專(zhuān)題02集合中的含參問(wèn)題(舉一反三專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練)

【人教A版(2019)]

題型梳理

【類(lèi)型1元素與集合關(guān)系中的含參問(wèn)題】..........................................................2

【類(lèi)型2集合中元素個(gè)數(shù)的含參問(wèn)題】............................................................2

【類(lèi)型3根據(jù)集合的相等關(guān)系求參數(shù)】............................................................5

【類(lèi)型4根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)】............................................................8

【類(lèi)型5根據(jù)交集、并集或補(bǔ)集結(jié)果求參數(shù)】.....................................................10

【類(lèi)型6根據(jù)交并補(bǔ)集混合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】.....................................................13

【類(lèi)型7集合新定義中的求參問(wèn)題】..............................................................19

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)集合中含參問(wèn)題的解題策略

集合中的含參問(wèn)題是集合學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)問(wèn)題,也是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，要想解決好此類(lèi)問(wèn)題，

其要點(diǎn)在于能夠正確判斷端點(diǎn)值能否取到，注意考慮空集的情況；含參問(wèn)題的考查題型豐富，有時(shí)以小題

形式出現(xiàn)，有時(shí)出現(xiàn)于解答題之中，求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)常常用到分類(lèi)討論思想，需要靈活求解.

常考的含參類(lèi)型如下：

1.元素與集合關(guān)系中的含參問(wèn)題

(1)解題方法：已知某元素屬于或不屬于集合，求參數(shù)的取值范圍是一種常見(jiàn)題型，一般利用分類(lèi)討論思想

求解.

⑵求解步驟：

①分類(lèi)討論：由元素屬于或不屬于集合入手，進(jìn)行分類(lèi)討論；

②檢驗(yàn)：將所求參數(shù)值回代到集合，利用集合中元素的互異性檢驗(yàn)?zāi)芊駱?gòu)成集合；

③經(jīng)檢驗(yàn)后找出符合條件的參數(shù)值，即可得出最終結(jié)果.

求解過(guò)程中要注意兩點(diǎn)，一是分類(lèi)討論需做到不重不漏，二是一定要將所求得的參數(shù)帶入集合進(jìn)行檢驗(yàn).

2.集合中元素個(gè)數(shù)的含參問(wèn)題

(1)解題方法；對(duì)于集合中元素個(gè)數(shù)的含參問(wèn)題，我們要考慮集合是否為空龕；此類(lèi)題型一般為已知一元一

次或二次方程解集中元素個(gè)數(shù)求參數(shù)，常利用根的判別式求解，要注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為

零.

(2)求解步驟：

對(duì)于一元一次方程，直接進(jìn)行求解即可；

對(duì)于一元一次方程：

①對(duì)集合中的方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否為零進(jìn)行討論：

②當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，利用根的判別式進(jìn)行求解.

3.集合關(guān)系中的含參問(wèn)題

1/22

集合關(guān)系中的含參問(wèn)題主要有兩類(lèi)：一、根據(jù)集合的相笠關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題；二、根據(jù)集合的包含關(guān)系求參

數(shù)問(wèn)題.

（1）根據(jù)集合的相等關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題的解題策略

要求解此類(lèi)問(wèn)題，就要明確兩集合相等的定義，即兩集合中所含元素完全相同，與元素順序無(wú)關(guān)，對(duì)此分

類(lèi)討論集合中元素的所有情況即可，要做到不重不漏.

（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題的解題策略

①解題方法：由兩個(gè)集合間的包含關(guān)系求參是一種常見(jiàn)題型，常利用子集的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程（組）

或不等式（組）求解.

②求解步躲：

第I步，確定兩個(gè)集合中誰(shuí)是誰(shuí)的子集；

第2步，看集合中是否含有參數(shù)，如果子集中含有參數(shù)，要對(duì)子集是否為空集進(jìn)行討論，

第3步，把集合的包含關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）來(lái)求解，求出參數(shù)，最后合并結(jié)果.

4.集合的運(yùn)算中的含參問(wèn)題

（1）解題方法：對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，通常要通過(guò)集合的運(yùn)算結(jié)果得到集合間的關(guān)系,進(jìn)而得到不同集合間元素之

間的關(guān)系，再列方程組或不等式組進(jìn)行求解.

⑵求解步驟：

①通過(guò)集合運(yùn)算結(jié)果，分析得到各集合間的關(guān)系；

②利用集合間的包含關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組或不等式組，進(jìn)行求解.：

③綜合得到最終參數(shù)的取值或范圍，要注意對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).

題型歸納

【類(lèi)型1元素與集合關(guān)系中的含參問(wèn)題】

1.（25-26高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）已知集合4={x|2mX-3>0},若1WA且3WA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是（）

A.||<Tn<||B.||<m<C.|m>D.771-

【答案】A

【解題思路】根據(jù)元素與集合的從屬關(guān)系列式，可求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【解答過(guò)程】由1WA且3”,得已血一濘3解得:〈在靈.

故選：A.

