專題05立體幾何中的數(shù)學(xué)文化及創(chuàng)新定義問題

目錄

典例詳解............................................................1

類型一、立體幾何中的數(shù)學(xué)文化...............................................................?

類型二、離散曲率............................................................................4

類型三、曼哈頓距離..........................................................................7

類型四、向量叉乘............................................................................8

類型五、立體幾何其他新定義問題............................................................11

壓軸專練...........................................................13

，類型一、立體幾何中的數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化試題常常是以數(shù)學(xué)文化為背景命制的與核心考點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的題目，把數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)語言、

數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)科核心索養(yǎng)及數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合起來，能有效考查考生在新情境中對?數(shù)學(xué)文化的鑒賞

能力、對數(shù)學(xué)知識的閱讀理解能力、對數(shù)學(xué)方法的遷移能力.解決此類問題主要是學(xué)會提前關(guān)鍵信息，抓

住信息重點(diǎn).

一、單選題

1.（24-25高二上?山東淄博?期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面

的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P-ABCD為陽馬，PAL平面ABCD，點(diǎn)、E是PC邊上一點(diǎn)，且

EC=yPC,若DE=xAB+yAC+zAP,則2x+y+z=（）

1/21

R

D

Bt-----------%

A.1B.1C.2D.|

2.（2024?河北?模擬預(yù)測）1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗,

尤其是通過開展大生產(chǎn)運(yùn)動，最終走出了困境.如圖就是當(dāng)時纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段力8與CQ

所在直線異面垂直，￡尸分別為力氏。。的中點(diǎn)，且EFJ./B,EFLCD,線拐子使用時將絲線從點(diǎn)A出發(fā),

依次經(jīng)過。WC又回到點(diǎn)A,這樣?直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”.圖中

簡圖

A.90x/2cmB.90百cmC.605/6cmD.805/3cm

3.（2025?安徽合肥?模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何

體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有?個如圖所示的由池，它的高

為2,44、BB\、eq、。"均與曲池的底面48CQ垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分另！為1和2,對

應(yīng)的圓心角為90、則圖中異面直線與所成角的余弦值為（）

4.一個分了?的極性大小通?？梢杂门紭O矩來衡量，偶極矩是一個矢量，化學(xué)鍵極性向量之和即為分子的偶

極矩，方向規(guī)定為從正電中心指向負(fù)電中心，用符號W表示.一般而言，|川越大，分子極性越大.現(xiàn)有分

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子,4的兩個化學(xué)鍵極性向量可分別表示為（1,3,2）和-4）.分子8的三個化學(xué)鍵極性向量可分別表示為

（0,2,2）,（-2,2,7）和（2,2,1）.分子C的兩個化學(xué)鍵極性向量可分別表示為（-3,3,3）和（-1,4,-4）.則下列說

法錯誤的是（）

A.分子力的偶極矩模長最小B.分子。的極性最大

C.A,C分子的偶極矩大小之差小于2.6D.B,C分子的偶極矩大小之差大于1.6

二、多選題

5.（24-25高二上?廣東珠海?月考）布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具

有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所

示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1,則（）

圖1圖2圖3

B.直線c。與平面44GA所成角的余弦值為：2

A.CG=2AB+2AA1

c.點(diǎn)G到直線的距離是手D.異面直線C。與8。所成角的余弦值為歲

6

三、填空題

6.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記

載了一種名為“芻亮”的五面體（如圖），其中四邊形力8c。為矩形，EF//AB,若;4B=；4D=EF,AADE和

V8c尸都是正三角形，G為力。的中點(diǎn)，則異面直線GE與b所成角的余弦值為.

7.正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈

感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個高為4的正八面體，G為“。的中點(diǎn)，則異面直線EG與所成角的

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正弦值為

F

四、解答題

8.（24-25高二上?遼寧?期中）《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在其中一篇《商功》中有如下

描述：“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.如圖，在塹堵ABC-4與G中，4BJ.BC,

AB=BC=1,CC,=2,P為棱4C的中點(diǎn)，。為棱4G的中點(diǎn).

