專題4.2角（舉一反三講義）

【北師大版2024]

題型歸納

【題型1角的概念】

【題型2鐘面角】

【題型3方位角】

【題型4度分秒的換算】

【題型5與角平分線的有關(guān)計算】

【題型6角的大小比較】

【題型7尺規(guī)作角】

【題型8角n等分線的有關(guān)計算】

【題型9三角板中的角度計算】

【題型10旋轉(zhuǎn)成動角問題】

舉一反三

知識點(diǎn)1角的概念

1.角的靜態(tài)定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),

這兩條射線是角的兩條邊.

2.角的動態(tài)定義：角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.當(dāng)射線的終

止位置和起始位置成一條直線時，形成平角，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線的終止位置和起始位置重合

時，形成周角.

“始邊/

知識點(diǎn)2角的表示方法

角的常用表示方法有四種

1.用三個大寫字母來表示

在這種表示法中，表示頂點(diǎn)的字母必須寫在中間，另兩個字母不分順序.如圖（1）中的角

有N4OB,NBOC,ZAOC.

試卷第1頁，共14頁

2.用一個大寫字母來表示

在這種表示法中，表示角的大寫字母必須是表示頂點(diǎn)的那個字母，且當(dāng)兩個或兩個以上的角

有同一個頂點(diǎn)時，不能用這種方法來表示其中的任何一個角.如圖（2）中的/E5c也可以

表示為N8,N4OC也可以表示為/。，但NE力F,/8力/都不能用力力來表示.

3.用一個數(shù)字來表示

用數(shù)字表示角時，要在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處加上弧線，弧線旁邊寫上數(shù)字.如圖（2）中的

力4廠也可以表示為N1,/次3也可以表示為N2.

4.用一個小寫希臘字母夕等來表示

這種方法同用數(shù)字表示角的方法類似，也是在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處加上弧線，弧線旁邊寫上

小寫希臘字母.如圖（3）中的N4O4也可以表示為Na.

【題型1角的概念】

[例1]

I.（1）圖中可以用一個大寫字母表示的角有：

（2）以N為頂點(diǎn)的角有一；

（3）圖中一共一個角（不包括平角）.

【變式1一1]（2025?河北?一?模）

2.如圖，若一/0。=90。，則邊OC可能經(jīng)過的點(diǎn)為（）

?N

M*p

??2

AOB

A.MB.NC.PD.Q

【變式1-2]

3.如圖所示，是一副三角尺，上邊三角尺的三個角分別為45。，45°,90°,下邊三角尺的

試卷第2頁，共14頁

三個角分別為30。，6（）。，90°,那么，在①15。；②55。：③75。：④105。中，可以用這副

C.②③④D.①③④

【變式1-3］

4.如圖，在從同一點(diǎn)出發(fā)的七條射線。力、OB、oaOD、OE、OF、OG組成的圖形中，共

［例2］（25-26九年級上?廣東汕頭?階段練習(xí)）

5.從6點(diǎn)15分到6點(diǎn)30分，分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（）

A.15B.30°C.60°D.90。

【變式2一1］（25-26七年級上?全國?課后作業(yè)）

6.（1）時鐘4：50,時針與分針?biāo)鶌A的角是。.

（2）如圖，此時鐘面上的時間是10時40分，到11時，時針走過的度數(shù)是

【變式2一2］（25-26七年級上?全國?周測）

7.如圖，2時20分，鐘表的時針與分針之間所成的較小角的度數(shù)是多少？再過1小時，時

針與分針之間所成的較小角的度數(shù)是多少？時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)是多少？

試卷第3頁，共14頁

【變式2一3】

8.小明去看電影，他在影片剛放映時看了一下手表，影片結(jié)束時又看了一下手表，他發(fā)現(xiàn)

兩次看手表的時刻，時針和分針剛好交換了一次，已知這部電影的時間在1-2小時之間，則

影片片長為分鐘.

知識點(diǎn)3方位角

方位角：以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動的方向，即正北、正南方向與物體運(yùn)動方

向的夾角為方位角.

【題型3方位角】

【例3】（24—25六年級下?山東淄博?期中）

9.如圖，射線。力的方向?yàn)槟掀?0。，若404=70。，則射線04的方向?yàn)?

北

【變式3—I］（24-25七年級上?江蘇泰州?開學(xué)考試）

10.一次臺風(fēng)的大致路徑如下圖：

（1）臺風(fēng)生成后，先是沿著正（）方向移動了（）km,然后沿（）（）

。方向移動了（）km,到達(dá)了/市.

（2）接著，臺風(fēng)又改變方向，沿（）（）。方向移動了（）km,到達(dá)了B

試卷第4頁，共14頁

市.

【變式3一2】

11.有公共頂點(diǎn)的兩條射線分別表示南偏東15。與北偏東25。，則這兩條射線組成的角的度

數(shù)為()

A.140°B.130°C.120°D.115°

【變式3一3】

12.如圖，已知乙4ON=15。，NBON=40。，。力是N6O。的平分線，ODLOB,則()

北%

N,

X)

w~/oE東

D

S

A.射線OC的方向?yàn)闁|偏北25°

B.射線OC的方向?yàn)楸逼珫|65°

C.射線的方向?yàn)槲髌?5°

D,射線。。的方向?yàn)槟掀?0。

知識點(diǎn)4角的度量單位

1.角度制的概念：以度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制.

