專題5.1函數(shù)

1.能清晰區(qū)分常量與變量，結(jié)合實(shí)際情境（如路程公式s=vt、水電費(fèi)計(jì)算等）舉例

說明兩者的含義；

2.理解函數(shù)的定義：知道在一個(gè)變化過程中，兩個(gè)變量x與y滿足“對于x的每一

個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)”時(shí)，y是X的函數(shù)，X是自變量；

教學(xué)目標(biāo)3.掌握函數(shù)的三種表示方法（解析式法、列表法、圖象法），能識別不同表示方法

中的自變量與函數(shù)，會根據(jù)簡單解析式，求具體自變量對應(yīng)的函數(shù)值；

4.能從實(shí)際問題（如汽車勻速行駛的路程與時(shí)間關(guān)系、氣溫隨時(shí)間變化的曲線等）

中抽象出函數(shù)關(guān)系，判斷兩個(gè)變量是否構(gòu)成函數(shù)。

1.重點(diǎn)

（1）函數(shù)的定義：核心是理解“兩個(gè)變量+唯一對應(yīng)關(guān)系”，能準(zhǔn)確判斷兩個(gè)變

量是否構(gòu)成函數(shù)；

（2）函數(shù)的三種表示方法：能識別不同表示方法中的自變量、函數(shù)，會根據(jù)解析

式求簡單函數(shù)值；

（3）從實(shí)際問題中抽象函數(shù)關(guān)系：將生活中的變化過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的變量與對應(yīng)關(guān)

系

2.難點(diǎn)

教學(xué)重難點(diǎn)

（1）理解函數(shù)定義中“y有唯一確定的值與x的每一個(gè)確定值對應(yīng)”：容易混淆“唯

一對應(yīng)”（如認(rèn)為“一個(gè)y對應(yīng)多個(gè)x”不影響函數(shù)關(guān)系，或誤將“一對多’的關(guān)系

當(dāng)作函數(shù)）；

（2）從實(shí)際問題中抽象函數(shù)關(guān)系：難以將?；钪械摹白兓枋?轉(zhuǎn)化為"變量與對

應(yīng)規(guī)則”（如“水庫放水時(shí)水位隨時(shí)間下降”，無法明確自變量、函數(shù)及對應(yīng)關(guān)系）；

（3）理解圖象表示的函數(shù)：無法準(zhǔn)確解讀圖象中“橫軸（自變量）、縱軸（函數(shù)）

的意義”，以及“圖象上的點(diǎn)與變量對應(yīng)關(guān)系”（如氣溫曲線中某點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別

表示“時(shí)間”和“氣溫”）

知識清單

知識點(diǎn)01變量與常量

定義：在一個(gè)變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生改變的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量.

一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量X和y,并且對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的

值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù),如果當(dāng)x=a時(shí)，y=b,那么b叫做

當(dāng)自變量x的值為a時(shí)的函數(shù)值.

【即學(xué)即練】

1.“冰凍三尺，非一日之寒.”這句諺語體現(xiàn)了冰的厚度隨時(shí)間的變化而變化.在這個(gè)變化過程中，下列說

法正確的是（）

A.時(shí)間為常量B.冰的厚度為常量

C.冰的質(zhì)量為常量D.時(shí)間和冰的厚度都為變量

知識點(diǎn)02函數(shù)的定義

函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描達(dá)函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的解析式

【即學(xué)即練】

1.中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地.某網(wǎng)店內(nèi)一種茶葉的售價(jià)為10元/克，購買x（x>0）克的總價(jià)

錢為y元，下列正確的是（）

A.自變量是茶葉的單價(jià)B.自變量是總價(jià)錢yC.y=10xD.y=10+x

知識點(diǎn)03自變量取值范圍和函數(shù)值

初中階段，在一般的函數(shù)關(guān)系中自變量的取值范圍主要考慮以下四種情況：

（1）函數(shù)關(guān)系式為整式形式：自變量取值范圍為任意實(shí)數(shù)；

（2）函數(shù)關(guān)系式為分式形式：分母0

（3）函數(shù)關(guān)系式含算術(shù)平方根：被開方數(shù)0：

（4）函數(shù)關(guān)系式含0指數(shù)：底數(shù)0；

【即學(xué)即練】

1.函數(shù)y=Vx+5+:的定義域是.

