重慶市兩江育才中學(xué)?！ㄉ希┌肫谫|(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試題（考試用時(shí)分鐘）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到復(fù)數(shù)，再確定其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可確定點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D2.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A.或1B.0或1C.1D.【答案】D【解析】【分析】討論，根據(jù)兩條直線平行的條件列式可解得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，的斜率不存在，的斜率為0，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題查了由兩條直線平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.節(jié)氣是指二十四個(gè)時(shí)節(jié)和氣候，是中國古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，是中華民族勞動(dòng)人民長期經(jīng)驗(yàn)積累的成果和智慧的結(jié)晶．若從立春、雨水、驚蟄、春分、清明這五個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選擇兩個(gè)節(jié)氣，則其中一個(gè)節(jié)氣是立春的概率為（）第1頁/共18頁A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】若從立春、雨水、驚蟄、春分、清明這五個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選擇兩個(gè)節(jié)氣，共種情況，其中一個(gè)節(jié)氣是立春，有種情況，用古典概型概率計(jì)算公式即可.【詳解】記立春、雨水、驚蟄、春分、清明這五個(gè)節(jié)氣分別為、、、、，則樣本空間，記事件表示“其中一個(gè)節(jié)氣是立春”，則，由古典概型可知．故選：B4.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)λ=（）A.B.3C.5D.【答案】D【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量垂直的坐標(biāo)表示列式求解.【詳解】向量，，則，由，得，所以.故選：D5.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.B.5C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長公式求解即可.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為第2頁/共18頁又圓心到直線的距離為，則直線與圓相交弦長．故選：C.6.虛軸長為2，離心率的雙曲線兩焦點(diǎn)為，，過作直線交雙曲線的一支于、兩點(diǎn)，且，則的周長為（）A.3B.16+C.12+D.24【答案】B【解析】【分析】先由條件求出、、的值，再利用雙曲線的定義和性質(zhì)，求出的周長．【詳解】由于，，，，．由雙曲線的定義知：①，②，又，①②得：，，則的周長為，故選：B7.某校舉辦了迎新年知識(shí)競賽，隨機(jī)選取了100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下，則根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（）A.該校約有一半學(xué)生成績高于70分B.該校不及格人數(shù)比例估計(jì)為25%第3頁/共18頁C.估計(jì)該校學(xué)生成績的中位數(shù)為70分D.估計(jì)該校學(xué)生的平均成績超過了70分【答案】D【解析】【分析】由頻率分布直方圖求得分?jǐn)?shù)在和的頻率，然后確定分?jǐn)?shù)高于70分的頻率，低于60分的頻率，從而可判斷ABC，由頻率分布直方圖計(jì)算均值判斷D．【詳解】由頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)在和的頻率為,因此成績高于70分的頻率為，A正確；不及格人數(shù)即分?jǐn)?shù)低于60分的頻率為，B正確；由選項(xiàng)A的計(jì)算知C正確；平均成績?yōu)?，D錯(cuò)誤，故選：D．8.已知橢圓和在橢圓上且在軸的上方若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則的面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意得到垂直平分線段，再根據(jù)橢圓的定義式和勾股定理即可求解．【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，所以，，，第4頁/共18頁又線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，所以垂直平分線段，所以，又因?yàn)?，所以，，在直角三角形中，，于是的面積為．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上轉(zhuǎn)化為垂直平分線段，再結(jié)合橢圓定義求解.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共分．在每個(gè)給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得09.若雙曲線的方程為，則（）A.的焦距為B.漸近線方程為C.的離心率為D.的虛軸長為2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，所以，所以的焦距為，所以A正確；的漸近線方程為，所以B錯(cuò)誤；的離心率為，所以C錯(cuò)誤；第5頁/共18頁的虛軸長為，所以D正確.故選：AD.10.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則為銳角三角形C.若的外接圓半徑是，則D.若，則【答案】AC【解析】即可求解判斷AAB不確定即可判斷B直接求出a即可判斷C；由為銳角，為鈍角時(shí)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理及可得，即，由，知，A正確；對(duì)于B：，則為銳角，但是角A，B不確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由正弦定理得，C正確；對(duì)于D：若為銳角，為鈍角，則錯(cuò)誤.故選：AC.如圖，在棱長為2的正方體中，是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.過的平面截此正方體所得的截面為四邊形第6頁/共18頁B.當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面的面積為C.點(diǎn)到直線的距離的最小值為D.當(dāng)為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意和正方體的性質(zhì)、空間點(diǎn)到直線的距離、圓的定義等，逐項(xiàng)分析即可解出.【詳解】選項(xiàng)A，如圖1所示，連接，在上任取一點(diǎn)，連接，過在側(cè)面作，與的交點(diǎn)為，連接，得四點(diǎn)共面，在上都有類似結(jié)果，在其它棱上時(shí)，截面都是正方體的對(duì)角面，所以過的平面截此正方體所得的截面為四邊形，所以A正確；選項(xiàng)B2中點(diǎn)分別為四點(diǎn)共面，該截面為四邊形且為等腰梯形，又，所以等腰梯形的高，所以截面的面積為，所以B錯(cuò)誤；第7頁/共18頁選項(xiàng)C，如圖3所示，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，所以.