施函數(shù)與指數(shù)函數(shù)十類重點題型過關(guān)

題型解讀

知識點梳理

分數(shù)型指數(shù)幕的取值范圍問題

O圖象的判斷與應(yīng)用

S多重根式的化簡（2023高考有涉及）

分數(shù)型指數(shù)孱的化簡與計算求值（結(jié)合平方公式）

求解析式

解不等式

比大小

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

指數(shù)型函數(shù)的值域問題

指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題

知識點梳理

一\幕■函數(shù)

23

（I）寐函數(shù)的圖象同一坐標(biāo)系中，寐函數(shù)y=x,y=x,y=xfy=x~',＞二）的圖象（如圖）.

（2）寐函數(shù)的性質(zhì)

1、所有的球函數(shù)在(0,+8)上都有定義,并且圖象都過點(1,1)；

2、如果a>0,那么寐函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增(重要)；

3、如果aVO,那么寐函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時,

圖象在y軸右方無限接近)，軸，當(dāng)x從原點趨向于+8時，圖象在x軸上方無限接近x軸：

4、在(1,+oc)上，隨寐指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近)，軸.

二、指數(shù)與根式

1、n次方根的定義

(I)定義：一般地，如果^=々，那么x叫做a的n次方根，其中,且〃eN'

(2)偶次方根的被開方數(shù)要為非負數(shù)

2^根式

(I)定義：式子必叫做根式，這里n叫做根指數(shù),〃叫做被開方數(shù).

（2）性質(zhì)：（〃>1,且,?wN.）

為奇數(shù)，

麗）n=a;即）"=?

時，〃為偶數(shù).

3、分數(shù)指數(shù)瓶的意義

(I)分數(shù)指數(shù)越的意義

正分數(shù)指數(shù)寐：規(guī)定：

—11

負分數(shù)指數(shù)祿：規(guī)定:〃”=,>0，〃?，〃￡N，,〃>I）

(3)性質(zhì)：0的正分數(shù)指數(shù)減等于0,0的負分數(shù)指數(shù)底沒有意義

4、分數(shù)指數(shù)賽的注意事項:

(1)分數(shù)指數(shù)寐是指數(shù)概念的又一推廣，分數(shù)指數(shù)球〃：不可理解為巴個。相乘，它是根式的一種新的

an

寫法.

在這樣的規(guī)定下，根式與分數(shù)指數(shù)幕是表示相同意義的量，只是形式不同而已.

(2)把根式行化成分數(shù)指數(shù)拳的形式時，不要般易對生進行約分.

n

(3)在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負數(shù)也存在分數(shù)指數(shù)標(biāo)，

如(_5)：=y(—5)2有意義,但(—5)==[(—5)3就沒有意義.

4、無理數(shù)指數(shù)幕

一般地，無理數(shù)指數(shù)麻(?>0,a為無理數(shù))是一個確定的實數(shù).

有理數(shù)指數(shù)寐的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)寐.

【注意】(1)對于無理數(shù)指數(shù)寐，我們只需要了解兩點：

①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)寐無限逼近的結(jié)果.

(2)定義了無理數(shù)指數(shù)森之后，取的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍.

5、實數(shù)指數(shù)瓶的運算性質(zhì)

①4%〃=""+〃(4〉0,5的.

,nn

②("")〃=a(?>0,r,5eR).

③(他)卯=°少(a>0,g0,rrR).

三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0vav1

V|

圖象

(0.1)1/--小心

第1象限底大圖高y[]

O\xo]r

定義域R

值域(0,+8)

性質(zhì)

過定點(0,1)

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函會

奇偶性非奇非偶函數(shù)

四、比較指數(shù)賽的大小

常用方法有：

(I)對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個冢的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；

(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個寐的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；

(3)對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的寐的大小比較，可先化為同底的兩個寐，或者通過中間值來比較.

五、簡單指數(shù)不等式的解法

1、形如/^，/(力的不等式，可借助)，=6產(chǎn)的單調(diào)性求解

2、形如人的不等式，可將?；癁橐?。為底數(shù)的指數(shù)寐的形式，再借助y=a、的單調(diào)性求解

3、形如/〉//的不等式，可借功兩函數(shù)y=ax,)，=//的圖象求解

IjR/核心?題型

型O分數(shù)型指數(shù)零的取值范圍問題

1.函數(shù)/(x)=(l-x)-+(2x-1)°的定義域是()

A.(5]B.卜C.Cl)D，(；」)

2.函數(shù)),=1高的定義域為______.

（1+2）2

3.函數(shù)丁二———的定義域為.

（1戶

4.等式匹成立的條件是（）

Vx-377^3

x

;

A.——>3B.XH3C.x>0D.x>3

x-3

題照圖象的判斷與應(yīng)用

h（

5.轅函數(shù)y=￡,y=xfy=x\y=Y在第一象限的圖像如圖所示，則々b,c,d的大小關(guān)系是（）

A.a>b>c>dB.d>b>c>aC.d>c>b>aD.b>c>d>a

6.圖中。、C2、C3為三個幕函數(shù)y二/在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)a的值依次可以是（）

_1_C.g、一1、3D.-1、I3

2

7.若累函數(shù)了=/'與），=/在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，則（）

B./7<—1?0<727<1：

C.-1</7<0,，〃>1;D.n<—1,/M>1.

