專題08計數(shù)原理

Q題型概覽

題型()i利用二項式定理求項的系數(shù)

題型02利用二項式定理求系數(shù)和問題

題型03三項式及兩項積和問題

題型04排列組合綜合運用

泉勤01利用二項式定理求項的系數(shù)

1.(2025?山東泰安?一模)若；-2》的展開式的二項式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項為

()

A.-240B.-60C.60D.240

【答案】C

【分析】由二項式系數(shù)性質(zhì)求出〃，由二項展開式通項公式可求得常數(shù)項.

【詳解】由題意2"=64,解得〃=6.

展開式通項為乙=鼠(9)(-2x)'=G(-2)'?/-3,

由得1-3=0,解得r=2,.??常數(shù)項為篤-晨(-2)23。=60.

故選：C.

2.(2025?福建泉州?一模)已知(2x+2)6+a(x+l)3的展開式中1的系數(shù)為0,則〃的值為()

A.-1280B.-640C.640D.1280

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，求出兩個二項式展開式中/的系數(shù)即可得解.

【詳解】依題意，(2工+2)6展開式中爐項為c：(2x)3"=2y/,其系數(shù)為2"：：=1280,

a(K+l)’展開式中1項小3,其系數(shù)為“，由展開式中丁的系數(shù)為0,得〃+1280=0,

所以〃=一1280.

故選：A

3.(2025?山東濟寧?一模)12+口(24-1)”的展開式中的常數(shù)項為()

A.18B.20C.22D.24

【答案】B

【分析】寫出(24-1)”的展開式的通項，再將(2+']運算進去，分別令工的指數(shù)為0,求出各自的

常數(shù)，再相加即可.

【詳解】(2+：)(2]-1)“=2(2"一1)"+：(2'一1)”,

(2x-l)”的二項展開示的通項為小=丁(2幻g.(-l)*=(—ly.2“TC：3i

.?.2(2A--1)"=(一①，

,,,x

-(2x-l)"=(-l/2-*Cf1x°-②，

x

在①式中，令11一左=0得4=11,故2(2%-【)”的常數(shù)項為(-1)”2?=-2,

在②式中，令10-/(=0得左=10,則，(2x-l)”的常數(shù)項為(-1尸2?：-22,

x

故(2+￡j(2x-l)”的展開式中的常數(shù)項為-2+22=20,

故選：B.

202511012

2025

4.(2025?遼寧?一模)設(shè)(1-2幻=〃()+。尸+//+%/+?+旬25-”，加=24,5=-彳2%+1，則

1-04,_0

()

A.4=1

B.m=\

「32您+1

C.s=------

8

D.若卜]表示正數(shù)/的整數(shù)部分，則5-k]=；

【答案】ACD

【分析】令x=0可得A正確；令x=l可得B錯誤；令x=-l,再由偶數(shù)項的和可得C正確；由二項

式定理的整除可得D正確.

【詳解】對于A,令彳=0,可得4=】，故A正確；

對卜B,令x=l,可得〃2=旬+4+%+?+。2025=T，故B錯誤；

|C,令X——1,"Jf*1%—q+a?—++“2024—々2025=3~，

所以&+4+/++%)25)_(4_4+生_。3+，+%>24_4O25)=-32""T,

202520252025

所以Z"%+I=_|--73—，所以5=-]]普￡，如=_：1乂-1々-3_=F3+」1，故C正確;

i=CZ4i=04Zo

32025+1_3X9,0,2+I_3X(1+8)，0,2+1

對于D,

8―8~

=3x（l+C：328+C：°f++C；需產(chǎn)2）+1

-8

=3x（（3:0128+0328'+-+（3潴82”）+4

~T~

=3x（C：0I2+C；0l28'++C黑產(chǎn)）+g

所以s-[s]=g,故D正確；

故選：ACD

5.（2025?江西?一模）用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有〃個，則

（l+x）3+（l+x）4+......+（1+制”的展開式中，一項的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】330

【分析】求出用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)，得到〃的值.再根據(jù)二項式定理

通項公式求出展開式中V項的系數(shù)即可.

【詳解】當個位數(shù)字為。時：其他三個數(shù)位從1,2,3這三個數(shù)字中任意排列，有A；=3x2xl=6種

情況.

