2.1平方根（第2課時(shí)平方根）教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容以解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課選自蘇科版2024八年級卜.冊第二章《實(shí)數(shù)的初步認(rèn)識》第2.1節(jié)“平方根”第2課時(shí)，核心

知識點(diǎn)包括平方根的定義與性質(zhì)、算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系、求數(shù)的平方根及開平方與平方

的互逆關(guān)系。通過典型例題與練習(xí)，幫助學(xué)牛.掌握正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)、0的平方根只有0、

負(fù)數(shù)沒有平方根等概念。

2.內(nèi)容解析

本節(jié)課以r2二/。工0時(shí)，x的取值”為主線，引導(dǎo)學(xué)生明確“有兩個(gè)平方根的為正數(shù)、。的平方根

是0、負(fù)數(shù)無平方根”的結(jié)論；進(jìn)而區(qū)分“平方根”和“算術(shù)平方根”在定義、取值范圍、表示方式等方面

的差異。通過對典型例題（如求給定數(shù)的平方根、解含平方根的簡單方程）進(jìn)行示范與分析，培養(yǎng)學(xué)

生對逆向思維和運(yùn)算能力的掌握。

教學(xué)目標(biāo)與解析

1.教學(xué)目標(biāo)

?了解平方根的定義，會用根號表示一個(gè)數(shù)的平方根。

.了解平方與開平方是互逆的運(yùn)算，會用平方運(yùn)算求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根。

2.目標(biāo)解析

?能準(zhǔn)確理解“平方根”的概念，知道對非負(fù)數(shù)可以求平方根，E正數(shù)有土兩種值。

?能在數(shù)軸或幾何意義上理解算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別，感知算術(shù)平方根是正數(shù)或零。

?能運(yùn)用開平方與平方的互逆關(guān)系，解答簡單方程并解決常見平方根問題。

3.重點(diǎn)難點(diǎn)

?教學(xué)重點(diǎn)：掌握平方根的定義、正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)以及算術(shù)平方根的概念。

?教學(xué)難點(diǎn)：區(qū)分“算術(shù)平方根”與“平方根''以及在運(yùn)算中準(zhǔn)確使用土符號，避免丟解或錯(cuò)解。

學(xué)情分析

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已初步接觸過平方運(yùn)算，了解完全平方數(shù)及簡單的數(shù)形轉(zhuǎn)換。對“平方與反向

運(yùn)算”有感性認(rèn)識，但對正數(shù)、零、負(fù)數(shù)求平方根時(shí)的結(jié)論區(qū)分不夠熟練，尤其在算術(shù)平方根與土號并

存的情況下，易出現(xiàn)混淆或漏解。同時(shí)，部分學(xué)生對運(yùn)算過程的嚴(yán)譚性尚有欠缺，需要在練習(xí)中加以

鞏固。

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

新深早入

創(chuàng)設(shè)情境，問題引入

教師提問：若/=4,則》等于什么？

學(xué)生回答：*=2或%=-2。

由此自然過渡至『'當(dāng)/=a時(shí)，T會是兒？有什么規(guī)律？”從而引出平方根定義。

新知探窕

探究點(diǎn)1：平方根的定義與基本性質(zhì)

1.概念引入

根據(jù)上述問題，給出概念：

一般地，如果“2=Q?ZO),那么無叫作a的平方根，也稱為二次方根。

2.師生活動

o教師展示：/=；、/=o.04等，引導(dǎo)學(xué)生快速判斷x值分別是±；、±0.2。

O學(xué)生討論：當(dāng)a=0時(shí)，平方根有幾個(gè)？當(dāng)avo時(shí)，是否存在平方根？

o教師總結(jié)：a=0時(shí)僅有一個(gè)平方根0；負(fù)數(shù)無平方根。

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根。

【設(shè)計(jì)意圖】通過方程的特征與具體數(shù)值例子，讓學(xué)生直觀感受“平方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)'的特

征，突破“負(fù)數(shù)沒有平方根”的認(rèn)知障礙，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

探究點(diǎn)2：平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系

1.問題引入

。教師提問：我們常說的“論”表示什么？它和Q的平方根有什么聯(lián)系？

o引導(dǎo)學(xué)生對算術(shù)平方根的描述：

“如果/=a,那么(-x)2=/=%因此工和-%都滿足方程。但我們把其中非負(fù)的那個(gè)解稱為Q的算

術(shù)平方根，記為底?！?/p>

總結(jié)：如果。為正數(shù)，那么。有兩個(gè)平方根土傘，其中，正的平方根是算術(shù)平方根介，負(fù)的平方根

是一瘋

2.關(guān)鍵知識點(diǎn)

o正數(shù)的平方根有土碗兩個(gè)；其中是算術(shù)平方根，非負(fù)。

。0的平方根和算術(shù)平方根都是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。

3.師生活動

教師組織學(xué)生討論表格中的對比(平方根與算術(shù)平方根有什么區(qū)別與聯(lián)系？)，并要求學(xué)生嘗試自我

歸納。

【設(shè)計(jì)意圖】通過表格和小組討論，深入認(rèn)識“平方根'’與"算術(shù)平方根學(xué)生掌握區(qū)別與聯(lián)系后，能

更靈活地進(jìn)行正負(fù)號的區(qū)分與運(yùn)算。

探究點(diǎn)3：開平方與平方的互逆關(guān)系

1.新知導(dǎo)出

。教師提問：已知正數(shù)的兩個(gè)平方根是±6，那么"開平方''與“平方”之間是什么關(guān)系？

。開平方與平方有下面的關(guān)系，如圖所示.