（I）證明：平面P8CJ/平面44。；

（2）求平面AQB,與平面ABC夾角的正弦值.

疹類型二、離散曲率

一、單選題

I.（24-25高二下?湖南長沙?月考）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)

定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于27r與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角

度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正

四面體在每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是5，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2冗-3xg=*故其總曲率

為4人則正十二面體的總曲率為（）

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A.2nB.4兀C.8兀D.12n

二、多選題

2.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：

多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧

度制）.已知正三棱臺48C-48C中，AB=2AB「棱AB,44的中點(diǎn)分別為。，D「若該棱臺頂點(diǎn)A,

4的曲率之差為7t，則（）

A.CDJBB]

B.84d.平面力4G。

C.直線與平面力4々8所成角的正弦值等于些

3

D.多面體/CCQQ頂點(diǎn)。的曲率的余弦值等于左

三、解答題

3.[24-25高二上?上海?期中）刻畫空間的彎曲性是幾何研究中的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性.規(guī)定,

多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中經(jīng)過該頂點(diǎn)的多面體的面的內(nèi)角叫做多面

體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體的每個頂點(diǎn)均有3個面角，每個面角均為三，故其各個頂點(diǎn)的曲

率均為2江一3乂^=兀.如圖，在直三棱柱力質(zhì)?—/聲￡中，分別是力“、cq的中點(diǎn)，AB^AC=AA^2,

且點(diǎn)A的曲率為與；

5/21

AC

Bi

(1)證明：CN_L平面力644；

(2)求點(diǎn)8到平面彳的距離；

(3)求二面角/一歷々一6；的大小.

4.(24-25高三下?甘肅白銀?月考)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定:

①多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀減去多面體在該點(diǎn)處所有面角之和：②多面體的總曲率等于多面體所有頂點(diǎn)的

曲率之和，多面體各頂點(diǎn)的平均由率等于它的總曲率與頂點(diǎn)數(shù)之商，其中多面體的面的內(nèi)角叫作多面體的

面角，角度用弧度制.例如：正囚面體每個頂點(diǎn)均有3個面角，每個面角均為三，故其各個頂點(diǎn)的曲率均

圖1圖2

(1)如圖1,已知四棱錐力比'。的底面力8c。為菱形，N/OC=60。，O為BQ的中點(diǎn)，且P01平面48CQ,

力5=200=2.

①求該四棱錐在頂點(diǎn)P處的曲率的余弦值；

②求二面角P-AB-D的平面角的正弦值：

(2)瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德?歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他對簡單多面體進(jìn)行研究后，提出了著

名的歐拉定理：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)入棱數(shù)￡與面數(shù)/滿足P+產(chǎn)-E=2.請運(yùn)用歐拉定理解決下列問題:

碳60(C60)具有超導(dǎo)特性、抗化學(xué)腐蝕性、耐高壓以及強(qiáng)磁性，是一種應(yīng)用廣泛的材料.它的分子結(jié)構(gòu)十

分穩(wěn)定，形似足球，也叫足球烯，如圖2所示.已知碳60(C6°)的分子結(jié)構(gòu)是一個由60個。原子構(gòu)成的

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分子，這個多面體有60個頂點(diǎn)，試求碳60（C60）各頂點(diǎn)的平均曲率.

多類型三、曼哈頓距離

一、填空題

1.（24-25高一下?黑龍江哈爾濱,期中）“曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由19世紀(jì)赫爾曼.閔可夫斯

基所創(chuàng)詞匯，表示兩個點(diǎn)在空間1或平面）直角坐標(biāo)系中的“絕對軸距”總和.例如：在空間直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)。（演,必/3見孫必修）之間的曼哈頓距離為＜/（45）=,2-而|+|必-必|+?2-4|.現(xiàn)已知在空間直角坐標(biāo)

系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)?滿足“。,尸）=1,則動點(diǎn)尸圍成的幾何體的體積為.

