專題07空間向量與立體幾何必刷題型

（10大題型76題）

一、單選題

1.（24-25高二下?上海?月考,）已知向量。，B5是空間不共面的三個(gè)向量，則下列選項(xiàng)中能構(gòu)成空間向量

一組基底是（）

A.b+c?btb-cB.aya+b>ci-b

C.a+bta+b+c?D.a+bfa—b?5

UUL1UU1UUI（JULI

2.（24-25高二下?甘肅白銀期中）在三棱錐夕-/BC中，M是平面48c內(nèi)一點(diǎn)，且9PM=82i+/P8+5MC，

則/=（）

A.yB.1C.2D.3

3.（24-25高二下?福建廈門?月考）已知向量2=（1,x,2）,S=（0,1,2）,c=（1,0,0）,若"、%、」共面,則x等

于（）

A.-2B.2C.-1D.1

4.（25-26高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）對(duì)于空間任一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)4&C,有

方=/厲+（%-1）歷+（7+%宙，則）=-1”是。四點(diǎn)共面”的（）

A.必要不充分條件B,充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（24?25高二下?江蘇泰州?期中）已知四棱錐P-48C。中，底面48CQ為平行四邊形，點(diǎn)￡?為產(chǎn)力的中點(diǎn),

1/19

點(diǎn)F滿足方=2斤，點(diǎn)。滿足而=義詼，若B、E、F、。四點(diǎn)共面，則2=（）

A-7B-|c-1D-1

6.（24-25高二下?上海嘉定?期中）已知三棱錐P的體積為6,"是空間中一點(diǎn)，

___1__2__4__

PM=--PA+—PB+—PCt則三棱錐力-〃8c的體積是（）

A.5B.4C.3D.2

潁儂空間向量的線性運(yùn)算及參數(shù)問題

一、單選題

1.（24-25高二下?江蘇南京?期末）在三棱錐。中，OA=~a，OB=b^5d=＞且兩=2礪，的=配,

則MN等于()

1-1T1-2-2-I-

A.—a+—b——cB.—a+—b+—c

222332

C.-a--l^+—cD.—與+幼+=

232322

2.124-25高二上,北京?期中）如圖，在長(zhǎng)方體力比'。-44GA中，”為CG的中點(diǎn)，甌=2而.記而=心

)

B.-a+-b+-c

332

22-122-1

C.——a——b+-cD.-a+-b——c

332332

3.（24-25高二上?湖北?期中）如圖,在正四棱臺(tái)力4。。一48cA中，

—1----------7---------------1AM

力8=248”4￡(=74氏0/=彳。446=:44.直線46與平面跖6交于點(diǎn)〃，則下)

234HCq

2/19

二、填空題

4.（25-26高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）在三棱錐中，若△BCO是正三角形，E為其重心，則

AB+^-BC--DE-AD化簡(jiǎn)的結(jié)果為

22

5.（24-25高二上?河北邯鄲?月考）已知d、B三個(gè)空間向量，若比=1一5+乙與萬=箱+）3+5共線，則

x+y的值為.

6.（2025高二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知點(diǎn)力（3,-2,4）和點(diǎn)4（-3,4,70）,則靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)2的坐標(biāo)

為?

7.（25-26高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）設(shè)向量6,?2,6不共面，已知力〃=-3《一/+2&3,BC=el+Ae2-6ey,

西=41+2a+8］，若4C。三點(diǎn)共線，則4=.

8.（24-25高二下?福建龍巖期中）如圖，在三棱錐P-MC中，G為V48C的重心，赤=《左，而=祝,

麗=〃而，2,〃e（0/），若尸G交平面。即于點(diǎn)憶且?guī)尔?，則丸+〃的最小值為.

