專題09平面向量

白題型概覽

題型（）1平面向量線性運(yùn)算

題型02數(shù)量積及求模問題

題型03求夾角問題

題型04平行垂直問題

題型05投影向量及平面向量的幾何應(yīng)用

題型。7平面向量線性運(yùn)算

1.（2025?河南安陽?一模）已知平行四邊形ABC。的對角線的交點(diǎn)為尸，則PA+2P8+2PC+PD=（）

A.ADB.［）AC.ABD.BA

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量線性運(yùn)算計算得解.

【詳解】在A8C。中，PA+2PB+2PC+PD=PA+2PB-2PA-PB=PB-PA=AB.

故選:C

2.（2025?北京平谷?一模）已知a力是平面內(nèi)兩個非零向量，北0,那么“。=勸〃是

“,+勸卜團(tuán)+尤同”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合向量平行定理，即可判斷.

【詳解】若a=4力，

所以人十叫二|（A+訓(xùn)=|2陋,同十昨卜卜可十昨卜（|A|+2）忖，

當(dāng)人>0時，,+訓(xùn)=悶+小，當(dāng)4<0時，"卜一23忖,同+2卜卜0,此時,+幽H同+胭

故"〃=勸"是",+勸卜同+昨卜的不充分條件，

因為1+4日同+|同,若卜+勸卜回+胭，則同+即歸同+同=同+|誹|,當(dāng)且僅當(dāng)a,勸方向

相同時取到等號，則彳4囚恒成立，故〃/力，所以是必要條件,

綜二可知，義工0,那么"〃=助"是++訓(xùn)=同+用的必要不充分條件，

故選：B

3.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）已知在邊長為2的等邊VABC所在平面內(nèi)，有一點(diǎn)P滿足

PB+PC=4AP，則幺?產(chǎn)區(qū)=（）

1I2

A.1B.-C.——D.——

343

【答案】D

【分析】設(shè)BC的中點(diǎn)為O,由向量的線性運(yùn)算可得Q=T尸方，山數(shù)量積的計算公式即可求解.

【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)為。，則PB+PC=2PO，

因為?8+PC=4AP，所以2P/）=44尸，

所以AP=《PO,

2

因為等邊VA3C的邊長為2,則人。=6,所以公=且，

3

所以R4?04=P4（PA+43）=p/+PAA3='+^x2xcosl50

''333

故選：D.

4.（2025?山東煙臺?一模）在VA8C中，AE=2AC=6,/R4C=60,BC=38O,則卜4=（）

A.不B.V13C.舊D.2幣

【答案】C

【分析】先得出向量線性關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積公式計算求解模長即可.

【詳解】在VA4c中，4B=2AC=6,/BAC=60,BC=3BO,

2I

所以AQ=-A8+-AC,

33

則IA*iJ^AB+^AC+^ABAC=卜+g|AC:+,卜4'.8560。

=J—x62+-x3~+-x6x3x—=ViT.

79992

故選：C.

5.（2025?廣東江門?一模）在矩形A8CO中，3斗忸斗,4成等差數(shù)列，河+灰:+人牛10,則矩

形ABC。的周長為（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】c

【分析】根據(jù)向最加法三角形法則，得到|AC|=5,再由等差數(shù)列的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)即可求得結(jié)

果.

【詳解】因為AB+BC+AC=2AC，所以8C+A4T24C|=2,。卜10,

故,4=5,又卜C|,|AC|成等差數(shù)列，所以204=Dq+卜4，

即網(wǎng)=2D4—5①，在矩形中，由卜8『+|BC|2=|AC『=25②，

將①式代入②式解得：|叫=4或卜。（舍去），

把結(jié)果代入①式得卜q=3,故矩形A8CZ）的周長為2陋中網(wǎng)）=2（3+4）=14,

故選:C

—1—

6.（2025?山東臨沂?一模）在VA8C中，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P在C。上，^AP=XAB+-AC

Jt

則兀=（）

11八2?4

A.-B.-C.-D.一

6333

【答案】B

【分析】由題意=CO=gcA+；C8,根據(jù)點(diǎn)尸在CD上，即可列方程求解.