2.（24-25高一上?陜西?階段練習(xí)）若一3￡{。-3,2。一1,決一1},則。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解題思路】由題意得。-3=-3,或2a-1=-3,或。2一1=一3,分別求解a,再由集合元素的互異性驗(yàn)

2/22

證即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)橐?￡{0-3,2。-1,次一1},

所以。-3=-3,或2。-1=-3,或Q2-1=-3,

當(dāng)a—3=-3時(shí)，得Q=0,此時(shí)集合為{-3,-1,一1},不合題意，舍去，

當(dāng)2。-1二一3時(shí)，得。二一1,此時(shí)集合為{-4,一3,0},

當(dāng)。2一1=一3時(shí)，得小二一2無(wú)解，

綜上，Q=-1.

故選：A.

3.（多選）（24-25高一上?四川瀘州?階段練習(xí)）已知集合用={1,血+2,62+4},且5￡M,則m的可能

取值有（）

A.1B.-1C.3D.2

【答案】AC

【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，列式求解，即可得答案.

【解答過(guò)程】由題意知集合M={l,m+2,m2+4},且5€M,

故當(dāng)m+2=5時(shí)，7n=3；

當(dāng)拉2+4=5時(shí)，m=±1,但是m=-l時(shí)，M={1,1,5）,違反集合元素的互異性，

故用的取值可為1,3,

故選：AC.

4.（24-25高一下?上海?階段練習(xí)）若一3￡{a-3,2a-l,a2-i},則0的值為.

【答案】-1

【解題思路】由題意可得。一3=-3或2。-1=一3或。2一1二一3,分別求解后再驗(yàn)證即可.

【解答過(guò)程】解：因?yàn)橐?W{Q—3,2Q—1,Q2—I},

當(dāng)a-3=-3,即a=0時(shí)，，此時(shí)2a-1=Q2-1=-1,不滿(mǎn)足元素的互異性；

當(dāng)2a-1=-3,即。二一1時(shí)，此時(shí)5-3,2。-1,。2-1}二{_4,一3,0},滿(mǎn)足題意;

當(dāng)—1=-3,即。2=-2時(shí)，此時(shí)無(wú)解；

綜上，a=-l.

故答案為：—1.

5.（24-25高一上?云南昭通?階段練習(xí)）已知集合A中有三個(gè)元素，分別為2,x,X2：

（1）求實(shí)數(shù)乃應(yīng)該滿(mǎn)足哪些條件？

3/22

（2）若1”,求％的取值.

[答案]（1）xH2且xH1月H0且x#：±V2

（2）x=-1

【解題思路】（1）根據(jù)集合元素的互異性列不等式來(lái)求得正確答案.

（2）結(jié)合（1）求得正確答案.

x工2

【解答過(guò)程】（1）根據(jù)集合元素的互異性可知士豐X,

lx2H2

解得％H2且％H1且xH0且4H士V2.

（2）由于1W4結(jié)合（1）的結(jié)論可知工工1,

所以%2=1,解得％=-1（%=1舍去）.

6.（24-25高一?江蘇?課后作業(yè)）已知集合力中有三個(gè)元素：a-3,2a-l,a2+l,集合8中也有三個(gè)元素:

0,1,x.

（1）若一364求實(shí)數(shù)Q的值；

（2）若/€&求實(shí)數(shù)x的值.

【答案】（1）。的值為0或一1

（2比的值為一1

【解題思路】（1）若一3W4則°-3=-3或2a-1=-3,再結(jié)合集合中元素的互異性，能求出a的值.

（2）當(dāng)不取0,1,-1時(shí)，都有必￡8,集合中的元素都有互異性，由此能求出實(shí)數(shù)％的值.

2

【解答過(guò)程】（1）集合4中有三個(gè)元素：a-3,2a-l,a+lf-3GA,

a-3=-3或2Q-1=-3,

解得a=0或a=-1,

當(dāng)a=0時(shí)，A=[-3,-1,1},成立；

當(dāng)a=-l時(shí)，A=（-4,-3,2],成立.

???Q的值為0或一1.

（2）集合B中也有三個(gè)元素：0,1,x,X2EB,

當(dāng)X取0,1,-1時(shí)，都有/￡&

???集合中的元素都有互異性，.??”=（），工工1，

???x=-1.

??.實(shí)數(shù)X的值為-1.

4/22

【類(lèi)型2集合中元素個(gè)數(shù)的含參問(wèn)題】

7.（24-25高一上?四川達(dá)州?期中）如果集合4={%hn%2-4x+2=0}中只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)，〃的值為

（）

A.1B.2C.0或2D.1或2

【答案】C

【解題思路】分兩種情況討論集合中方程根的情況，從而確定實(shí)數(shù)〃？的值.

【解答過(guò)程】當(dāng)m=0時(shí)，方程變?yōu)橐?%+2=0,解得％制,滿(mǎn)足集合3md一4%+2=0}有且只有一個(gè)元

素.

當(dāng)mH0時(shí)，方程m/-4x+2=0是一元二次方程.

