重難點(diǎn)突破11四邊形壓軸綜合（17種題型）目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01利用特殊四邊的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型02利用特殊四邊的性質(zhì)與判定解決新定義問題題型03利用特殊四邊的性質(zhì)與判定解決規(guī)律探究題型04根據(jù)圖象運(yùn)動(dòng)判斷函數(shù)關(guān)系題型05四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題題型06四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的角度問題題型07四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的線段長(zhǎng)度問題題型08四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)問題題型09四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的周長(zhǎng)和面積問題題型10四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的最值問題題型11四邊形中的線段最值問題題型12探究四邊形中線段存在的數(shù)量關(guān)系題型13探究四邊形中線段存在的位置關(guān)系題型14探究四邊形與反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題型15探究四邊形與二次函數(shù)綜合運(yùn)用題型16探究四邊形與三角形綜合運(yùn)用題型17探究四邊形與圓綜合運(yùn)用題型01利用特殊四邊的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題1．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，∠BAC=∠MAN=60°，連接MN、OM.以下四個(gè)結(jié)論正確的是（

）①△AMN是等邊三角形；②MN的最小值是3；③當(dāng)MN最小時(shí)S△CMN=18S菱形ABCDA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．（2020·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，按以下步驟作圖：（1）分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在AB的上方）；（2）作直線MN交AB于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)D；（3）用圓規(guī)在射線OM上截取OE=OD．連接AD,AE,BE，過點(diǎn)O作OF⊥AC，垂足為F，交AD于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①CD=2GF；②BD2-CD2=AC2；③A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2024·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，過點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM:MD=1:2

4．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB,BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且正方形ABCD的周長(zhǎng)是△BEF周長(zhǎng)的2倍，連接DE,DF分別與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，N．給出如下幾個(gè)結(jié)論：①若AE=2,CF=3，則EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③若AM=2,CN=3，則MN=4；④若MNAM=2,BE=3，則EF=4．其中正確結(jié)論的序號(hào)為

5．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=kx(k>0,x>0)上，點(diǎn)B在直線y=mx-2b(m>0,b>0)上，A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線l與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)四邊形AOCB是菱形時(shí)，有以下結(jié)論：①A(b,3b)

②當(dāng)b=2時(shí)，k=43③m=36．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接BE，BF，分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持∠EBF=45°，連接EF，PF，PD．以下結(jié)論：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；④△BPF為等腰直角三角形；⑤若過點(diǎn)B作BH⊥EF，垂足為H，連接DH，則DH的最小值為22-2．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是題型02利用特殊四邊的性質(zhì)與判定解決新定義問題7．（2021·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)C2,0，則互異二次函數(shù)y=x-m2-m與正方形OABCA．4，-1 B．5-172，-1 C．4，0 D．8．（2024·江蘇·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為22n+1-12n（1）概念理解：當(dāng)n=1時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與長(zhǎng)CD的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片ABCD進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，展開，折痕為CG；第三步：過點(diǎn)G折疊紙片，使得點(diǎn)A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)E為正方形ABCD邊AB上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長(zhǎng)與矩形GDCK的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值，并說明理由．9．（2024·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對(duì)角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請(qǐng)畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長(zhǎng)．10．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，P(a,b)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：k1=ab和k2(1)求點(diǎn)P(6,2)的“傾斜系數(shù)”k的值；(2)①若點(diǎn)P(a,b)的“傾斜系數(shù)”k=2，請(qǐng)寫出a和b的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若點(diǎn)P(a,b)的“傾斜系數(shù)”k=2，且a+b=3，求OP的長(zhǎng)；(3)如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿直線AC：y=x運(yùn)動(dòng)，P(a,b)是正方形ABCD上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”k<3，請(qǐng)直接寫出a11．（2020·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱“直等補(bǔ)”四邊形，根據(jù)以上定義，解決下列問題：（1）如圖1，正方形ABCD中，E是CD上的點(diǎn)，將ΔBCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF為“直等補(bǔ)”四邊形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，點(diǎn)B到直線AD的距離為BE．①求BE的長(zhǎng)．②若M、N分別是AB、AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求ΔMNC周長(zhǎng)的最小值．題型03利用特殊四邊的性質(zhì)與判定解決規(guī)律探究12．（2022·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，以AC為邊作第2個(gè)正方形ACEF，再以CF為邊作第3個(gè)正方形FCGH，…，按照這樣的規(guī)律作下去，第6個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為（）