2.（24?25高三上?貴州貴陽?期末）對于兩個空間向量1二（%,）"）與5=（與,為，Z2），我們可以定義它們之

間的歐式距離為d網(wǎng)）=J+仇—y2）'+3/f，歐式距離可以簡單理解為兩點(diǎn)之間的直線距離;

根據(jù)需要，還可以定義它們之間的曼哈頓距離為。（扇9=歸-七|+上-乃|+|Z「Z2］，曼哈頓距離最初指的

是區(qū)塊建設(shè)的城市（如曼哈頓）中，兩個路口間的最短行車距離，因此也被稱為城市街區(qū)距離.如圖，在

棱長為1的正方體48co-44GA中，"（函，函b：若點(diǎn)P在上底面44GA內(nèi)（含邊界）運(yùn)動，

且網(wǎng)=&,則。（函而）的取值范圍是.

二、解答題

3.（24-25高二上?廣東汕頭?期末）“出租車幾何或曼哈頓距離（ManhattanDistance）”是由十九世紀(jì)赫爾曼.

閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，表示兩個點(diǎn)在空間（或平面）直角坐標(biāo)系中

的“絕對軸距”總和.例如：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力（孫必，4）,以吃,%z?）之間的曼哈頓距離為

"（.4,5）=卜2-$1+1%-川+卜2-馬|?

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（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記d（MJ）為點(diǎn)M與直線/上的所有點(diǎn)的曼哈頓距離的最

小值.

（i）已知點(diǎn)M（L-l）,求

（ii）已知點(diǎn)“伉,多）,直線/：4r+約，+C=0（才+1工0）,求證：d（財,/）」：：：；；?.

（2）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足4（。,。）=1,求動點(diǎn)。圍成的幾何體的體積.

疹類型四、向量叉乘

一、單選題

1.（24-25高二上?北京?期中）給定兩個不共線的空間向量1與5,定義叉乘運(yùn)算萬x6,規(guī)定：①1x6為問

時與瓦B垂直的向量；②三個向量構(gòu)成右手系（如圖1）；③|五x昨同|碾山值5〉.如圖2,在長

方體中中，/8=力。=2,44=4,則下列說法中錯誤的是（）

圖1

A.ABxAD=AAX

B.ABxAD=ADxAB

C.+AD^xAAt=ABx.AAi+ADxAAi

D.匕8CD-4B,qA=('3x

二、解答題

2.（24-25高二上?上海金山?期末）我們1xB稱為向量值與B的向量積，現(xiàn)定義空間向量。與5的向量積：若

1=（$,乂，4）,b=（x2,y2,z2）,則GXB=（乂22-必4，-中2+“用8-々乂）?區(qū)別于向量的數(shù)量積的結(jié)果是標(biāo)

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量，向量的向量積的結(jié)果仍然為向量.已知在三棱錐。-48c中，記萬i=瓦麗=尻k=乙

⑴若/(1,2,1),8(0,-1,1),求況X礪,所麗向；

(2)①向量是即有大小又有方向的量.試根據(jù)問題(1)的結(jié)果，猜測一個有關(guān)方x而方向的一般結(jié)論(不必

證明).

②若/(l,2,l)1(O,T,l),C(3,I,l),求直線0c與平面048的所成角的大?。?/p>

(3)證明麻川=同歸枷＜萬萬〉，并用癡]表示三棱錐0-48C的體積.

3.(24-25高二上?福建福州?期中)新定義：已知7=(l,0,0),j=(0,L0)#=(0,0,1)，a=(xl,yI,z1),^=(x2,^2,z2).

空間向量的叉積

：7%

axb=xxZ]=(.V|Z2-X-(xiz2-x2zl)j+(x^2yi=(必馬一必卬七馬一彳尼,內(nèi)為一馬必)?若在空間直

z

?y22

角坐標(biāo)系。xyz中，直線/1的方向向量為彳=(與,必,馬)，且過點(diǎn)“X，必,zj,直線6的方向向量為

不=(4居,zj,且過點(diǎn)趴與,為，4)，則4與4方向向量的叉積為7x/,4與的混合積為茄?(1乂4).混

合積性質(zhì)：若荔伍x%)=0,則4與4共面；若劉何x/卜0,則4與4異面.已知直線”的一個方向向

量為玩=(-2,0,1),且過點(diǎn)4(0,2,1),直線b的一個方向向量為萬=(2,2,0),且過點(diǎn)5(2,2,1).

