§3.6利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

【考試要求】導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的常考題型，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與極值、

數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針

對不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果.

題型一將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

例1(2023?濰坊模擬)已知函數(shù)/)=9一0￥—〃，r/GR.

⑴討論;U)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)。=1時(shí)，令g(%)=季%正明：當(dāng)A>0時(shí)，g(x)>l.

(1)解函數(shù)40=&'—公:一。的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/(X)=ex—a,

當(dāng)oWO時(shí)，/0)>0恒成立，即7U)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。>0時(shí)，令f。)=F一a>0,解得x>hia,令f(x)v0,解得xvlna,

即風(fēng)丫)在(一8,In〃)上單調(diào)遞減，在(】na,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，人工)在(一為，+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)”>0時(shí)，?r)在(-8,hl4)上單調(diào)遞減，在(In4,+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明當(dāng)。=1時(shí)，g(x)=2(ej_D,

iy21I1

2(e'c—x—1)r22ATXTi

當(dāng)A>0時(shí)，--------i------>1Oex>1-----3-----<1,

p--1—

令A(yù)(x)=-----G-----—1?x>0,F'(x)=jv()恒成立,則尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

%+x+l

F(x)<F(O)=u)-1=0,因此---Q-----<1成立，

所以當(dāng)Q0時(shí)，g(x)>l,即原不等式得證.

思維升華待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般見，可以直接構(gòu)造“左減右”的藥數(shù)，

有時(shí)對復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和

最值即可得證.

跟蹤訓(xùn)練1設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)｛r)=e'—2x+2mx￡R.

(1)求7U)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)求證：當(dāng)?>ln2—1且A>0時(shí)，e>x1-2ax+1.

⑴解由/U)=eJ2x+2HxWR)知，f(x)=ex~2.

令，(x)=0,得x=ln2,

當(dāng)xvln2時(shí)，/(A)<0,

函數(shù)人工)在區(qū)間(-8,In2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>ln2時(shí)，/(x)>0,

函數(shù)yU)在區(qū)間(In2,+?=)上單調(diào)遞增,

所以人丫)的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,In2),單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+-),

大幻的極小值為川n2)=e,n2-21n2+2a=2-21n2+2a,無極大值.

(2)證明要證當(dāng)a>\n2—I且A>0時(shí)，

e'x2-2ax+1,

即證當(dāng)?>ln2—1且A>0時(shí)，

er—x2+2t/x—1>0,

設(shè)g(x)=er—1+2以—

則g'(x)=e]—2r+2a,

由(1)知g'(x)min=2-21n2+2a,

又<7>ln2—1,則g'U)min>0,

于是對WX6(0,4-00),都有屋Q?o,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

于是對Vx>0,都有g(shù)(x)>g(0)=0,

即ev-x2+2ox—1>0,

故eX2—2at+1.

題型二將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較

例2(2023?蘇州模擬)已知函數(shù),")=elnx-ax(a^R).

(1)討論凡T)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=e時(shí)，證明人幻一號+2eW0.

(1)解函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

zee—ax

-f[x)=--a=——(.v>0),

人人

???當(dāng)aWO時(shí)，/'(x)>0在[0,+8)上恒成立，故函數(shù)4。在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，由，(x)>(),得0<式4，由，(x)v(),得心點(diǎn)即函數(shù)/U)在區(qū)間(0,習(xí)上單調(diào)遞

增，在(%+8)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，7U)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)。>0時(shí)，/(x)在區(qū)間(0,習(xí)上單調(diào)遞增,

在(泉+8)上單調(diào)遞減.

(2)證明證明./U)—,+2eW0,只需證明2e,

-V-V

由(1)知，當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)凡r)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

?\/(X)max=/U)=-e.

(x—1

令g(x)=;-2e(x>0),則g'(x)=L77,

人人

???當(dāng)x￡(0,l)時(shí),g'。)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x￡(l,+-)時(shí)?，/(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

:.g(X)min=^(1)=-e,

???當(dāng)?shù)?gt;0,o=e時(shí)，.人工)一§+2e<0.

思維升華若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而

找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo).本例中同時(shí)含Inx與不能直接構(gòu)造的數(shù)，把

指數(shù)與對數(shù)分離兩邊，分別計(jì)算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明.