2.已知y=W，貝U當(dāng)％=3時(shí)，y=.

知識點(diǎn)04函數(shù)圖象

對于在某一變化過程中的兩個(gè)變量，把自變量X與因變量y的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，

在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這些點(diǎn)，這些點(diǎn)所組成的圖形就是它們的圖象（這個(gè)圖象就叫做平面直角坐標(biāo)系）。它

是我們所表示兩個(gè)變量之間關(guān)系的另一種方法，它的顯著特點(diǎn)是非常直觀。不足之處是所畫的圖象是近似

的、局部的，通過觀察或由圖象所確定的因變量的值往往是不準(zhǔn)確的。

理解圖象：a.認(rèn)真理解圖象的含義，注意選擇一個(gè)能反映題意的圖象；b.從橫軸和縱軸的實(shí)際意義理解

圖象上特殊點(diǎn)的含義（坐標(biāo)），特別是圖象的起點(diǎn)、拐點(diǎn)、交點(diǎn)

【即學(xué)即練】

1.甲、乙兩輛汽車從4地同時(shí)出發(fā)沿同一線路去8地，lOmin后，乙汽車停留了5min,此時(shí)甲汽車正好到達(dá)

8地，它們所行的路程之和s（單位：km）與所用的時(shí)間t（單位：min）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示，則

乙汽車行駛的路程為km.

2.周末，陳辰及家人駕駛新能源汽車前往安徽名人館參觀，在館內(nèi)參觀了1.5小時(shí)后，駕車去往長臨河古鎮(zhèn).如

圖是陳辰及家人離開家的路程s（千米）與離開家的時(shí)間￡（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象.據(jù)此解答下列問題：

（1）上述過程中，自變量是,因變量是;

⑵陳辰家到安徽名人館的路程是千米，安徽名人館到長臨河古鎮(zhèn)的路程是千米;

⑶求陳辰家從安徽名人館到長臨河古鎮(zhèn)駕車行駛的平均速度.

題型1變量間關(guān)系的表達(dá)

【典例1］在彈性限度內(nèi)，彈簧掛上物體后會伸長，測得彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間有如

下表關(guān)系:

x(kg)01234???

V(cm)1010.51111.512

下列說法不正確的是（）

A.），隨x的增大而增大

B.所掛物體質(zhì)量每增加1kg彈簧長度增加0.5cm

C.所掛物體為7kg時(shí)，彈簧長度為13.5cm

D.不掛重物時(shí)彈簧的長度為0cm

【變式1】如果每盒鉛筆12支，售價(jià)8元，那么鉛筆的售價(jià)），（元）與鉛筆的支數(shù)X（支）之間的關(guān)系式是

（）

32

A.y=-xB.y=-xC.y=12xD.y=8x

【變式2】在彈性限度內(nèi)，彈簧伸長的長度與所掛重物的質(zhì)量成正比.下表是研究某種彈簧的長度與所掛物

【變式3】水池中有若干噸水，開一個(gè)出水口將全池水放光，所用時(shí)間單位：小時(shí)）與出水速度I，（單

位：噸/小時(shí)）之間的關(guān)系如下表:

出水速度1，/（噸/小時(shí)）108542???

時(shí)間〃小時(shí)11.2522.55???

用式子表示，與y的關(guān)系為

題型2自變量和因變量

【典例2】五一假期期間，各地加油站迎來了加油高峰.如圖是所用的加油機(jī)上的數(shù)據(jù)顯示牌，則其中的常

量是（）

147.78金額（元）

18油量（升）

8.21單價(jià)（元/升）

J

1J

A.金額B.單價(jià)C.油量D.金額和油量

【變式1】一個(gè)圓形零件的面積S與半徑r的函數(shù)關(guān)系式為S=口產(chǎn),下面關(guān)于常量和變量的表述正確的是（）

A.常量是1,變量是SB.常量是m變量是S

C.常量是1,變量是S,71D.常量是n,變量是S,r

【變式2】一個(gè)長方形的面積是lOcmT其長是acm,寬是bcm,下列判斷正確的是（）

A.常量為10、a,變量為bB.常量為10,變量為a、b

C.常量為10、b,變量為aD.常量為4、/?,變量為10

【變式3】在s=?中，常量和變量分別是（）

A.常量是4；變量是uB.常量是$變量是u

C.常量是3；變量是s,vD.常量是土變量是s,v

題型3函數(shù)的概念

【變式3】下列四個(gè)關(guān)系式：①V二|x|;②|y|二￥；（3）2x2-y=0；（4）2x-y2=0,其中y是x的函數(shù)