【詳解】由題意點(diǎn)。是A3的中點(diǎn),，所以CQ=；C4+gcB,

又AP=/AB+，AC,所以AC+CP=4（AC+C8）+」AC,

33

（2、

解得CP=——ACA+^CB,

（3>

乂因為點(diǎn)P在CO上，

所以3—=,，解得4=5或％=（舍去）.

--2433

3

故選：B.

7.(2025?貴州畢節(jié)?一模汨知正方形ABCD的邊長為2,且CE=XCD，AE=2，則之=

【答案】

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意，。七=疣。，則DE=(I-4)DC，

所以4E=月。+。左=AQ+(l-/l)DC,BD=BA+AD=AD-DC

所以4E.8O=[AO+(1—/l)OC}(AO—QC)

=AD2+(\-A-\)ADDC-[\-A)DC2

=4-4(l-A)=2,

解得4=g.

故答案為：]

8.(2025?山西?一模)在VA8C中，AB=屈,AC=不，BC=3BD.

(1)若AD=3,求8C；

(2)若/B4)=a,乙CND=B、求岑的值.

sinp

【答案】(1)BC=3

(端_x/91

【分析】(1)根據(jù)向量的線性運(yùn)算，利用向量的模長公式即可求解，

(2)根據(jù)正弦定理可得①式和②式，即可作商求解..

1I0]

【詳解】(1)BC=3BD，AD=ABA-BD=AB+-BC=AB^--(AC-AB)=-AB+-AC,

,4—*21■74—?，?

AD=-AB+-AC+-ABAC,

999

§P9=—+-+-ABMC,/.ABAC」.

9992

又BC=AC-A8，二8C=ACH2AB40=13+7-11=9，-'-BC=3.

,,CDAC丁

（2）在門6中，旃=。而①，

BDAB

在△八8。中,②，

sinasinZ.ADB

COsinaACsinZADB

①+②得

BDsinfiABsinZADC

又CD=2BD,^ADC+ZADB=n,/.sinZADC=sinZADB,

所喘

26

AE=^AB.AF=^AD,CE與BF相交于G,

9.（2025?重慶?一模）在平行四邊形ABCD中,

若A"-a，AD=b?PIOAG—（）

2.1,-2-3,

A.-a+-bB.—a+—b

5555

3r1[42,

C.-a+-bD.-a+-b

7777

【答案】A

【分析】由氏G,F三點(diǎn)共線，則可設(shè)AG=XA8+（17）AE由CG,E三點(diǎn)共線，則可設(shè)

AG=yA?+（l-），）AC,然后根據(jù)題意都用以。表不，從向可求出蒼）'的值，進(jìn)向口J求得答案

【詳解】

因為B,G,F三點(diǎn)共線，所以可設(shè)AG=xAB+(\-x)AF,

所以AG=xa+上

3

因為C,G,E三點(diǎn)共線，所以可設(shè)4G=yAE+(l-y)AC,

因為=">AD=b?所以AC=A8+AD=a+Z?,

3?

所以AG=%+(1-y)(o+〃l--ya+(l-y)〃,

4z

所以+=-(,)"+(1一了)人，

3

'二一/24

即,_r，解得工=三，y=T

、十-55

--21

所以46=不4+三人，

JJ

故選：A.

10.(2025?山東青島?一模)已知向量。4=(-3,1),08=(1,-2),OC=(x-6tx+5)f若點(diǎn)ARC不

能構(gòu)成三角形，則x的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】先求得的坐標(biāo)，可根據(jù)A&C三點(diǎn)共線求出工的值，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意用得A8=C^-QA=(4,-3),〃C'=OC'-O8=(x-7,x+7),

若點(diǎn)AB,C三點(diǎn)共線，則點(diǎn)AB,C不能構(gòu)成三角形，

即-3(x-7)-4(x+7)=0,解得：x=-l,

所以x的值為t.

