第16講導(dǎo)數(shù)中的雙變量與多變量問(wèn)題【典型例題】例1．（2024·高三·湖北荊門·階段練習(xí)）已知函數(shù)，是大于0的常數(shù).記曲線在點(diǎn)處的切線為，在軸上的截距為，．(1)當(dāng)，時(shí)，求切線的方程；(2)證明：.例2．（2024·高三·云南曲靖·階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在處的切線垂直于直線，對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，有，求證：.例3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的極值；(2)已知，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．例4．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：.例5．（2024·高三·四川成都·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞減；(2)若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：．例6．（2024·高三·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若，使得，求證：．例7．（2024·高三·福建福州·期中）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性(2)已知，，若存在，使得成立，求證：．例8．（2024·高三·山西呂梁·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．二、多選題2．（2024·廣東廣州·一模）已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（2024·高三·浙江寧波·期末）已知，，，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有最大值C．若，則D．若，且，則三、填空題5．（2024·山西臨汾·模擬預(yù)測(cè)）已知，恒成立，則．四、解答題6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若，為的零點(diǎn)，且，證明：．7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)為實(shí)數(shù).(1)討論函數(shù)的極值；(2)若存在滿足，求證：.8．（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9．（2024·高三·北京·開學(xué)考試）已知.(1)若，求在處的切線方程；(2)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)時(shí)，.10．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.11．（2024·高三·甘肅·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若有2個(gè)極值點(diǎn)，求證：.12．（2024·四川·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若有2個(gè)零點(diǎn)，證明：．13．（2024·高三·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若方程有兩個(gè)不相等的根，且的導(dǎo)函數(shù)為，證明：．14．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)且，證明：．15．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.16．（2024·高三·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．17．（2024·高二·湖南·期末）設(shè)，，，函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，其中，試比較與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．18．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在不相等的