專題07三角函數(shù)與解三角形

Q題型概覽

題型（）i三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性、值域與最值問題

題型02伸縮變換問題及求），=Asin（8+0）+A解析式問題

題型03三角恒等變換

題型048與〃的取值與范圍問題

題型05三角函數(shù)的概念及弧長公式、扇形面積公式

題型06正余弦定理綜合應(yīng)用

題型07角平分線、中線、高問題

題型08解三角形范圍與最值問題

題型09周長與面積問題

題型10解三角形中的幾何應(yīng)用

敗型01三角函數(shù)圖像與性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、奇偶性值域

與最值L（2025?江西贛州?一模）已知函數(shù)/（x）=2cos"+，,若/（x）恰有3個

極售點，則正數(shù)G的取值范圍為（）

「8111（8111「1319、1319

A.B.C.—D.

.33J（33」[66）

【答案】C

【分析】求出的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.

O

7TR7

【詳解】因為3＞0,所以當(dāng)xe[-兀,0]時,的+一￡一（O兀?一、一

666

因為/（1）恰有3個極值點，所以-3萬＜-碗+^W-24，

6

1319「1319、

解得即切的取值范圍為.

66Loo7

故選:C

2.（2025?河南安陽?一模）已知函數(shù)"x）=sin（2x+e）在時滿足恒成立，且在區(qū)

間0*內(nèi)，僅存在三個數(shù)々，七，&（N＜七v七），使得/（內(nèi)）=/（9）=/（&）=切，則++小+：=

（）

【答案】c

【分析】先求出+號+J根據(jù)/(X)二恒成立，得到8=m+2E，&€Z,不妨取

畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，利用對稱性得到玉+9==-5=?，42+占=等-3=:，求出答案.

263263

【詳解】時，2x+e《e，g+e),

4*v=sinz,則當(dāng)zw(色+2E,2+2E],ZeZ時，y>—.

166J2

故要想/(x)=sin(2x+0)在xe(0?)時滿足恒成立，

需滿足W=?+2E,kwZ,不妨取。=g,

o6

畫出y=sinz在z￡信詈上的圖象，如下:

則2百+產(chǎn)氣二3兀22產(chǎn)3+%=5兀,

2-2'2-2

,,3冗兀4兀5兀兀77r

欣石+占=-7一N=丁，工2+七=v-7=V，

2oJ2o3

兩式相加得玉+2x,+x3=—+—=-J-,

ll,iXx,1\n

所以力+勺+竦=丁.

22o

故選：C

3.(2025?河南安陽?一模)定義：已知函數(shù)/(x)在其定義域上的最大值為〃，，最小值為〃，若機-〃=2,

則稱〃.*)是“2間距函數(shù)〃，則下列函數(shù)是〃2間距函數(shù)〃的有()

r+10

A./(x)=2sinx,xeRB./(x)=------,-^,2

C./(x)=>/-r2+4x,xe［0,4］D.f(x)=2~x—2r,xG［0,1］

【答案】BCD

【分析】對于A,利用)，=sinx的性質(zhì)，求出最大值和最小值，即可求解；對于B,利川反比例函數(shù)

的性質(zhì)，求出最大值和最小值，艮】可求解；對「C,令〃=2)?+4,y=&,利用復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)性，求出最大值和最小值，即可求解：對于D,令f=2"則>，=『7,求出)，=/T在區(qū)間0,2］

上最值，即可求解.

【詳解】對于選項A,易知/(x)=2sinx的最大值為〃?=2,最小值為〃=-2,則利-〃=4,所以選

項A錯誤，

對于選項B,因為〃X)=土里=1+,在區(qū)間k,2上單調(diào)遞減，

xxL，_

所以〃冷二山的最大值為旭=1+：=?，最小值為〃則加-〃=2,所以選項B正確，

x222

對于選項C,f(x)=4-^+4x=yj-(x-2)'+4,令〃=-(4-2)~+4,y=4，

當(dāng)工40,4］時，〃?0,4］,又〃=-(%-2)2+4在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［2?4］上單調(diào)遞減，

乂y=4在區(qū)間［0,4］上單調(diào)遞增，所以/(力=+4x的最大值為6=2,最小值為〃=0,

則〃?-〃=2,所以選項C正確，

對于選項D,令f=23因為X40』，則y=產(chǎn)—f,且/=2飛［1,2］,

易知)，="一在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞增，所以y=產(chǎn)一在區(qū)間［1,2］的最大值為〃?=2,最小值為〃=0,

則=所以選項DIE確，

故選：BCD.

