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第三章同錐曲線的方程

§3.1橢圓

3.1.1橢圓及其標準方程

【學習目標】1.理解并掌握橢圓的定義及橢圓的標準方程2掌握用定義法、待定系數(shù)法和相關(guān)

點法求橢圓的標準方程.

知識梳理--------梳-理-教材夯、-實-基-礎(chǔ)

知識點一橢圓的定義

1.定義：平面內(nèi)與兩個定點尸I，B的距離的和等于賞數(shù)（大于IRBI）的點的軌跡.

2.焦點：兩個定點Fi.

3.焦距：兩焦點間的距離向Bl.

4.幾何表示：叫人|+|加&1=額（常數(shù)）且2色尸正1.

知識點二橢圓的標準方程

焦點在X軸上焦點在y軸上

標準方程=1(〃>">())力+齊=1（4汕＞（））

y麻

圖形飛

X

—V

焦點坐標F|(—c,0),Fi(ct0)Fi(0,-c),FKO,c)

a,b,c,的美系/=一一一

思考能否根據(jù)橢圓的標準方程，判定焦點位置？

答案能.橢圓的焦點在二軸上。標準方程中含f項的分母較大；橢圓的焦點在），軸上=標

準方程中含丁項的分母較大.

■思考辨析判斷正誤----------------------------------------------------------------

1.平面內(nèi)到點片（-4,0）,B（4,0）距離相等的點的枕跡是橢圓.（X）

2.到平面內(nèi)兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做梢圓.(X)

3.橢圓標準方程只與橢圓的形狀、大小有關(guān)，與位置無關(guān).(X)

4.橢圓的兩種標準形式中，雖然焦點位置不同，但都滿足/=〃+c2.(J)

題型探究探究重點素界提升

----------------------------------------N------------

一、求橢圓的標準方程

例1求適合下列條件的橢圓的標準方程.

⑴焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)；

3

-5IA

(2)兩個焦點的坐標分別是(0,—2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過點2-

2;

⑶經(jīng)過點尸(；，J,電，一，.

解(1)因為橢圓的焦點在)，軸上，

29

所以設(shè)它的標準方程為力+方=13>/?0).

又橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0),

所以所求的橢圓的標準方程為]+f=L

(2)因為橢圓的焦點在)，軸J_,

所以設(shè)它的標準方程為方=13乂>0),

由橢圓的定義知，

2。=4(一考2+?+2>+1(-1)2+(1-2)2=2?,

即a=y[\b,

又。=2,所以從=°2—^2=6,

o2

所以所求橢圓的標準方程為存+"=1.

(3)方法一①當橢圓焦點在x軸上時，可設(shè)橢圓的標準方程為5+1=1(。9>0).

7iva

依題意，有<

由4>/?0,知不合題意，故舍去；

②當橢圓焦點在)，軸上時，可設(shè)橢圓的標準方程為

，+5=130>0).

2。

二

V十

所以所求橢圓的標準方程為T1

-

45一

方法二設(shè)橢圓的方程為w+ny~=1(/??>0,/?>0,mW/?).

鏟1+鏟=1,

俳=5,

解得

(n=4.

所以所求橢圓的方程為5『+4/=1,

￡。

工

故橢圓的標準方程為1+-1

一

45一

反思感悟確定橢圓標準方程的方法

(1)“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標

軸上，以判斷方程的形式.

(2)“定量”是指確定爐，/的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解..

跟蹤訓(xùn)練I求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)經(jīng)過兩點(2,—(—1，田丹；

(2)過點(小，一響,且與幃圓《+5=1有相同的焦點.

解(1)方法一(分類討論法)若焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標準方程為比>0).

4=8,

由已知條件得解得

b2=4.

所以所求橢圓的標準方程般+9=1.

若焦點在），軸上，設(shè)橢圓的標準方程為I（〃>〃>（））.

*+*=1，

序=8,

由已知條件得

〃=4.

小，I

則42Vb2,與題設(shè)中。泌>0矛盾，舍去.

綜上，所求橢圓的標準方程為5+1=1.

o4

方法二（待定系數(shù)法）設(shè)橢圓的方程為Ad+gy2=i（4>o,e>（）,ARB）.

—包，（—1,代入,

將兩點（2,

'4A+28=1,

得1,14解得‘

4+78=1,B/

所以所求橢圓的標準方程為

o4

⑵因為所求橢圓與橢圓去尼=1的焦點相同，所以其焦點在），軸上，且,2=25-9=16.