(1)用混合積性質(zhì)證明：”與6是異面直線：

(2)若點(diǎn)求尸。的長的最小值;

(3)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線cJLa,cJ./?MCC=E,/?CC=F,求歷的坐標(biāo).

4.(2024高二上?全國,專題練習(xí))已知兩個井零向量1,b,在空間任取一點(diǎn)O,作萬=彳，OB=b，則"OR

叫做向量G，石的夾角，記作瓦限定義1與B的“向量積”為：QxB是一個向量，它與向量3，2都垂直，它

的模網(wǎng)耳=同小卜足,$.如圖，在四棱錐P-/18C。中，底面/2CQ為矩形，PD上底面/BCD,DP=D/=4,

E為4)上一點(diǎn)，|萬x所卜8石.

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⑴求48的長；

(2)若E為片。的中點(diǎn)，求二面角P-E8-4的余弦值;

⑶若M為尸8上一點(diǎn)，且滿足而x而=/1俞，求囚.

5.(24?25高二上?重慶九龍坡?期中)行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，二階行列式其運(yùn)算法則如下:

rr—

八iJk

a}4-乂防尸z,

=%b「a2bl.若dxb=%y14ZZk,則稱萬xB為空間向量G與B的向

?b,%21超2W匕

2xz

iy22

量枳，其中Z=xf+yJ+z/(X1,j"€R),b=xj+y2J+z2k(x^y2,z2GR),{:,]"}為單位正交基底.以O(shè)

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸、N軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知48是空間直角

坐標(biāo)系中異于O的不同兩點(diǎn)，且。,48三點(diǎn)不共線.

(1)@若4(1,2,1),5(0,-1,1),求麗x而；

②求證：3X前是平面。48的一個法向量；且方X歷+礪X萬=0.

⑵①記V498的面積為證明：2他8=；|蘇＞。司.

②三棱錐。-48C,其中厲=2，礪=B，OC=c^求三棱錐的體積/tsj(用G表示)

(3)如圖，P,。兩點(diǎn)分別是三角形.44。的兩條邊力￡力。上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn))，其中8。的中點(diǎn)為M,其中

”的中點(diǎn)為N.求證：三角形4MN面積是四邊形8cop面積的四分之一.

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覆類型五、立體幾何其他新定義問題

面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結(jié)合。明確解

題目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計算公式。在

解題過程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡化問題。對于復(fù)雜問題，可嘗試建立空

間直角坐標(biāo)系，利用向最法進(jìn)行計算和證明。同時，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式

轉(zhuǎn)化求解對象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，井總結(jié)所使用的方法和技巧，以

便在未來遇到類似問題時能夠迅速應(yīng)對.

一、單選題

1.（24-25高二上?安徽?期末）已知向量不=（生,叫,見），石=但也也），｛7/勺是空間中的一個單位正交基

底規(guī)定向量積的行列式計算：I,其中行

44bxb:4%[\byb:bxb:bx\|J

ab

列式計算表示為=ad-bc所得向量￡xE垂直于向量入工所確定的平面.利用向量積可以計算由兩個

cdf

不共線向量確定的平面的法向量.若向量赤=（1J2）,/=（3,2,1）,則平面48c的法向量為（）

A.（-3,5-1）B.（4,-10,3）C.（1,5,-3）D.（3-2,3）

2.（24-25高二上?湖北?期中）在《線性代數(shù)》中定義：對于一組向量用，氏，…名存在一組不全為0的實(shí)