4.(2025?廣東深圳?一模)已知/(x)=gsin2x,卜列說法中止確的是()

A.外"的最小正周期為2兀

B./(工)在-%：上單調(diào)遞增

C.當(dāng)z-抬時，小)的取值范圍為一￥，￥

D.的圖象可由g")=；sin(2x+()的圖象向右平移5個單位長度得到

【答案】BD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)圖象變換法則計算可判斷每個選項的正誤.

【詳解】因為/(x)=；sin2x,所以函數(shù)的最小正周期為7=葺=兀，故A錯誤，

因為所以所以〃力在上雙調(diào)遞增，故B正確；

L44J[,22」'，44」

因為xe，2xe-*??所以sinxw-4,1,7(x)f勺取值范圍為一半3，故C錯誤;

VIJJJ乙?乙

由千g(x)=：sin(2x+：],將其向右平移得到9得到)，=:而[2心-1]+可=基由2-故D正確.

2V4JX2|_\874J2

故選：BD.

5.(2025?北京平谷?一模)已知函數(shù)/(x)=sin5"，任取luR,定義集合：4-3)一/(同，點

尸(『J。))，o(xj(x))滿足|P0?&}.設(shè)M，見分別表示集合4中元素的最大值和最小值，記

秋。=此一肛.則函數(shù)力⑺的最小，直是()

A.2夜B.1C.72D.2

【答案】B

【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)尸的位于不同的位置，即可分情況求解.

2,

【詳解】如圖所示，/(x)=sin：x的圖象，此時，函數(shù)的最小正周期為》=,

22

點P?,siny),Q(x,sin號,

當(dāng)點P在A點時，點。在曲線Q4B匕此=1,m(=0,〃(/)=%-%=1,

當(dāng)點尸在曲線上從A接近〃時，M,=l,叫減小，所以力⑺逐漸墻大；

當(dāng)點尸在〃點時，弘=1,6=T,=一町=2

當(dāng)點?在曲線上從8接近。時，叫=一山口減小，〃⑺逐漸減小，

當(dāng)點。在C點時，M,=0,/n,=-1,h(t)=M,-ml=\

當(dāng)點。在曲線上從C接近。時，網(wǎng)=-l，M增大，帕)逐漸增大,

當(dāng)點，在0點時，M=1,叫=-1>h(t)=M,-ml=2

當(dāng)點P在曲線上從。接近E時，M,=L辦增大,帕)逐漸見減小,

當(dāng)點、尸在七點:時，％=1，叫=0.h(t)=M,-nit=1,

綜上可得力(/)的最小值是1

故選：B

6.(2025?山東泰安?一模)己知函數(shù)/(x)=2sinf69.v+1coscox-^-(co>0)的最小正周期為兀J(x)在

卜是)上的圖象與直線交于點48,與直線產(chǎn)瘋交于點CD,且陷=2皿，則

【答案】|

【分析】先確定函數(shù)/6)的解析式，再數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)/。)圖象的性質(zhì)列式求值即可.

【詳解】因為

6sins'+c近]c°s〃.近

/(x)=2sin

3J~222)2

=smfyxcoscox+y/3cos2cox——-=—sin2cox+—cos2cox=sin2cox+—

222I3J

又函數(shù)最小正周期為北，且3>0,所以M=7tno=l.

2(o

所以〃x)=sin2x+g).

當(dāng)xe一/時，2x4--^e(0,71),所以sin(2x+^e(O,l],

做函數(shù)/(x)=sin(2x+]}xe-抬)的草圖如下：

工,V

-6123

函數(shù)/（力圖象關(guān)于直線x=

設(shè)|困=21,則*+2/,。

n71n冗c)兀

所以sin2—+t+—=>/6sin2|—+2”+—，

112312J3

=>cos2t=>/6cos4/ncosIt=>/6(2cos'21-1)=2>/6cos22/-cos2/—\/6=0，

解？:cos2t=或cos2/=—(舍去).