當個位數(shù)字為2時：千位不能為0,所以千位有2種選擇（從1,3中選），百位從剩下的2個數(shù)字中

選，十位再從剩下的1個數(shù)字中選，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有2xA；=2x2xl=4種情況.

所以〃=10

根據(jù)二項式展開式的通項公式乙產(chǎn)C/"'"，對于（1+工）。展開式中丁項的系數(shù)為C：

（上=3,4,.,10）.

那么（l+x）3+（l+x）4++（1+X嚴展開式中丁項的系數(shù)為C；+C；+C；++C）

由組合數(shù)的性質(zhì)C：+C/=C：…且C；=C"則

c；+c：+c；++c：o=c：+c：+C++C：o=C；+C；++Co==c：

_/勾~11x10x9x8

口得C,,=-----------------=330.

4x3x2xl

故答案為:330.

6.(2025?湖北?一模)已知在卜-加)，的展開式中，有且只有第4項的二項式系數(shù)最大，

則展開式中/的系數(shù)為一

【答案】60

【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求出〃的值，寫出二項展開式通項，令1的指數(shù)為3,求出參數(shù)的值,

代人通項即可得解.

【詳解】依題意可知〃=6,

工-￡)的展開式通項為(+i=C"6-『2

=晨(-2)‘門卜=0,123,4,5,6),

令6-(=3,則1=2,故/的系數(shù)為C：(-2)-=60.

故答案為：60.

7.(2025?黑龍江?一模)在的展開式中，常數(shù)項為

X

【答案】-16()

【分析】先根據(jù)二項式定理得到通項公式，再通過令該項中x的次數(shù)為0,求出廠的值，進而得到常

數(shù)項.

【詳解】二項式(「2/)6的展開式的第「+］項為％產(chǎn)則+?(1-2/丫的展開式的第『+1

項為5晨(-2x2)r=(-2)r晨/-6，r=oj2,…,6,

令2-6=0,得/-3,所以常數(shù)項為(-2)3C：=760.

故答案為：-16().

8.12025?山東洵澤一模)若〃是數(shù)據(jù)1,3,2,2,9,3,3,10的第75白分位數(shù)，則(x+)，)(2x-y)”

展開式中d)，3的系數(shù)為.

【答案】80

【分析】求出第75百分位數(shù)〃，然后由二項式定理求解.

【詳解】已知數(shù)據(jù)從小到大排列為：1,2,2,3,3,3,9,10,共8個，8x75%=6,

第6個數(shù)是3,第7個數(shù)是9,

3+9

:---=6,所以〃=6,

2

（.1+），）（2]-），）6展開式中凸，3的系數(shù)為2個覬（-1）3+2（"（7）2=80,

故答案為：80.

9.（2025?山東臨沂?一模）（1+外”的展開式中的一項是（）

A.45XB.90?c.120?D.240/1

【答案】C

【分析】由二項式定理展開式通項即可驗算.

【詳解】（1+.?°的展開式通項為。+1=，/，對比選項依次代入r=1,2,3,4得對應(yīng)項,

（1+彳嚴的展開式中的項可以是10篇45/,120丁,210%4.

故選:C.

10.（2025?北京延慶?一模）（Y-工）6的展開式中，V的系數(shù)為.

X

【答案】60

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式7；.廣晨卜2）6[_]]求解即可.

【詳解】二項式展開式的通項公式：心=晨（巧[二]=（-2）'C"3%

令12-3廠=6,解得r=2.

所以可得第三項中f的系數(shù)是（-2）2C；=4xl5=60.

故答案為：60

敗型02利用二項式定理求系數(shù)和問題

1.（2025?江西贛州?一模）已知（2x+l）（x-2）"=4+4工+42/+…，（a7H。），則（）

A.〃=6B.a5=-108

C.%+4+/+…+%=3D.%+a?+q+4=-363

【答案】ACD

【分析】利用二項式定理，結(jié)合賦值逐項進行判斷即可.