故選:B.

題型02數(shù)量積及求模問題

1.（2025?河北邢臺?一模）若向量”，〃滿足卜一同=后，〃.〃=],則,+可=.

【答案】3+

【分析】由Ia-4=&5兩邊平方結(jié)合數(shù)法枳運(yùn)算律可求/+/再結(jié)合關(guān)系,+d=/+%./?+%2

求結(jié)論.

【詳解】因為,一人卜后，“為=1,

22

所以,一=a+b-2ab=23t

所以東+左=25,

所以,+/;『=/+2〃?/?+/=25+2=27,

所以I"+引=30.

故答案為：3G.

2.（2025?天津武清一模）已知正方形A8C。的邊長為3,DE=；EC,若但"A+〃BC,其中

4,4為實數(shù)，則/+〃=;設(shè)尸是線段比上的動點(diǎn)，G為線段m的中點(diǎn)，則AQOG的

最小值為.

52

【答案】-4

2

【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則川-得8七=8。+§M，再根據(jù)平面向量基本定理求4,

〃，由此可得％+〃：根據(jù)向量線性運(yùn)算法則結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律可得4F?OG=3odTD4『），結(jié)

合圖形確定|。尸|的最小值，由此可求AF-0G的最小值.

1一2—?

【詳解】因為。上二/上C',所以C￡=§CL>,

9--2?

因為BE=BC+CE=BC+qCD=BC+mBA,BE=ABA+〃BC,

9

所以％=〃=1,

所以/l+〃=g,

因為G為線段A廠的中點(diǎn)，所以。G=；（D4+QF）,又4尸=力/一OA，

7

所以A/.￡>G=；（￡>/一OA）（OA+=夕。"-DA；（wr明］,

又網(wǎng)=3,

所以A尸OG=—

因為設(shè)尸是線段的上的動點(diǎn)，乂NOE8為鈍角,

所以阿閆。尸閆明.

因為正方形A8C。的邊長為3,DEjEC,

所以|國=1,

所以人產(chǎn)力G=!（|

所以當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)石重合時，AF-OG取最小值，最小值為-4.

故答案為：-4.

3.（2025?廣東深圳?一模）已知向量〃.6滿足。+〃=（2.3）”—〃=（2.—1）,則同2TH=（）

A.-2B.-1

【答案】D

【分析】根據(jù)模長公式即可求解.

【詳解】由1+〃=（2,3）,。一〃=（2,-1）可得4=（2』）乃=（0,2）,

故同2-11=22+|2一（22+（）2）=1,

故選：D

4.（2025?江蘇宿遷?一模）若〃+力=（-2,-1,2）,a=（4,-3,-2）,貝化小等于（）

A.-5B.-1C.5D.7

【答案】A

【分析】先求出a,b,再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】。+。=（一2,-1,2）,。一。=（4,一3,-2）,則2。=（2,-4,0）,

/.?=(1,-2,0),/?=(-3,1,2),

d-/?=-3-2+0=-5，

故選：A

5.（2025?甘肅蘭州?一模）與向量a=（-3,4）反向的單位向量是（）

【答案】A

【分析】反向單位向量即為一向，代人計算即可.

a_1卬）七4]

【詳解】與反向的單位向量為一同一

"-3)2+4?5>

故答案為：A.

6.（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）已知向量。=（2皿1）,〃=（九一1）,若與5垂直，則,+0=（）

A.3x/2B.2>/2c.V2D.2

【答案】A

【分析】由〃_/,與。垂直求出療.再求出a+b的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)的模長公式可得答案.

【詳解】由已知，得a—）=（〃?,2）：由〃與力垂直，得

即病-2=0，可得m2=2.

因為a+〃=（36,0）,

所以卜+@=67=3點(diǎn).

故選：A.