3/19

題型03空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及其應(yīng)用（含模長(zhǎng)、夾角、投影向量）▼

一、單選題

1.（24-25高二下?江蘇宿遷?期中）己知。=（石,2,3）,空間向量工為單位向量，則空間向量￡在

向量工方向上的投影向量為（）

-_1-1-

A.2eB.-2cC.—aD.—ci

22

2.124?25高二下?江蘇鹽城?月考）在正三棱錐P-48c中，以=43=4,點(diǎn)。是枝PC的中點(diǎn)，TE=2EB,

則而.而二（）

A.-"B.—9C.———D.—8

33

3.（25-26高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在三棱柱48C-48c中，分別是8c上的點(diǎn)，且

BM=2A.M,C、N=2B,N.設(shè)蕭=萬，AC=h*AA]=c,若NBAC=9伊Z.BAA,=NC/4=6(F,

力8=4。=<4=1,則下列結(jié)論中正確的是（）

-----11-22

A.MN=-a+-b+-cB.

3333

C.AB1BCD.cos/81,g=—

{]6

4.（24-25高二上?湖北?期末）已知八面體尸由正四棱錐與正四棱錐構(gòu)成（如圖）,

若4B=4E=2,//=加，點(diǎn)V,N分別為8E,CE的中點(diǎn)，則初.兩=（）

5

A.0B.2C.D

2-I

4/19

5.（24-25高二下?河北石家莊?開學(xué)考試）已知長(zhǎng)方體力中，48=2,AD=AA]=\,向量

~AM=xAAy+yAB+Z~AD,且x+2y+z=2,則%⑼的最小值為（）

A-TB.苧C.SD.殍

二、多選題

6.（24-25高二下?湖北?期末）如圖，在棱長(zhǎng)均為2的平行六面體"CZ>-44G。中，底面川比。是正方形,

且N448=N44Z）=60",下列選項(xiàng)正確的是（）

A.4A長(zhǎng)為

B.異面直線力C與8A所成角的余弦值為亞

3

C.A.C15,0,

D.AA{1BD

7.（2025高二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知正四面體"CQ的棱長(zhǎng)為2拉，空間內(nèi)任一點(diǎn)P滿足|力+而|=2,則

下列關(guān)于萬.瓦的結(jié)論正確的是（）

A.最小值為4-2行B.最大值為2+2頁C.最小值為2-2起D,最大值為

4+2收

三、填空題

8.（23-24高二上?福建福州?期末）已知萬為單位向量.5=（1,0,0）,若,-"；卜1,則方在讓的投影向量的

坐標(biāo)為.

9.（24-25高二下?上海閔行?期末）G、務(wù)、）是空間向量，其中/_L石，工與。、B的夾角都是6。。，且同二1,

W=2,同=3.則5+卜.

5/19

10.（24-25高二上?天津?期中）已知向量z=（2,-1,2）,B=（-4,2,〃?），且5夾角為鈍角，時(shí)〃，的取值范

圍為;

11.（2025高二?全國(guó)?專題練習(xí)）在菱形力8c。中，/BAD=60。,線段/1。，40的中點(diǎn)分別為E,F.現(xiàn)

將△48。沿對(duì)角線4。翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍為.

12.（24-25高二上?河北張家口?期末）如圖，正三棱柱NBC-44G的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,0為BC的

中點(diǎn)，若羽=4麗，詼=2國(guó)（0?人1）,貝川闋的取值范圍是.

四、解答題

13.（25-26高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力8CZ）-44GA中，點(diǎn)P是側(cè)面上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包含邊界）.

（1）若麗.西=0,求|詞的最小值;

（2）若麗?西=1,求南與所夾角的最大值.

題型04距離問題

一、單選題

1.：25-26高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）己知《1,別，Ci0,1,0）,N（0』,l）,則直線MV

6/19

到平面48。的距離為（）

A.RB.旦C.漁D.逅

4126

2.（2025?河南安陽?一模）如圖，在三棱錐S-48C中，SA,SB,S0兩兩垂直，SC=3,SB=2,SA=\,

。為線段SC上靠近。的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E為V/8C的重心，則點(diǎn)E到直線4。的距離為（）

