第04講空間直線、平面的垂直考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會簡單應(yīng)用．1.直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條________直線垂直，那么該直線與此平面垂直_______________________________________________________性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線______________________________?a∥2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是____________，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的______，那么這兩個平面垂直______________________?α⊥性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的______，那么這條直線與另一個平面垂直____________________________________________?1．若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線．2．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．5．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．下列說法中正確的是①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直②若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α③若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b④若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面⑤若α⊥β，a⊥β，則a∥α⑥兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面⑦平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2.(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β3.如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是（

）A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PCD4．“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直”是“直線與平面α垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C.充要條件 D．既不充分也不必要條件考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點,F是DC上的點,且DF=AB,PH為△PAD中邊AD上的高.求證:(1)PH⊥平面ABCD;(2)EF⊥平面PAB.【對點演練1】.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【對點演練2】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱CD，A1D1的中點．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點P的位置，若不存在，說明理由．考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2（2023·河南安陽期末）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，點E，F(xiàn)分別為CD，CB中點．求證：(1)PA⊥EF；(2)平面PAD⊥平面PBC.【對點演練1】如圖，四棱錐的底面是邊長為a的菱形，平面平面，為的中點.求證：平面平面.【對點演練2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA＝PD＝AD＝2，∠BAD＝60°，Q為AD的中點．(1)求證：AD⊥平面PQB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PM＝12PC，求四棱錐M-ABCD考點三平行、垂直關(guān)系的綜合問題例3（2023·河北石家莊模擬）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M為棱AC的中點，AB＝BC，AC＝2，AA1＝2.(1)求證：B1C∥平面A1BM；(2)求證：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時BNBB【對點演練】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，M為線段PC上的動點，N為線段BC的中點．(1)若M為線段PC的中點，證明：平面PBC⊥平面MND；(2)若PA∥平面MND，試確定點M的位置，并說明理由．1.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點，且滿足MP＝MC，則點M的軌跡為()2.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在線段AB上存在點E，使得EC1⊥ED，則實數(shù)t的取值范圍是________.1.若平面平面，直線，直線，且，則A. B.且 C. D.和中至少有一個成立2.若l為一條直線，為三個互不重合的平面，則下列命題正確的是（

）A． B．若C． D．若3．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有以下四個命題：①若∥，，則∥，②若，，則，③若，，則∥，④若，，，則其中正確的命題是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②4.如圖，在四面體D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE5．(2017·全國卷Ⅲ)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC6.如圖，為正方體，下列錯誤的是（

）A．平面B．C．平面平面D．異面直線與所成的角為60°7．（多選）已知，為不同的直線，，為不同的平面，則下列說法錯誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則8．（多選）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9.（多選題）如圖，在棱長均相等的正四棱錐P﹣ABCD中，M、N分別為側(cè)棱PA、PB的中點，O是底面四邊形ABCD對角線的交點，下列結(jié)論正確的有（）A.平面OMN B.平面平面OMNC. D.平面OMN10．給出下列四個命題：①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線．其中正確的命題共有個．11.四面體P-ABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC，O為AB中點，請從以下平面中選出兩個相互垂直的平面________．(只填序號)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC.12.如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，求證：平面ABC13.如圖，三棱柱中，，，.證明.14．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，E為PB的中點．(1)求證：EO平面PDC；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD．15.如圖所示