7.（2025?云南昭通?一模）已知向量a,b是單位向量，旦,+同=卜-.，則|“+26|為（）

A.73B.75C.3D.5

【答案】B

【分析】由,+4=卜-4,兩邊平方可得〃石=0,再將|〃+2。|平方即可得答案.

【詳解】因為向量〃，〃是單位向量，所以|〃|=|8=1，

||]I”+力|=|〃一〃|,\a+b\2=]a-bf^a+2（ih+ly=a-2cih+b,則ab=0.

所以Ia+2b|=｛a，+4ah+4/?=Jl+0+4=舊?

故選:B.

8.（2025?江西上饒?一模）在平行四邊形A8CO中，AB=4,4）=2,ZA=60°,0M=3A/C，則

AM?BM=（）

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】D

【分析】以｛AB.AD｝為基底，表示AM，BM，結(jié)合向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算律可求的值.

【詳解】如圖：

以｛AB,人。｝為基底，則A4=16，Az/=4，ABMD=4X2COS60°=4.

31

且AM=AD+DM~~48+AD，BM-BC+CM-——AB+AD，

44

所以AMBM=(-AB+AD\[--AB+AD=---AB~+-AB-AD+AD~=—x!6+—x4+4=3.

\4八4J162162

故選：D

9.12025,湖北?一模)若非零向量a,萬滿足悶=2忖=8,且向量〃一人與向量a的夾角,

則(a-A)6的值為()

A.-24B.24C.D.0

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件可判斷△048為直角三角形，從而求得（4-/“啰的值.

【詳解】令1=QA，6=03,則5A=d-〃，

則由同=2忖=8及4）二看，

在△QA4中，ZOAB=-,QA=8,08=4,

6

84

由正弦定理：而五=二T，解得sin8=1,故得△043為直角三角形，

sin一

6

且〃冉=/084=5，所以卜一）力=0.

故選：D

10.（2025?新疆烏魯木齊?一模）已知等邊三角形A8C的邊長是2,。、E分別是48、AC的中點(diǎn),

貝（）

A3G_333x/3

A?------oR?Cr?U?-----

2222

【答案】B

【分析】將向量BE、C。用基底｛SA8C｝表示，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得

的值.

【詳解】如下圖所示：

因為等地三角形A6c的邊長是2,D、石分別是A3、AC的中點(diǎn),

^CD=BD-BC=-BA—BC,

2

由AE=EC得BE-BA=BC-BE，可得BE=；BA+；BC,

由平面向量數(shù)量積的定義可得BABC=|BA|.|BC|cos^=22X1=2,

J4

因此，BECD=^BA+BC\[^BA-BC^=^B^-^BABC

=1,-2r---1-=----3.

22

故選:B.

題型03

1.(2025?山東泰安?一模)已知向量同=W=lJc|=#,且〃+/?-2c?=()，則cos<a,c>=(

)

A1R6r1D百

2222

【答案】D

【分析】由a+力=2c兩邊平方可得=再結(jié)合向量夾角的計算可得.

【詳解】a+b—2c=0f所以a+8=2c,兩邊平方可得，+2〃6+//=4"，

又同=W=lJc|=#，所以l+2a"+l=3na-〃=g,

Q—[a+b\2.>1H—0

\a?c2、）a+ab?V3

所以8S〈a?麗=^^=^-=而/.

2

故選：D

2.（2025?黑龍江?一模）已知平面向量a,5滿足|〃|=卜|=3,且。在少上的投影向量為-等力，則向

量力與向量〃的夾角為.

【答案】學(xué)

6

【分析】根據(jù)條件，利用投影向后的定義得到。/=-述，再利用向最夾角公式，即可求解.

2

八abb\/3.