數(shù)人,左2,…幺使得：%同+左在+…+女區(qū)=0成立，那么則稱其，網(wǎng),…/線性相關(guān)，只有當(dāng)公=魚=熊=0

時，才能使上同+與匿+??*/“=0成立，那么就稱用，/，??電線性無關(guān).若伉，色點(diǎn)3｝為一組不共面的

空間向量，則以下向量組線性無關(guān)的是（）

A.d+%，dy+d2+dyt痣B.%,d2+d3,a2-a3

C.&i，ax+a2td｝-a2D.ax+a2,a]-a2,a3

3.（24-25高二上?北京通州,期中）如圖，空間直角坐標(biāo)系。一號z中，點(diǎn)F（x2,>2,z2）,定義

忸修=n72|+帆-閭+匕-221王方體力48cA的棱長為3,E為棱8c的中點(diǎn)，平面皿z內(nèi)兩個

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/AMD=/CME,則的取值范圍是（）

B.[1溝+2]

C.--2,V4T+2D.[1,3指+2]

2

二、多選題

4.已知單位向量7,7,不兩兩的夾角均為。。＜。＜兀,。工9,若空間向量［滿足Z=x7+y］+zZ（A；y,zeR）,

則有序?qū)崝?shù)組（x/,z）稱為向量￡在“仿射”坐標(biāo)系Oxyz（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作￡=（x,y,z）。，

則下列命題是真命題的為（）

A.已知2=（1,3,-2）6,5=（4.0,2）夕，則￡5=0

B.已知￡=?！?0吟，^=（0,0,z）^,其中xj,z＞0,則當(dāng)且僅當(dāng)x=N時，向量的夾角取得最小值

JJ

C.己知Z=（芭,必,Z］）6,b=（x2iy2tz2）0t則°+1=（否+4乂+%馬+/）6

D.已知由=（1,0,0號，麗=（01,05，^C=（0,0,l）p則三棱錐。-48。的表面積5=收

三、解答題

5.（24-25高二上?浙江?期中）在空間直角坐標(biāo)系。-乎中，任何一個平面都能用方程4t+/+Cz+D=0表

示.（其中A,B,C,OwR且/+82+。2=0）,且空間向量五=（4尻。）為該平面的一個法向量.有四個

平面囚：x+z-2=0,a2:y+z-2=0,%：x+y+z-2=0,aA:x+y+mz=2,meR）

（1）若平面見與平面處互相垂直，求實(shí)數(shù)用的值：

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(2)請利用法向量和投影向量的相關(guān)知識證明：點(diǎn)P(Xo,7o，z°)到平面Ax+By+Cz+D=O的距離為

|Ar0+5y0+Cz0+D|

北+爐+E；

⑶若四個平面%,%,明圍成的四面體的外接球體積為48冗，求該四面體的體積.

6.(24-25高二上?江西上饒,期末)在空間直角坐標(biāo)系Oqz中，定義：過點(diǎn)力(x°,%,z。)，且方向向量為

J=(a也c)("cxO)的直線的點(diǎn)方向式方程為二^=三比=二為；

abc

過點(diǎn)題/Jo/。)，且法向量為萬=(a也叫/+〃+°200)的平面的點(diǎn)法向式方程為

a(x-x0)+b(y-yo)+c(z-zQ)=0,將其整理為一般式方程為ar+勿+cz-d=0,其中d=a￥o+"％+cZo.

(1)已知直線4的點(diǎn)方向式方程為為^='；2=一2?半面%的一股式方程為2x-G.y+z+5=0,求直線4與

平面四所成角的余弦值；

⑵己知平面心的一般式方程為2x+3y+z-1=0,平面四的一般式方程為X7-2N+4=0,平面外的一般式

方程為(2〃?+1)工+(3機(jī)+2)y+(m+l)2-5=0,若%I4=，2/2^片,證明:刀片；

(3)已知斜三棱柱48C—48c中，側(cè)面488/所在平面區(qū)經(jīng)過三點(diǎn)。(4,0,0),。(3,1,-1),“(7,5,2),側(cè)

面8CG4所在平面人的一股式方程為x+2y+z+4=0,側(cè)面力CC/所在平面片的一般式方程為

mx+6y+2mz+\=0,求平面與平面4CC/夾角的余弦值.