【詳解】由（2x+l）（X-2）"=《）+平+〃2*2++%/，

所以（x-2）”的展開式中最高次項為6次項，即〃=6,故A正確;

（X-2f的展開式中，/的系數(shù)為C：（-2f=60,V的系數(shù)為c；,（—2>=72,

則%=2x60+1x(-12)=108,故B錯誤：

令工=1,得(2+1)*(1-2)6=《)+4+々2++%=3，故C正確；

令H=-1,得(—2+1)x(—I—2)=《)—4+/++必—％=-729,

所以，%+的+%+%=3+(>=—363,故D正確；

故選：ACD.

2.（2025?廣東江門?一模）已知（一+專）（常數(shù)〃>0）的展開式中第5項與第7項的二項式系

數(shù)相等，則（）

A.〃=10

B.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256

C.展開式中f$的系數(shù)為45M

D.若展開式中各項系數(shù)的和為1024,則第6項的系數(shù)最大

【答案】ACD

【分析】由題意寫出展開式的通項，根據(jù)組合數(shù)的對稱性、二項式系數(shù)之和、賦值法以及二項式系

數(shù)的單調(diào)性，逐項檢驗，可得答塞.

.4..4L

【詳解】由/解十七），則其展開式的通項為7；7

對于A,根據(jù)題意可得C：=C>由組合數(shù)的性質(zhì)可知〃=10,故A正確;

卜d+9），則展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為2g=512,故B錯誤;

對于B,由

對「C,由4x1；二"一］5解得,.=2,則展開式中父5的系數(shù)為/2好0=45環(huán)，故C止確;

對「D,令x=l,則展開式中各項系數(shù)之和（〃?+『°=1024=2?解得m=1,

40-5r

可得展開式的通項為7；?=qox^~，即每項系數(shù)均為該項的二項式系數(shù),

易知展開式中第6項為二項式（/+9）

的中間項，則其系數(shù)最大，故D正確.

故選：ACD.

3.（2025?云南曲靖?一模）若的展開式的各二項式系數(shù)之和為32,貝［（）

A.77=5

B.展開式中只有第三項的二項式系數(shù)最大

C.展開式中/項的系數(shù)為1960

D.展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有2項

【答案】AC

【分析】由題設(shè)得2"=32即可求解〃判斷A；由〃=5得二項式系數(shù)最大的是C；=C；即可求解判斷B；

求出展開式的通項公式，再令r=4即可求解判斷C：由通項公式令（eZ即可求解判斷D.

【詳解】對于A,由題意得2"=32=>〃=5，故A正確；

對于B,因為〃=5,所以展開式中的二項式系數(shù)最大的是C；=C>

分別為展開式中的第三項和第四項的二項式系數(shù)，故B錯誤；

對于C,（8-伍7的展開式的通項公式為一=&⑻1_&_）=（_1）「仁？1%、

令r=4,則（一l）rC［85T?G>49x1960，即展開式中f項的系數(shù)為I960,故C正確:

對于D,因為（8-的展開式（I勺通項公式為刀+|=（_］了《？J亍￡，

所以若;wZ,則r=0,2,4時，對應(yīng)的項為85,35840//960丁，均為有理項，

所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有3項，故D錯誤.

故選：AC

做型03三項式及兩項積和問題

1.（2025?江西新余?一模）。-2"+的展開式中f曠的系數(shù)為36,則〃的值為

y)

【答案】■43

【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項公式運算求解.

【詳解】因為(x+y)7的二項展開式為4.產(chǎn)C；x7-ry,r=0,1,2,-7,

令,二5,可得￡=C*2y$=2*)5；

令『=6,可得(=C26=74；

可得〃x7；-土(=?x2lx2y5--x7JQ>6=(2la-7)x2y5,

yy

所以21cL7=36,

解得：?=|4|3,

43

故答案為：言

2.(2025?廣東佛山?一模)(1+4)'+(1-五丫的展開式中父的系數(shù)是

【答案】10

【分析】利用.項展開式的通項公式可求/的系數(shù).

【詳解】(1+?)'的展開式的通項公式為=q(x/7)1,

(1-61的展開式的通項公式為S』=(-I)'G(4J,

令r=4,則(1+五］的展開式中一的系數(shù)為C；=5,

(1-五)'的展開式中f的系數(shù)為(一1)4仁=5,

故(1+4『+(1-4『的展開式中/的系數(shù)為10,

故答案為：10.