【詳解】因a在人上的投影向量為-三人，即府.問=一號”，

a?bG?<|。、萬

則]『=一萬，又同=忖=3,見得..力=一等,

9石

用以力）=ab?v3

COS所kF'

<a,bG[0,n],故向量a與向量力的夾角為令，

o

5兀

故答案為：

6

3.（2025?福建杲州?一模）已知向量滿足向=口=1,且,-2M=舊，則a與〃的夾角為（

兀

A.-B.-C.-D.一

6432

【答案】C

【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出〃力,進(jìn)而求出夾角.

【詳解】由"2。卜75,得/-44e+4片=3，而向=可=1，則a/=g，

cos〈a,/?="人=-,而0K,

\a\\b\2

所以。與8的夾角〈〃,》〉二1.

故選：C

4.（2025?黑龍江?一模）已知平面向量a,〃,c滿足a+匕=一d,同=1卜2,同=2\/5,則cos（a,b）=

【答案】1/0.5

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合給定條件得到方程，求解夾角即可.

【詳解】因為「+力=」，所以（a+0）2=（-c）2,得到圖2+24吊+時=同，

即向2+2同.W.cos（4,b）+W2=|c|2,而同=W=2,同=26,

故4+8cos（a/）+4=12,解得cos,,〃）=g.

故答案為：y

5.（2025?山東日照?一模）下列說法正確的是（）

A.已知為非零向量，若卜+可>,-.,則a/的夾角為銳角

B.展開式中的常數(shù)項為_20

c.若方程-L+上=1表示橢圓，則〃?

2〃?一3w+12

D.點(diǎn)尸在直線x-）1=0上運(yùn)動，A（2,3）,B（2.0）,伊川-|尸8|的最大值是石

【答案】BD

【分析】對于A,將已知條件兩邊同時平方，整理得到a.8＞0,結(jié)合平面向量的數(shù)量積的定義得到,

由平面向量的夾角范圍，進(jìn)而可以判斷選項；對于B,由二項式在的展開式的通項公式為，令

6-2r=0,即可判斷：對于C,根據(jù)橢圓的定義列出不等式組進(jìn)行求解：對于D,利用對稱性，結(jié)

合三點(diǎn)共線，即可求解.

【詳解】對于A選項，已知,+司＞k-〃|,將兩邊同時平方可得（。+2）2＞（。-）尸.

展開化簡可得4a力＞0，即4.6＞0.可知8SG0.

當(dāng)”與〃同向時，cos0=l＞0,此付夾角為0°,不是銳角，所以A選項錯誤.

對于B選項，對于（x—b，展開式的通項為

XX

令6-2r=0,解得r=3.

將r=3代入通項公式可得常數(shù)項為（-1）3仁=-20,所以B選項正確.

2m-3>0

對「C選項，若方程上一+上=1表示橢圓，則需滿足

/n+I>0

2m-3〃?+1

2m-3H/〃+1

解得的取值范圍是所＞3且〃2H4,C選項錯誤.

對于D選項，設(shè)點(diǎn)伏2,0）關(guān)于直線X-），-1=0的對稱點(diǎn)為"（見日）.

根據(jù)對稱點(diǎn)的性質(zhì)可得；,解得機(jī)=1，則〃=27=1,即9（1,1）.

山一j=0

22

根據(jù)三角形兩邊之差小丁第三邊可知|尸4HM=|網(wǎng)-歸*歸.珠

根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式|A*|=J（2—l）2+（3—1尸=,所以IP人I-1尸引的最大值是75,D選

項正確.

故選：BD.

6.（2025?江蘇南通?一模）若非零向最a,b滿足同=2忖，且向量〃在向量a上的投影向量是一小,

則向量。與〃的夾角為（）

D.兀

【答案】B

【分析】運(yùn)用投影向量的公式，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算即可.

ab1

【詳解】。在〃上投影向量—a

4，

11|2

/八ab々冏1

則出仙"）=麗=工；=-5,

a2a

由［0㈤，.?.（*=笄,

故選：B.