A．（22）5 B．（22）6 C．（2）5 D．（2）613．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形OABCDE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n個(gè)45°，得到正六邊形OAnBnCnDnEA．-3,-3 B．-3,-3 C．3,-14．（2022·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，A1為射線ON上一點(diǎn)，B1為射線OM上一點(diǎn)，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1為邊在其右側(cè)作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1與射線OM交于點(diǎn)B2，得△C1B1題型04根據(jù)圖象運(yùn)動(dòng)判斷函數(shù)關(guān)系15．（2024·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，D2,3，P-1,-1．點(diǎn)M在菱形的邊AD和DC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，C重合），過點(diǎn)M作MN∥y軸，與菱形的另一邊交于點(diǎn)N，連接PM，PN，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，△PMN的面積為y，則下列圖象能正確反映y

A．

B．

C．

D．

16．（2024·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，AB=4，BC=43，垂直于BC的直線MN從AB出發(fā)，沿BC方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，當(dāng)直線MN與CD重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中MN分別交矩形的對(duì)角線AC,BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，以EF為邊在MN左側(cè)作正方形EFGH，設(shè)正方形EFGH與△AOB重疊部分的面積為S，直線MN的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（

A．

B．

C．

D．

17．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M、作PN⊥BC于點(diǎn)N，連接MN，線段MN的長(zhǎng)度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)

A．5，5 B．6,245 18．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2cm的正方形，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為邊AD，CD中點(diǎn)，點(diǎn)O為正方形的中心，連接OE,OF，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿E-O-F運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，連接BP,PQ，△BPQ的面積為Scm2，下列圖像能正確反映出S與tA．B．C．D．19．（2021·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠A=60°．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿路線A→B→C→D運(yùn)動(dòng)．設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過的路程為x，以點(diǎn)A，D，P為頂點(diǎn)的三角形的面積為y，則下列圖象能反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．題型05四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題20．（2024·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形ABCD中（頂點(diǎn)A,B,C,D按逆時(shí)針方向排列），AB=12,AD=10,∠B為銳角，且sinB=45

(1)如圖1，求AB邊上的高CH的長(zhǎng)．(2)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C,D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C'①如圖2，當(dāng)點(diǎn)C'落在射線CA上時(shí)，求BP②當(dāng)△AC'D21．（2024·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，點(diǎn)E在邊BC上，且BE=2．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿折線EB-BA-AD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作∠PEQ=90°，EQ交邊AD或邊DC于點(diǎn)Q，連續(xù)PQ．當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（

(1)當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)為__________；(2)當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合時(shí)，求tan∠PQE(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PQE的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說明理由；(4)作點(diǎn)E關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)F，連接PF、QF，當(dāng)四邊形EPFQ和矩形ABCD重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．22．（2024·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，點(diǎn)E在邊BC上，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，以線段AE，AG為鄰邊作矩形AEFG

(1)如圖1，連接BD，求∠BDC的度數(shù)和DGBE(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在射線BD上時(shí)，求線段BE的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)EA=EC時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，滿足PE=EF，連接PA，PC，求PA+PC的最小值．23．（2024·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，∠A=60°，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形PBCQ沿PQ翻折得到四邊形PB

(1)當(dāng)∠QPB=45°時(shí)，求四邊形BB(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，設(shè)BP=x，四邊形BB'C'C的面積為S24．（2024·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的一邊OC在x軸正半軸上，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,23，點(diǎn)D是邊OC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥OB交邊OA于點(diǎn)E，作DF∥OB交邊BC于點(diǎn)F，連接EF．設(shè)OD=x,△DEF的面積為S

(1)求S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，S的值最大？請(qǐng)求出最大值．25．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF，連接AF．

(1)若∠ABE=15°，求證：△ABF是等邊三角形；(2)延長(zhǎng)FA，交射線BE于點(diǎn)G；①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由；②若AB=3+6，求△BGF26．（2024·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿折線BC-CD向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．連接PO并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M，連接QO并延長(zhǎng)交折線DA-AB于點(diǎn)N，連接PQ，QM，MN，NP，得到四邊形PQMN．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s）（0<x<4），四邊形PQMN的面積為y（cm

