專題10.2排列與組合（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1排列數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】.........................................................................3

【題型2組合數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】........................................................................4

【題型3全排列問題】..................................................................................4

【題型4元素（位置.）有限制的排列問題】.............................................................4

【題型5相鄰、不相鄰排列問題】......................................................................5

【題型6組合計(jì)數(shù)問題】................................................................................6

【題型7定序問題】....................................................................................6

【題型8分組分配問題】................................................................................7

【題型9排列組合綜合】................................................................................7

1、排列與組合

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第13題，5

分從近幾年的高考情況來看，排列

2023年新高考H卷：第3題，5分組合是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，每年高考都

2023年全國乙卷（理數(shù)）；第7有考查，多以選擇題、填空題的形式

⑴理解排列、組合的概念題，5分出現(xiàn)，主要考查排列組合的基本方法，

⑵能利用排列組合解決簡(jiǎn)2023年全國甲卷（理數(shù)）：第9特殊元素、相鄰與不相鄰問題以及分

單的實(shí)際問題題，5分組分配等內(nèi)容，難度不大；有時(shí)會(huì)與

2024年新高考H卷：第14題，5兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、概率等知識(shí)結(jié)合考查，

分需要靈活求解，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面

2024年上海卷：第10題，5分的訓(xùn)練.

2025年上海卷：第9題，5分

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1排列與組合

1.排列與組合的概念

名稱定義

并按照一定的順序排成一列，叫做從〃

排列

從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素中取出小個(gè)元素的一個(gè)排列

個(gè)元素

作為一組,叫做從〃個(gè)不同元素中取出m

組合

個(gè)元素的一個(gè)組合

2.排列數(shù)與組合數(shù)

⑴排列數(shù)

從H個(gè)不同元素中取出〃*WN*)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從〃個(gè)不同元素中取出〃，個(gè)

元素的排列數(shù),用符號(hào)A；表示.

(2)組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出〃，幾〃?￡N*)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出，〃個(gè)

元素的組合數(shù),用符號(hào)表示.

3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

⑴排列數(shù)公式

人：=〃(〃-1)(〃-21?(〃-6+1).這里，并且MW機(jī)

(2)組合數(shù)公式

①連乘表示：

「,”=A2=〃?-1)?(〃-2).......(〃一〃1+1)

”一而一1)?(加一2)?1?

這里，〃，mWN*,并且〃?W〃.

②階乘表示：②=二二利)「

規(guī)定：C：；=1.

(3)組合數(shù)的性質(zhì)

①性質(zhì)1：C；；=C；f；

②性質(zhì)2：C：+1=C：+C：-'.

知識(shí)點(diǎn)2排列、組合的常見問題與解題策略

1.排列應(yīng)用問題的分類與解法

⑴有限制條件的排列問題:對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際

進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元索優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元索或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多

的問題可以采用間接法.

(2)相鄰問題:對(duì)相鄰問題采用捆綁法：相鄰元素看作?個(gè)整體與其他元素?起排列，注意捆綁元素的內(nèi)部

排列.

⑶不相鄰問題:不相鄰問題采用插空法；先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素

排列的空檔中.

(4)定序問題:定序問題有兩種求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有順序要求的排列；二是定

序排他法：有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可.

⑸間接法:正面分類太多從反面入手.

⑹多排問題直排法:元素分為多排的排列問題，可以看出一排問題，再分段研究.

2.組合問題的分類與解法

組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不

含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵

詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解?，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用

間接法處理.

3.分組分配問題

(I)解題思路：先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題.

(2)分組方法:①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘；②部分均勻分組，有，〃組元素個(gè)數(shù)相同，則分組

后除以〃山③完全非均勻分組，只要分組即可.

(3)分配方法:①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,

先分組后分配：③有限制條件的分配問題，采用分類求解.

【方法技巧與總結(jié)】

1.解決排列、組合問題的十種技巧

(1)特殊元素優(yōu)先安排.

(2)合理分類與準(zhǔn)確分步.

(3)排列、組合混合問題要先選后排.

(4)用鄰問題捆綁處理.

(5)不相鄰問題插空處理.

(6)定序問題倍縮法處理.

(7)分排問題直排處理.

(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部。

(9)構(gòu)造模型.

(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化.

舉一反三

【題型1排列數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】

【例1】(25-26高二上?黑龍江哈R濱?階段練習(xí))Ag=()

A.10B.15C.20D.25

【變式1-11(25-26高二上?全國?單元測(cè)試)(九-1998)(n-1999)“…(n-2025)(n-2026)(neN,?i>2026)

可表示為()

A?A怒1998B.A煦1998c.A^L2026D.A常2026

【變式1-2](24-25高二下.廣東清遠(yuǎn)?期末)Ag+A專=()

A.8B.13C.63D.66

【變式1-3]（24-25高二下?廣東揭陽?階段練習(xí)）滿足不等式穿<3（?i￡N*）的"的值為（）

An

A.9B.11C.12D.13

【題型2組合數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算】

【例2】（2025?遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè)）化簡(jiǎn)式子：U?G+ChG+C>G+/?G的結(jié)果為（）

A.弓B.C|C.C?oD.C?o

【變式2-1]（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）裊+%+笠+???+禺=（）

1X22X33X430X31

.230-31仁231-32廠230-31、231-32

930930870870

【變式2-2]（24-25高二上?河南南陽?期末）若C勢(shì)+8=C期+2,則/=.

【變式2-3]（2024.上海寶山.一模）己知關(guān)于正整數(shù)%的方程行/=C咨-5,則該方程的解為.

【題型3全排列問題】

【例3】（24-25高二下?四川南充?期末）用1,3,5,7這4個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)

是（）

A.12B.24C.36D.48

【變式3-1]（2025?廣西河池?模擬預(yù)測(cè)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.

假設(shè)空間站要安排甲、乙、丙共3名航天員開展實(shí)驗(yàn)，每個(gè)艙安排一個(gè)人，則不同的安排方法一共有（）

A.3種B.4#C.5種D.6種

【變式3-2]（24-25高二下?江蘇泰州?期中）由1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.16C.20D.24

【變式3-3]（25-26高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）一個(gè)數(shù)陣有m行6歹U，第一行的六個(gè)數(shù)互不相同，其余行

都由這六個(gè)數(shù)以不同的順序組成.如果要使任意兩行的順序都不相同，則m的最大值是（）

A.119B.120C.719D.720

【題型4元素（位置）有限制的排列問題】

【例4】（2025?海南?模擬預(yù)測(cè)）某電影院一排有7個(gè)座位，中間有條過道，過道左側(cè)有4個(gè)座位，右側(cè)有3

個(gè)座位，現(xiàn)有包含小明，小剛，小強(qiáng)在內(nèi)的7位同學(xué)購買了某一排的座位，其中小明想和小愀.坐在一起，

小強(qiáng)想坐在右側(cè)，則共有（）種不同的排法.

A.216B.264C.312D.528

【變式4-1]（2025?甘肅?模擬預(yù)測(cè)）因工作需要，某單位安排甲、乙、丙、丁4位領(lǐng)導(dǎo)在端午節(jié)3天假期值

班，要求每天有兩人值班，且每人需要值班1天或2天，則不同的值班方案有（）

A.92種B.90種C.86種D.76種

【變式4-2］（2025?重慶九龍坡?三模）"142857”這一用數(shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，

當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1,4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字組成.若從1,

4,2,8,5,7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5700

的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（）

A.66B.75C.78D.90

【變式4-3］（2025?湖北?二模）甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的4、B、C、0四項(xiàng)服

務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加B項(xiàng)工作，乙必須參加。項(xiàng)

工作，則不同的安排方法數(shù)有（）

A.36種B.42種C.54種D.72種

【題型5相鄰、不相鄰排列問題】

【例5】（2025?江蘇南通?二模）有3個(gè)男生和2個(gè)女生站成一排合影，則女生甲不在兩端且2個(gè)女生不相鄰

的不同排法總數(shù)為（）

A.18B.36C.72D.144

【變式5-1］（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）某班有力，B,C,D,E五名同學(xué)要排成一排進(jìn)行拍照，其中8同學(xué)不站

在兩端，C,。兩名同學(xué)相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為（）

A.12B.24C.36D.48

【變式5-2】（2025?山東聊城?模擬預(yù)測(cè)）某多功能體育場(chǎng)館決定承包舉辦馬術(shù)，擊劍，游泳,跑步四項(xiàng)比賽.

應(yīng)主辦方要求，馬術(shù)比賽和跑步比賽不相鄰，游泳比賽不在第一場(chǎng)也不在最后一場(chǎng)，則不同的比賽方式共

有（）

A.16種B.12種C.8種D.6種

【變式5-3］（2025?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）畢業(yè)是青春的里程碑，更是奔赴星海的啟航.希望中學(xué)高三（8）

班的九名身高互不相同的摯友想拍一張畢業(yè)照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，

其中小郅與小豪兩位好朋友在這九人中身高由高到低分別位居第I位與第4位，他們要求要站在同一行相

鄰的位置，則不同的排列方式共有（）種.

A.200B.300C.400D.600

【題型6組合計(jì)數(shù)問題】

【例6】（2025?陜西模擬預(yù)測(cè)）某校學(xué)生會(huì)有男生8人，女生12人，現(xiàn)從男生中選出7人，從女生中選出

II人參加志愿活動(dòng)，則不同的選法種數(shù)為（）

A.48B.96C.144D.192

【變式6-1］（2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）10名同學(xué)合影，站成了前排3人后排7人，現(xiàn)攝影師要從后排7

人中抽2人調(diào)整到前排，具他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.630C.252D.420

【變式6-2］（2025?甘肅白銀?三模）花江大峽谷被譽(yù)為“地球的裂縫”，是貴州喀斯特地貌類型最為齊全的天

然亞熱帶巖溶景觀博物館.，自2022年1月花江峽谷大橋正式開工建設(shè)以來，貴州橋梁集團(tuán)等承建單位的建

設(shè)者們不畏嚴(yán)寒酷暑，奮戰(zhàn)在花江大峽谷600多米的云山霧海里，為大橋早日建成攻堅(jiān)克難、不懈努力.某

日，從張師傅、李師傅、王師傅等8名花江峽谷大橋建設(shè)工人中選取4人輪休，要求張師傅和李師傅不能

同時(shí)輪休、旦張師傅和王師傅必須同時(shí)輪休或在崗，若輪休的4人需要在四個(gè)不同時(shí)間返回待崗室進(jìn)行設(shè)

備檢杳，且每人只需返回一次，則不同的輪休方案有（）

A.360種B.480種C.600種D.720種

【變式6-3］（2025?江蘇鎮(zhèn)江?一模）2025年，省屬“三位一體”綜合評(píng)價(jià)招生政策進(jìn)行了調(diào)整，每位考生限報(bào)

四所大學(xué).某考生從6所大學(xué)中選擇4所進(jìn)行報(bào)名，其中甲、乙兩所學(xué)校至多報(bào)一所，則該考生報(bào)名的可能

情況種數(shù)是（）

A.12B.9C.6D.15

【題型7定序問題】

【例7】（24-25高二下?重慶九龍坡?階段練習(xí)）重慶外國語學(xué)校第34屆外語節(jié)于2025年5月22日舉行，高

二某班6名同學(xué)參加節(jié)FI表演，表演完后老師為這6名同學(xué)合影留念.合影時(shí)4人先到2人后到，為節(jié)約時(shí)

間，先到的4人排好隊(duì)，后來的2人加入并保持排好隊(duì)同學(xué)的相對(duì)順序不變，這兩名同學(xué)共有多少種加入

力法（）

A.10B.20C.60D.30

【變式7-1］（24-25高二下?陜西榆林?階段練習(xí)）高二（1）班5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同

學(xué)耍加入，若保持原來5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）

A.42B.30C.21D.15

【變式7-2］（24-25高二下?廣東揭陽?階段練習(xí)）某道菜的制作需要用到雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐

干、果干、茄子凈肉共七種原料，交飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞雁肉后下鍋，

雞湯最后下鍋，則制作這道菜時(shí)不同的下鍋順序共有（）

A.12種B.16種C.24種D.28種

【變式7-3］（24-25高二下?北京?期末）某4位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來了2位同學(xué)要加入，如果保

持原來4位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（）

A.10B.20C.24D.30

【題型8分組分配問題】

【例8】（2025.江西?二模）某校組織校運(yùn)會(huì)活動(dòng)，由甲、乙、丙三名志愿者負(fù)責(zé)48,。,0四個(gè)任務(wù)，每人至少

負(fù)責(zé)一個(gè)任務(wù)，每個(gè)任務(wù)都有且僅有一人負(fù)責(zé)，且甲不負(fù)責(zé)力任務(wù)，則不同的任務(wù)分配方法種數(shù)為（）

A.12B.18C.24D.30

【變式8-1］（2025?湖南郴州?一模）“湘超”足球比賽正在如火如荼進(jìn)行中，某企業(yè)贊助一批足球訓(xùn)練設(shè)備給

甲、乙、丙三個(gè)球隊(duì).這批設(shè)備分別為6個(gè)相同的跳箱和3箱相同的藥球.要求每隊(duì)至少有一個(gè)跳箱，且藥球不

能全部分配給同一球隊(duì)，則不同的分配方案有（）

A.35種B.70種C.140種D.210種

【變式8-2】（2025?福建三明?三模）縣委組織部擬派六位大學(xué)生對(duì)它對(duì)五個(gè)貧困村進(jìn)行駐村幫扶，每位大學(xué)

生村官只去一個(gè)貧困村，每個(gè)貧困村至少派一位大學(xué)生村宜，其中甲、乙兩位大學(xué)生村官派遣至不同的貧

困村，則不同的派遣方案共有（）

A.1440種B.1680種C.1800種D.2400種

【變式8-3】（2025?河南鄭州?三模）河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊(yùn)，其美食也獨(dú)具特色.現(xiàn)有一名

游客計(jì)劃在三天內(nèi)品嘗完以下六種河南特色美食：炒面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、炳餅、黃河鯉魚.該

游客每天從這六種美食中選擇1到3種進(jìn)行品嘗（每天必須選擇且不能重復(fù)選擇已品嘗過的美食）.若三

天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數(shù)為（）

A.450B.360C.180D.90

【題型9排列組合綜合】

【例9】（2025?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）將5個(gè)大小相同，顏色不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)盒

子中，恰好有2個(gè)空盒的放法共有（）

A.1500種B.1800種C.2340種D.2400種

【變式9-1］（2025?四川達(dá)州?模擬預(yù)測(cè)）某市將要承辦“全國太極拳公開賽總決賽”，組委會(huì)將甲、乙、丙、

丁、戊等五位志愿者分配到個(gè)人賽、對(duì)練賽和集體項(xiàng)目比賽等三個(gè)場(chǎng)館執(zhí)勤，若每個(gè)場(chǎng)館至少分到一人，且

甲不能被分配到個(gè)人賽場(chǎng)館，乙不能分配到對(duì)練賽場(chǎng)館，則不同分配方案的種數(shù)是（）

A.69B.72C.75D.90

【變式9-2】（2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）樹人中學(xué)的科學(xué)社團(tuán)設(shè)計(jì)了一塊如下圖所示的正反面內(nèi)容相同的雙面團(tuán)

