌握相似三角形的對應高的比等于相似比是解題的關鍵.

【詳解】解：團像距為50cm,物距為25cm,蠟燭燭焰倒立的像的高度是4cm,

如圖,由題意知：點。到的距離為25cm,點。到CD的距離為50cm,CD=4cm,

.-AB||CD,

???△OABOCD,

AB^_25

CD-50

AB―—1

4一2’

AB=2(cm).

故選：C.

22.C

【分析】本題考查相似三角形的應用，理解題意，證明三角形相似是關鍵：

易得△48G?ACBF,^AG-.CF=AB-.CB.設AB=%米，則8c=(5.4-x)米，則可求得

49的長；再證明△496?△D9E,貝ij有力由此即可求得結果.

【詳解】解：???/-ABG=乙DBE,/-BAG=Z-BCF=90%

ABGCBF,

:.AG:CF=AB\CB.

設4B=%米，則BC=(5.4-％)米.

???AG=1.2米，CF=1.5米，

???1.2:1.5=x:(5.4—x)?

整理得1.5x=6.48—1.2x,

解得x=2.4,

BC=5.4-2.4=3(米)，

BD=5+3=8(米)，

回上月BG=乙DBE,/.BAG=/-ADE=90°,

回△ABG八DBE,

???AG:DE=AB:BD,

1.2:DE=2.4:8,

???DE=4米.

故選：C.

23.B

【分析】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例.

通過證明△4。/?s/kCOD,得出力。:CO=84:CD=3:2,即可解答.

【詳解】解：由題意得乙2力。=乙COD=90°,

0Z./4O5=Z.COD,

0AAOBCOD

胤40:CO=BA.CD=3:2

即AO=-CD=9(cm).

2

故選B

24.C

【分析】本題考查了相似三角形的應用，由題意可知ICO=BG=EH=1.6m,DG=BC=2m,

GH=BE=8m,AB||EF,得4G=48-8G=2.4m,DH=DG+GH=10m,AGIIFH,

進而根據^DAG八。尸，可得/H=12m,再根據線段的和差關系即可求解.

【詳解】解：如圖，由題意可知CD=BG=EH=1.6m?DG=BC=2m,GH=BE=8m,

AB||EF,

回AG=AB-BG=2.4m,DH=DG+HG=10m,AG||FH,

0ADAGDFH,

喘二舞即2.4_2

FH-10*

^FH=12m,

0EF=FH+EH=13.6m,

故選：C.

25.B

【分析】本題考查位似變奏.位似圖形就是特殊的相似圖形，位似比等于相似比，利用相似

三角形的性質即可求解.

【詳解】解：團△ABC與夕U是位似圖形，位似比為《夕=1:3,0A=6,

(24BW夕,

0AA'B'O-△AB。，

趙=土=二，

OAAB3

心J,

63

團04'的長為2.

故選：B.

26.C

【分析】本題考查了位似圖形的性質，解題的關鍵是掌握位似圖形的核心特征：對應圖形相

似、對應點連線過位似中心、對應邊平行、位似比等于用似比.

根據位似圖形的性質，逐一驗證各選項是否符合“相似、對應點共線、對應邊平行、位似比

與線段比的關系〃，進而判斷錯誤選項.

【詳解】解：A、位似圖形一定是相似圖形，故△48C?