(1)BP的長(zhǎng)為__________cm，CM的長(zhǎng)為_________cm．（用含x的代數(shù)式表示）(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)四邊形PQMN是軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出x的值．題型06四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的角度問題27．（2024·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE所在的直線折疊，C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'，D'，連接AD

(1)若∠DED'=70°(2)連接EF，試判斷四邊形C'28．（2024·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，有一位同學(xué)操作過程如下：操作一：對(duì)折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM、BM，延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠EMB=___________度；(2)改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合）如圖2，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．29．（2024·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上（點(diǎn)M不與點(diǎn)A,D重合），點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E,F，連接BM．

(1)求證：∠AMB=∠BMP；(2)若DP=1，求MD的長(zhǎng)．30．（2024·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知AB=AC,∠A>90°，點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE以BE為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，∠EDC=2∠ACB．”小紅：“若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，給出AC與DC的長(zhǎng)，就可求出BE的長(zhǎng)．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請(qǐng)你回答：

問題1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，求證：∠EDC=2∠ACB；（2）如圖2，若點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，AC=4,CD=3，求BE的長(zhǎng)．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成∠A<90°的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，則求BC的長(zhǎng)．31．（2024·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到CE處，旋轉(zhuǎn)角為α，點(diǎn)F在直線DE上，且AD=AF，連接BF．

(1)如圖1，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，①求∠BAF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆谇笞C：EF=2(2)如圖2，取線段EF的中點(diǎn)G，連接AG，已知AB=2，請(qǐng)直接寫出在線段CE旋轉(zhuǎn)過程中（0°<α<360°）△ADG面積的最大值．題型07四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的線段長(zhǎng)度問題32．（2024·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）【問題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30°的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作△ADB和△A'D【操作探究】如圖1，先將△ADB和△A'D'C的邊AD、A'D'重合，再將△A'D

(1)當(dāng)α=60°時(shí)，BC=________；當(dāng)BC=22時(shí)，α=________°(2)當(dāng)α=90°時(shí)，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取BC的中點(diǎn)F，將△A'D'C33．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在?ABCD紙片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合），連接AE，將?ABCD紙片沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C'、D'，射線C'E與射線

(1)求證：AF=EF；(2)如圖2，當(dāng)EF⊥AF時(shí)，DF的長(zhǎng)為______；(3)如圖3，當(dāng)CE=2時(shí)，過點(diǎn)F作FM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，延長(zhǎng)FM交C'D'于點(diǎn)N，連接AN、EN34．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD邊上的一點(diǎn)，連接CE，將矩形ABCD沿CE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在AB邊上的點(diǎn)F處，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．(1)求線段AE的長(zhǎng)；(2)求證四邊形DGFC為菱形；(3)如圖2，M，N分別是線段CG，DG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且∠DMN=∠DCM，設(shè)DN=x，是否存在這樣的點(diǎn)N，使△DMN是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．35．（2021·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）實(shí)踐與探究操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，折痕為AE，再將紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則∠EAF=度．操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N．我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同．當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好落在折痕AE上，則∠AEF=度．在圖②中，運(yùn)用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：（1）設(shè)AM與NF的交點(diǎn)為點(diǎn)P．求證△ANP≌△FNE：．（2）若AB=3，則線段AP的長(zhǎng)為36．（2020·廣西貴港·中考真題）已知：在矩形ABCD中，AB=6，AD=23，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，折痕為EF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則線段EB=_______________，EF=_____________；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B，C均不重合時(shí)，取EF的中點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)PO與GF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連接PF，ME，MA．①求證：四邊形MEPF是平行四邊形：②當(dāng)tan∠MAD=1337．（2024·山西·統(tǒng)考中考真題）問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A=∠D．將△ABC和△DFE按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)B與點(diǎn)F重合（標(biāo)記為點(diǎn)B）．當(dāng)∠ABE=∠A時(shí)，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)G．試判斷四邊形BCGE的形狀，并說明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；(2)深入探究：老師將圖2中的△DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在△ABC內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問題．

①“善思小組”提出問題：如圖3，當(dāng)∠ABE=∠BAC時(shí)，過點(diǎn)A作AM⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,BM與AC交于點(diǎn)N．試猜想線段AM和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4，當(dāng)∠CBE=∠BAC時(shí)，過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，若BC=9,AC=12，求AH的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．

