第17講導(dǎo)數(shù)的極值1.函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值．2.函數(shù)的極值的辨析(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念,是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值相比較是最大的或是最小的,因而端點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn).(2)函數(shù)在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)極大值或極小值不一定唯一,也可能不存在,并且函數(shù)的極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系.(3)函數(shù)的極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能不是函數(shù)的極值點(diǎn).(4)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值考點(diǎn)二利用函數(shù)的極值求參數(shù)值考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值例1．函數(shù)（

）A．有極大值1，無(wú)極小值 B．無(wú)極大值，也無(wú)極小值C．有極小值0，極大值1 D．有極小值1，無(wú)極大值【答案】D【分析】直接求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即可得到答案.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，無(wú)極大值，故選：D.例2．已知，下列說(shuō)法正確的是（

）A．無(wú)零點(diǎn) B．單調(diào)遞增區(qū)間為C．的極大值為 D．的極小值點(diǎn)為【答案】C【分析】由的定義域?yàn)?，可判定B不正確；求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值的概念，可判定C正確，D不正確；結(jié)合單調(diào)性和，可判定A不正確.【詳解】由函數(shù)，可得定義域?yàn)椋訠不正確；又由，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，無(wú)極小值，所以C正確，D不正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以A不正確.故選：C.考點(diǎn)二：利用函數(shù)的極值求參數(shù)值例3．若函數(shù)在處取得極值2，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)處的極值為2，列方程解方程得到，，即可得到.【詳解】解：，，又函數(shù)在處取得極值2，則，且，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足要求，所以．故選：A．例4．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】∵有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，∴在上有2個(gè)不同的零點(diǎn)，∴在有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故選：B考點(diǎn)三：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題例5．已知函數(shù)，則的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．由參數(shù)確定 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，解得或，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，故有個(gè)極值點(diǎn).故選：D例6．（2023·寧夏銀川·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)校考一模）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)求定義域，求導(dǎo)，觀(guān)察出導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到，對(duì)求定義域，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值，最值，得到，判斷出.【詳解】的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，且，，所以，．的定義域?yàn)?，由，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取得極大值，也是最大值，，即．所以．故選：A一、單選題1．已知函數(shù)，則的極小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值的步驟及函數(shù)的極小值的定義即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)樗?，令，則，解得或（舍），x2－0＋單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此表可知，當(dāng)時(shí)，的取得極小值為.故選：D.2．?dāng)?shù)列在時(shí)有（

）A．不存在極值 B．既有極大值也有極小值C．極小值 D．極大值【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)極值的概念，求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以函數(shù)在時(shí)取得極大值，無(wú)極小值.故選：D.3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)C．在區(qū)間上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)D．在區(qū)間上存在極大值點(diǎn)【答案】D【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)圖像的正負(fù)性，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而逐一對(duì)選項(xiàng)辨析即可.【詳解】由圖可知，在區(qū)間為負(fù)，單調(diào)遞減，在區(qū)間為正，單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)附近左右兩邊的值一正一負(fù)，故有3個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；由選項(xiàng)B可知，只能判斷在區(qū)間上有3個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)?shù)?個(gè)極值都小于0時(shí)，至多只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)?shù)?個(gè)極值有正有負(fù)時(shí)，至少有1個(gè)零點(diǎn)，所以無(wú)法判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，故C錯(cuò)誤；在區(qū)間上為正，單調(diào)遞增，在區(qū)間上為負(fù)，單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，故D正確；故選：D.4．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)均大于零可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同正根，即有兩個(gè)不同正根，所以解得，故選：A.5．函數(shù)的極小值是（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值.【詳解】解：定義域?yàn)?，所以，所以?dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，該值為.故選：C6．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，在時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，且，且函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，等價(jià)于直線(xiàn)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故選：B7．已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求導(dǎo)，由題設(shè)得必有兩個(gè)不等的實(shí)根，再利用判別式求解即可.【詳解】由題意知，定義域?yàn)镽，，要使函數(shù)有極值，則必有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，解得.故選：D.二、填空題8．函數(shù)的極大值為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極大值.【詳解】的定義域是，，令解得，所以，在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減；所以的極大值為.故答案為：9．已知，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則值為_(kāi)_______【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，又是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).故答案為：.10．若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解即可求解.【詳解】由已知得，若函數(shù)在上有極值點(diǎn)，則在上有解，即，解得．故答案為：11．設(shè)函數(shù)在和處均有極值，且，則______．【答案】【分析】由題可得，從而可求的值.【詳解】由題可得，∵在和處有極值，且，∴，即，∴，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，∴.故答案為：.12．函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意得到關(guān)于a的不等式，求解得答案．【詳解】由，得，∴，函數(shù)單調(diào)遞減，，函數(shù)單調(diào)遞增，由函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，可得，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．13．函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】由題意可知有兩個(gè)不相等的實(shí)根，從而可可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：三、解答題14．已知函數(shù)，且在點(diǎn)處的切線(xiàn)與平行．(1)求切線(xiàn)的方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．【答案】(1)(2)增區(qū)間，減區(qū)間，極小值點(diǎn)為2，無(wú)極大值點(diǎn)【分析】（1）求導(dǎo)，然后通過(guò)列方程求出的值，代入求出，利用點(diǎn)斜式可求出切線(xiàn)的方程；（2）令，求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間可得極值點(diǎn).【詳解】（1）由已知，在點(diǎn)處的切線(xiàn)與平行，，解得，，切線(xiàn)的方程為，即；（2）由（1）得，令，得，令，得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極小值點(diǎn)為2，無(wú)極大值點(diǎn).15．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；(2)求證：函數(shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)．【答案】(1)函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，確定在上的正負(fù)得單調(diào)性；（2）令，求出得的單調(diào)性，從而得在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得證的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，，因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)遞增．（2）證明：令，則，當(dāng)時(shí)，，h（x）單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以存在唯一，使得，隨著x變化，的變化情況如下；x+0-遞增極大值遞減所以f（x）在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)．16．已知函數(shù)有