因?yàn)榧蟵x|mx2-4X+2=0}有且只有一個(gè)元素，

所以△=（-4）2—4mx2=16-8m.解得m=2.

綜上，實(shí)數(shù)m的值為0或2.

故選：C.

8.（24-25高一上?北京?期中）已知集合4={%|?n%2-2%+3=0,m€R},若4中恰有2個(gè)元素，則m的取

值范圍是（）

A.（-<x>,0）U（0,1）B.{0}

C.（-oo,0）U（0,1]D.（一吟

【答案】A

【解題思路】利用集合A的元素個(gè)數(shù)，結(jié)合一元二次方程根的情況列出不等式求解即得.

【解答過(guò)程】由集合力中恰有2個(gè)元素，得方程m/-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

因此h4n、n，解得且秋W0，

（A=4-127n>03

所以ni的取值范圍是（一8,0）u（0,：）.

故選：A.

9.（多選）（24-25高一上?江西贛州?階段練習(xí)）若集合力=[x\（k-l）x2+（k+2）%+3=0}有且只有一個(gè)

元素，則實(shí)數(shù)k的值可以為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】AD

5/22

【解題思路】根據(jù)題意可知，方程（k-l）x2+（/c+2）x+3=0的根只有一個(gè)，分當(dāng)k-1=0和當(dāng)k-1H0

時(shí)，直接根據(jù)方程只有一個(gè)根求解即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)攵-1=0,即k=l時(shí)，力={一1}，符合題意；

當(dāng)A—1H0,即上工1時(shí)，若集合力只有一個(gè)元素，

由一元二次方程根的判別式A=（攵+2/-4x（k-1）x3=0,解得A=4.

綜上實(shí)數(shù)k的值可以為1,4.

故選：AD.

10.（24-25高一下?湖北黃石?階段練習(xí)）已知集合人={%|。%2-1（）%-5=0}中至多有一個(gè)元素，則。的取

值范圍是.

【答案】。=0或?！?5

【解答過(guò)程】對(duì)。分類(lèi)討論，利用一元二次方程的解與判別式的關(guān)系即可得出.

【解題思路】集合4={對(duì)。/-10》一5=0}中至多有一個(gè)元素，貝ij

當(dāng)a=0時(shí)，A={x\—10x—5=0}={-g},

當(dāng)aH0時(shí)，△=100+20a<0,解得Q三一5,

綜上所述，。的取值范圍是：。=0或。工一5,

故答案為：。=0或。工一5.

11.（24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）已知集合力={x|a/+2%+1=0,awR}.

（1）若A中只有一個(gè)元素，求a的值；

（2）若4中至多有一個(gè)元素，求a的取值范圍；

（3）若4中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍.

【答案】（l）a=0或Q=1

（2）a=0或Q>1

⑶a<1

【解題思路】（1）分a=0和QH0進(jìn)行求解：

（2）A中至多含有一個(gè)元素，即4中有一個(gè)元素或沒(méi)有元素，進(jìn)行求解：

（3）A中至少有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)或兩個(gè)元素，進(jìn)行求解..

【解答過(guò)程】（1）當(dāng)Q=0時(shí)，原方程變?yōu)?%+1=0,

此時(shí)％=-；，符合題意：

4

6/22

當(dāng)aH0時(shí)，方程ad+2%+1=D為一元二次方程，

△=4-4a=0,即a=l,

原方程的解為％=-1,符合題意.

故當(dāng)Q=o或Q=1時(shí)，原方程只有一個(gè)解，此時(shí)A中只有一個(gè)元素.

(2)4中至多含有一個(gè)元素，即力中有一個(gè)元素或沒(méi)有元素.

當(dāng)A=4-4Q<0,即Q>1時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

結(jié)合(1)知，當(dāng)Q=0或QZ1時(shí)力中至多有一個(gè)元素.

(3)4中至少有一個(gè)元素，即4中有一個(gè)或兩個(gè)元素，

當(dāng)a=0時(shí)，原方程變?yōu)?%+1=0,此時(shí)次=-5符合題意；

當(dāng)aHO時(shí)，方程a/+2%+1=0為一元二次方程，由ANO得。工1.

綜上可知當(dāng)a41時(shí)，中至少有一個(gè)元素.

12.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知集合A是由關(guān)于x的方程ad+2x+l=O(aeR)的實(shí)數(shù)根組成的

集合.

(I)當(dāng)力中有兩個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)當(dāng)月中沒(méi)有元素時(shí)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)當(dāng)力中有且僅有一個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值，并求出此元素.

【答案】(l)aVl，且QHO

(2)a>1

(3)答案見(jiàn)解析

【解題思路】(1)由一元二次方程根的情況令QH0,且判別式大于零求解即可：

(2)由一元二次方程根的情況令Q工0,且判別式小于零求解即可；

(3)分Q=0與不等于零的情況，當(dāng)QH0時(shí)，令判別式大于零.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)力中有兩個(gè)元素時(shí)，關(guān)于x的方程。產(chǎn)+2%+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以QW0,

且A=4-4a>0,解得a<1,且Q工0.