38．（2024·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形ABCD進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于12BC的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF交BC于點(diǎn)O，連接AO；②將△ABO沿AO翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線AP交CD于點(diǎn)

【問題提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求線段【問題解決】經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接OQ，如圖2．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長(zhǎng)；方案二：將△ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°至△RCO處，如圖3．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長(zhǎng)．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段CQ的長(zhǎng)．題型08四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的坐標(biāo)問題39．（2024·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，拋物線y=-ax2+5ax+2a>0交y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作

(1)求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)a=13時(shí)，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P為直線AD上方拋物線上一點(diǎn)，將直線PD沿直線AD翻折，交x軸于點(diǎn)M(4,0)，求點(diǎn)(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)E1a,a+1,F5,a+1①若a=1，求正方形EFGH的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為52時(shí)，求a40．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)矩形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O(0,0)，點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)C(0,6)，點(diǎn)P在邊OC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P，并與x軸的正半軸相交于點(diǎn)Q，且∠OPQ=30°，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'落在第一象限．設(shè)OQ=t(1)如圖①，當(dāng)t=1時(shí)，求∠O'QA(2)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，O'Q,O'P分別與邊AB相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，試用含有t(3)若折疊后重合部分的面積為33，則t的值可以是___________（請(qǐng)直接寫出兩個(gè)不同題型09四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的周長(zhǎng)和面積問題41．（2019·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）操作體驗(yàn)：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處.點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)(不與E、F重合)，過點(diǎn)P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點(diǎn)M和N，以PM、PN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PMQN.(1)如圖1，求證：BE＝BF；(2)特例感知：如圖2，若DE＝5，CF＝2，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求平行四邊形PMQN的周長(zhǎng)；(3)類比探究：若DE＝a，CF＝b.①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試用含a、b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系.(不要求寫證明過程)42．（2024·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC邊上的中線．如圖2，將△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別沿EF,GH折疊后均與點(diǎn)D重合，折痕分別交AB,AC,BC于點(diǎn)E，G，F(xiàn)，

猜想證明：(1)如圖2，試判斷四邊形AEDG的形狀，并說明理由．問題解決；(2)如圖3，將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿MN折疊，使得頂點(diǎn)B與點(diǎn)H重合，折痕分別交AB,BC于點(diǎn)M，N，BM的對(duì)應(yīng)線段交DG于點(diǎn)K，求四邊形MKGA的面積．43．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答老師提出的問題；實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，連接DC'并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將?ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，使A'B⊥CD于點(diǎn)H，折痕交AD于點(diǎn)M，連接A'M，交CD于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問題：若此?ABCD的面積為20，邊長(zhǎng)AB=5，BC=25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM44．（2024·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動(dòng)．(1)操作判斷小紅將兩個(gè)完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①．試判斷：△ACF的形狀為________．

(2)深入探究小紅在保持矩形ABCD不動(dòng)的條件下，將矩形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，若AB=2，AD=4．探究一：當(dāng)點(diǎn)F恰好落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)CG與DF相交于點(diǎn)M，如圖②．求△CMF的面積．探究二：連接AE，取AE的中點(diǎn)H，連接DH，如圖③．求線段DH長(zhǎng)度的最大值和最小值．

題型10四邊形折疊與旋轉(zhuǎn)中的最值問題45．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，點(diǎn)E在折線BCD上運(yùn)動(dòng)，將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AF，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，連接CF．(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，作FM⊥AC，垂足為M，求證AM=AB；(2)當(dāng)AE=32時(shí)，求CF(3)連接DF，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，試探究DF的最小值．46．（2024·陜西西安·校考三模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在y軸，x軸上，當(dāng)B在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=6，BC=2．(1)取AB的中點(diǎn)E，連接OE，DE，求OE+DE的值．(2)如圖2，若以AB為邊長(zhǎng)在第一象限內(nèi)作等邊三角形△ABP，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是多少？題型11四邊形中的線段最值問題47．（2021·重慶·字水中學(xué)校考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊上任意一點(diǎn)，連接AD，以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連接AE，取AE的中點(diǎn)F，連接DF．（1）如圖1，若∠CAD=30°，DF=6，求線段CD的長(zhǎng)．（2）如圖1，連接CF，求證：AC+CD=2（3）如圖2，若AC=6，BC＝8，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G在線段DE上運(yùn)動(dòng)，連接AG，取線段AG的中點(diǎn)P，連接BP、BF、PF，當(dāng)線段PB最大時(shí)，直接寫出△BPF的面積．48．（2024·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┤鐖D，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP⊥CE于點(diǎn)P，連接DE交AP于點(diǎn)F，點(diǎn)P恰好為CE的中點(diǎn)．