壓軸專練

一、單選題

1.(24-25高二上?廣東東莞?月考；《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的

計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC-48G中，M,N分別是4G的中

點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，若而=2/荔+羽+z工，則x+y+z=()

13/21

B,

c1

2.（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）沼氣是一種混合氣體，其主要成分是甲烷，其分子式為CH,,且分子結(jié)

構(gòu)是正四面體結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)簡式如圖所示.記上頂點(diǎn)為小，底面三個頂點(diǎn)分別為

CH,,設(shè)|麗卜a,則西.(甌+77^+777^)=()

A1，c3,D.j

A.-a-B.|片C.--Q-

22

3.（24-25高二上?河南駐馬店?期末）青銅豆最早見丁商代晚期，盛行于?春秋戰(zhàn)國時期，它不僅可以作為盛

放食物的銅器.還是?件十分重要的禮器，圖①為河南出土的戰(zhàn)國青銅器一方豆，豆盤以I：是長方體容器和

正四棱臺的斗形蓋.圖②是與主體結(jié)構(gòu)相似的幾何體，其中44=4,MN=BF=2,FN=6,點(diǎn)、K為BC」二

一點(diǎn)’且正二點(diǎn)Z為尸。的口點(diǎn)，則異面宜線KZ與廣N夾角的余弦值為（）

圖①圖②

A,避B?嚕「59，誓

3926

4.（2025?云南曲靖?二模）公元前300年，幾何之父歐幾里得在《幾何原本》里證明了世界上只存在正四面

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體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體這5種正多面體.公元前200年，阿基米德把這5種正

多面體進(jìn)行截角操作（即切掉每個頂點(diǎn)），發(fā)現(xiàn)了5種對稱的多面體，這些多面體的面仍然是正多邊形，但

各個面卻不完全相同，如圖所示，現(xiàn)代足球就是基于截角正二十面體的設(shè)計，則圖2所示的足球截面體的

D.180

5.（24-25高二上?湖南郴州?開學(xué)考試）已知一對不共線的向量辦,5的夾角為6,定義GxB為■個向量,

其模長為歸',二|司卡卜山出其方向同時與向量1,B垂直（如圖1所示）.在平行六面體ON'CB中

B.當(dāng)卜寸，|5x麗卜方.麗tanZ4OB

C.若|。d=|。8卜2,OAOB=2^則向xOB卜石

D.平行六面體。4C8—OWCB'的體積卜=|麗（Nx礪

6.（23-24高二下?廣東揭陽?期末）已知4伉C,。為球面上四點(diǎn)，分別是力民CO的中點(diǎn)，以MN為直

徑的球稱為力伉。。的“伴隨球”.若三棱錐4-88的四個頂點(diǎn)均在表面積為100兀的球面上，它的兩條棱

4B,CD的長度分別為8和6,則,4氏CQ的伴隨球的體積的取值范圍是（）

n343兀~|兀343兀]「n343n]「n3437t

二、多選題

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7.（23-24高二上?福建三明?期中）很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種

以二的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，

這是一個棱數(shù)24,棱長為2夜的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個

正方體截去八個一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（）

A.4G1?平面8COG

B.若“是棱，C的中點(diǎn)，則。上與平面平行

C.點(diǎn)8到平面4c。的距離為逑

3

172

D.該半正多面體的體枳為彳

8.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2兀

與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正方體

每個頂點(diǎn)均有3個面角，每個面角均為三，故其各個頂點(diǎn)的曲率均為2〃-3K.如圖，在直三棱柱

222

371

ABC-44G中，AC=BC=2,AA]=-f點(diǎn)C的曲率為鼻,2瓦尸分別為力C,力民46的中點(diǎn)，則（）

A.直線與宜線CC所成角余弦值為普

5JT

B.在三棱柱月48c中，點(diǎn)A的曲率為一

6

C.過8c作三棱柱48c的截面，使得截面與平面4DE平行，則截面面積為巫

2

D.當(dāng)點(diǎn)M在線段48上運(yùn)動時，&W+CA/的最小值為亙

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三、填空題

9.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率

等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)侑叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面

上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有3

個面角，每個面角是］，所以正四面體在每個頂點(diǎn)的曲率為筋-=*故其總曲率為4江.根據(jù)曲率的定

義,正方體在每個頂點(diǎn)的曲率為，四棱錐的總曲率為.