排列組合綜合運用

1.(2025?安徽一模)程大位(1533-1606)是明代珠算發(fā)明家，微州人.他所編撰的《直指算法統(tǒng)宗》

是最早記載珠算開平方、開立方方法的古算書之一，它完成了計算由籌算向珠算的轉(zhuǎn)變，使算盤成

為主要的計算工具.算盤其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱"檔".現(xiàn)有一種算盤(如圖1)共三檔,

自右向左分別表示個位、十位和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下?lián)芤恢橛涀鲾?shù)字5：梁下五珠，

上撥一珠記作數(shù)字1.例如：圖2中算盤表示整數(shù)506.如果撥動圖1中算盤的3枚算珠，則可以表示

不同的三位整數(shù)的個數(shù)為.

百位十位個位百位十位個位

圖1圖2

【答案】26

【分析】分“百位〃撥動3枚算珠、“百位〃撥動2枚算珠、“百位〃撥動1枚算珠三種情況羅列出可表

示的數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】由題“百位”撥動3枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：300、700；

“百位"撥動2枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：210、250、201、205,610、650、601、605；

“百位”撥動1枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：120、102、160、106、111.151、115、155；

52U、502.50b>56U、511、551、515、555.

則符合條件的三位整數(shù)的個數(shù)為26.

故答案為：26.

2.（2025?山東泰安?一模）從5名同學中選擇4人參加三天志愿服務(wù)活動，有一天安排兩人，另兩天

各安排一人，共有種安排方法（用數(shù)字作答）

【答案】180

【分析】先從5人中選4人，將4人分成三組，再進行全排，即可求解.

【詳解】第一步，從5人中選4人，共有C；=5種取法，第二步，將4人分成三組，共有C=6種分

法，

再進行全排有A；=6種排法，

由分步計算原理知，共有C；C：A”5x6x6=180種安排方法，

故答案為：180.

3.12025?甘肅蘭州一模）“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.”

這二十八字節(jié)氣歌是我國古人智慧的結(jié)晶.某文具店試銷二十四節(jié)氣書簽，每套書簽24張，分別

印有春夏秋冬四季節(jié)氣各6張.文具店為促銷進行抽獎活動，凡購買一套二十四節(jié)氣書簽可參加抽

獎，抽獎規(guī)則如下：從一套書簽中挑出6張春季卡，6張夏季卡，將其中3張春季卡和3張夏季卡

裝在一個不透明的盒中，剩余的3張春季卡和3張夏季卡放在盒外.現(xiàn)從盒中隨機抽出一張卡，若

抽出春季卡，則把它放回盒子中，若抽出夏季卡，則該卡與盒外的一張春季卡置換.如此操作不超

過4次，將盒中的夏季卡全部置換為春季卡，則停止抽卡并獲得2套二十四節(jié)氣書簽，否則不莎獎.

⑴求只抽3次即獲獎的概率；

（2）若促銷的30天中預(yù)計有360人參加活動，從數(shù)學期望的角度分析商家準備多套少書簽作為獎品

更為合理？

【答案】（1）工

JO

（2）60套

【分析】（1）用字母表示出事情，根據(jù)事情的關(guān)系以及條件概率的公式，可得答案；

（2）由互斥事件的概率加法公式以及條件概率，求得獲獎概率，利用二項分布的均值公式，可得答

案.

【詳解】（1）設(shè)事件Aa?可取L2,3,4）表示第，次抽到春季卡,

B,0可取1,2,3,4）表示第7次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即獲獎,

所以P（坳聞登*凱/苗4.

（2）設(shè)事件o表示獲獎，則。式丹與用）（4名員g）（a%8sl）（片男人生）,

“818283,48/384,482A入，為互斥事件,

P(D)=P()+P(人與4坊)+p()+P(,

由⑴—）/c瞪；c；C；C；1111i

.1C：C223672'

11

X-x—=—

C；C：C：C；233654

小口…、C；C；C]C：1I515

ki2-34/）=—，7-x^，-x—，f-x—，i-=2-x3-x6-x6-=2——16，

c（＞cococo

wLLL二」

36725421612

又因為參加抽獎是否獲獎相互獨立，用隨機變顯X表示參加活動獲獎的人數(shù),

若促銷的30天中預(yù)計有360人參加活動，則X~8[360,正）

所以E[X}=360x-1=30,即估計獲獎人數(shù)的平均值為30,

又因為獲獎后每人獲得2套二十四節(jié)氣書簽，30x2=60,

所以商家準備60套書簽作為獎品較為合理.