(1)求證：△DEP∽△CEB；(2)如圖1，若BEBC=3(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)G、Q分別為DP、DE上的動(dòng)點(diǎn)，若CP=5，請(qǐng)直接寫出GF+GQ的最小值．題型12探究四邊形中線段存在的數(shù)量關(guān)系49．（2024·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對(duì)稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．【操作】如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，將矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，MD'與BC【猜想】】MN=CN【驗(yàn)證】請(qǐng)將下列證明過程補(bǔ)充完整：∵矩形紙片ABCD沿MC所在的直線折疊∴∠CMD=∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥∴∠CMD=（）∴=（等量代換）∴MN=CN（）【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片ABCD折疊，使AM恰好落在直線MD'上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B（1）猜想MN與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若CD=2，MD=4，求EC的長(zhǎng)．50．（2024·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁“實(shí)驗(yàn)與探究”問題1如下：如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形A1B1C1D1九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P落在線段OC上，PAPC=k（

【特例證明】（1）如圖1，將Rt△PEF的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊AB，BC相交于點(diǎn)M，N①填空：k=______；②求證：PM=PN．（提示：借鑒解決【問題背景】的思路和方法，可直接證明△PAM?△PBN；也可過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線構(gòu)造全等三角形證明．請(qǐng)選擇其中一種方法解答問題②．）【類比探究】（2）如圖2，將圖1中的△PEF沿OC方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并說明理由．【拓展運(yùn)用】（3）如圖3，點(diǎn)N在邊BC上，∠BPN=45°，延長(zhǎng)NP交邊CD于點(diǎn)E，若EN=kPN，求k的值．51．（2024·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）過正方形ABCD的頂點(diǎn)D作直線DP，點(diǎn)C關(guān)于直線DP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AE，直線AE交直線DP于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若∠CDP=25°，則∠DAF=___________°；(2)如圖1，請(qǐng)?zhí)骄烤€段CD，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在DP繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，設(shè)AF=a，EF=b請(qǐng)直接用含a,b的式子表示DF的長(zhǎng)．52．（2024·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問題探究]如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．在線段AO上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD、PB．

①求證：PD=PB；②將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

題型13探究四邊形中線段存在的位置關(guān)系53．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A'B'ED，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'．(1)【觀察發(fā)現(xiàn)】A'D與B'E的位置關(guān)系是______；(2)【思考表達(dá)】連接B'C，判斷∠DEC與(3)如圖（2），延長(zhǎng)DC交A'B'于點(diǎn)G，連接EG(4)【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B=60°時(shí)，連接B'C，延長(zhǎng)DC交A'B'于點(diǎn)G，連接EG54．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．

(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(4)求CHCE55．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）△ABC和△ADF均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿AB、BC運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B、C停止.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時(shí)，請(qǐng)判斷：線段CD、EF的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CEFD的面積是△ABC面積的一半，請(qǐng)直接寫出答案；此時(shí)，四邊形BDEF是哪種特殊四邊形？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并給予證明.56．（2022·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時(shí)針方向排列），連接DG．(1)如圖1，當(dāng)ADAB＝AGAE＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段(2)如圖2，當(dāng)ADAB＝AGAE＝2時(shí)，請(qǐng)猜想線段BE與線段(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝5，∠AEB＝45°，請(qǐng)直接寫出△MND的面積．57．（2021·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接BF，DE，M是BF的中點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是___________；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2，其他條件不變，線段DE與AM之間的關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．題型14探究四邊形與反比例函數(shù)綜合運(yùn)用58．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k>0)的圖像與反比例函數(shù)y=8x(x>0)的圖像交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，AD⊥x軸于點(diǎn)D，CB=CD，點(diǎn)C關(guān)于直線AD(1)點(diǎn)E是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖像上？請(qǐng)說明理由；(2)連接AE、DE，若四邊形ACDE為正方形．①求k、b的值；②若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)|PE-PB|最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