A.1B.￡「

L?-V--3

63D-T

3.（24?25高二下,甘肅平?jīng)?期中）正四棱錐S-48C。中，O為頂點(diǎn)S在底面力8CO內(nèi)的正投影，P為側(cè)棱

SO的中點(diǎn)，旦SO=OD=右，則異面直線尸。與4。的距離為（）

Vio口M.垂＞n石

AA.-----B.-----C.——D.——

105105

4.（25-26高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖，在直三棱柱力8C-44G中，ZJCZ?=|,AC=2,BC=\,4%=2,

點(diǎn)Q是棱力。的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)O到直線的距離的最小值為（）

A.至B.逑C.石D.邁

555

二、多選題

5.（23-24高二上?四川成都?月考）已知正方體/I8CQ-48cA的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)人。分別是44、4G的

UUT-1HUT1UUIT0UUQ'

中點(diǎn)，尸在正方體內(nèi)部且滿足力〃=948+：/。+彳/4,則下列說法正確的是（）

fJ

A.點(diǎn)力到直線BE的距離是更B.點(diǎn)。到平面月g。的距離為正

54

7/19

C.平面48。與平面8cA間的距離為由D.點(diǎn)尸到直線力8的距離為當(dāng)

336

三、填空題

6.（25-26高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）在底面是菱形的四棱錐P-48。力中，48C=60。，P4=.4B=a,

PB=PD=ga，點(diǎn)、E在PD上,且PE:ED=2:1,則直線M到CE的距離為.

四、解答題

7.（25?26高二?全國(guó)?假期作業(yè)）如圖，在正三棱柱44G中，AA}=AC=2,D,E分別為。6必產(chǎn)的

中點(diǎn).

線段BC上是否存在點(diǎn)G,使得力G18。？若存在，求出點(diǎn)G到平面48。的距離；若不存在，說明理由.

題型05線線角問題

一、單選題

1.（24-25高二下?安徽?月考）如圖，已知在長(zhǎng)方體4?CO—44GA中，44=2AB=2,AD=3,點(diǎn)、E在棱BC

上，且屁=赤，則直線力￡與直線GA所成角的余弦值為（）

8/19

五

A.yB

4CID?苧

2.（24-25高二下?河南南陽?期末）已知在直三棱柱ABC-44G中，48C=135。，AB=如，BC=\,BB、=2，

則異面直線力用與4G所成角的余弦值為（）

A.叵B舊「V6D.皂

V-----

6532

3.（24-25高二下?湖北?月考）在四面體力8C。中，CA=CB=CD=BD=2,"=/。=上，則異面直線

力8與C。所成角的余弦值為（?

A五旦

B.

3~T

「V14_x/2

D.

4

4.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形，且一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在陽馬P-N8C。中，若

4

〃力」一平而44CO,WPA=AB=2,異而真線〃。與力。所成角的余弦信為則彳力=（）

A-?B.4C.2D.3

5.（24-25高二下?福建寧德?期中）如圖，在四棱臺(tái)力88-48CA中，底面力8CO是菱形，44J■平面

4BCDM4=力冏=；,4B=1,/ABC=三,直線4。與直線所成角的余弦值為（）

C*

D-T

6.在正四棱臺(tái)力88-44GA中，44=2,48=4,且該正四棱臺(tái)的體積為28,則異面直線44與8c

所成角的余弦值為（)

A135/209「2拒n57209

A.B.3M

2091911209

二、填空題

7.（24-25高二下?河南商丘?開學(xué)考試）在底面邊長(zhǎng)為2的正三棱注力8C-4B1G（44<中，異面直線力4

與8G所成角的余弦值為:，則該正三棱柱的體積為

9/19

迪繆?\線面角問題

一、單選題

1.（24-25高二下?河南，累河?期末）在四棱錐夕-43co中，平面平面ABCD，△/為正三角形，ABCD

為梯形，ADHBC,ABLBC,AD=\,48=2,4C=3,則直線產(chǎn)力與平面PCD所成角的正弦值為（）

AGDV30「后n3而

A.B.-------C.D.----------

2202126

2.12025高二全國(guó)專題練習(xí)）如圖，在正方體力8cz中，O為線段8。的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。在線段