4.（2025?山西?一模）定義：各位數(shù)字之和為5的四位數(shù)叫“吉祥數(shù)〃，例如“1022,3110〃，則所有“吉

祥數(shù)"的個數(shù)是（）

A.35B.32C.29D.20

【答案】A

【分析】根據(jù)“吉祥數(shù)〃的定義，按首位數(shù)字分別計算，再由分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】各位數(shù)字之和為5的四位數(shù)叫“吉祥數(shù)〃，按首位數(shù)字分別計算，

當首位數(shù)字為5時，則剩余三位數(shù)分別是0,0,0,共有1個“吉祥數(shù)〃；

當首位數(shù)字為4時，則剩余三位數(shù)分別是1,0,0,共有3個“吉祥數(shù)”；

當首位數(shù)字為3時，則剩余三位數(shù)分別是1,1,0或2,0,0,共有3+3=6個“吉祥數(shù)”：

當首位數(shù)字為2H寸，剩余三位數(shù)分別是2,1,0或3,0,?；?,1,1,共有A；+3+l=10個〃吉祥

數(shù)”；

當首位數(shù)字為1時，則剩余三位數(shù)分別是3,1,0或4,0,0或1,1,2或2,2,0,共有A；+3+3+3=15

個“吉祥數(shù)”，

則共有1+3+6+10+15=35個"吉祥數(shù)”.

故選:A.

5.（2025?山東荷澤?一模）若從正方體的八個頂點中任取四個頂點，則下列說法正確的有（）

A.若這四點不共面，則這四點構(gòu)成的幾何體的體積都相等

B.這四點能構(gòu)成三棱錐的個數(shù)為58

C.若正方體棱長為。，則這四點能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大值為2&2

D.若這四點分別記為A,B,C,D,則直線AB與CO所成的角不可以為30°

【答案】BCD

【分析】舉例說明A是錯誤的；利用組合數(shù)公式求三棱錐的個數(shù)，判斷B的真假；找出表面積最大

的三棱錐判斷C的真假；找出連接正方體頂點的兩條直線所成角的最小值可判斷D的真假.

【詳解】如圖：

對A：設(shè)A8=l,則％…=；x；xl=!，以郎=1-4%板=；，所以A不正確；

對B：從正方體的8個頂點中任選4個的選法有（^=答孚4=70中，其中不能構(gòu)成三棱錐的有:

4x3x2xl

①四個點在正方體的一個面上，即所選四點為：ABCD,A]￡Qi，ABB.A.,DCCQ,,ADD^t

8CC司共6個；②所選四個點在正方體的相對棱上，即所選的四點為：ABCR,A^CDfBCD,A,,

B"A,BBRD,AA^QC,共6個.

所以所選的四個點可以構(gòu)成三棱錐的個數(shù)為：70-6-6=581",故B正確；

對C：正方體棱長為。，從正方體的8個頂點中選3個，構(gòu)成三角形，其中面枳最大的就是象△4BC

這樣的等邊三角形，其邊長為面積為且力，所以四點能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大

2

的就是三棱錐人-4。。這樣的正四面體，其表面積為近/又4=26/,故c正確；

2

對D：在正方體的8個頂點中選4個，連成兩條百.線，所成的角最小的就是形如直線AG與笈C的所

成的角，設(shè)為夕，則sin0=J==^>Lsin30。，所以0>30。，故D正確.

632

故選：BCD

6.（2025?遼寧?一模）數(shù)學家歐拉把“哥尼斯堡七橋問題（如圖①，如何才能走過這七座橋，且每座

橋都只能經(jīng)過一次，最后又回到原來的出發(fā)點？）〃轉(zhuǎn)化為能否一筆畫出圖②的問題.定義若以某一

點為端點的線有偶數(shù)條，則稱該點為偶點，否則稱為奇點.連通圖可以一筆畫出的充要條件是：奇點

的數(shù)目不是0個就是2個（要想一筆畫成，若有奇點，起點和終點只能在奇點），因此“哥尼斯堡七

橋問題”是無解的.借助上述內(nèi)容一筆畫完成圖③的不同路徑方法有種.