設(shè)它的標準方程為

5+1=13>b>0）.

因為，=16,且。2=〃2—/，故/—從=16.①

又點（小，一小）在橢圓上：所以仁譽2+嚕=1,

即方+東=1.②

由①②得從=4,序=20,所以所求橢圓的標準方程為

r?x~,

20+4=k

二、橢圓的定義及其應(yīng)用

27

例2已知尸為橢圓十+，1上一點，R,F2是橢圓的焦點，ZFIPF2=60°,求△QPF2的

面積.

解由已知得4=2小，8=小,

所以。=/?一從=^12—3=3,

從而尸i&|=2c=6,

在△尸F(xiàn)1F2中，

IF1尸2F=|PF1F+|P尸2『一2|尸尸H1PF21cos60°,

22

即36=|PFI|+|PF2|-|PFIMPF2|.?

由橢圓的定義得仍為|+|夕尸2|=k/5，

即48=|PFiF+|PBF+2|PaHPB|.②

由①②得IPQHP尸21=4.

所以S尸產(chǎn)；=1|PFi|-|PF2|-sin600=V3.

延伸探究

若將本例中“N*PF2=6D°”變?yōu)椤癗PFIF2=90。"，衣尸B的面積.

解由已知得a=2#,b=小.

所以c=yja2—b2=yj12—3=3.

從而|FIF2|=2C=6.

在△尸人尸2中，由勾股定理可轡

|P同2=仍產(chǎn)||2+正同2,

即|PF#=|Pr產(chǎn)+36,

又由橢圓定義知|PFi|+|尸尸21=2X2小=45，

所以尸產(chǎn)2|=45一|尸"小

從而有(4小一|PQ|)2=|PQF+36,

解得仍知=坐.

所以的面積5=%PFIH"TX坐乂6=乎,

即△PRF2的面積是挈.

反思感悟橢圓定義的應(yīng)用技巧

⑴橢圓的定義能夠?qū)ν皥A上的點到焦點的距離進行轉(zhuǎn)化.

(2)橢圓上一點尸與橢圓的兩個焦點尸2構(gòu)成的△尸尸1尸2,稱為焦點三角形，可以利用橢圓

的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識求解.

跟蹤訓(xùn)練2(1)己知人，”2為橢圓N京rJ+下X1的兩個焦點，過Q的直線交橢圓于A,B兩點.若

此2川+四用=12,則伏明=.

答案8

解析由直線43過橢圓的一個焦點Q,

知忸8|=|尸|4|+|「］用,

所以在△尸/B中，1H+|BB|+|4B|=4a=20,

又IFMI+I尸2用=12,所以|A8|=8.

（2）橢圓方程為3+9=1,八,B為橢圓的焦點，夕是橢圓上一點.若S附=小，求NKPB

的大小.

解由已知得a=2,b=、3,c=I,

設(shè)|PF||=5,m=n,NRP&=a,

f〃?+〃=4,①

則Jnr+〃2——2〃i〃cosa=4,②

%〃zsina=小，③

J

（D2-②得〃?〃（1+cosa）=6,?

@1+cosa__6_

③得sina一小，

-2-

2cos2今

即17^=24

sinjcos2

?.近

??lan23,

?譚=30°,a=60°,

即NPPF2=60°.

三、與橢圓有關(guān)的軌跡問題

例3（1）已知P是橢圓3+（=1上一動點，O為坐標原點，則線段OP中點Q的軌跡方程為

答案f+.=l

解析設(shè)Qa,了），尸（沏，聞，由點Q是線段OP的中點知xo=2x,>'o=2y,又1+,=l.

所以答+萼=1,即點Q的軌跡方程為白告=1.

（2）如圖所示，己知動圓P過定點八（一3,0）,并且在定圓用（工一3）2+），2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,

求動圓圓心尸的軌跡方程.

解設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點例，動圓圓心戶到兩定點4一3,0)和3(3,0)的距離之和恰好

等于定圓半徑，

MP\PA\+|P5|=\PM\+\PB\=\BM\=8>|AB|,

所以動圓圓心P的軌跡是以A,8為左、右焦點的橢圓，

其中c=3,〃=4,廬=/一/=42-32=7,

其軌跡方程為*+]=1.