上，直線0夕與平面力力。所成的角為a,則sina的取值范圍是（）

3.（24-25高二上?廣西河池?月考）在直四棱柱/BCO-4BC。中，底面48co為等腰梯形,

AB〃CD,AD=DC=BC=2,AB=4A=4,E為棱44的中點(diǎn)，則到平面E。耳的夾角余弦值為（）

「V103M

\-z?------

1010

二、解答題

4.（2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐P-44C。的底面為正方形，48;加）=2,R1_L平面力8CQ,

E,尸分別是線段P8,P。的中點(diǎn)，G是線段PC上的一點(diǎn).

10/19

R

D

B

(1)求證：平面七尸6_1平面總。；

(2)若直線AG與平面AEF所成角的正弦值為:，求CG的長(zhǎng).

5.(2025?河南?二模)如圖，在四棱錐Pd8c。中，ABA.BC,AB=BC=2五,力。=。。=后，點(diǎn)M為

棱PD上一點(diǎn)、,PA=PC,。為47的中點(diǎn).

(I)證明：平面P8O_L平面A//C

(2)已知"=石，PO=2,點(diǎn)N在棱BC上，且BN=2NC,若直線0N與平面M4C所成角的正弦值為立,

7

PM

求的值.

PD

日立中詢\面角(平面與平面所成角)問題▼

一、解答題

1.(24-25高二上?廣東汕頭?期末)如圖，在三棱錐尸-。中，AC=2,4c=4,△21。為E三角形，D

為48的中點(diǎn)，NPCB=/ACB=卿.

(1)求證：平面尸4CJ■平面力8C；

11/19

(2)若。為的中點(diǎn)，求平面POD與平面P8C的夾角.

2.(24-25高二下?河南駐馬店?期末)如圖，已知四棱錐P-48C。的底面是直角梯形，AD//BC,

AD=2PA=2DC=2,NBCD=9。。，且P4_L,PD1CD.

(1)證明：平面平面48CO；

(2)求二面角8-PC-O所成平面角的正弦值.

3.(2025?山東煙臺(tái)?一模)如圖，點(diǎn)C在以力8為直徑的半圓的圓周上，乙48c=60。，且40_L平面力AC,

AB=2BP=4,CD=2CP{0<2<1)

C

⑴求證：AC1BD,

(2)當(dāng)/I為何值時(shí)，平面4CP與平面ABD夾角的余弦值為乎?

4.(24-25高二下?云南曲靖?月考)如圖1在矩形43CO中，力8=4,力。=2,屈為。。的中點(diǎn)，將沿

4M折起，使得平面4DW1平面兒?CW,如圖2.

D

(1)求證：力。，平面4DW；

12/19

(2)若點(diǎn)￡是線段08上的一動(dòng)點(diǎn)，且。E=/O8(0</<1),當(dāng)二面角E-的正弦值為乎時(shí)，求，的

值.

5.(24-25高二上?福建泉州?期中)在四棱錐尸。中，底面月8C,。是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是3C的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱NO上，且PA：D,PE=MP4=E

⑴若平面平面尸CO=/,證明："/平面力8C。：

(2)求平面PEF與平面PCD的夾角的余弦值的最大值.

題型08L折疊問題

一、解答題

1.(23-24高二上?江西景德鎮(zhèn)?期末)某校一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻矍”這個(gè)五面體,

于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖I，E,F,G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊48,。。力。

的中點(diǎn)，先沿著虛線段后;將等腰直角三角形廠裁掉，再將剩卜的五邊形/BCAG沿著線段E廠折起，連

接出?,CG就得到了一個(gè)“芻鹿"(如圖2).

⑴若O是四邊形E8C/對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：AOHGCF：

(2)若二面角A-BC-E的平面角為7，求平面。力E與平面BAE夾角的余弦值.

6

2.(24-25高二下?廣西南寧,期末)如圖所示，五邊形"CDE是正六邊形43CDA4的一部分，將V4)E沿

著對(duì)角線49翻折到△/￡>〃的位置，使平面/Z)〃_L平面/AC。，已知點(diǎn)用G分別為尸。，4?均中點(diǎn).

