第03講等比數(shù)列及其前項和(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：等比數(shù)列基本量的運算題型二：等比數(shù)列的判斷與證明題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)角度2：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問題第一部分：知第一部分：知識點精準記憶1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母()表示．數(shù)學(xué)語言表達：，為常數(shù)，.(2)等比中項如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即：是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等比數(shù)列的首項為，公比是，則其通項公式為；可推廣為.(2)等比數(shù)列的前項和公式：當時，；當時，.3.等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和．(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為()．(3)若數(shù)列，是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：等比數(shù)列基本量的運算典型例題例題1．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）已知正項等比數(shù)列前項和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【詳解】因為，所以設(shè)公比為q，可得：，兩式相除得：故選：A例題2．（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一期末）設(shè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，，則公比（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】因為為等比數(shù)列，所以，所以，則，又單調(diào)遞增，所以，解得：，，則，因為，所以．故選：A例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項和，若，，成等比數(shù)列，則________．【答案】【詳解】因為，，成等比數(shù)列，即解得或（舍）故答案為：例題4．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)；(2)，，或，；(3)9；(4)±4.(1)等比數(shù)列中，，，；(2)等比數(shù)列中，，，，；當時，，當時，，，或，；(3)等比數(shù)列中，，，，；(4)等比數(shù)列中，設(shè)公比為q，∵，，∴，兩式相除并化簡得，，解得或，當時，，，當時，，，綜上，或．題型歸類練1．（2022·四川·鹽亭中學(xué)高二開學(xué)考試）設(shè)是等比數(shù)列的前n項和，，，則首項（

）A． B．12 C．1或 D．3或12【答案】D【詳解】是等比數(shù)列的前n項和，，，∴當公比q＝1時，，此時滿足題意，當公比q≠1時，，解得，∴首項的值為3或12．故選：D．2．（2022·北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，.故選：C3．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列．(1)如果，，求公比和；(2)如果，，求公比和．【答案】(1)，(2)，(1)由已知.即，；(2)由已知，即，.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，.(1)求的通項公式；(2)記為的前項和，若，求.【答案】(1)或(2)或（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得：，即，解得：或，或.（2）當時，，解得：；當時，，解得：；綜上所述：或.題型二：等比數(shù)列的判斷與證明典型例題例題1．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由，得（，），兩式相減得，（，），則（，）．又時，，所以此數(shù)列從第2項起是公比為4的等比數(shù)列，所以（，），則．故選：A．例題2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（文））數(shù)列中，若，，（，），則_________．【答案】【詳解】由題意知：，又由得，故數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，故.故答案為：.例題3．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式，判斷它是否為等比數(shù)列．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)是(2)是(3)是(4)不是(1)由已知，，又故數(shù)列是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列；(2)由已知，，又故數(shù)列是以8為公比，16為首項的等比數(shù)列；(3)由已知，，又故數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列；(4)，等比數(shù)列中各項均不能為0，故數(shù)列不是等比數(shù)列.例題4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（文））已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：為等比數(shù)列.【答案】(1)證明見解析(1)證明：因為，所以當時，，可得；當時，由可得，所以，所以.即是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，.題型歸類練1．（2022·甘肅·高臺縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））數(shù)列的前項和為，且滿足，，則________.【答案】.【詳解】因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為2．（2022·天津河?xùn)|·高二期末）若數(shù)列的通項公式，其前5項和___________【答案】【詳解】數(shù)列的通項公式，則，故數(shù)列首項為2公比為2的等比數(shù)列，所以故答案為：3．（2022·山東淄博·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)證明：為等比數(shù)列，并寫出它的通項公式：【答案】(1)證明見解析，(1)解：因為①，當時，解得，當時②，①②得，即，即，所以，，所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，所以.4．（2022·山西臨汾·一模（理））已知數(shù)列的前n項和為，滿足(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析(1)證明：由題可知，①②得∶，即當時，由①知所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對任意等比數(shù)列，下列說法一定正確的是（

）A．成等比數(shù)列 B．成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列 D．成等比數(shù)列【答案】D【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，因此一定成等比數(shù)列．故選：D.例題2．（2022·四川成都·高一期末（文））已知在遞減等比數(shù)列中，，，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【詳解】由，且可解得，因此可得等比數(shù)列的公比為，所以故選：A例題3．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二期中）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A． B． C．10 D．【答案】C【詳解】∵，∴，∴.故選：C.例題4．（2022·陜西渭南·高二期末（文））已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【詳解】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B例題5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，前項和為，則其偶數(shù)項為（

）A．15 B．30C．45 D．60【答案】D【詳解】設(shè)，則，又因為，所以，所以.故選:D例題6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當時，，不合題意；當時，等比數(shù)列前項和公式，依題意.故選：A例題7．（多選）（2022·浙江·高二期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】AD【詳解】因為，，，所以，，所以，故A正確.，故B錯誤；因為，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以無最大值，故C錯誤；又，，所以的最大值為，故D正確.故選：AD題型歸類練1．（2022·全國·高二）已知等比數(shù)列中，，，則公比（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【詳解】等比數(shù)列滿足，.故選：D2．（多選）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的為（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【詳解】對于A項，，得，，故A正確；對于B項，當時，，但，故B錯誤；對于C項，，，，即，故C正確；對于D項，當時，，但，故D錯誤；故選：AC3．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在等比數(shù)列中，若，是方程的兩根，則_________.【答案】【詳解】若，是方程的兩根，則∵數(shù)列為等比數(shù)列，則故答案為：．4．（2022·廣東·佛山市第四中學(xué)高二階段練習(xí)）等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．10 B．70 C．30 D．90【答案】B【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，，成等比數(shù)列∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）∴400＝10·（S30－30）∴S30＝70故選：B.5.（2022·全國·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列的前項和為，若，，則的值為（

）A．16 B．48 C．32 D．63【答案】D【詳解】因為為等比數(shù)列的前n項和，結(jié)合條件，所以，，成等比數(shù)列，所以，即，解得Sn=63.故選D.6．（2022·全國·高二）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項為1，奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)，又由數(shù)列的奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則，故；故選：7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知正項等比數(shù)列共有項，它的所有項的和是奇數(shù)項的和的倍，則公比______.【答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，由，得，因為，所以，所以，.故答案為：.角度2：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問題典型例題例題1．（2021·寧夏育才中學(xué)高二期中（理））已知等差數(shù)列滿足，，等比數(shù)列滿足，，則A．32 B．64 C．128 D．256【答案】B【詳解】由，可知數(shù)列,所以,故.故選B.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比等于________．【答案】【詳解】∵，，成等差數(shù)列，∴，即，∴，∴，∴或(舍)．∴.故答案為：.例題3．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【詳解】解：（Ⅰ）∵，∴①∵，，成等比數(shù)列，∴，∴化簡得，若，若，②，由①②可得，，所以數(shù)列的通項公式是或題型歸類練1．（2021·陜西寶雞·模擬預(yù)測（理））在等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則公差__________．【答案】3【詳解】，，成等比數(shù)列，，解得d=3或d=-1,當d=-1時，不符合等比數(shù)列，故d=3故答案為32．（2021·河南·南陽中學(xué)高二階段練習(xí)）已知1、、、9成等差數(shù)列