反思感悟求軌跡方程的常用方法

⑴直接法

設(shè)出曲線上動點的坐標為a,y)后，可根據(jù)幾何條件直接轉(zhuǎn)換成x,y間的關(guān)系式：

(2)定義法

若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數(shù)法求出軌跡方程；

(3)相關(guān)點法(代入法)

有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標

“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去.

跟蹤訓(xùn)練3在RCABC中，NCAB=90。，\AB\=2,h4Q=1,曲線后過。點，動點尸在曲

線后上運動，且|辦|十|尸身是定值.建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線E的方程.

解以A8的中點。為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系.

由題意可知，曲線E是以A,B為焦點，且過點C的橢圓，設(shè)其方程為，+務(wù)=1(白汕X)).

因為M8|=2,|AC]=3，

所以|3C|=，j布可麗=永

35

則2a=|ACl+|8C|=E+g=4,2c=|A〃|=2,

所以。=2,c=I,

所以tr=cr—(r=3.

所以曲線E的方程為彳+看=1.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學以致用

------------------------%-------

1.橢圓會+尸=1上一點P到一個焦點的距離為2,則點戶到另一個焦點的距離為()

A.5B.6C.7D.8

答案D

解析設(shè)橢圓的左、右焦點分別為尸I,B,|PQ|=2,

結(jié)合橢圓定義|PB|+|PQ|=10,可得|尸入1=8.

2.已知橢圓4/+正=4的一個焦點坐標是(0,1),則實數(shù)&的值是()

A.IB.2C.3D.4

答案B

2

號

解析橢圓方程可化為一

女

由題意知14解得A=2.

3.若方程表示焦點在)，軸上的橢圓，那么實數(shù)A的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,2)

C.(1,十8)D.(0,1)

答案D

解析??,方程/+婿=2,即務(wù)*1表示焦點在y軸上的橢圓，

I

/.1>2,故0*1.故選D.

4.已知橢圓的焦點在)，軸上，其上任意一點到兩焦點的距離和為8,焦距為2仃，貝]此橢

圓的標準方程為.

答案依+?=1

解析由已知2a=8,2c=Wi￡所以〃=4,c=y[\5,

所以tr=(r—(r=16—15=1.

又橢圓的焦點在y軸上，

所以橢圓的標準方程為代+f=l.

5.橢圓的兩焦點為R(—4,0),B(4,0),點尸在橢圓上，若△尸尸尸2的面積最大為12,貝]橢圓

標準方程為.

*v2

答案25+9=1

解析如圖，當P在y軸上時

△PBF2的面積最大，

??[x汕=12,:,b=3.

又,.7=4,a2=h2-^-c2=25.

???橢圓的標準方程為條+5=1.

■課堂小結(jié)■------------------------------------------------------------------------

1.知識清單：

(1)桶圓的定義.

⑵橢圓的標準方程.

2.方法歸納：待定系數(shù)法、定義法、相關(guān)點法.

3.常見誤區(qū)：

(1)忽視橢圓定義中4,C的條件.

(2)混淆不同坐標系下橢圓的兩種標準方程.

課時對點練注重雙基強化落實

------------------------------N----------

力基礎(chǔ)鞏固

1.橢圓會+扁=1的焦點坐標為()

A.(5,0),(-5,0)B.(0,5),(0,一5)

C.(0,12),(0,-12)D.(12,0),(-12,0)

答案C

解析d=169—25=144.cf2,故選C.

2.已知橢圓，+5=13>/?0)的右焦點為“(3,0),點(0,—3)在橢圓上，則橢圓的方程為()

A-2￡//

A45+36=1B-36+27=1

Fv2

C'27+T8=1DWL

答案D

a2—b2=9,

4=18,

解析由題意可得解得，

°十步1,〃=9,

故橢圓的方程為需+]=L

3.“2<〃?<6”是“方程—+}=1為橢圓”的（

m-26-m)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

答案B

，〃-2>0,

解析若方程上;+4=1表示橢圓，則《6—小>0，解得2<〃?<6且〃?W4,

w—26一切

2W6一小，

所以是方程“一一+白=1為橢圓”的必要不充分條件.

〃，一26一〃？

J22

4.設(shè)a,B是橢圓方+；=1的兩個焦點，尸是橢圓上的點，且儼Fil：|PBI=2：1,則△F/B

的面積等于（）

A.5B.4C.3D.1

答案R

解析由橢圓方程，得a=3,b=2,c=小，??.|PF]|+|PF2|=2a=6,又仍川：|PF,=2：1,

.,.|PFi|=4,|尸B|=2,由2?+42=（2小產(chǎn)，可知△BPB是直角三角形，

故尸尸2的面積為梟FIHPBI=T><4X2=4,故選B.