設(shè)點(diǎn)，所以，則點(diǎn)到直線的距離，所以時(shí)，距離最小，最小為，所以C正確；選項(xiàng)D，如圖4所示，取的中點(diǎn)，連接，易得平面且，又平面，所以，所以，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的劣弧，其圓心角為，所以點(diǎn)的軌跡長度為，所以D正確.第8頁/共18頁故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共分）12.若橢圓上一點(diǎn)P到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為________.【答案】7【解析】【分析】先求出，再應(yīng)用橢圓定義計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)P到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故答案為：7.13.若雙曲線的右支上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最短為，則雙曲線為的漸近線方程為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得到，即可求出雙曲線方程，從而求出漸近線方程.【詳解】雙曲線，則，又右支上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離最短為，即，所以，又，則，所以雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為.第9頁/共18頁故答案為：14.已知圓和圓，M、N分別是圓C、D上動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______.【答案】【解析】成立，設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求出的最小值，進(jìn)而得到的最小值.【詳解】的圓心為，半徑為1，，圓心為，半徑為2，結(jié)合兩圓位置可得，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸交于點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求，此時(shí)，故即為的最小值，故的最小值為故答案為：四、解答題（共分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.（1的直線方程；第10頁/共18頁（2）已知直線過點(diǎn)，且交坐標(biāo)軸正半軸于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】1：求出交點(diǎn)，利用垂直關(guān)系求直線方程；法2：設(shè)直線系方程，再利用垂直關(guān)系求出；（2）設(shè)截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等條件即可.1）法1：聯(lián)立，解得，與直線垂直的直線斜率為，所以經(jīng)過與交點(diǎn)且與垂直的直線方程為：，即；法2：經(jīng)過直線交點(diǎn)的直線設(shè)為：，即，因其與直線垂直，所以，解得，所以所求直線方程為.（2）設(shè)，則，因直線過，所以，則，等號(hào)成立時(shí)，所以的面積，此時(shí)的周長為.16.已知圓經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程：（2）過點(diǎn)作圓切線，求切線方程.【答案】（1）（2）或【解析】1）設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式建立關(guān)于m的方程，解方程，求出半徑即可求解；第11頁/共18頁（2）如圖，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算求出斜率即可；易知當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線方程為.【小問1詳解】由題意知，設(shè)，則，解得，所以，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】如圖所示，點(diǎn)在圓外，則過點(diǎn)的圓的切線方程有兩條.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，而圓的半徑為，則，解得，所以切線方程為；當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，則與圓相切.綜上，切線方程為或.17.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．（1）求B；（2）若，面積為，求a，c的值．【答案】（1）（2），或，【解析】第12頁/共18頁1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式，結(jié)合題設(shè)化簡求解即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，則，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．【小?詳解】由面積公式得，于是，由余弦定理得，則，即，則，故，解得，或，．經(jīng)驗(yàn)證，兩種情況均為銳角三角形，符合題意.18.如圖所示，直角梯形中，，垂直，為矩形，，平面平面.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的正弦值；第13頁/共18頁（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，線段的長為【解析】1）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用空間向量證明線面平行；（2）求平面的法向量，利用空間向量求面面夾角的余弦值，進(jìn)而可得正弦值；（3）設(shè)，由線面角的向量求法求出，得到坐標(biāo)，求出長度.【小問1詳解】取為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)且平行于直線的直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，設(shè)，則，，可得，又因?yàn)?，則，可得.且平面，所以平面.【小問2詳解】第14頁/共18頁設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，設(shè)，則，，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，可得，所以平面與平面夾角正弦值為.【小問3詳解】設(shè)，則，可得，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；綜上上存在點(diǎn)與平面所成角的正弦值為的長為.第15頁/共18頁19.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，長軸長為，直線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，均在軸上方，且，求證：的值為定值；（3）在（2）的條件下求四邊形的的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】1）根據(jù)橢圓長軸以及直線的傾斜角即可得橢圓方程；（2）找出點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱性聯(lián)立直線和橢圓方程整理表達(dá)式可得結(jié)果；（3）將四邊形面積等價(jià)轉(zhuǎn)化為三角形面積，求得面積表達(dá)式利用基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】由長軸長為，可得，.因?yàn)辄c(diǎn)上頂點(diǎn)，直線的傾斜角為，所以中，，則，又，則.橢圓