59．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)y=12x+1的圖象與反比例函數(shù)y=kx

(1)求a，k的值；(2)直線CD過點(diǎn)A，與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，AC＝AD，連接CB．①求△ABC的面積；②點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在x軸上，若以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)．60．（2024·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(m，0)，B(m-a，0)(a>m>0)的位置和函數(shù)y1=mx(x>0)、y2=m-ax(x<0)的圖像如圖所示．以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，AD邊與函數(shù)y1的圖像相交于點(diǎn)E，CD邊與函數(shù)y1、y2

(1)m=2，a=4，求函數(shù)y3的表達(dá)式及△PGH(2)當(dāng)a、m在滿足a>m>0的條件下任意變化時(shí)，△PGH的面積是否變化？請(qǐng)說明理由；(3)試判斷直線PH與BC邊的交點(diǎn)是否在函數(shù)y261．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(4,m)，直線CD：y=ax+b(a≠0)與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象交于C(1)求該反比例函數(shù)的解析式及m的值；(2)判斷點(diǎn)B是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由．62．（2021·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知反比例函數(shù)y=mx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1）求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖，在反比例函數(shù)y=mx的圖象上點(diǎn)A的右側(cè)取點(diǎn)C，作CH⊥x軸于H，過點(diǎn)A作y軸的垂線AG交直線CH于點(diǎn)①過點(diǎn)A，點(diǎn)C分別作x軸，y軸的垂線，交于B，垂足分別為為F、E，連結(jié)OB，BD，求證：O，B，D三點(diǎn)共線；②若AC=2OA，求證：∠AOD=2∠DOH．63．（2024·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象分別與AB,BC交于點(diǎn)D4,1和點(diǎn)E，且點(diǎn)

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)若一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖象上D,E之間的部分時(shí)（點(diǎn)M可與點(diǎn)D,E題型15探究四邊形與二次函數(shù)綜合運(yùn)用64．（2024·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖像與x軸交于A-4,0，Bb,0

(1)求二次函數(shù)的解析式和b的值．(2)在二次函數(shù)位于x軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)M，使S△BOM=1(3)如圖（2），作點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，作以CE為直徑的圓．點(diǎn)E'是圓在x軸上方圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E'不與圓弧的端點(diǎn)E重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合），平移線段AE，使點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)E'，線段AE的對(duì)應(yīng)線段為A'E'，連接E'C，A'65．（2024·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，對(duì)稱軸是直線x=-1，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形ABCN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．66．（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(-1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．67．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象交點(diǎn)為A(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長(zhǎng)度的最大值；(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．68．（2020·山東聊城·中考真題）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)，B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，垂直于x軸的動(dòng)直線l分別交拋物線和線段BC于點(diǎn)P和點(diǎn)F，動(dòng)直線l在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)（不含對(duì)稱軸）沿x（1）求出二次函數(shù)y=ax2+bx+4（2）在動(dòng)直線l移動(dòng)的過程中，試求使四邊形DEFP為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接CP，CD，在動(dòng)直線l移動(dòng)的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△DCE相似，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．題型16探究四邊形與三角形綜合運(yùn)用69．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：

（1）取AB，AC的中點(diǎn)D，E，在邊BC上作MN=DE；（2）連接EM，分別過點(diǎn)D，N作DG⊥EM，NH⊥EM，垂足為G，H；（3）將四邊形BDGM剪下，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置；（4）延長(zhǎng)PQ，ST交于點(diǎn)F．小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個(gè)結(jié)論是正確的：①點(diǎn)Q，A，T在一條直線上；②四邊形FPGS是矩形；③△FQT≌④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．【任務(wù)1】請(qǐng)你對(duì)結(jié)論①進(jìn)行證明．【任務(wù)2】如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，P，Q分別是AB，CD的中點(diǎn)，連接PQ．求證：【任務(wù)3】如圖3，有一張四邊形紙ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小麗分別取AB，CD的中點(diǎn)P，Q，在邊BC上作MN=PQ，連接MQ70．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．(1)【探究發(fā)現(xiàn)】小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．(2)【拓展遷移】如圖，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG