專(zhuān)題02空間向量與立體幾何的綜合應(yīng)用10大重點(diǎn)題型（期中專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)

練）

【人教A版】

空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

1.（24-25高二上?安徽蕪湖期中）已知平行六面體ABC。2AB=2AD=AAX,LBAD=1氏4Al=

乙。A&=60°.設(shè)48=五,4。=瓦44]=己則平面的一個(gè)法向量為（）

A.6Q+6b—cB.2a+3b+cC.2a+3b—cD.a+b—c

2.（24-25高二上?寧夏吳忠期中）已知P為平行四邊形4BCD外的一點(diǎn),且荏=（2,1,3）,AD=（3,2,5）,PA=

（一2,—2,2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.可與筋是共線向量B.與方同向的單位向量為（-今0,2給

C.而與前夾角的正弦值為:D.平面PBO的一個(gè)法向量為（7,-5,1）

3.（24-25高二上?四川成都?期中）經(jīng)過(guò)點(diǎn)力（1,2,1）,點(diǎn)8（3,4,5）的直線的一個(gè)方向向量是.

4.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P-48。中，底面力BCD為矩形，PAL^ABCD,E

為P。的中點(diǎn)，AB=AP=1,AD=瓜，試求直線PC的一個(gè)方向向量和平面PC。的一個(gè)法向量.

1/16

5.124-25高二上?廣東江門(mén)?階段練習(xí))在空間直角坐標(biāo)系。一xyz中，已知向量前=(-1,0,1).AC=(0,1,1),

^0=(-1,1,0).

⑴求正，而;

(2)求平面BCD的一個(gè)法向量.

題型2利用空間向量證明線、面的平行關(guān)系

6.(24-25高二上?四川達(dá)州?期中)已知平面a的法向量為訪=(t,l,￡+l).若V￡WR,直線”/平面a,則直

線總勺方向向量的坐標(biāo)可以是()

A.(1,-1,1)B.(—1,1,-1)

C.(-1,1,1)D.(1,1,-1)

7.(24-25高二上?福建廈門(mén)?期中)已知直線，的一個(gè)方向向星為沅=(1,2,-4),平面。的一個(gè)法向量為萬(wàn)=

(2,3,。，若l〃Q,則t=()

A.1B.2C.3D.4

8.(24-25高二上?山東聊城?期中)如圖，241平面川冗?Q,底面川弘?。是正方形，E,尸分別為尸O,PB

的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段/尸上，AC與BD交于點(diǎn)O,PA=AB=2,若OG〃平面EFC,則AG=,

2/16

9.(24-25高二上?福建II門(mén)期中)如圖，在正方體48c.〃一481G/中，棱長(zhǎng)為2,分別是8%〃必,48

的中點(diǎn).

⑴求證:EFlAtDz

(2)求證：EF〃平面A10G.

10.(24-25高二上?重慶?期中)已知矩形48CO,48=4,AD=2,E為C。中點(diǎn)，沿4E折成直二面角,

M為8c為中點(diǎn).

(1)求證：BCLDM；

(2)在楂。E上是否存在點(diǎn)N,使得CN〃平面/DW?若存在，求黑的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3/16

題型3利用空間向量證明線、面的垂直關(guān)系

11.(24-25高二上?浙江嘉興期中)已知沅=(一2,￡,5),1=(3,-25)分別是平面Q,［的法向量,且a1/?,

則『的值為()

A.1B.2C.-1D.-2

12.(24-25高二上?浙江溫州?期中)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著.書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)

棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖，在陽(yáng)馬P-H8C。中，/\41平面為8。0,底面力BCD是矩形，E、F

分別為尸。，Q8的中點(diǎn)，G為直線C尸上的動(dòng)點(diǎn)，出=2,48=1,若力G1平面EFC,則段=()

A空B-7C-7D*

13.(24-25高二上?浙江?期中)空間中A(l,0,0),B(0,L0),C(l,l,2),D(0,0,l),E(La,b),其中a,bwR,且。E1

平面力8C,則a+b的值為.

14.(24-25高二上?廣東中山?期中)如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體中，E,尸分別為48,AXC

的中點(diǎn).證明：EF1平面4CD.

4/16

15.（24-25高二下?湖北?期中）在4ABC中，B=^,AB=2BC=4,點(diǎn)D、E分別為邊4C、的中點(diǎn)，將△AED

沿DE折起，使得平面AE。_L平面BCDE.

（1）求證:DC1AEx

（2）在平面ACD內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使得平面4EM1平面;4BD?若存在，指出點(diǎn)M的位置：若不存在，說(shuō)明理由.