①②

【答案】72

【分析】做出圖形，兩個奇點A和C分別做起點，求出A與。之間的途徑的情況，再求出一筆完成

。-G的畫法，，進而可得出答案.

【詳解】如圖，兩個奇點A和C分別做起點，有兩種情況，

A與C之間有三種途徑：①A—C,@A-B-C,@A-D-G-C,

其中.筆完成O-G有6種畫法：D-E-G-D-F-G,D-E-G-F-D-G,

D-G-E-D-F-GyD-G-F-D-E-GyD-F-G-D-E-G,

D-F-G-E-D-G,

若A做起點，從A出發(fā)有三種不同的路徑能到達C,從。返回A有兩種不同的路徑，

所以不同路徑方法有2x3x2x6=72種.

故答案為：72.

7.（2025?山東煙臺?一模）第九屆亞洲冬季運動會于2025年2月在哈爾濱成功舉行.4名大學生到冰

球、速滑以及體育中心三個場館做志愿者，每名大學生只去1個場館，每個場館至少安排1人，則

所有不同的安排種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【分析】應(yīng)用部分平均分組，將4人分3組，再作全排列，最后應(yīng)用分步乘法求結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)，需要將4個人分成3組，有C：=6種，

再將3組人分配到三個場館，有A；=6種，

所以共有6x6=36種.

故答案為：36

8.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）2024年4月26日，神舟十九號與神舟十八號航天員順利會師中國空

間站，激發(fā)r全國人民的民族自豪感和愛國熱情.齊聚〃天宮”的6名宇航員分別是”0后〃蔡旭哲、“80

后"葉光富、李聰、李廣蘇，"90后〃宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時刻，大家準備拍一張“全家福

假設(shè)6人站成一排，兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后〃彼此不相鄰，兩位"90

后“彼此不相鄰，則不同的站法共有（）

A.16種B.32種C.48種D.64種

【答案】B

【分析】先排兩位指令長，然后用四名宇航員的排列總數(shù)減去“80后〃，“90后〃相鄰的排法，即可

求解.

【詳解】兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，有8種排法，

剩下的四名宇航員共有A：種排法，其中兩位“80后〃彼此相鄰，兩位“90后”彼此相鄰且分別在左側(cè)

或右側(cè)的排法共有2&A；種，

所以兩位指令長蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后〃彼此不相鄰，兩位"90后〃彼此不相鄰，

則不同的站法共有&（M-2&A；）=32種.

故選：B.

9.（2025?云南昆明?一模）在空間直角坐標系。中，。町，平面、平面、平面把空間分成了

八個部分，這八個部分稱為"卦限"，通過點的橫坐標、縱坐標、豎坐標，可確定點的確切位置及所

處卦限."卦限”取自《易經(jīng)》中的“太極生兩儀，兩儀生四象，四像生八卦〃，從直角坐標系中的原點，

到數(shù)軸中的兩個半軸，進而到平面直角坐標系中的四個象限，最終到空間直角坐標系中的八個卦限，

是由簡單到繁復(fù)的變化過程，體現(xiàn)了中國古典哲學與現(xiàn)代數(shù)學的關(guān)系，也體現(xiàn)了數(shù)學名詞翻譯的“信

達雅”.若點4的橫坐標、縱坐標、豎坐標均取自集合卜1,-2,4},從片中任取2個點，則這2個點在

同一個卦限的概率為.

49

【答案】詬

【分析】求出點4的個數(shù)，確定各卦限的點的個數(shù)，利用組合計原理與古典概型的概率公式可求得

所求事件的概率.