34

71-、兀.-2/2.1

所以a=sin2—+2/+—=cos4/=2cos2/-I=2x——1=-

12333

故答案為：g

7.（2025?福建泉州?一模）已知函數(shù)"x）=sin2x-2sinx,則（）

A./（二的最小正周期為2兀B.曲線y=關(guān)于直線對稱

C./（“在區(qū)間［-2兀2可上有4個零點D.f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

、JJ

【答案】AD

【分析】A選項，ksin2x和），=sinx的最小正周期，得到/（同的最小正周期；B選項,

/(JCT)學(xué)〃x),B錯誤;C選項，變形得到f(x)=2sinMcosx-l),令/(x)=0得sinx=o或8sx=1,

1)

從而得到〃力在區(qū)間［-2兀2可上有5個零點,C錯誤;D選項，求導(dǎo)，得到廣（力=4cosX——

4j—沁

f,、

在上恒成立，D正確.

【詳解】A選項，），=sin2x的最小正周期為兀，y=sinx的最小正周期為2冗,

兩者的最小公倍數(shù)為2兀，故“X)的最小正周期為2兀，A正確；

B選項，/(7t-x)=sin(27C-2x)-2sin(7t-x)=-sin2x-2sinx^/(x),

故曲線y=/(力不關(guān)于直線產(chǎn)方對稱，B錯誤；

C選項，/(x)=sin2x-2sinr=2sinxcosx-2sinx=2sinx(cosx-l),

令/(%)=。得2sinx(cosx-1)=(),故sinx=?；騝osx=1,

因為xe[-2兀,2可，所以sin.r=()的解為玉=-2兀，x2=-n,x3=0,x4=n,x5=2n,

cosx=l的解為X1=-2元，七=0,鼻=2幾，

綜上，f（%）在區(qū)間[-2兀2可上有5個零點，C錯誤;

2

D選項，f'(x)=2cos2x2cosx=4cosx22cosx=4COSA-

cosxecosx-

9

即f'(x)=4COS'————<0內(nèi)單調(diào)遞減，D正確

4

故選:AD

8.（2025?甘肅蘭州?一模）已知曲線5”由（1+），）=8§1+$m），,*），￡1^.

（1）定義：若對于曲線/*,），）=（）上任意一點P?y）沿向量a=（rr）平移得到點。（X+丁,〉，+7’）仍在

曲線上,其中上與其是不同時為0的常數(shù)，則稱曲線，（樂曲=0沿向量4=（77）的方向上有周期

性.判斷是否存在向量使曲線S具有周期性，若存在請寫出一個符合要求的向量，若不存在，請說

明理由：

⑵證明：曲線S是中心對稱圖形：

⑶當(dāng)xc[o,m），士即時，曲線s為一條封閉的曲線，四條直線/I“+），-手-。=（）,

/:x+y-+^=0,l:x—y+=0,Z:x—y—=0,圍成矩形A8CQ,其中。為銳角，

223646

cose=G-1,證明：曲線s在矩形MCO的內(nèi)部或邊上，且過矩形對角線交點的直線平分曲線s

圍成的面積.

【答案】⑴存在：。=(2〃譏,2〃兀)，(加，〃wZ,且〃不同時為0)

⑵證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)利用正余弦函數(shù)的周期性計算可得結(jié)論；

(2)利用8s(27t+2m-%)=cos冗sin(北+2m-y)=siny,計算可得當(dāng)P(x,y)在曲線S上時,必有

P'(2兀+兀+2〃譏-歷在曲線S上，可得結(jié)論；

(3)先用反證法證明曲線S上的點在直線4的上方或直線/,上，由第(2)問可知，點M(兀，技)是

曲線S的中心，可證明點M也是矩形A4CO的中心，進而可得結(jié)論.

【詳解】(1)因為sin[(x+2〃譏)+{y+2m)]=sin(x+y),cos(x+2nm)=cosx,sin(y+2〃兀)=siny,

所以當(dāng)P(x,y)在曲線S上時,Q(x+2mjt,y+2nK)(m,nwZ,且〃?，〃不同時為0)必在曲線Sk,

故存在向量使曲線S具有周期性，

向量〃=(2〃]冗,2〃兀)，(m,nsZ,且〃2,〃不同時為0),(/”，〃取一個符合要求的值即可).