8.函數(shù)的圖像如圖所示,其中。，。為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

a>\,b>()C.0<?<1,/?>0D.0<?<1,Z?<0

9.若函數(shù)/'(x)=a'+〃的圖象如圖所示，且/(-1)=0,則實數(shù)“，力的值可能為()

,0-函數(shù)①②③④的圖象如圖所示，小4c,〃分別是下列四個數(shù)：J

c,4的值分別是()

B.C.12'13,5A4D.13，12，1“°

432423

11.如圖，曲線①②③④分別是指數(shù)函數(shù)y=/y=bx,y=cx,y=的圖像，則實數(shù)。、從c、d的

C.d<c<b<a\D.c<d<a<b.

12.已知函數(shù)屋工）=優(yōu)+3-2〃（a>0且。*1）的圖象不經(jīng)過第二象限，則々的取值范圍為（）

A.[2,甸B.(2,+8)C.(1,2]D.(1,2)

多重根式的化簡（2023高考有涉及）

13.求值)7+4石+)7-46=______

化笥711+672+J11-6/=--------

14.化簡”—26-"+21=:)

A.B.-273C.2D.-2

化筒下列根式：

⑴J8+4#⑵g-廂⑶)9-4君-J6+2上

15.化簡J〃一(2/-1)(1v〃v2)=.

@分數(shù)型指數(shù)黑的化簡與計算求值（結(jié)合平方公式）

16.化簡或求值:

flf7

(I)x+8。隈物+（容國;

、6

I_3?

(2)(0.25p-(-2)2x(23p+10(2->/3)-IOx305；

I.2

(3)（7十401-81五十32彳-2><（：），十蚯><4-，

21i\(

(4)2出爐-6a2by+一3屋〃6（。>0且〃>0）.

17.已知"[7,則/+/;

18.已知工+'=5,則V+L的值為_________

XX2

已知求下列各式的值，

U?U-J

33

(1)…T；(2)不+/；(3))+—+2.

a2+a~2+3

19.若0vavl,b>0,且八一=一2,則丁+d的值為()

A.2x/2B.±2也C.-2>/2D.限

20.已知x+y=6,xy=4且—y,則

4x+/y

求解析式

21.已知產(chǎn)小）是指數(shù)函數(shù)，若/，|）=/，則/（-￡|=.

22.已知函數(shù)/（力=/+"#（4cZ），若/（“為偶函數(shù)，且在（0,+8）是增函數(shù)，求小）的解析式

23.已知累函數(shù)/"）=（〃/—2,〃-2卜”“2在（0,十口）為減函數(shù)，則八2）=.

24.已知函數(shù)”X）是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/（工）=。+工+1,那么當(dāng)xvO時，/（"的解析式是（)

A.B.----+x-\c.----x+1D.x+\

10v10vIO'10'

IS解不等式

25.若x滿足不等式23Y&J.，則函數(shù)),二2、的值域是()

A.[1,2)B.[-,2]C.(-a>,-]D.[2,+co)

888

26.已知函數(shù)那么不等式/(2x-3)</(5)的解集為.

27,若(〃+])￡<(3-2,廣，求a的取值范圍?

28.已知函數(shù),則不等式/(/一4)〉/(3。)的解集為()

A.(-4J)B.(-1,4)c.(l,4)D.(0,4)

29.不等式(g)-x-3>i的解集是_____

30.已知冢函數(shù)的圖象關(guān)于)，軸對稱，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，求滿足

(a+l)f<(3-2。廣的實數(shù)a的取值范圍.

31.解不等式>>4%-2(。>0且

32.已知函數(shù)/a)=e'-e-',貝I不等式/。-2)+7(Y-4)<。的解集為.

33.已知函數(shù)/5)=€-*-/一3父—5.1+5.若/(0+/(々-4)<10,則實數(shù)”的取值范圍是()

A.a<1B.a<2C.。>1D.a>2

包比大小

34.若〃=出乙=6*=(#則a*、c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

201920212019

35.設(shè)a=f理產(chǎn)，c=f20!2p,則小b,c的大小關(guān)系是()

(2022J1202J12022J

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

36.已知函數(shù)/")=/一r，則。=/(0.4°6)8=/(0.6°6)了=/。4°，的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<hD.a<c<b

37,已知”=2OM=O.33,C=O.3。」，則a,4c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

38.函數(shù)），=5"+廿3的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.[2收）B.（-oo,2]C.S1]D.11")

39.已知函數(shù)=化"），若，（工）在（。，+8）上減函數(shù)，求大的取值范圍.

z[、2x*-3、+1

函數(shù)

40.y=QJ的單調(diào)遞減區(qū)間為（)

VW3

A.(1,伊)B.C.（5）D.-,4-00

4

41,函數(shù))，=(&-的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.[1,+cc)B.(^>,1]C.(1,3)D.(-1.0

42,函數(shù)/（?=（；）際^的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.卜8,g1-6111+6

B.C.D.

2122'22

43.函數(shù)〃力=4'-2向-1的單調(diào)遞增區(qū)間是

44.已知函數(shù)人刈=（3