(2)當(dāng)/中沒(méi)有元素時(shí)，關(guān)于x的方程如2+2%+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以QW0,且A=4-4aV0,解得

a>1.

(3)當(dāng)力中有且僅有一個(gè)元素時(shí)，關(guān)于x的方程a%2+2x+1=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)a=0時(shí)，方程的根為x=—g；當(dāng)QH0時(shí)，令A(yù)=4-4a=0,解得a=l,此時(shí)％=-1.

7/22

綜上所述，當(dāng)Q=0時(shí)，集合4中有且僅有一個(gè)元素一點(diǎn)當(dāng)Q=1時(shí)，集合片中有且僅有一個(gè)元素一1.

【類(lèi)型3根據(jù)集合的相等關(guān)系求參數(shù)】

13.（24-25高一上?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）已知集合4={2,9},B={m2,2}.若A=8,則實(shí)數(shù)小的值為（）

A.3B.2C.±V2D.±3

【答案】D

【解題思路】由集合相等得m2=外解方程即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)榧?={2,9},B={m2,2},且力=從所以巾2=%解得m=±3.

故選：D.

14.（24-25高一下,貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)集合4={l,a,州,B=（a2,a,ab],若A=B,Ma20254-

b2025=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解題思路】根據(jù)4=8得到〃。/）=6或/=/）,ab=l,然后解方程，再根據(jù)集合中元素的互異性得

到￡=0,a=-lf最后計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)/=1,ab=b時(shí)，b=0,。=一1或6任意，Q=1（不符集合元素的互異性，舍）；

當(dāng)=5，。匕=1時(shí)，a=1,b=1,不符集合元素的互異性，

所以6=0.a=-l.a2025+h202S=_r

故選：A.

15.（多選）（24-25高一上?廣西?開(kāi)學(xué)考試）已知集合4={0,1,—。},8={1,匕+2,h，若八二B,貝Ua+b

的值可能是（）

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】BC

【解題思路】利用集合相等，解出對(duì)應(yīng)參數(shù)的值，然后利用元素的性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)榘艘运?或{「2=3,解得{葭X或也蠢乙

則a+匕=0或a+b=—2.

故選：BC.

16.（24-25高一上?安徽?期中）若={o,：,b},Mb-a=.

【答案】2

8/22

【解題思路】由Q為分母可得aw0,再利用集合相等的性質(zhì)計(jì)算即可得解.

【解答過(guò)程】由題意可得QHO,WJ—=0,即匕=1,

a

則a=解得Q=1或Q=—1?

若a=l，則違背集合互異性，舍去；

若。二-1,則有{1,一1,0}={0,-1,1},符合要求；

綜上所述，a=-1,則b-a=1-(―1)=2.

故答案為：2.

17.(24-25高一上?上海嘉定?階段練習(xí))已知力={%+1,/-1},8={4,8}.

(1)求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)當(dāng)A=8時(shí)，求實(shí)數(shù)%的值.

【答案】(1){》ER|工工2旦xw—1)

(2)x=3

【解題思路】(1)利用集合中元素的互異性解方程即可得出結(jié)果；

(2)由集合相等構(gòu)造方程組即可求得％=3.

【解答過(guò)程】(1)由/={%+并根據(jù)集合中元素的互異性可知x+i看％2—1,

即小—%-2H0,解得％R2且xH—1；

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為{x￡R工2且x*一1)：

(2)當(dāng)<時(shí)，可得4或仁［二7

1

當(dāng)巳+廣￡時(shí)，解得“3,當(dāng)代+1r時(shí),無(wú)解；

B-1=8-1二4

所以％=3.

18.(24-25高一上?安徽安慶?階段練習(xí))已知集合力={x\0<ax+l<5},5={x|-1<x<2}.

(1)若/IJ8,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得A=8?若存在求出a的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)aV-8或QN2；

⑵a=2

【解題思路】(1)分a=0,aVO,a>0得到集合4再利用4G8求解；

(2)分Q=0,a<0,Q>0得到集合4,再利用4=B求解；

9/22

【解答過(guò)程】（1）當(dāng)Q=0時(shí)，A=R,4GB不成立；

r4、1

當(dāng)a<0時(shí)，/I=[x|^<x<-lj,因?yàn)?。8,所以{0[2,解得QV-8；

—a<2

1<2

當(dāng)a>0時(shí)，A={x|因?yàn)?￡8,所以\]，解得a22,

~a-^2

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是Q<-8或QN2；

（2）當(dāng)Q=0時(shí)，A=R,4=8不成立；

當(dāng)a<0時(shí)，4={X|￡W%<—十}，A=B,不成立；

-=2

當(dāng)a>0時(shí)，4=-^<%<因?yàn)?=B,所以\「解得a=2；

————

（a2

綜上：實(shí)數(shù)。的值是2.