(2)因為cos(2兀+2〃譏—x)=cosx,sin(兀+2〃?兀-y)=siny,

sin：(2兀+2frm-x)+(兀+2rm-y)]=sin(x+〃eZ),

所以當(dāng)sin(x+y)=cosx+siny時，

sin：(2兀+2"譏一%)+(乃+2fm-y)]=COS(2TT+2nm-x)+sin(7t+2mt->')

故當(dāng)P(x,用在曲線S上時，必有產(chǎn)(2兀+2/7Z7T-A,71+2〃譏-y)在曲線S上，

而P與P關(guān)于點[+旭兀，]+加)對?稱，所以曲線S是中心對稱圖形，對稱中心為

兀+加兀,]+〃兀卜孫〃eZ),(小，〃取?個符合要求的值也可)；

(3)先證明曲線S上的點在直線4的上方或直線4上，

3兀

設(shè)P(x,y)是曲線S上任意一點，印證K+y2耳+夕.

tbsin(x+y)=cosx+sinynJcosx+=cosx+cos^

令z=PVJze[0,7ibcos(x4-z)=cosx+cosz,原命題即證x+z之兀+8.

用反證法證明，假設(shè)X+ZV7T+。，則簽<5+；氏

,—r3c，x+z,cx+zX-Z

由cosz(x+z)x=cosx+cosz可行2cos"-----1=2cos-----cos----

222

x+z14X-Z

由于x+z=7t時原式不成立，故K+ZW7t,貝|J28s----=2cos----

2x+z

cos----2

2

x+z<—+-^.所以COS伊兀+，1]<COS

若X+z>71,則占<cosA。，

222\2222/2

Z[、

0l-cos6>[2-6l-G

乂cos—+—0=-sin—=

(22)2222

x+z1-75i

故2cos>2x_____=2

2x+z21-V5，得cos>1，矛盾.

cos----2

22

故x+zv兀，tipz<n-x,又x20,zN0,因此cosz>cos(花一x)=-cosx,

從而cos(x+z)=cosx+cosz>0,可得x+z<馬，因此0Kx<囚,0Kz<￥,

222

所以COS（X+Z）WCOSX<COSX+COS2,這與已知矛盾，故假設(shè)不成立,

由第（2）問可知，點M（兀，段）是曲線S的中心，過M垂直于/的直線為），=x+；71,

2

n710

=x+x=—+—

y^72

由,,得：，將其分別代入曲線S的方程兩邊,

3n八u

y=-x+—+0V=7T+—

'22

[￥+〃)=_cosg=1-6,右邊=cos(n0\+sin兀/0=-2,

左邊=sin—+—=1-6,

U2)2J2

5+號，冗+?）既在曲線s上乂在直線4上，從而曲線s上的點在直線6的上方或直線4上.

故點

3兀3兀八

由干點M1到直線4的距離7C+------------------(/

22兀一夕,

必若）到直線，2的距離

必兀，當(dāng)）到直線4的距離

叩與到直線的距離

所以點M也是矩形4BCO的中心：根據(jù)中心對稱性可知曲線S上的點在直線4的下方或直線上，

同理可證，曲線S上的點也在直線4/之間，或直線上，因此，曲線S在矩形/IBC。的內(nèi)部或

邊上，又由于矩形A8CD和曲線S的對稱中心重合，因此過矩形4BC。對角線交點的直線必平分曲

線5圍成的面積.

9.(2025?山東濟寧?一模)若函數(shù)/(幻=2sinx+cosx-G,xw(0,兀)的兩個零點分別為不和々，則

cos(x1-x,)=()

2112

A.—B.一一C.—D.—

5555

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡“制，再利用函數(shù)零點的意義及正弦函數(shù)的性質(zhì)求得

-土產(chǎn)，進而求出cos:寧，最后利用二倍角的余弦求值.

【詳解】函數(shù)f(A)=2sinx+cosx-VJ=>/5sin(x+<p)-\/3,其中銳角。由tanQ=g確定，

由)(百)=)(工2)=0,得sina+e)=sin(%2+p)=T，而仁例兀+8),

因此2+0+x,+。=兀，即0:"一則sin($+"-％省，

2222V5

日門.兀玉一乂、\/5工日不一工2G

即$in(----1——-)=,于是cos-——=—}=,

22>/5275

所以cos(Xj-^)=2cos2X1---1=1.