5.已知橢圓，+$=l（a>/?0）,M為橢圓上?動點，Q為橢圓的左焦點，則線段MFi的中點

P的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.線段D.直線

答案B

解析設(shè)橢圓的右焦點為22，

由題意，知儼0|=如川，|尸網(wǎng)=3"r11,

又|MR|+|M&|=2a,

所以|PO|+|PR|=G>|FIO|=C,

故由橢圓的定義，知點「的軌跡是橢圓.

6.已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓與x軸的一個交點到兩焦點的距離分

別為3和1,則橢圓的標準方程為.

答案3+9=1

v22a+c=3,

解析設(shè)所求橢圓的方程為言+*v=w＞。)，半焦距為c,由題意可得一f

4=2,.2

A,故〃2=『—『=3,???橢圓的標準方程為?+*=L

7.已知橢圓盛+]=1上的點M到該橢圓一個焦點尸的距離為2,N是M/的中點，。為坐

標原點，那么線段ON的長是.

答案4

解析設(shè)橢圓的另一個焦點為E,則|MQ+|M￡l=10,

又???|MF|=2,??.|ME1=8,

又ON為AMEF的中位線，???|ON1=肯“甩=4.

72

8.已知尸&是橢圓5+5=1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且NAQB=45。，則△AQB

的面積為.

答案\

解析如圖，由看+*1,

知/=9,〃2=7,°2=2

所以。=3,b=幣,c=y[l.

所以內(nèi)尸2|=25.

設(shè)HFi|=x,則|ABI=6-x

因為NAQF2=45。，

所以(6—x)2=f+8—?噂.所以

14

比

—77

所以S--XX-X--

2222

9.點M與定點尸(2,0)的距離和它到定直線工=8的距離的比是1:2,求點M的軌跡方程,

并說明軌跡是什么圖形.

4。-2)2+/」

解設(shè)點的坐標為，，是點到直線的跣離，根據(jù)題意，得

M(x,j)dMx=818-Al~2-

兩邊平方，并化簡得3r+4)，2=48,即言+W=L

所以，點M的軌跡是橢圓.

10.已知橢圓M與橢圓N：器+言=1有相同的焦點，且橢圓M過點(一1,邛耳.

(1)求橢圓M的標準方程；

⑵設(shè)橢圓M的左、右焦點分別為Q,尸2,點尸在橢圓加上，且△尸的面積為1，求點P

的坐標.

解(1)由題意，知橢圓N的焦點為(-2,0),(2,0),

『V2

設(shè)橢圓M的方程為7+j

(a1—b2=4,

則(1?4化簡并整理得5/+11/—16=0,

〔下+方=葭

故從=1或/=一學(舍)，，=5,

故橢圓M的標準方程為女+9=1.

(2)由⑴知Fi(—2,0),尸2(20),

設(shè)P(W,泗)，則△PQ3的面積為2X4XNO|=1,

得州=鳥.

又暗+)￥=】，所以君y,AO=±^

所以點尸有4個，它們的坐標分別為

I2，2八2,2/2./-2)

力綜合運用

，*7

11.2是橢圓含+]=1上一點，F(xiàn)1,尸2分別是橢圓的左、右焦點，若尸尸1卜|尸&|=12,則NF1P尸2

的大小為()

A.60°B.30°C.120°D.150°

答案A

解析由橢圓的定義得

I尸產(chǎn)i|+IP尸2|=8,尸|尸21=2市,

???(|PFI|+|PBI)2=64,

???|P尸IH尸尸2l=12,???|PF|F+|P尸2『=40,

40-281

在△中，

FiPF?COSZFIPF2=2X12T

V00<ZFIPF2<180°,

O

.,.ZF1PF2=60.

12.橢圓為+[=1的一個焦點為a，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在），軸上，那

么點M的縱坐標為（）

A.B.萼C.gD.等

答案D

解析V線段PR的中點M在），軸上且O是線段FxFr的中點（B為橢圓的另一個焦點），

???PB_Lx軸，，點P的橫坐標是3,

，?,點P在橢圓上，.*+]=1,即9=土，，）,=4殳

.??點M的縱坐標為舉.

13