題型41異面直線夾角的向量求法

16.（24-25高二上?湖南?期中）在長(zhǎng)方體力8。。一41氏。1。1中，己知48=鳳:=2,441=4,E為4必的中

點(diǎn)，則直線CE與所成角的余弦值為（）

A.與B.經(jīng)C."D.手

42214221

17.（24-25高二上?貴州貴陽(yáng)?期中）圖，已知圓柱。1。2的軸截面力8c。是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為下底面

圓周上一點(diǎn)，滿(mǎn)足防=2麗，則異面直線4E與5。1所成角的正弦值為（）

V95V95

A.一6D.17

18.（24-25高二上?吉林?期中）如圖，在宜三棱柱ABC-Ai/Ci中，。為棱4%的中點(diǎn)，AC=2,

5/16

ccx=BC=1,ACIBC,則異面直線CO與BC1所成角的余弦值為.

19.(24-25高二上?上海浦東新?期中)如圖，在三棱柱4BC-4避1。1中,側(cè)面BCC/i，ABB41均為正方

形，AB=BC=1,乙48c=90。，點(diǎn)。是棱4Q的中點(diǎn).

(1)求證：0D1平面441C1C；

⑵求異面直線當(dāng)0與BQ所成角的大小.

20.(24-25高二上?重慶?期中)如圖，在正方體4BCD—4B1CW1中，2A1=2,E,尸分別為44〔,CD的中點(diǎn).

⑴求異面直線EF與B也的夾角的正弦值;

(2)求點(diǎn)E到線段FB］的距離.

6/16

題型5利用空間向量求線面角a

21.（24-25高二上?重慶期中）在四棱錐P-4BCD中，P41底面4BCD,底面ABCD是正方形，P4=2/B=1,

則直線PC與平面P8。所成角的正弦值為（）

7B.1C.乎D.券

22.（24-25高二上?海南海口期中）在三棱錐P-/18C中，PAL平面4BC,484C=90。，分別是棱

/1BICCP的中點(diǎn)，AB=AC=1,/M=2,則直線P/1與平面OEF所成角的正弦值為（）

A.：B.1C.當(dāng)D.當(dāng)

3335

23.（24-25高二上?上海?期中）直棱柱48c-4出1的中底面力8c為直角三角形，P是的中點(diǎn),AAX=AC=

BC=2,則4P與面AQ%所成的角的正切值為

24.（24-25高二上?山東濰坊?期中）如圖，在四棱錐P-/RC。中，P4_L平面48mAB||CD,LABC=90%

BC=CD=^AB=2,E為棱的中點(diǎn).

（I）證明：4。//平面PEC；

（2）若乙PBA=60°,求直線24與平面PCE所成角的正弦值.

7/16

25.（24-25高二上?北京順義?期中）如圖，四棱錐P-/IBCD中，側(cè)面P40為等邊三角形，AB=BC=^AD,

Z.R4D=乙ABC=90°.

（1）若￡為棱PD的中點(diǎn)，求證：直線CE〃平面PAg

（2）若平面/MO1平面力BCD,點(diǎn)M在棱PC上，且二面角M—48的大小為45。，求直線BM與底面48CD

所成角的正弦值.

題型6N利用空間向量求面面角

26.（24-25高二上?四川?期中）在正方體力BCD-ABiGDi中，Q為81cl的中點(diǎn)，則平面4BQ與平面ACQ4

夾角的余弦值為（）

A.4B.fC.半D.當(dāng)

34155

27.（24-25高二上?云南玉溪?期中）如圖，正方體力8。。一41當(dāng)。1。1的棱長(zhǎng)為1,線段當(dāng)小上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)

E,F,且EF=則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

8/16

A.三棱錐4-BEF的體積為定值

B.當(dāng)E向Di運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角4一￡/一8的大小不變

C.二面角E—4B—C的最小值為45。

D.當(dāng)E向外運(yùn)動(dòng)時(shí)，4EJ.C尸總成立

28.（24-25高二上?四川綿陽(yáng)?期中）如圖所示，在四面體力BCD中，△BCD為等邊三角形,^ADB=p則

平面力打〃與平面AC。央角的最大值是.

C

29.（24-25高二上?寧夏吳忠?期中）如圖.在四棱錐P-48CD中，BC//AD,AB=BC=1,4。=3,點(diǎn)E

在力。上，且PE14D,PE=DE=2.

（1）若廣為線段PE中點(diǎn)，求證：BF〃平面PCD；

（2）若AB1平面24。，求平面24B與平面PCD夾角的正弦值.

30.（24-25高二上?云南文山?期中）如圖，在四棱錐P-71BG9中，底面為直角梯形，乙ADC=LBCD=

90°,BC=1,CD=?PD=2,Z.PDA=6Q°,z.PAD=30°,且平面P40_L平面A8CD,在平面ABC。內(nèi)過(guò)8

作BOIAO,交A。于。，連PO.