【類(lèi)型4根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)】

19.（24-25高一上?山東海澤?階段練習(xí)）設(shè)集合4={劃1V%V2）,B=[x\x<a},若力U氏則a的取值

范圍是（）

A.[a\a>2}B.{a\a<1}C.{a\a<1}D.[a]a>2}

【答案】D

【解題思路】根據(jù)集合的包含關(guān)系直接得到參數(shù)的取值范圍.

【解答過(guò)程】因?yàn)锳={x|l<x<2},B={x|x<a}且力工B,

所以a22,即a的取值范圍是{alaN2}.

故選：D.

20.（24-25高一上?江西上饒?階段練習(xí)）已知集合4=g，缶,B=上辰=外若85,則實(shí)數(shù)a的所有

可能取值組成的集合為（）

A-{/B.{澗

C.{0,羽D.{0,澗

【答案】D

【解題思路】由條件可得8=0或2={?或3={七},列方程求a即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)锽GA,l=&9,B={x|ax=i},

10/22

所以8=0或8=匕}或8={*},

若6=0,則方程ax=!的解集為空集，故a=0,

若B={券則方程ax=前且僅有解％=:，故a=

若8={卻則方程=怎且僅有解％=2，故a=6,

故a的所有可能取值組成的集合為{0,a6}.

故選：D.

21.（多選）（24-25高一上?山東日照階段練習(xí)）設(shè)集合A={xGR忱2-8x+15=0},5={%eR\ax+1=0},

若滿(mǎn)足BG4則實(shí)數(shù)a可以是（）

A.0B.一；C.-7D.3

3S

【答案】ADC

【解題思路】求出力={3,5},分8=0,B={3}和B={5}三種情況,得到實(shí)數(shù)a的值.

【解答過(guò)程】A={xER\x2-8x+15=0}={3,5},因?yàn)?GA,

當(dāng)B=0時(shí)，a=0,滿(mǎn)足要求，

當(dāng)8={3}時(shí)，a=_[,當(dāng)8={5}時(shí)，Q=-g，

綜上，a=0或一]或一5

故選：ABC.

22.（24-25高一上,四川眉山?期中）已知集合力={%|1V%W3},B=（x\a4-1<x<a+2},且8G力，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【答案】（0,1]

【解題思路】根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式可求Q的取值范圍.

[解答過(guò)程】因?yàn)锳={幻1<x$3},B={x\a+1<%Sa+2）18J4

所以佇M1所以O(shè)VaWl，

所以a的取值范圍為（0,1].

故答案為：（0,1].

23.（24?25高一上?河南駐馬店,階段練習(xí)）已知集合力={川1WxW2},B={x\l<x<a,a>1].

（1）若/是B的真子集，求Q的取值范圍；

11/22

(2)若3是A的子集，求a的取值范圍；

(3)若力=8,求a的值.

【答案】(1)(2,+8)

(2)1,2］

(3)2

【解題思路】(1)由真子集的定義，確定Q的取值范圍；

(2)由子集的定義，確定Q的取值范圍；

(3)由集合相等求出Q的值.

B

A

［解答過(guò)程］(1)~0~―2七―5

若力是8的真子集，則由圖知，a>2,

故a的取值范圍為(2,+8).

B

~A

(2)"Ox

若B是4的子集，已知QZ1,則8H0,

則由圖知，1Wa42,

故a的取值范圍為［1,2］.

(3)若A=B,則a=2.

24.(24-25高一上,天津?階段練習(xí))已知集合4=+6%+3=0},B+1=0}.

(1)若/G0,求實(shí)數(shù)Q的取值集合.

(2)若力的子集有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值集合.

(3)若1€/1且BG/l,求實(shí)數(shù)匕的取值集合.

【答案】(l){a|a>3}

⑵{0,3}

⑶{0,-L3}

【解題思路】(1)根據(jù)力G0,可得力=0,再分Q=0和QH0兩種情況討論即可；

(2)由題意可得集合4中只有一個(gè)元素，再分Q=0和QHO兩種情況討論即可；

(3)先根據(jù)1C力求出a,進(jìn)而求出集合4再分b=0和b*0兩種情況討論即可.

12/22

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榱0,所以71=0,

當(dāng)a=0時(shí)，則A={—斗，與題意矛盾，

當(dāng)aHO時(shí)，則△=36-12Q<0,解得Q>3,

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值集合為{a|a>3}；

（2）因?yàn)榱Φ淖蛹袃蓚€(gè)，所以集合力中只有一個(gè)元素，

當(dāng)a=0時(shí)，則A={-/符合題意，

當(dāng)aH0時(shí)，則A=36—12a=0.解得Q=3,

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值集合為{0.3}：

（3）因?yàn)?W力，

所以a+6+3=0,解得a=-9,

所以4={x\-9x2+6%+3=0}={-[,1},

當(dāng)6=0時(shí)，8=014

當(dāng)七/0時(shí)，8={—目，

因?yàn)锽G4所以一*=一：或一3=L解得b=3或匕=一1,

綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值集合為{0,-1,3）.