故選：C

10.(2025?山東荷澤?一模)己知函數(shù)/。)=8"?在閉區(qū)間/_L的最大值記為M/,若實數(shù)攵滿足

“倒=2崛鞏則〃=.

【答案】9或號

36

【分析】可以根據(jù)區(qū)間的定義，k>0,得到M卜會］=c°s°=l,然后根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性和特殊角

的余弦值得到％=?或&

36

【詳解】根據(jù)區(qū)間的定義，左端點小于右端點，k<2k,得到無>0,即0e~,k根據(jù)余弦函數(shù)的

性質(zhì)，"卜司=c°sO=l,由題意：叫⑼=g,根據(jù)函數(shù)〃x)=cosx的周期為2兀，而且其在［0,可單

調(diào)遞減，在［兀,2句單調(diào)遞增，〃2兀)=1,2k-k<2n,即〃<2北，所以2火<2兀，即k<兀，

當(dāng)時，2kG冗,"r)=cosx在伏,2修單調(diào)遞減，則叫⑶=cosk=J,可得A=

當(dāng)?<女<九時，n<2k<2it,/（外=85%在卜,可單調(diào)遞減，且〃x）<0在[兀,2句單調(diào)遞增,

維叫=cos22=3,左哼

故答案為：1或?qū)W.

36

題型02伸縮變換問題及求y=Asim&x+e）+A解析式問題

1.（2025?山東聊城?一模）己知函數(shù)/（x）=cos2x+J5sin2x,xtR,則（）

A./（力的最小正周期為27r

B./（1）在0年上單調(diào)遞增

C.直線x=g是曲線>=/（可的一條對稱軸

D.將），=/（刈的圖象向右平移三個單位得到y(tǒng)=-2cos2x的圖象

【答案】BD

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)/（"的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項；利用

正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項：利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項；利用三角函數(shù)怪象變

換可判斷D選項.

【詳角隼】囚為““一2,v+>/5sin2x_2sin（2x4--^

97T

對于A選項，函數(shù)/（力的最小正周期為亨=兀，A錯;

對于B選項，當(dāng)04x42時，-<2x+-<-f

6662

所以，/（力在（吟上單調(diào)遞增，B對；

對于C選項，因為"）=2si哼=1,故直線X.不是曲線y=.f（x）的一條對稱軸，C錯;

對于D選項，將），=/（切的圖象向右平移々個單位，得到函數(shù)，=2sin2

3LV6J

=2sin（2x-]=-2cos2x的圖象，D對.

故選：BD.

2.（2025?山東濟寧?一模）將函數(shù)y=2cos（2x-m的圖象向右平移;個周期后，所得圖象對應(yīng)的函

6J4

數(shù)為（）

cc九

A.y=2cos2x+一

I12

C.y=2cos(2x+])D.y=-2cos(2x+y

【答案】D

【分析】先求出函數(shù)周期，再由函數(shù)平移的性質(zhì)結(jié)合余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得.

【詳解」函數(shù)周期丁與f所以函數(shù)尸2川"總的圖象向右平移5個周期可得

故選:D

3.（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）將函數(shù)〃X）=而（2?8的圖象向右平移2個單位長度，再將圖象上所

有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g@）的圖象，設(shè)心）=&。）+1，則力⑴在

（-兀，兀）內(nèi)的極大值點為（）

2兀2兀5冗5Ji

A.——B.----C.—D.---

3366

【答案】A

【分析】根據(jù)平移規(guī)律求出g（x）,L%）,再利用導(dǎo)數(shù)求出極值點即可.

【詳解】函數(shù)/（x）=sin（2x+?的圖象向右平移高個單位長度，得函數(shù)

■/\"

y=sin2+?=sin2x的圖象，

k6J3_

再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）=sinx的圖象,

所以h(x)=g(x)+^=sinx+楙，

1GG

貝IJ”(X)=COSX+;;,XC(—兀兀).令"(x)=O,得工=一一或工=￥.

23J

（幻＜0,/?（x）單調(diào)遞減；

""）＞0,應(yīng)1）單調(diào)遞增；

當(dāng)走e時，"'（x）＜0,/?（x）單調(diào)遞減,

所以人（X）在（-冗,兀）內(nèi)的極大值點為y.

故選：A.