7.（2025?四川?一模）如圖，設(shè)0y是平而內(nèi)相交成60。角的兩條數(shù)軸，/、內(nèi)分別是與x軸、》

軸正方向同向的單位向量.對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,若向量OP=XG+）%,則記?（乂）'），

d（而）=W+|y|.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)用（%,兇）、N?，%），其中d（0N）=2,則點(diǎn)N的軌跡圍成的圖

d（OM\

形面積為__________若d（0N）=2d（0M）=2,則—的最大值為

\OM\

【答案】4。2

【分析】對七、力的符號進(jìn)行分類討論，確定點(diǎn)N的軌跡，作出其圖形，計算出該圖形的面積，即

d（0M\1

為所求；計算得出/,,,要求其最大值，令％加40,由已知得出y=M+i,利

\OM\西+咐+外

d（0M\

用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.

0M

【詳解】當(dāng)＞220時，d（°N）=w+y2=2,

此時，點(diǎn)N的軌跡表示以點(diǎn)（2,0）、（0,2）的線段:

當(dāng)），2?0時，d（0N）=f-力=2,

此時，點(diǎn)N的軌跡表示以點(diǎn)（-2,0）、（0,-2）的線段;

當(dāng)為40,時，d（0N）=-&+%=2,

此時，點(diǎn)N的凱跡表示以點(diǎn)（-2,0）、（0,2）的線段；

當(dāng)為之0,力《0時，1（。％）=工2一）’2=2,

此時，點(diǎn)N的軌跡表示以點(diǎn)（2,0）、（0,-2）的線段；

如下圖所示：

記點(diǎn)A（2,0）、8（0,2）、C（-2,0）,0（0-2）,

則點(diǎn)N的軌跡為四邊形ABCD,

因為|04卜,卜2,口目=|2g卜2,同理可得|。4=|。4=2,

故四邊形A8CD為矩形，且4408=60,

所以，點(diǎn)N的軌跡圍成的圖形面積為4s△M,=4X/X22=46：

由平面向最數(shù)量積的定義可得q仁=聞?國8§60=1,

2

所以,~=（%6+,"27=x；個+2%yere2+），；e2"=x,+x.y,+y；,

d（OM\i

因為:i、、,要求其最大值，令xywo,

\OM\收+NM+K

不妨設(shè)斗彳），y,>0,于是d（0M）=-x+y=1,則y=x+i,

3）=___________I=]=I<2

所以，阿|五：+菁&+1）+&+1）2國Hi機(jī)+梟；，

Id（OM\

當(dāng)且僅當(dāng)％=-：時，等號成立，故的最大值為2.

2\pM\

故答案為：4石；2.

8.（2025?廣東茂名?一模）向量〃與人在單位向量e上的投影向量均為3e,且卜-同=5,當(dāng)〃與〃的

夾角最大時，ab=()

911

A.8B.5C.-D.—

【答案】D

【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示出a、〃，利用余弦定理確定040,9,利用△AOC

15

面積得到。必=二，由此推斷6最大時，tan。最大，取最小值，利用坐標(biāo)運(yùn)算得到：

tan。

2

ab=m-5m+9f由二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可.

設(shè)e為x軸正半軸上的單位向量，

令3e=OC=(3,0),a=OA=[3,ni),b=OB=(3,m-5),

G〃WR）如圖所示，設(shè)。與b的夾角為e,若夕?0㈤，

H24-1^-25

在中，由余弦定理有：則cos。」I，

2|州

而心（+網(wǎng):25=9+"12+9+（〃?-5）2-25=2（/〃-|）+:>0，

（兀、

所以cos6>0,所以8c0,—,

\乙）

因為A/?_LOC,所以SA"=J|AB|x|oq=Jx5x3=9，

有根據(jù)正弦定理有：SA^=^\a\]b[sin0,即:同仰sin9=*

焉所以“力二同小°衿=品，

整」仃：I，小〃卜

'與“叮力的夾角最大時，lan。最大，￡石取最小值,

因為=9+〃?(/〃-5)="「-5/〃+9=/ZZ--J4--^—,

5..11

當(dāng)且僅當(dāng)加=1時,取等號，所以當(dāng)〃與〃的夾角最大時，ab7.