【類(lèi)型5根據(jù)交集、井集或補(bǔ)集結(jié)果求參數(shù)】

25.（24-25高一上?四川成都?期中）設(shè)集合4={x|lVx<2},B=[x\x<a],若力n8=4則a的取值

范圍是（）

A.a>1B.a>2

C.a<1D.a<2

【答案】B

【解題思路】根據(jù)交集的計(jì)算結(jié)果可得集合間的關(guān)系，即可得解.

【解答過(guò)程】由力nB=力知4cB,

又4={x|lV%V2},B=[x\x<a},所以aZ2,

故選：B.

26.（24-25高一上?海南?？?階段練習(xí)）已知集合4={1,2023,a2},8={2023,a+2},若QB={1},則。=

()

13/22

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集的定義，由/=a+2求解.

【解答過(guò)程】解:因?yàn)榧狭?{1,2023,層}1={2023,Q+2},且={1},

所以Q2=Q+2,即次―Q—2=0,解得a=2或Q=—1,

當(dāng)a=2時(shí),A={1,2023,4},B=[2023,4）,符合題意;

當(dāng)a=-1時(shí)，A={1,2023,1}與互異性矛盾,

所以a=2,

故選：B.

27.（多選）（24-25高一上?湖南永州?階段練習(xí)）若集合4=B={x\mx=1},且4u8=4則m

的值可?。ǎ?/p>

A.1D.-1C.0D.任意實(shí)數(shù)

【答案】ABC

【解題思路】理解集合4和8的定義，利用=這一條件推導(dǎo)出m的值.

【解答過(guò)程】由4UB=4可得814所以8中元素可以為一1,1或8為空集，代入相應(yīng)工值，可求得m的值

為1或一1或0.

故選：ABC.

28.（24?25高一上?貴州六盤(pán)水?階段練習(xí)）已知集合4=[l,a+1],8=[2,5],且力C8W0,則a的取值

范圍為.

【答案】[1,+8）

【解題思路】由集合之間的關(guān)系列不等式求解即可.

【解答過(guò)程】集合4二+5=[2,5],且力n8H0,

所以Q+1>2,所以Q，1,

故。的取值范圍為口,+8）.

故答案為：[1,+8）.

29.（24-25高一上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）已知集合A={x|x2-8x4-m=0,zneR},B=[x\ax-1=0,ae

R},且AU8=4

（1）若m=15,求實(shí)數(shù)a組成的集合；

（2）若QB={2},求m,a的值.

14/22

【答案】⑴{o，』

（2）?n=12；a=-6

【解題思路】（1）求得集合4由BGA分類(lèi)討論可得Q值；

（2）由服8={2}得2E42CB,求得m,再求得4從而得集合8,最后可得a值.

【解答過(guò)程】（1）若m=15,可得4={無(wú),2一8%+15=0}={3,5},因?yàn)榱B=/1,所以

當(dāng)B=0,則Q=0；當(dāng)8={3},則Q=3當(dāng)8={5},a=1.

綜上，可得實(shí)數(shù)a組成的集合為{。，3。.

（2）因?yàn)锳=卜—―8%+m=0,mWR卜B={x\ax-1=0,a6R},

且4U8=4QAB={2},所以2E42CB,所以22—8x2+m=0,

解得m=12,解%2一8%+12=0,得X=2或X=6,所以4=[2,6},

所以668,所以6a—1=0,解得a=

30.（24-25高一上?安徽蚌埠?期中）已知集合4={%|-3WxW4},B={x\-2m-1<x<m+1}.

（1）若力nB=4求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）7；/lU8。/,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】（1）{7川771>3}

⑵{m|m>1}

【解題思路】（1）分析可知，AQB,可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）先考慮當(dāng)4UB=A時(shí)，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍，分8=0、B工0兩種情況討論，根據(jù)集合的包含關(guān)系

可得出關(guān)于實(shí)數(shù)小的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍，再利用補(bǔ)集思想可得出當(dāng)4UB工人時(shí)

實(shí)數(shù)根的取值范圍.

【解答過(guò)程】（1）由4n8=A可知AG8,所以，{一部解得機(jī)工3,

因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|mN3}.

（2）考慮當(dāng)=4時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，則8G4，

若E=0,滿(mǎn)足8q4,則m+12m-1,解得mV-*

m+1Z—2m—1

若B手。,因?yàn)?。4所以m+1<4,解得一

—2m—1>—3

所以/4uB=/4時(shí)，HI的取值范圍是W1）,

15/22

所以AU8H4時(shí),?n的取值范圍是{m|m>1}.

【類(lèi)型6根據(jù)交并補(bǔ)集混合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】

31.（24-25高一上?河南省直轄縣級(jí)單位，階段練習(xí)）已知集合P={xl-2<x<10},Q={xll-m<x<l+

m）.若QCCRP=0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.m<3B.m>9C.mW3或mZ9D.3<m<9

【答案】A

【解題思路】由QnCRP=0,得到QGP,分Q=0與QH0討論即可.