9/16

（1）求證:P01平面力BCD；

（2）求二面角力-PB-C的正弦值:

題型71利用空間向量求點(diǎn)到平面距離

31.（24-25高二上?福建福州?期中）在棱長(zhǎng)為4的正方體力BCD-力i/CRi中，E,F,G分別是棱BC,BBltDDl

的中點(diǎn)，過(guò)尸G作平面a,使得％E〃a,則點(diǎn)力到平面a的距離是（）

2VT76g10g

B>rD?喑

A.——J

32.（24-25高二上?廣東湛江?期中）如圖，在直三楂柱—中，川？=/C=44i=2,LBAC=90%

E,產(chǎn)分別為Cg,8c的中點(diǎn)，則點(diǎn)/到平面/的距離為（）

A.瓜B.2

C.呷D.2V6

?3

33.（24-25高二上?上海?期中）如圖,正方體—的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)兒到平面Bg。的距離

為.

10/16

34.(24-25高二上?四川綿陽(yáng)?期中)如圖，已知正方體48(；〃一力/(；］〃1的楂長(zhǎng)為2,E、產(chǎn)分別是4名，CD

的中點(diǎn).

(1)求證：/)］尸1平面40邑

(2)求Q到平面4DE的距離.

35.(24-25高二上?安徽宿州,期中)如圖甲，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中,CD是48邊上的高,E,3分別

是HC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△4CD沿CD翻折使得平面力CD1平面BCD,如圖乙.

(1)求證：48〃平面DEF；

⑵若M為48的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面的距離.

11/16

題型8、■膽出此國(guó)后靛由曲

36.（25?26高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）正方體48G5-4iBiCiDi的棱長(zhǎng)為1,則平面ABWi與平面8。的的距

離為（）

A.V2B.V3C.yD.y

37.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）正方體力BCD-的極長(zhǎng)為2,E,F,G,H分別是極力B,AD,

/的，D[C]的中點(diǎn)，則平面EFD/i和平面GHDB之間的距離為（）

A.-B.-C.-D.-

3326

38.（24-25高二上?上海虹口,階段練習(xí)）已知A8CD-4B1C1%是棱長(zhǎng)為1的正方體,則平面力與平

面GOD的距離為.

39.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體48。/）-48道15中，E為線段00的中點(diǎn),

產(chǎn)為線段8%的中點(diǎn)，G為線段4B的中點(diǎn)，求平面4E“到平面gFG的距離.

40.（2025高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正方體4?。。-為&。1。1的棱長(zhǎng)為2,求:

⑴求直線81c到平面為8。的距離：

（2）求平面與平面為。。1間的距離.

12/16

題型9點(diǎn)到直線、異面直線距離的向量求法

41.（24-25高二上?遼寧撫順?期中）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-4B1GD1中，底面力BCD是菱形，1平面

ABCD,AA}=A}BX=^AB=1,/,ABC=則點(diǎn)8到直線力】。的距離為（）

42.（24-25高二上?廣東廣州?期中）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一

條直線距離的最小值.在棱長(zhǎng)為I的正方體-48傳1。1中，直線BD與CB］的距離為（）

A.1B.當(dāng)C.1D.E

223

43.（24-25高二上?廣東佛山期中）已知直線I的方向向量為元=（1,0,2）,點(diǎn)4（0,1,1）在直線Lt,若點(diǎn)P（l,a,2）

到直線，的距離為等，則a=.

44.（24-25高二上?內(nèi)蒙古?期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E,尸分別為線段月4,

81G的中點(diǎn).

⑴求尸點(diǎn)到的距離;

（2）求點(diǎn)尸到平面4CE的距離.

45.（24-25高二上?福建福州?期中）如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-4B1C1D1中,AB=3,4。="=2,點(diǎn)E

13/16

在上，且力E=1.

(1)求直線BCi與平面&EC所成角的正弦值；

⑵若點(diǎn)P在側(cè)面上，且點(diǎn)P到直線8%和CD的距離相等，求點(diǎn)P到直線力小距離的最小值.

題型ioN空間線段點(diǎn)的存在性問(wèn)題

46.(24-25高二上?貴州?期中)如圖，在直三棱柱力BC-&B1C1中，CA=CB=^AAi=1,BC1AC,P

為上的動(dòng)點(diǎn)，。為棱gC的中點(diǎn).

(1)設(shè)平面48Qn平面/IBC=Z,若尸為的中點(diǎn)，求證：PQ/〃；

(2)設(shè)麗=2兩，問(wèn)線段4B上是否存在點(diǎn)P,使得4PL平面4BQ?若存在，求出實(shí)數(shù);I的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

47.(24-25高二上?浙江?期中)如圖，在四棱錐S-力BCD中，四邊形4BCD為矩形，△S/W為等邊三角形,

14/16

且S在平面/BC。上的射影為4。中點(diǎn)P,AB=1,VS-ABCD=|v3.

(1)若E為棱SB的中點(diǎn)，求證：P￡〃平面SCO；

(2)在棱SC上是否存在點(diǎn)M,使得直線SC與平面尸MB所成角的余弦值為g