平方_

±XVX2

開平方

10---------------

-10

得出：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方(extractionofsquareroot),它與平方運(yùn)算互為逆運(yùn)

算。

2.重點(diǎn)說明

O只要Q是非負(fù)數(shù)，才能進(jìn)行開平方運(yùn)算；結(jié)果要注意有兩種符號。

。在求解方程或解決幾何問題時(shí)，“開平方”是常用手段之一。

3.討論交流

(1)如圖(1)，將面積為2的正方形紙片放置在面積為3的正方形紙片匕據(jù)圖比較企與百的大小.

(2)已知〃>>>0,類似地，根據(jù)圖2比較迎與迎的大小.

(2)

解：如圖，Va>Vb.

正方形面積與邊長的關(guān)系：面積越大，邊長(即算術(shù)平方根)越大.

【設(shè)計(jì)意圖】通過對比與幾何直觀演示，讓學(xué)生清楚"開平方''與“平方”是一對逆運(yùn)算，為后續(xù)靈活運(yùn)

用打下基礎(chǔ)。

典例分析

例1求下列各數(shù)的平方根：(1)100；(2)625；(3)0.0081；(4)2.

解：(1)VI02=100,???100的平方根土舊3=±10：

(2):252=625,???625的平方艱±7^芯=±25；

(3)V0.092=0.0081,:.0.0081的平方根土").0081=±0.09；

(4)2的平方根是±VI

例2一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根為2上一1與5工一13,求工的值和這個(gè)數(shù).

解：根據(jù)題意得：(21-1)+(51-13)=0

2x-l+5x-13=0

2E+5X=1+13

lx=14

x=2

???當(dāng)x=2時(shí)，2x-1=2X2-1=4-1=3,A32=9.

或???當(dāng)x=-2時(shí)，5x-13=5X2-13=10-13=-3,/.(-3)2=9.

答：x的值為2,這個(gè)數(shù)為9.

鞏固練習(xí)

1.判斷下列說法是否正確：

①一5是25的平方根(J)

②25的平方根是一5(X)

③只有正數(shù)有平方根(X)

④(-3)2的平方根是-3(X)

⑤3的平方的平方根是3(X)

?-a沒有平方根(X)

2.求下列各數(shù)的平方根：0.01,20,10,(一；丫.

解：???0.12=()01,.?.ooi的平方根土也UT=±o.i；

???(92=工，?.?工的平方根土自=±*

\4/1616y164

。的平方根是0：

10的平方根是土g；

，.?.(一」的平方根士

3.求下列各數(shù)的平方根：169,225,p11，0.16,1.44.

解：VI32=169,169的平方根土＞/麗=±13：

:152=225,???225的平方根土&區(qū)=±15：

??.@丫:；，.*的平方根±$=±3

11的平方根是土JH：

4.求下列各式中的工：(l)f=49；(2)f=g;(3)f=21；(4)4,r=81.

64

解：(1)%=±癡，

x=±7；

(2)x=±Ji,

x=±*

(3)x=±V21：

5.觀察“平方”與“開平方”的關(guān)系，并完成對應(yīng)的填空。

平方

6.圓的面積擴(kuò)大為原來的3倍，半徑擴(kuò)大為原來的多少倍?

解：設(shè)原半徑為八擴(kuò)大后的半徑為廣

由圓的面積公式得：g乎=3/，

化簡得：5尸=3兒

解得：r*=V3r.

答：半徑擴(kuò)大為原來的百倍.

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)以多樣化的典型練習(xí)為主，通過判斷與求解等不同題型，幫助學(xué)生在練習(xí)中強(qiáng)化

對平方根相關(guān)概念的理解，熟練掌握開平方與平方的互逆關(guān)系，提高解題的準(zhǔn)確度與熟練度。

課堂小結(jié)

本節(jié)課圍繞“平方根”展開，明確了以下核心知識點(diǎn)：

1.平方根的概念與符號表示：若x2=a(a>0),則x為a的平方根，記作±3,其中正根是算

術(shù)平方根。

2.平方與開平方互為逆運(yùn)算：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)：0的平方根是0,負(fù)數(shù)

沒有平方根。

3.運(yùn)用開平方求簡單數(shù)值(如百以內(nèi)完全平方數(shù)等)的平方根，并理解在具體問題中如何確定正

根或負(fù)根。

,定義如果1"=以心0）,那么X叫作G的平方根，也稱為二次方根.

「一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù).

平方根《性質(zhì)J0的平方根是0.>

〔負(fù)數(shù)沒有平方根.'

I運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫作開平方.

板H設(shè)計(jì)

1.課題：2.1平方根（第2課時(shí)）

平方根定義

兩個(gè)平方根互為相反數(shù)

算術(shù)平方根與開平方

2.典