4.（2025?江蘇宿遷?一模）將函數(shù)…n14）

的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的5（縱坐標(biāo)

不變）得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)是（）

.(1712兀

A.y=sin-X--B.y=sin2x

(263

1冗、?fr冗

C.5'=sin—X——D.y=sin2x----

23)3

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)縮短到原來的g倍，就是切變?yōu)樵瓉淼?倍進行變換，即可得到

答案.

【詳解】將函數(shù)>的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的g（縱坐標(biāo)不變），

就是。變?yōu)樵瓉淼?倍進行變換，即得到函數(shù)的解析式為：y=sin（2x-三）.

故選：D.

5.（2025?江蘇南通一模）把函數(shù)f（x）=4is\n（ox+cos69x（0<ty<3）的圖象向左平移1個單位長度,

得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則下列說法正確的是（）

A.的最小正周期為兀

B.的圖象關(guān)于直線x=J對稱

0

c./⑴在（若令上單調(diào)遞增

D.若/。）在區(qū)間［-2,。）上存在極大值點和極小值點，則實數(shù)〃的取值范圍為（=,+8）

123

【答案】ABD

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)/*）,由已知求出。即得解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)逐

項判斷.

[詳解]f[x}-2sin(<wx+/(x+jy)=2sin[69(x+-j^7t)+-^]=2sin(5+-^na>+^),

由f(x+2)關(guān)于原點對稱，得史&+工=7i+A7t?eZ,。=2+且女?eZ,

121265

而0<°<3,則CO=2,/(x)=2sin(2x+—),

6

對于A,/(%)的最小正周期丁=勺=兀，A正確;

對于BC,由2x+^=E+E,keZ,得x=2+直線x=工是/(x)的圖象一條對稱軸，B正

62626

確，C錯誤；

對「D,由一三<x<〃，得()<2X+F<2a+B，而/*)在［―三⑷上有極大值點又有極小值點,

126612

則2。+?>=兀，解得〃>］兀，D正確

623

故選：ABD

三角恒等變換

1.(2025?黑龍江?一模)已知sin(a-/?)=-g,且sinacos/?=',則cos(2z+20=()

A314

BC.—D.-

9-499

【答案】C

【分析】應(yīng)用兩角和差正弦公式計算，再結(jié)合二倍角余弦公式計算即可.

【詳解】已知5由(。一/?)=§訪。806一83。3油/?=一,，jlsinacos^=—,

36

]2

則cosasin/?=—,所以sin(a+p)=sin?cos^+cos?sin/?='，

<7A2?i

則cos(勿+2/7)=l-2sin?(a+0=l-2x—=I—=-.

、3J99

故選:C.

2.(2025?山東泰安?一模)已知lan(a-(=3,則cos2a=()

132

A.—B.--C.—D.

555

【答案】B

【分析】先求得tana,然后根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來求得正確答案.

【詳解】依題意，tanja_?］=警二1=3,

(4)1+tana

解得tan。二-2,

c1.,cos2sin2a

cos2a=cosa-sin-a=---------；—

cos,a+sin"a

1-tan2a1-43

=-------；-=-------=—?

1+tan-a1+45

故選:B

3.(2025?黑龍江?一模)已知7+tan4=°，2tan(a-/?)-l=0,則tan2a=()

I//

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求出tan/y與tan（Q-0的值，再利用三角函數(shù)的兩角和公式求出tana,最后

根據(jù)二倍角公式求出tan2a.

【詳解】由7+tan(5-4)=0,可得tan〃=—g,且

3na=tan[(a-AM\R：(：f常肌彩=g

27

2tana3

tan2a=

故1-tan2?4-

故選：C.

4.（2025?廣東湛江?一模）已知lana+=則sin（2a+與卜

4

【答案】

【分析】利用同角關(guān)系式可求得8s21+看）=得，利用誘導(dǎo)公式可得

，再利用倍角公式即可求解.

si?nIa+—九

【詳解】tan(a+-^l=包2,即cos”=3sin嗚.

it3I12

cosa+——

12

+sin(a+*)=9

乂cos2a+—I.所以cos?a+=

<12,To

所以sin(2a+1)c兀171I71

=sin2a+—H--=cos2a+—

626J

4

故答案為：!

5.(2025廣東江門?一模)已知sin(。一E)+cosa=L則cos(2a+=)=()

633

774A/2

A.——B.一RJ--------

999

【答案】B

【分析】利用和差角的正弦公式及二倍角的余弦計算得解.