【詳解】因為點4的橫坐標、縱但標、豎坐標均取自集合{-1,-2,4},則點4共有寸=27個，

計算每個卦限包含的點數(shù):

x負、y負、z負：8個點

x負、y負、z正：4個點

x偵、y正、z負：4個點

x負、y正、z正：2個點

x正、y負、z負：4個點

x正、y負、z正：2個點

x正、y正、z負：2個點

x正、y正、z正：1個點

同一卦限中選2個點的組合數(shù)之和為：

C：+C：x3+C；x3+C；=28+6x3+1x3+0=49

從這27個點中任取兩個點，共有CM=351個基本事件，

故所求概率為。=C+3C：+3C；=型

351351

49

故答案為：--

10.（2025?江西上饒?一模）將編號為123,4的4個小球隨機放入編號為1,2,3,4的4個凹槽中，每個

凹槽放一個小球，則至少有1個凹槽與其放入的小球編號相同的概率是（）

17517

A.-B.—C.-D.—

424824

【答案】C

【分析】利用排列組合，先求山將編號為L2,3,4的4個小球隨機放入編號為1,2,3,4的4個凹杷中的

放法數(shù)，再求出4個凹槽與其放入小球編號互不相同的放法數(shù)，再利用對立事件的概率公式，即可

求出結(jié)果.

【詳解】將編號為L2,3,4的4個小球隨機放入編號為1,2,3,4的4個凹槽中，共有A：=24種放法，

4個凹槽與其放入小球編號互不相同的有=9種放法，

所以至少有1個凹槽與其放入小球編號相同的概率是尸

248

故選：C.

11.（2025?湖北?一模）有形狀、質(zhì)量完全相同的〃-1個不同白色小球，另有一個紅色小球與每一個

白色小球僅有顏色差異，將這個紅色小球命名為“2025幸運星球”，將這〃個小球裝在一個盒子里，

并隨機搖動放勻，則下列說法正確的是（）

c

A.從盒子里任取3個小球，“2025幸運星球〃被選中的概率為〃=黃；

B.從盒子里任取3個小球，記事件A="2025幸運星球，被選中〃；事件8="取得的3個小球都

是白色球〃，則事件A8為對立事件；

C.當〃=20時，把這20個小球分別裝進甲、乙、丙三個不同的盒子里，每個盒子至少裝1個

小球,甲、乙、丙二個盒子里裝有小球的個數(shù)分別記為門z,則有序數(shù)組（X.RZ）的個數(shù)為

171；

D.當〃=20時，把這20個小球分別裝進甲、乙、丙三個不同的盒子里，每個盒子至少裝1個

小球，甲、乙、丙三個盒子里裝有小球的個數(shù)分別記為X，分z,則有序數(shù)組（x,y,z）的個數(shù)為

231；

【答案】ABC

【分析】應(yīng)用組合數(shù)結(jié)合古典概型計算判斷A,結(jié)合對立事件定義判斷B,應(yīng)用隔板法結(jié)合組合數(shù)

計算判斷C,D.

【詳解】依題意知：盒子中共有〃個小球，從中任取3球的取法總數(shù)為C"

“2025幸運星球〃被選中取法總數(shù)為C3,所以“2025幸運星球〃被選中的概率為〃=黑，故A正確:

事件5="取得的3個小球都是白色球"，即取得的球中沒有“2025幸運星球”，所以事件4,8為對

事件，故B正確;

依題意，把這20個小球分別裝進甲、乙、丙三個不同的盒子里，每個盒子至少裝1個小球,

所以有序數(shù)組（x,y,z）的個數(shù)等于不定方程x+y+z=17的非負整數(shù)解個數(shù),

相當于在17個小球擺成一排所形成的18個空位中放入兩塊隔板,

兩塊隔板可以占一個空位，也可以占兩個空位,

iq1?

故隔板方法總數(shù)為C；8+C；=C；9==x^=171,故C正確，D錯誤:

故選：ABC.

12.（2025?甘肅蘭州?一模）將1,2,3,4,5,6隨機排成一行，前三位數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)m后三位

數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)仇記加大于100的概率是（）

9

B.—D

A.晟10-?

【答案】D

【分析】分兩步探討，結(jié)合古典概率列式計算得解.

【詳解】先求m小于100的概率，百位必相鄰，且較大數(shù)的十位小于較小數(shù)的十位，個位無限制,

分兩步：

51

（1）取百位的概率為m=§;

（2）取十位，在剩下的4個數(shù)字中取兩數(shù)分配給a力作十位，而a的十位大于b的十位與

a的十位小于b的十位的概率相等，此步符合要求的概率為g,

所以m小于100的概率為!x2=.故小大于100的概率是1-7=1

326oo

故選：D

13.（2025?廣