13/19

EM

⑴求證：加力平面8"G；

(2)求平面MG與平面PAD所成二面角的正弦值.

3.(24-25高二下?浙江溫州?開學(xué)考試)如圖，矩形中，40=3,AB=6￡為/。的三等分點(diǎn)(靠

近D點(diǎn))，將A48E沿著4E折起，使得點(diǎn)H在底面的射影。落在6。上，。為線段C片上的動(dòng)點(diǎn).

(I)求證：平面4￡C_L平面?8。；

(2)若說=2至7(04見41),當(dāng)。到平面HE。的距離為野時(shí)，求見的值.

4.(24-25高二上?貴州?期中)如圖①所示，四邊形45C0是直角梯形,AQ/7BC,AQA.AB,且

AQ=2BC=2AB=4,。為線段力。的中點(diǎn).現(xiàn)沿著C力將△QCD折起，使。點(diǎn)到達(dá)2點(diǎn)，如圖②所示；連

接P%、PB,其中"為線段尸力的中點(diǎn).

⑴求證：DM'PB；

(2)若二面角力--P的大小為60。，則在線段PC上是否存在一點(diǎn)N,使得直線PB與平面BDN所成角的

14/19

正弦值為2若存在，求三棱錐P-的的體積；若不存在，靖說明理由;

⑶在(2)的條件下，求點(diǎn)A到平面8DN的距離.

5.(24-25高二下?海南?？?期末)如圖1,正方形力4C。的邊長(zhǎng)為2,如圖2,將正方形力3C。沿著對(duì)角線

4C翻折，0為原正方形力的中心.

(1)證明：平面8。。；

(2)翻折至四面體ABCD的體積最大時(shí).

(i)求異面直線力。與5c所成角的大?。?/p>

(ii)求C。與平面48。所成的角的正弦值.

題型09探索性問題

一、解答題

1.(2025高二?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，四邊形48CQ為正方形，P4_L平面/I8CQ,PA/iBE,4B=P4=4,

(1)求PQ與平面PCE所成角的正弦值：

(2)在棱力B上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面。平面尸CE說明理由.

2.(24-25高二下?福建?期中)如圖，四棱錐尸-/18CQ中，P/_L平面/8C。，ADHBC,21=1,AB=6

BC-\,AD=2,A/是的中點(diǎn).

15/19

M

(1)求證：CM〃平面〃月8：

(2)^ABLAD,

①求平面0與平面PCQ所成角的余弦值；

②在線段8。上是否存在點(diǎn)。，使得點(diǎn)。到平面刃。的距離為坦？若存在，求出條的值；若不存在,

7nt)

請(qǐng)說明理由.

3.(2025高二?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，在三棱錐力-BCD中，平面48。，平面4CO,△84。與△5CQ均為

等腰直角三角形，且N84C=4CQ=90。，BC=2.

(1)求力。與平面BC。所成角的余弦值；

(2)P是線段44上的動(dòng)點(diǎn)，若線段C。上存在點(diǎn)。(不包含端點(diǎn))，使得異面直線也與4C成30。角，求線段

產(chǎn)月長(zhǎng)的取值范圍.

4.(23-24高二上?吉林長(zhǎng)春?期中)如圖甲，在矩形49c。中，48=24。=2后，E為線段0c的中點(diǎn)，V4OE

沿直線力七折起，使得OC="，。點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接OC,如圖乙.

(1)求證：平面

16/19

(2)線段48上是否存在一點(diǎn)〃、使得平面4?！昱c平面OHC所成的角為:？若不存在，說明理由：若存在,

求出〃點(diǎn)的位置.

5.(24-25高二下?黑龍江哈爾濱?期中)如圖1,等腰梯形/ECO是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形拼成，現(xiàn)

將小CE沿4。翻折至小”，使得PO=3,如圖2所示.

圖1圖2

(1)求證：PDLBC；

(2)求直線8。與平面"CF所成角的正弦