【解答過(guò)程】由QACRP=0,得到Q￡P(guān),P=

分兩種情況考慮：

①當(dāng)+即m<0時(shí)，Q=。,符合題意；

②當(dāng)l-77iWl+m,即mN0時(shí)，需

解得：0工小43,綜上得：m<3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（—8,3].

故選：A.

32.（24-25高一上?廣東肇慶?階段練習(xí)）已知U=R,集合4={x\x2-x-2=0）,B={x\mx+1=0},

Br（CuA）=0,則實(shí)數(shù)m=（;

A.一號(hào)或1B.或0C.1或0D.一號(hào)或1或。

【答案】D

【解題思路】求出集合A中方程的解確定4即可求出Q4根據(jù)Bn（C/）=0,分兩種情況m=0和血工0

討論即可.

【解答過(guò)程】由題可知,1={2,—1},則QA={x氏4-1或，￥2},

因?yàn)?={x\mx+1=0},

所以當(dāng)7/1=0時(shí)，8=0,則8n（C/1）=0，符合題意；

當(dāng)執(zhí)工0時(shí)，B=

m

由50（0/4）=0知，一工二-1或一l=2,即m=l或

mm2

綜二所述，實(shí)數(shù)m為?；騃或一5

故選：D.

33.（多選）（2025高一上?江蘇?專(zhuān)題練習(xí)）已知U=RM={%|3%-738-2X},5={X|1<2a-x},若4n

16/22

CuB=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以為()

A.a>2B.Q<2C.a>2D.a<2

【答案】BD

【解題思路】先化簡(jiǎn)集合4B,求出08,由已知得41Q&可得端點(diǎn)間的關(guān)系，從而即可求解.

【解答過(guò)程】解：由題意知力={x\x>3],B=[x\x<2a-1},

???CyB={x\x>2a-1),

由力AQB=A,AcCuB,

貝Ij2a-1M3,解得QW2.

所以選項(xiàng)BD,滿(mǎn)足條件.

故選：BD.

34.(24-25高一上?山東青島?期中)設(shè)集合4=b|x+mNO},F={x|-1<x<5},全集U=R,且(CM)n

3米0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【答案】(一8,1)

【解題思路】先根據(jù)題意得Q4={x|x<-m],再根據(jù)(Q/1)n8,。求解即可得答案.

【解答過(guò)程】由已知得：4={無(wú)卜2-m},則=W%〈一m}，

因?yàn)?={x|-l<x<5},且(RA)n8不0,

如圖：

----------------------->

-1-m5x

則一加>一1,即mvl,則實(shí)數(shù)陽(yáng)的取值范圍為(一8,1).

故答案為:(—8,1).

35.(24-25高一上?江蘇常州階段練習(xí))設(shè)集合力={%|1W%W2},B={x\\x\+a<0].

(I)當(dāng)。二一2時(shí)，求力n8和AU出

(2)若(C〃l)nB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)力C\B=[x\l<x<2},A\JB=(x\-2<x<2]

(2){a[a>-1}

【解題思路】(1)計(jì)算集合8,根據(jù)集合交集并集定義計(jì)算即可；

QQ

(2)由(CM)八B=8可得8cQRA,分>0和<0兩種情況討論即可.

【解答過(guò)程】(1)當(dāng)。=-2時(shí)，B={x\\x\-2<0}={x|-2<%<2},

17/22

所以AOB={x\l<x<2},A\JB=[x\-2<x<2]

(2)由題意,得CRA={洌％V1或x>2},

因?yàn)?C/)nB=B,所以BGC/

①當(dāng)QNO時(shí)，8=0,滿(mǎn)足BIC/;

②當(dāng)QV0時(shí)，B={x\\x\+QV0}={x\a<x<-Q},

所以{X[Q<x<-a}c{x\x<1或%>2},

所以{二;、，解得TWQ<0

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a2-1}.

36.(24-25高一上?江蘇南通?階段練習(xí))在①BCICRA=0：②CR8UA=R：③CRAGCR8這三個(gè)條件中任

選一個(gè)補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并解答.

問(wèn)題：已知集合A=<%￡R|(x-1)(%+2)>0},B=[xER|y=Vx+a,yGR).

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求ACCRB；

(2)若,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【答案】(l)4nCRB={*xv-2}

Q)(-8,-1)

【解題思路】(1)根據(jù)題意，求得A={x|x〈一2或％:>1},B={x\x>-1},結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解；

(2)由4={x\x<-2或3>1}和8={x\x>-a},

若選擇①：得到CRA={%|-2WxW1},結(jié)合集合的運(yùn)算，列出不等式，即可求解.：

若選擇②③，轉(zhuǎn)化為B14列出不等式，即可求得Q的取值范圍.

【解答過(guò)程】(1)由不等式。-1)(%+2)>0,解得不<-2或%>1,可得4={x|xV-2或%>1},

當(dāng)a=1時(shí)，可得8={xeR|y=\!x4-l,yeR)={x|x>-1},則CRB=(x\x<-1},

所以4nCRB={x|x<-2}.

