第03講等比數(shù)列及其前項(xiàng)和(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算題型二：等比數(shù)列的判斷與證明題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)角度2：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問(wèn)題第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1.等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母()表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：，為常數(shù)，.(2)等比中項(xiàng)如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即：是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?.2.等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比是，則其通項(xiàng)公式為；可推廣為.(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.3.等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．(1)若，則，其中.特別地，若，則，其中.(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為()．(3)若數(shù)列，是兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算典型例題例題1．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．3例題2．（2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高一期末）設(shè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則公比（

）A． B． C．2 D．例題3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是等差數(shù)列，，公差，為其前項(xiàng)和，若，，成等比數(shù)列，則________．例題4．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和；(3)已知，，求；(4)已知，，求．題型歸類(lèi)練1．（2022·四川·鹽亭中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則首項(xiàng)（

）A． B．12 C．1或 D．3或122．（2022·北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．23．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列．(1)如果，，求公比和；(2)如果，，求公比和．4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在等比數(shù)列中，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為的前項(xiàng)和，若，求.題型二：等比數(shù)列的判斷與證明典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．例題2．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高一期中（文））數(shù)列中，若，，（，），則_________．例題3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，判斷它是否為等比數(shù)列．(1)；(2)；(3)；(4)．例題4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·二模（文））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：為等比數(shù)列.題型歸類(lèi)練1．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則________.2．（2022·天津河?xùn)|·高二期末）若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前5項(xiàng)和___________3．（2022·山東淄博·高二期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)證明：為等比數(shù)列，并寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式：4．（2022·山西臨汾·一模（理））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)及其綜合應(yīng)用角度1：等比數(shù)列的性質(zhì)典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）對(duì)任意等比數(shù)列，下列說(shuō)法一定正確的是（

）A．成等比數(shù)列 B．成等比數(shù)列C．成等比數(shù)列 D．成等比數(shù)列例題2．（2022·四川成都·高一期末（文））已知在遞減等比數(shù)列中，，，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9例題3．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二期中）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A． B． C．10 D．例題4．（2022·陜西渭南·高二期末（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．50例題5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為（

）A．15 B．30C．45 D．60例題6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1例題7．（多選）（2022·浙江·高二期中）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿(mǎn)足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為題型歸類(lèi)練1．（2022·全國(guó)·高二）已知等比數(shù)列中，，，則公比（

）A．5 B．4 C．3 D．22．（多選）（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的為（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）在等比數(shù)列中，若，是方程的兩根，則_________.4．（2022·廣東·佛山市第四中學(xué)高二階段練習(xí)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．10 B．70 C．30 D．905.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則的值為（

）A．16 B．48 C．32 D．636．（2022·全國(guó)·高二）已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，奇數(shù)項(xiàng)之和為21，偶數(shù)項(xiàng)之和為10，則這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．117．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）數(shù)列中，，對(duì)任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．58．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列共有項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比______.角度2：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合問(wèn)題典型例題例題1．（2021·寧夏育才中學(xué)高二期中（理））已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則A．32 B．64 C．128 D．256例題2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則其公比等于________．例題3．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型歸類(lèi)練1．（2021·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)（理））在等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則公