【詳解】由sin(a—N)+cosa='，得^sina-1立sina+Losa」

cos?+cos?=-?即

63223223

因此sin(a+E)=,，所以cos(2a-3)=cos2(a+二)=l-2sir|2(a+至)=2.

633669

故選：B

”與。的取值與范圍問題

1.（2025?黑龍江?一模）已知-微為函數(shù)/（x）=sin（5+Q）（勿＞0,冗＜。＜2瓦）的一個零點，直線

舊為曲線丁="力的一條對稱軸，設(shè)“X）的最小正周期入住，2兀［，貝IJ-（）

3

°497r―63兀8171

A.九B.-----C.-----D.——

4161616

【答案】C

【分析】利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，通過圖象中兩個特殊點的距離與周期的關(guān)系求出周期丁，再結(jié)

合周期公式求出最后代入特殊點求出夕，進而求得叱的值.

兀箸尹容keZ,解得丁=貳），keZ,

【詳解】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得

又因為Y手3九町故有且僅有皿時滿足題意,此時丁與吟,解得T，

4

%=-=,可得如=〃兀，、

此時/("=sin|^—+^J,代入8-￡eZ

34

又因為"心加故有且僅有?時滿足題意，此時展泉收°展63兀

16

故選：C.

n

2.（2025?北京平谷?一模）已知函數(shù)/（X）=2sincox——<y>0),匕沒有最

3j

值，則。的最大值為（）

C1D.2

兀兀n

co—,—(0—,進而結(jié)合題意可得

323

進而求解即可?

【詳解】由工￡（一%；），3>o,

?.兀（兀it7T兀、

則_彳/_予50_1,

J\J4J}

/\

因為/（X）在區(qū)間上沒有最值，

\，乙）

所匚「1以,（匕冗所要元冗丁司冗）《卜冗子兀力1

7C兀、兀

----(0----->-----

432

TTTC.ll9

則-6>--^-，解得0</工；，

69>0

2

所以。的最大值為;.

故選：A.

3.（2025?山東青島?一模）已知函數(shù)/（x）=sin3x+*）（<y>O.|0區(qū)5）/=-￡為/*）的零點，為

k2；44

產(chǎn)/⑴圖象的對稱軸，且/。）在信蚤）單調(diào)，則口的最大值為（）

\Io^0）

A.13B.11C.9D.7

【答案】c

【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的零點以及它的圖象的對稱性，判斷3為奇數(shù)，由/。）在單調(diào),

分f（x）在工〕單調(diào)遞增、單調(diào)遞減兩種情況，分別求得@的最大值，綜合可得它的最大值.

Vlo30）

【詳解】，函數(shù)/（x）=sin（@r+0X0>。，為/（幻的零點，x=f為丁=/（幻圖象的對稱

244

軸，

,花、rr兀，冗，r

/.（0（——）+0=〃兀,〃wZ，口.0?一+。=〃n+一,〃￡Z,

442

二相減可得3弓=（〃'一〃比+]=船+怖，左"，即?=2k+l,即?為奇數(shù).

人勸在俗冷單調(diào)，

y1O5。/

則勿雋十夕之2&兀-g，且切?三十夕工24兀+，keZ,

即-G-E—*K—2E+工①，且3昌+9工2履+二，AeZ②，

182362

把①②可.得：士祈《兀，.?.3412,故有奇數(shù)3的最大值為11.

36

“10=11時，-+（p=kn,keZ,I。區(qū);，：.（p=~—.

424

此時/（幻="嚀在脂祗

上不單調(diào)，不滿足題意.

當(dāng)<y=9時，-電+>=E,keZ,1*區(qū)三，：.(p=—

424

此時f⑺=sin（"+a在/部上單調(diào)遞減，不滿足題意;

故此時“無解.

n5n

單調(diào)遞減,

貝ij"?二+822〃兀+乙，Ra)--+tp<2k7i+型，hZ,

182362

即一啰,專一0K—2E—]③，且3郎+9424兀+與，AwZ④,

3

把③④可得:^-C97t<7t,:.a）<\2,故有奇數(shù)口的最大值為IL

36

當(dāng)切=11時，-L^+0=A7t,keZ,二，：.(p=~—

424

（兀5兀）

此時，（力="旺）在上不單調(diào)，不滿足題意.