故選：D

9.(2025?安徽合肥?一模)已知向量c,滿足a+〃+c=(),且悶=1,忖=2,卜|=G,則。與b

的夾角為()

八兀、兀-5冗、27r

A.-B.-C.—D.—

6363

【答案】D

【分析】利用向量的數(shù)量積公式計算得到〃包=-1，從而得到。與力的夾角.

【口：解】4+〃+C=0，

,a+6=—c；,」L卜力=?,W=2,同=,

b~+a'+2ab=c'?4+l+2aZ>=3，

a?b=-1，

cos卜㈤「能”?卜力》乩也

”言,即a與〃的夾角為

故選:D.

/\

10.(2025?湖南邵陽?一模)已知向最a=(-l,J5),/?=(2,-73),a與少的夾角為夕，則sin鼻+9=

Iz?

()

A36R5>/5r5>/7n5x/7

771414

【答案】C

【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積公式求；l；cos〃，再利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積公式a6=|d||b|cos氏

先求a,b>a.力=(-1)x2+>/3x(―\/3)=—2—3=—5.

再求=vm=2.|Z?|=722+(-V3)2=V4+3=x/7.

ab-5=5不

所以cos〃=

根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式sin(I+6)=cos。，所以sin(-+0)=一苴.

2214

故選：C.

我州04平行垂直問題

1.(2025?江西贛州?一模)已知向量4=(1,2),/?=(-1,/77),且(口一5人)1。，則|卜

【答案】V2

【分析】先根據(jù)坐標(biāo)線性運(yùn)算得出4-52坐標(biāo)，再應(yīng)用垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計算求參，最后應(yīng)用坐標(biāo)求

模長即可.

【詳解】因為向量。=(1,2),Z>=(-hm),

則〃-5。=(1,2)-5(-1,⑼=(6,2-5m),

因為-5〃)j_4,則(°一劭,25-(40〃。住4m=,所以〃z=],

所以W=+12=.

故答案為：V2

2.(2025?廣東湛江?一模)已知向量0=(1,m)，若6_Lb，則|“二().

A.x/3B.2C.石D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積以及其坐標(biāo)表示，建立方程，求得參數(shù)，利用模長公式，可得答案.

【詳解】因為所以4。=-1+]〃=0,所以用二2,所以|同二石.

故選：C.

3.(2025?廣西?一模)已知直線/：￥="+〃?與橢圓C:三+V=1交于A、B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

4'

⑴證明：4k2+l>m2;

(2)已知。404=0,證明：點(diǎn)。到直線/的距離為定值.

【答案】⑴證明見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式列出不等式推理即得.

（2）利用韋達(dá)定理，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示及點(diǎn)到直線距離公式推理即得.

y=kx+m

【詳解】（1）由《消去y,得（4代+D/+85?x+4/_4=0,由直線，與橢圓。交于兩點(diǎn),

x2+4y2=4

得A=Mk2nr-16(4k2+l)(/n2-1)=-16(〃/-4^2-l)>0.

所以4公+1>〃?2

8km4〃/-4

(2)設(shè)A(X|j),B(%2，%),rtl(1)知，X]+w=-4FTT，V2=4F7T

4m2-43k2m2

y>=(H+m)(kx+m)=k'x^x+km(x+x)+m2=k~?+m2

(222t24k2+\必2+1

4m2-4m2-4k

--；——，由QV。8=0，得王芭+X力=公+公=0?

4K+141+4+1

整理得/=i（^+i）,因此點(diǎn)。到直線I的距離為定值d=-4===攣

所以點(diǎn)O到直線/的距離為定值.

4.（2025?山西呂梁?一模）已知向最”=（2,3）,〃=*,4）,若a_L（o—〃），則實數(shù)%=（）

1188

A.——B.-C.——D.-

2233

【答案】B

【分析】利用垂直關(guān)系的向量表示，數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式計算得解.