牌，給團(tuán)牌的正反兩面6個(gè)區(qū)域涂色，有3種不同顏色可選，要求同面有公共邊的區(qū)域不同色，同一區(qū)域

的兩面也不同色，則不同的涂色方法的種數(shù)為（）

A.36B.48C.54D.56

【變式9-3］（2025?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，并包攬

了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，且丙不是最后兩名，則這7名同學(xué)獲獎(jiǎng)的

名次情況共有（）

A.524種B.564種C.624種D.664種

過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2025.福建漳州.模擬預(yù)測(cè)）+C?o=（）

A.65B.160C.165D.210

2.（2025?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知上位學(xué)生被分配到A、8、。三地學(xué)習(xí)，每地至少分配一位學(xué)生且每位學(xué)生

只能去一個(gè)地方學(xué)習(xí)，則不同的分配方式有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

3.（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)》將數(shù)字1,2,3,4,5,6填入如圖的6個(gè)方格中，每個(gè)方格填一個(gè)數(shù)字,

每個(gè)力格中的數(shù)字均不相同，若每行中任怠兩個(gè)相鄰數(shù)字之和為偶數(shù)，則不同的填法共有（）

A.36種B.48種C.72種D.108種

4.（2025?全國?模擬預(yù)測(cè)）2025年1月7日9時(shí)5分，西藏自治區(qū)日喀則市定日縣發(fā)生6.8級(jí)地震.現(xiàn)從

各省共抽派7支搶險(xiǎn)工作隊(duì)前往5個(gè)災(zāi)區(qū)縣救援，要求每個(gè)受災(zāi)縣至少有一個(gè)工作隊(duì)的方法種數(shù)共有（）

A.1800B.16800C.14280D.25200

5.（2025?遼寧大連?一模）某班有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生依次參加接力跑的4x100m接力比賽，已知甲

不能站在第一位，乙不能站在第二位，則可能的安排排列順序有（）

A.8種B.14種C.18種D.24種

6.（2025?湖北武漢?三模）如圖，某社區(qū)為墻面小B、C、。四塊區(qū)域宣傳標(biāo)語進(jìn)行涂色裝飾，每個(gè)區(qū)域涂

一種顏色，相鄰區(qū)域（共邊）不能用同一顏色，若只有4種顏色可供使用，則恰好使用了3種顏色的涂法

有（）

AB

CD

A.12種B.24種C.48種D.144種

7.（2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）某急救小組有1名司機(jī)，2名醫(yī)生和3名護(hù)士，6人排成一排合影留念，要求2

名醫(yī)生不相鄰，3名護(hù)士互不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）

A.36B.48C.72D.120

8.（2025?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）六安市旅游資源非常豐富，夏季到景點(diǎn)漂流是很多家庭的最佳避暑選擇.某

家庭共6個(gè)人，包括4個(gè)大人，2個(gè)小孩，計(jì)劃去霍山漂流.景點(diǎn)現(xiàn)有3只不同的船只可供他僅選擇使用，

每船最多可乘3人，為了安全起見，小孩必須要大人陪同，則不同的乘船方式共有（）種.

A.348B.288C.360D.60

二、多選題

9.（2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）某班有10名同學(xué)，現(xiàn)在選出3名去參加歌唱比賽，則不同的選法種數(shù)為

（）

A.Cf0B.貫C.a+釐D.Cj+2C1+Cg

10.（2025?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）若〃?，〃為正整數(shù)且1,則（）

A.Ci=CfB.6=哼

1

C.mC『=5—l）CQiD.+mA^-=A^+1

11.（2025?福建泉州?二模）某學(xué)校高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的

是（）

A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有56種不同的選法

B.從中選2人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中男、女生各1人，共有12種不同的選法

C.將這8名學(xué)生排成?排，3位女生排在?起的方法共有4320種

D.8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有356種排法

三、填空題

12.（2025?貴州?模擬預(yù)測(cè)）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”

講座活動(dòng)，每“藝”安排一次講座，共開展六次.講座