跟蹤訓(xùn)練2(2023?合肥模擬)已知函數(shù)Ax)=ev+.?-A—1.

⑴求於:)的最小值;

(2)證明：er+xlnx+x2—2Ao.

(1)解由題意可得f(x)=ev+2A—1,

則函數(shù)/'(x)在R上單調(diào)遞增，且/'(0)=0.

由/'(此>0，得Q0;

由/'(x)v0,得xvO.

則應(yīng)力在(一8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故人幻|曲=/(0)=0.

(2)證明要證ev4-xlnx+f—2。0,

即證e'+f—x-1>—xlnx+x—1.

由(1)可知當(dāng)x>0時(shí)，兒6>0恒成立.

設(shè)g(x)=~x\nx+x—I,.v>0,

則g，(x)=—Ex.

由g'(x)>0,得0<x<l；

由g'(x)<。，得Ql.

則g(x)在。1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

從而g(x)Wg(l)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號成立.

故7U)>g(x)，即e*+Nnx+x2—2r>0.

題型三適當(dāng)放縮證明不等式

例3已知函數(shù)./U)=aex~1—inA—1.

(1)若。=1,求yu)在(1,小1))處的切線方程；

(2)證明:當(dāng)心1時(shí)，危)20.

(1)解當(dāng)4=1時(shí)，

fix)=ev-1—InA-l(x>0),

f(A)=er-,-pk=f(1)=0,

又yu)=o,

???切點(diǎn)為(i,o).

???切線方程為y-0=0(x-l),即y=0.

(2)證明???心1,

???加)。"-1一4x-l.

方法一令^(x)=ev-,-lnx-lCv>0),

：.(p'(r)=ev-1—

令A(yù)(x)=er-1—

X

.\hf(x)=et-1+^>0,

???“(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又“(|)=o,

工當(dāng)(0,1)時(shí)，(p1(x)<0；

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，/(石>0,

???奴處在(0,1)上單調(diào)遞減，

在(1,+8)上單調(diào)遞增，

：?0(x)min=。(1)=0,

???9(x)20,

?\信)云夕(4)20,

即yu)2o.

方法二令"(工)=ev—X—1,

(X)=」一］.

當(dāng)X￡(—8,0)時(shí)，記(￡<0；

當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，短(萬00,

?“(處在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

，g(X)min=g(0)=0,

故e'2x+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”.

同理可證Inx￡x—1,

當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取“=”.

由eXex+ineLi2%(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取“=”)，

由x-121nx0x21nx+l(當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取“=”)，

/.er-l^A>lnx4-1,

即beinx+1,

即-lnx-120(當(dāng)且僅當(dāng)工=1時(shí)取“=”)，

即7U)20.

思維升華導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是爐和加工與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對于這

類問題，可以考慮先對廿和Inx進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明.常見

的放縮公式如下：

(1)^21+工，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號：

(2)lnx<x-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號.

跟蹤訓(xùn)練3(2022?南充模擬)已知函數(shù)y(x)=ar—sinx.

⑴若函數(shù)次制為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)4的取值范圍；

(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，ev>2sinx.

(1)解*.'J(x)=ax—sinx,:.f(x)=?！猚osx,

由函數(shù)火X)為增函數(shù)，則/。)=4-COSX20恒成立，

即42cosx在R上恒成立，

Vy=cosx€[—1?1]?

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是“，+8).

(2)證明由(1)知，當(dāng)”=1時(shí)，?r)=x—sinx為增函數(shù)，

當(dāng)A>0時(shí)，fix)>flO)=O^X>s\nx,

要證當(dāng)x>0時(shí)，ev>2sinx,只需證當(dāng)x>0時(shí),e'>2v,

即證ev—2A>0在(0,+8)上恒成立，

設(shè)月。)=^一2(>0),則g'(x)=e，一2,令g'(x)=0解得x=ln2,

??遙(處在(0,也2)上單調(diào)遞減，在(In2,+8)上單調(diào)遞增,

???g(x)min=g(ln2)=e,n2—2ln2=2(1—In2)>0,

???g(x)2g(ln2)>0,:.ev>2r成立，故當(dāng)x>0時(shí),er>2sinx.