(2)由集合A={x\x<-2或%>1}和8={x\x>-a},

若選擇①：由4={x|x2或x>1},可得CRA={%|-2工x工1),

要使得BnCR4=0,則一a>l,解得av-l,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一%-1)；

若選擇②：由CR8UA=R,即8G4可得-a>l,解得QV-1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-1)：

若選擇③：由CRAGCRB,可得8GA,可得一a>l,解得av-l,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,-1).

18/22

【類(lèi)型7集合新定義中的求參問(wèn)題】

37.（24-25高一上?北京?階段練習(xí)）設(shè)C（M）表示非空集合M中元素的個(gè)數(shù)，已知非空集合AB.定義力隹3=

〔力吸一圾亍rSS,若4="，2},B=3a2+?）（*2+數(shù)+2）=0}且力九B=1,則實(shí)數(shù)a的所

（.C（H）—C{A）,C[A）<C^b）k1>

有取值為（）

A.0B.0,-2'j2C.0,2V2D.-272,0,2或

【答案】D

【解題思路】由題意可得集合8中的元素個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè)，分集合8中的元素個(gè)數(shù)為1和集合B中的元素個(gè)

數(shù)為3兩種情況，再結(jié)合一元次方程根的個(gè)數(shù)求解即可.

【解答過(guò)程】解：由Ct2+ax）（x2+ax+2）=0可得％2+ax=0或/+以+2=0,

又因?yàn)锳={1,2},A0B=1,

所以集合8中的元素個(gè)數(shù)為1個(gè)或3個(gè)，

當(dāng)集合B中的元素個(gè)數(shù)為1時(shí)，則X2+Q%=0有兩相等的實(shí)數(shù)根，且工2+。工+2=0無(wú)解，

所以[2曲：0八，解得a=0；

當(dāng)集合8中的元素個(gè)數(shù)為3時(shí)，則d+ax=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，且/+ax+2=0有兩個(gè)相等且異于

方程/+ax=0的根的解，

所以1A02*2八，解得Q=2&或Q=—2或’

綜上所述，Q=0或a=2或或a=-2&.

故選：D.

38.（24-25高一上?海南三亞?期中）設(shè)集合M={1,2,3,4,5},5I，S2???S”都是M的含有兩個(gè)元素的子集，且

滿(mǎn)足：對(duì)任意的Sj={即a}、S,=①,“}（iHj,i,jG{1,2,3,…,k}）都有min{,胃Hmin島W，（min{x,y}表

示兩個(gè)數(shù)x,y中的較小者），則k的最大值是（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，首先分析出集合M的所有含2個(gè)元素的子集數(shù)目，進(jìn)而對(duì)其特殊的子集分析排除，

注意對(duì)min償，制Hmin色斗的把握，即可得答案.

3a（J助aj）

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，對(duì)于集合M,含2個(gè)元素的了?集

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}共10個(gè)，

19/22

其中（1,2},{2,4}只能取一個(gè),

故滿(mǎn)足條件的2個(gè)元素的集合有9個(gè).

故選：C.

39.（多選）（24-25高一上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，且互不為對(duì)方的子集時(shí)，我們

稱(chēng)這兩個(gè)集合“相交對(duì)于集合乂={刈?！?-1=（）},N=《,l},若集合M與N“相交”，則a筆于（）

A.4B.2C.1D.0

【答案】AC

【解題思路】根據(jù)兩個(gè)集合“相交”的定義，利用元素與集合的關(guān)系求解即可.

【解答過(guò)程】由題意，集合M與N“相交”，

當(dāng)時(shí)，由1Q-1=0,解得a=4,

24

2

此時(shí)方程4x-1=0的解為與二一5x2=$則M={-3"}，滿(mǎn)足集合M與N“相交”：

當(dāng)1WM時(shí)，由Q-1=0,解得Q=1,

此時(shí)方程/-1=0的解為%「-I,全=1，則用={-1,1}，滿(mǎn)足集合M與N“相交”；

綜上所述，。=4或。=1；

故選：AC.

40.（24-25高一上?福建福州?期中）已知集合4={勺,。2，。3…%}-N”,其中nGNUn>3,ax<a2<a3<

…<a"，若對(duì)任意的，yWA（xWy）,都有|x-y|N2,則稱(chēng)集合A具有性質(zhì)若集合A={2,3,5,TH}具

K

有性質(zhì)Mg，則機(jī)的最小值為.

【答案】14

【解題思路】根據(jù)新定義列不等式組求解即可.

【解答過(guò)程】不妨設(shè)山之6,

①當(dāng)?n=6時(shí)，由6—5〈即，不滿(mǎn)足題意；

O

②當(dāng)m>6時(shí)，由性質(zhì)M定義知：

8

2>m

巾--m>

-4-一3

->>

33m-

m-m-24-

85=>?n>y,且mGN",

->>

m5-5m--40-

8rn3

所以機(jī)的最小值為14,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故答案為；14.

20/22

41.(24-25高一上?海南?？?階段練習(xí))定義兩種新運(yùn)算“十”與“③”，滿(mǎn)足如下運(yùn)算法則：對(duì)