新課導(dǎo)入《易·系辭上》河出圖洛出書圣人則之

新課導(dǎo)入數(shù)陣

將數(shù)字按一定順序排列成一個圖形，就是數(shù)陣

新課導(dǎo)入

開方作法本源圖數(shù)學(xué)探究——楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用第六章計數(shù)原理

一、楊輝三角的歷史探究新知楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右！由此可見，我國古代數(shù)學(xué)成就是非常值得中華民族自豪的！問題1：你知道楊輝三角的歷史由來嗎？探究新知n展開式的二項式系數(shù)1

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計算展開式的二項式系數(shù)，并填表：

探究新知11121133114641151010511615201561

1

1第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行第n行橫看，斜看，豎看，連續(xù)看，隔行看等；采取畫一畫，連一連，算一算，進行歸納和猜想.11121133114641151010511615201561

1橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同.橫看斜看三、楊輝三角性質(zhì)的探究——（1）“楊輝三角”與二項式系數(shù)探究新知問題2：我們該如何探究楊輝三角的性質(zhì)？研究方法觀察歸納猜想證明問題3：如何觀察？11121133114641151010511615201561

1

1第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行三、楊輝三角性質(zhì)的探究——（1）“楊輝三角”與二項式系數(shù)探究新知（1）對稱性：每行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等（2）遞推性：除1以外的數(shù)等于肩上兩數(shù)之和三、楊輝三角性質(zhì)的探究——（1）“楊輝三角”與二項式系數(shù)探究新知（2）遞推性：除1以外的數(shù)等于肩上兩數(shù)之和：證明？三、楊輝三角性質(zhì)的探究——（1）“楊輝三角”與二項式系數(shù)探究新知（2）遞推性：除1以外的數(shù)等于肩上兩數(shù)之和：證法2：某班有n-1名學(xué)生和1名教師，現(xiàn)從這個班級所有人中選取m個人參加某活動，有多少種不同的選法？有

種不同選法;思路一：所有人中選取m個人，有

種不同的選法；思路二：所有人中選取m個人，分兩類.

第一類——包含教師，第二類——不包含教師，有

種不同選法.三、楊輝三角性質(zhì)的探究——（1）“楊輝三角”與二項式系數(shù)探究新知11121133114641151010511615201561

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=2

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816324求和

三、楊輝三角性質(zhì)的探究——（2）“楊輝三角”與數(shù)列探究新知問題3：換個角度觀察楊輝三角，觀察由這些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列，你能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

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1331第4行

14641常數(shù)列等差數(shù)列二階等差數(shù)列三階等差數(shù)列2343610一階等差數(shù)列即是我們所說的等差數(shù)列，二階及二階以上的等差數(shù)列通稱為高階等差數(shù)列．

（4）斜向求和：第0行…………………第1行………………第2行…………第3行………第4行……第5行………………第6行…………第7行………第8行……常數(shù)1正整數(shù)三角形數(shù)四面體數(shù)三、楊輝三角性質(zhì)的探究——（2）“楊輝三角”與數(shù)列探究新知問題4：從每一斜列的和，你能提出哪些猜想？四、楊輝三角的應(yīng)用例題鞏固例1:楊輝《詳解九章算法》有一個這樣的問題：三角垛，下廣，一面十二個，上尖，問計幾何.題目大意：“有一個三角垛，最底層每條邊上有12個圓球，最上層只有1個（上尖），問：總共有多少個圓球？”堆垛問題第一層：

1=1個第二層：

1+2=3個第三層：

1+2+3=6個.........第十二層

1+2+...+12=78個1性質(zhì)4：自腰上的某個1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)n個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù).

1+3+6+...+78=

四、楊輝三角的應(yīng)用五、隨堂測驗六、總結(jié)提升小結(jié)1：我們是如何發(fā)現(xiàn)、提出、探究問題的？小結(jié)2：已論證的楊輝三角的性質(zhì)：性質(zhì)1：性質(zhì)3：性質(zhì)4：性質(zhì)2：觀察實驗

歸納猜想

推理論證小結(jié)3：楊輝三角給你留下印象最深刻的是什么？（討論）七、課后作業(yè)作業(yè)1：運用本節(jié)課所學(xué)習(xí)的探究方法，進一步探究楊輝三角的性質(zhì).作業(yè)2：楊輝的《詳解九章算術(shù)》中有下列開方古算題：

積一百三十三萬六千三百三十六尺，問為三乘方幾何.（選擇）作業(yè)3：探究斐波那契數(shù)列在楊輝三角中的隱藏規(guī)律

2

第6行

1615201561第5行

15101051第7行172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

1464111=111121=11214641=1141331=1131=110

楊輝三角中更多有趣的“秘密”115=161051116=1771561117=19487171如果用筆將楊輝三角中的偶數(shù)與奇數(shù)分別標(biāo)出，并保留全部的奇數(shù)，會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？11121133114641151010511615201561

1謝爾賓斯基三角形楊輝三角中更多有趣的“秘密”數(shù)形相遇，交相輝映楊輝三角中更多有趣的“秘密”

125第5行

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