【詳解】向顯。=(2,3),〃=*,4),則鼠=13，ab=2x+\2^

由a_L(。-/?)，得a-L(a-b)=a-ab=\3-(2x+\2)=l-2x=0?

所以x=(.

2

故選：B

5.(2025?江西?一模)若向量4=(2,-1),〃=(〃?,3),且〃_￡方，則|可=()

45

A.3石B.45

D.T

【答案】C

：|，3),從而進(jìn)一步求出忖=孚

【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的充要條件求出人=

【詳解】因為所以6%=26—3=0，解得加=5,

6.(2025?陜西?一模)若向量4=(0,-1),〃=(—3,4),c=(4,4),則()

A.卜卜&B.(?+(?)///?

C.a_L僅-c)D.°在c上的投影向量是卜;,-；)

【答案】CD

【分析】利用向量模長公式判斷A；根據(jù)向量平行的性質(zhì)判斷B；根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零判斷C；

利用投影向量的定義判斷D.

【詳解】因為向量〃=(0,-1),。=(-3,4),c=(4,4),

對于A,W=J(—3)2+42=5,故A錯誤；

對于B,〃+。=(4,3)工助，d+8與b不平行，故B錯誤;

對于C,因為b—c=(—3—4,4-4)=(—7,0),則49一0)=(0,1)-(-7,0)=0,故C正確;

在c?上的投影向量為蘆c；=0x(芝，)吃二中4,4)=(一卜；)

對于D,故D正確.

故選：CD.

7.(2025?廣東?一模)已知向量a=(1,3),若4_L(a+勸)，則4=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解;

【詳解】由于4+勸=(-1+41+3/1),

則〃?(〃+/!/?)=1-4+1+34=0,

則a=-1；

故選：B

8.(2025?貴州六盤水?一模)設(shè)"=(1,1),卜4=6,"1。=0,則卜牛()

A.1B.72C.0D.2

【答案】C

【分析】利用向量模長的坐標(biāo)表示以及垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合勾股定理計算即可.

【詳解】由45=(1,1)可得悶=拒，

又A4U0可得ABJ.8C，

在VA8C中，由勾股定理可得|AB『+\BC[=|AC|2,

解得,4=6.

故選：C

9.(2025?浙江?一模)已知向量0=(4,0),小二(乂3),若卜+2〃)_!_(〃—>)，則”=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解?.

【詳解】由。=(4,0),/?=(x,3),〃+2Z?=(4+2x,6),a-b=(4-xt-3),

由(a+處)得++--解得x=l.

故選：C.

10.(2025?廣東?一模)已知向量a/滿足|4|=3|〃|=3,h_L(4—?),則一〃|=()

A.2B.75C.76D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及向量數(shù)量積運(yùn)算律計算得解.

【詳解】由|a|=3g|=3,〃_L(a—2/>),(a-2b)=ab-2b2=0,則a》=2從=2,

所以|。一切="J+bFab=-2x2=瓜?

故選:C

?05投影向量及平面向量的幾何應(yīng)用

1.（2025?云南昆明?一模）已知4=0,6）,人=（2,0）,則〃在力上的投影向量為（）

A.(1,0)B.（瓜0）C.D.

【答案】A

【分析】根據(jù)投影向量公式求解即可.

abb21八、八、

【詳解】由題意，〃在人上的投影向量為丙.^=----(2,0)=(1,0).

故選:A

2.（2025?山東海澤?一模）已知平面向量a=（2,sin。），b=（cos6,l）,則下列說法正確的有（）

A.向量6人不可能垂直B.向量”，。不可能共線

C.卜+〃|不可能為3D.若。=],貝卜在〃上的投影向量為b

【答案】BD

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可判斷B；根據(jù)向量模長坐

abb

標(biāo)公式可判斷C；根據(jù)a