的是（）

A.①②③④B.①②③C.①③D.②④

題型4函數(shù)的解析式

【典例4】某書店對外租賃圖書，攻費(fèi)辦法是：每本書在租賃后的前兩天每天按0.5元收費(fèi)，以后每天按0.6元

收費(fèi)（不足一天按一天計(jì)算），則租金），（元）與租賃天數(shù)式工22）之間的關(guān)系式為（）

A.y=0.6%B.y=0.6%—1.2C.y=0.6%4-0.2D.y=0.6x—0.2

【變式1】一個(gè)等腰三角形的周長為30,那么底邊長（y）與腰長（幻的關(guān)系式為.

【變式2】一根高20厘米的蠟燭點(diǎn)燃后剩余的高度y（厘米）與燃燒時(shí)間火（時(shí)）的關(guān)系如下表、則蠟燭點(diǎn)

燃后剩余的高度y（厘米）與燃燒時(shí)間”（時(shí)）之間的關(guān)系式是—?

燃燒時(shí)間工（時(shí)）0123

剩余的高度y（厘米）20171411

【變式3】某室內(nèi)籃球館每月的固定支出費(fèi)用為10000元，入場票價(jià)為20元/人，為吸引顧客，凡入場者

每人贈送成本2元的礦泉水一瓶，設(shè)每月有工人到該籃球館打球，每月凈利澗為y元，請寫出y與x之間

的關(guān)系式.

題型5函數(shù)自變量取值范圍

【典例5】使函數(shù)y=有意義的x的取值范圍是（）

A.x>5B.%>5C.%<5D.%>0

【變式1】函數(shù)y=￡的自變量工的取值范圍是（）

A.x=0B.x0C.x=2D.x2

【變式2］在函數(shù)y=<中，％的取值范圍是_____.

X—2

【變式3】函數(shù)y=75=5的定義域?yàn)椤?

題型6求自變量的值或函數(shù)值

【典例6】當(dāng)％=-1時(shí)，y=2/—i的函數(shù)值為（）

A.0B.1C.2D.3

【變式1］己知函數(shù)y=X+3,當(dāng)y=6時(shí)，x=.

【變式2】變量），與x之間的關(guān)系式是y=2x—3,當(dāng)自變量％=1時(shí)，因變量），的值是,

【變式3】已知/（幻=3%-7,那么/'（一2）=.

題型7從函數(shù)的圖象獲取信息

【典例7】某海港某口。時(shí)到24時(shí)的水深y（m）隨時(shí)間t（h）的變化如圖所示，下列從圖象中得到的信息正確的

是（）

A.24時(shí)水深最高B.0時(shí)到12時(shí)之間水深持續(xù)上升

C.12時(shí)的水深為8mD.兩次最高水深的時(shí)間間隔為12小時(shí)

【變式1】小明在游樂場坐過山車，在某一段60秒時(shí)間內(nèi)，過山車的高度九（米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)

關(guān)系圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)￡=40時(shí)，九二15

B.這60秒內(nèi)過山車有3段卜.行路線

C.當(dāng)35WtW53時(shí)，高度九（米）隨時(shí)間t（秒）的增大而增大

D.在0￡￡￡60范圍內(nèi)，當(dāng)過山車高度是70米時(shí)，￡的值有4個(gè)

【變式2】如圖反映了巫山春季某天一段時(shí)間的氣溫7（久）隨時(shí)間，（h）變化而變化的關(guān)系，觀察圖象得

到下列信息，其中錯(cuò)誤的是（）

A.該段時(shí)間內(nèi)的最低氣溫為180B.從6時(shí)至15時(shí)，氣溫一直上升

C.該段時(shí)間內(nèi)15時(shí)達(dá)到最高氣溫D.從6時(shí)至20時(shí)，氣溫?直下降

【變式3】為了減輕一周來緊張的學(xué)習(xí)壓力,小林在周日上午9時(shí)騎自行車離開家去公園鍛煉，15時(shí)回到

家，已知離家的距離s（km）與時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖所示，小林騎自行車從公園返回家中的平均速度