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

1.已知函數(shù)人幻=依+仙]X，且曲線在點(diǎn)(e,1Ae))處的切線與直線4x—y+1=0平行

(I)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)求證：當(dāng)A>0時(shí)，flx)>4x—3.

⑴解危)的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=lnx+l+a,

由題意知，/'(e)=2+a=4,則〃=2.

(2)證明由(1)知，/x)=Zrd-Alnx,

令g(x)=fix)—(4x—3)=xlnx—2v+3,

則g'(x)=inx—1,

由Inx—1>0得x>e,由Inx—1<0得0<v<e,

故g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

g(x)min=g(c)=3—e>0,

即g(x)>0,即?>4k3.

2.(2023?淄博模擬)已知函數(shù)7U)=e'-v-l.

(i)求函數(shù)yu)的單調(diào)區(qū)間和極值：

(2)當(dāng)時(shí)，求證：府)+x+12++cosx.

(I)解易知函數(shù)/5)的定義域?yàn)镽,

'：flx)=e-x~1,:(x)=ex-l,

令/㈤乂)，解得x>0,兀0在(0,+8)上單調(diào)遞增，

令/(幻<(),解得x<0,令)在(一8,0)上單調(diào)遞減,

即7U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),

，函數(shù)人x)的極小值為)0)=0,無極大值.

(2)證明要證/(x)十x十1eg^+cosx,

即證U-cosx》()，

設(shè)g(K)=er—%2—COSX,要證原不等式成立，即證gCv)20成立,

■:g'Cv)=er—x+sinx,sin-I,

，屋(x)=ev—x+sinxee‘一x一1

(當(dāng)且僅當(dāng)入二-百卜2E,kuZ時(shí)等號成立)，

由(1)知，e'—x—120(x=0時(shí)等號成立)，

???屋(x)>0,???g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

，在區(qū)間［0,+°°)±,g(x)2g(0)=0,

:.當(dāng)x20時(shí)，y(x)+x+12/+cosx得證.

q綜合提升練

3.已知函數(shù)/x)=xlnax.

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，求函數(shù)兒I)在(0,+8)上的最值：

19

(2)證明：對一切x￡(0,-Foo),都有l(wèi)nx+l>FT一石成立.

(1)解函數(shù)yu)=xlnx—at的定義域?yàn)?0,+°°),

當(dāng)a=—［時(shí)，Ax)=xlnx+x,f(x)=lnx十2,

由/'(?=()，得x=［，

當(dāng)0<x生時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)時(shí)，/(A)>0,

所以府)在(o,2)上單調(diào)遞減，在R,+8)上單調(diào)遞增，

因此人處在X=P處取得最小值，即/(X)min=/(E)=-p,無最大值.

1?

(2)證明當(dāng)x>0時(shí)，lnx+1>工"百一石，

Cc人

X2

等價(jià)于Mlnx+1)>衣7-二，

ev

由(1)知，當(dāng)a=-1時(shí)，4)=xlnx+x2一白，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

X9

設(shè)G(x)=a「l—72?x￡(0,+8),

VC

則G'(幻=「I，易知G(X)max=G(l)=—%,

VC

I?

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取到，從而可知對一切x￡(o,+°°),都有./(x)>G(x),即Inx+1>-JT—苕

vC.

W拓展沖刺練

4.(2022?新高考全國II)已知函數(shù)段)=朧小—院

(I)當(dāng)。=1時(shí)，討論/U)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)A>0時(shí)，《X)〈一1,求a的取值范圍；

⑶設(shè)"WN,，證明：品+志+…+^7皿”+1).

⑴解當(dāng)a=\時(shí)，y(x)=(x-l)ev,x￡R,

則/(x)=xev,

當(dāng)XVO時(shí)，f(x)<0,

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,

故yu)在(-8,o)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)解設(shè)aa)=xe"、-ex+l,

則砥)=0,

又/?'(1)=(1+or)ear—e',

設(shè)尺。)=(1+以把以一^,

則g'a)=(2a+，x)em-e\

“1

右a>5，

則g'(0)=2d—1>0,

因?yàn)槲?幻為連