1（）.（24-25高二上?浙江?期中）中國占代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何

體的上、卜底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的

高為2,44,6與,。。1,?！ňc曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2,對應(yīng)的圓心

角為90°,則圖中平面4cz與平而48c所成角的余弦值為.

11.（23-24高二下?江蘇揚(yáng)州?月考）《九章算術(shù)》第五卷中涉及一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一

丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺.該羨除是一個多面體在，如圖，四邊形/8CO,ABEF均為

等腰梯形，AB//CD//EF,^ABCDl^ABEF,梯形力8c?！皯舻母叻謩e為3,7,且48=6,CD=10,

EF=8,則阿卜,異面直線4）,8戶所成角的余弦值是.

12.（24-25高二上?貴州黔西?月考）閱讀材料：數(shù)軸上，方程心+8=0（4工0）可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平

面直角坐標(biāo)系X。〉中，方程4x+約，+C=0（A、8不同時為（））可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直角坐

標(biāo)系0-.小中，方程八+的+Cz+Q=0（A、B、。不同時為0）可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點(diǎn)

P（%，%，Zo）且一個法向量為=的平面a的方程可表示為“x-XoH“y-Mj+ct-Zo|=0.閱讀上

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面材料，解決下面問題：已知平面a的方程為3x-5y+z-7=(),直線/是兩平面x-3歹-7=0與4y+2z+l=()

的交線，則直線/與平面。所成角的正弦值為.

四、解答題

13.(23-24高二上?福建泉州?期末)宋元時期，泉州作為海洋商貿(mào)中心，成為世界第一大港.作為海上絲綢

之路的起點(diǎn)，泉州的海外貿(mào)易極其頻繁，但海上時常風(fēng)浪巨大，使用原始船出行的風(fēng)險也大.因此，當(dāng)時的

設(shè)計師為了海外貿(mào)易的正常進(jìn)行，便在船只設(shè)計中才用了楔形零件結(jié)構(gòu)，由此海上出行無需再懼怕船體崩

潰，這也為海上貿(mào)易的發(fā)達(dá)作出了巨大貢獻(xiàn)，而其智慧至今仍熠熠生輝.如圖是從棱長為3的正方體木塊中

截出的一個楔形體/出CQ-MNPO,將正方體的上底面平均分成九個小正方形，其中河，N,P,。是中間的

小正方形的頂點(diǎn).

(1)求楔形體的表面積;

(2冰平面APQ與平面BNQ的夾角的余弦值.

14.(24-25高二上?山東濟(jì)南?月考)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱

之為陽馬.如圖，在陽馬。一48C。中，側(cè)棱力平面且/。=。4=2力8=2,E為的中點(diǎn)，F(xiàn)

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(1)當(dāng)2=g時，證明：EF〃平面P4B.

(2)判斷是否存在aw(0,1),使得即與平面尸CO所成角的正弦值為母，若存在，求出入若不存在，請說

明理由.

15.“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何“，是在19世紀(jì)由赫爾曼?閔可夫斯基提出來的.如圖是抽象的城市路網(wǎng),

其中線段|力回是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”

而過，所以在“曼哈頓幾何“中，這兩點(diǎn)最短距離用"(48)表示，又稱“曼哈頓距離。即"48)二|%。|+|。?|,

因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式"：若Z(XQJ,8(與，/)，則“48)=,7||+|乃-必|

⑴①點(diǎn)4(3,5),5(2,-1),求d(點(diǎn)8)的值.

②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程.

(2)己知點(diǎn)8(1,0),直線2x-y+2=0,求8點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；

(3)設(shè)三維空間4個點(diǎn)為4=(4%4),7=123,4,且為，加z,e{0』}.設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