是

距離s/km

40

30

20

10

910II12131415時(shí)間加

題型8動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象

【典例8】如圖（1）在矩形48C。中，動點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，沿路線作勻速運(yùn)動，圖（2）是此運(yùn)動

過程中，△P8C的面積S與點(diǎn)P運(yùn)動的路程x之間的函數(shù)圖象的?部分，則8C+CZ）的長為（）

A.5

【變式1］吳老師家、公園、學(xué)校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學(xué)校的距離分別為400,〃，600”他

從家出發(fā)勻速步行8min到公園后，停留4min,然后勻速步行6min到學(xué)校，設(shè)吳老師離公園的距離為

），（單位：加），所用時(shí)間為單位：min），則下列表示），與.r之間函數(shù)關(guān)系的圖象中，正確的是（）

【變式2】如圖1,在平行四邊形人BC7）中，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線48TBe方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)

。時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為工，線段AP的長度為），，），與x的函數(shù)圖象如圖2所示.若4戶的最大

值為4,則8c的長為（〉

A.4B.4.4C.4.8D.5

【變式3】如圖1,直角梯形/ECD中，乙ABC=90。，DC||AB,動點(diǎn)P從4點(diǎn)出發(fā)，山/DCB沿梯

形的邊運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,△A8P的面積為y,關(guān)于y與x的函數(shù)圖象如圖2,貝必8的長為

DC

—?

AxLBO51114X

圖1IW2

A.11B.9C.12D.10

一、單選題

1.位于昆明市西山區(qū)的豹子箸是一處集旅游、觀光、研學(xué)、游玩、自然體驗(yàn)于一體的研學(xué)基地.周末，小

陸一家從家出發(fā)開車前往該基地游玩，經(jīng)過服務(wù)區(qū)時(shí)，休息片刻后繼續(xù)駕駛往目的地.汽車行駛路程S

（千米）與汽車行駛時(shí)間/（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示，下列判斷不正確的是（）

W千米

225................

125-yrf!

O\80100200*行鐘

A.他們在服務(wù)區(qū)休息了20分鐘

B.小陸家距離基地350千米

C.他們出發(fā)80分鐘后達(dá)到服務(wù)區(qū)

D.在服務(wù)區(qū)休息前的行駛速度比休息后快

2.某人購進(jìn)一批蘋果，到集貿(mào)市場零售，已知賣出的蘋果質(zhì)量工（千克）與收入y（元）的關(guān)系如下表:

質(zhì)量%/千克12345???

收入y/元2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5???

則收入y（元）與賣出的蘋果質(zhì)量%（千克）之間的函數(shù)表達(dá)式為（）

A.y=2x+0.1B.y=2x

C.y=2.lxD.y=0.2x+0.5

4.周六下午，小明從家去樂高編程班上課，時(shí)長2小時(shí)的課程結(jié)束后，小明以同樣速度原路運(yùn)回，如圖正

確描述這一過程的圖象是（）

5.長方體水槽里面放有一酒瓶，示意圖如圖所示，現(xiàn)向水槽內(nèi)勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水

的深度y與注水時(shí)間x的關(guān)系是（）

6.某天小明騎自行車上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，修車耽誤了一段時(shí)間后繼續(xù)騎行，按時(shí)趕到了學(xué)校.如

A.修車時(shí)間為13minB.自行車發(fā)生故障時(shí)離家距離為1000m

C.學(xué)校離家的距離為2000mD.到達(dá)學(xué)校時(shí)共用時(shí)間20min

7.水龍頭向如圖所示的容器內(nèi)注水，下列能大致表示容器中水位高度隨時(shí)間變化而變化的圖象是（）.

三、填空題

8.某彈簧的自然長度為13厘米，在彈性限度內(nèi)，所掛物體質(zhì)量每增加1千克的重物時(shí)彈簧長度增加0.5厘

米，那么彈簧長度），（厘米）與所掛重物的質(zhì)量x（千克）的關(guān)系式為.

9.水龍頭關(guān)閉不緊會造成滴水，劉華同學(xué)用可以顯示水量的容器做試驗(yàn)，并根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出容器內(nèi)盛

水量W(L)與滴水時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系圖象(如圖).已知滴水的速度是0.4L/h,請結(jié)合圖象解答下列

問題：計(jì)算在這種滴水狀態(tài)下一天滴水的總量為