2.角的換算：1。=6(上r=60〃；闿°，「'=(春),

1直角=90。，1平角=180。，1周角=360。.

【題型4度分秒的換算】

【例4】

13.若Na=30.2。，則Na的余角用度、分、秒表示為()

A.59。8'B.59。4'8"C.59。48'D.59。48"

【變式4一1](25—26七年級上?全國?課后作業(yè))

14.計算：

(1)33°15'16x5.

(2)180°-(34O54+21°33),

(3)119°57+32o41-70°25ir.

試卷第5頁，共14頁

（4）72°35'+2+18°33'x4.

【變式4一2】

15.學(xué)習(xí)了角的常用度量單位后，樂樂發(fā)現(xiàn)度、分、秒之間可以相互換算，樂樂計算出某一

時刻鬧鐘的時針和分針的夾角是108000”,此時這個夾角等于（）

A.5°B.15°C.30°D.60°

【變式4一3］（24-25七年級上?天津西青?期末）

16.在同一平面內(nèi)有乙4。月=7052',NBOC=35°20',則/4OC的度數(shù)是（）

A.10612'B.3532'C.10612'或3532'D.105°72'或35°32'

知識點(diǎn)5角的平分線

1.角的平分線：一般地，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作

這個角的平分線.若OC是的平分線，則乙40c=反之，若

N4OC=NBOC=g/4OB,則OC是N4O8的平分線.

2.角的〃等分線：類似角的平分線，若從角的頂點(diǎn)引出的（〃-1）條射線，將這個角分成

相等的〃個角，則這（n-l）條射線叫作這個角的〃等分線.

【題型5與角平分線的有關(guān)計算】

【例5】（25-26七年級上?全國?課后作業(yè)）

17.如圖，ZJOD=120°,OC平分N4OO,04平分/力OC,下列結(jié)論：

①N/OC=ZCOD；②NCO。=2/4OC；（3）NAOB與ZCOD可以拼成一個直角；④ZAOC

與可以拼成一個平角，正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式5一1］（24—25七年級上?全國?課后作業(yè)）

18.如圖，已知48P+NP8C=9（）。，NCBD=30。，BP平■分NABD,則480=

試卷第6頁，共14頁

【變式5一2】

19.如圖，OM平分/力。8,ON平分/CO。.若//0%=80。,/8。。=50。，則40。的度

數(shù)為.

【變式5一3](24-25七年級上?陜西西安?期末)

20.如圖，在/力。。中，射線OE平分/4OC,連接。8,射線平分N8OC.

(1)若/404是直角，4OC=70。，求/廠的度數(shù);

(2)若乙4OC+NEObu170。，/8。。=80。，則NCOE是多少度？

知識點(diǎn)6角的比較

1.疊合法：把要比較的兩個角的一條邊疊合在一起，通過觀察另一條邊的位置比較兩個角

的大小.

2.度量法：用量角器量出角的度數(shù)，再根據(jù)度數(shù)比較用的大小.

【題型6角的大小比較】

【例6】

21.如圖，正方形的網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長都為1,則下列結(jié)論正確的是()

試卷第7頁，共14頁

A.B.乙a>乙pC./a=D.無法判斷

【變式6—1】

(1)因?yàn)?A與0A是公共邊，邊OC在ZAOB的所以NAOC/AOB；

(2)因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OD與邊OC疊合，所以4AOC/AOD；

(3)因?yàn)镺B與OB是公共邊，邊OA在—的所以/BOC/BOA.

【變式6一2】

23.如圖所示表示兩塊三角板.

(1)用疊合法比較41,za,乙2的大小；

⑵量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個角從小到大排列，然后用或“=”連接.

【變式6一3](24—25七年級上?四川自貢?期末)

24.若21=38。15',22=38/5。，"3=38.25。，則下面說法正確的是()

A.Z1=Z2B./2=/3

C.Z1=Z3D.Zl,N2,N3互不相等

【題型7尺規(guī)作角】

【例7】

25.如圖，已知兩個角N1和N2,求作一個角/3=N1+2N2.

試卷第8頁，共14頁

26.如圖，點(diǎn)C在/40△的邊08上，用尺規(guī)作出了作圖痕跡中弧尸G是（）

B.以點(diǎn)C為圓心，OM長為半徑的弧

C.以點(diǎn)E為圓心，0。長為半徑的弧

D.以點(diǎn)E為圓心，氏為半徑的弧

【變式7一2】

27.如圖，己知/A0B與NEO'F,分別以O(shè),。為圓心，以同樣長為半徑畫弧，分別交

0A,08于點(diǎn)W,交O'E,O'F于點(diǎn)E\F'.以*為圓心，以￡T'長為半徑畫弧，交

弧HZT于點(diǎn)〃，下列結(jié)論不正確的是（）

A.AAOB=2AEO'FB./AOB>AEO'F

C.NHOB=NEO'FD./AOH=/AOB—NEO'F

【變式7—3】

28.如圖為一副三角尺，其中/a=60。,/〃=45。，作=120。,/。痔=15。.

（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

試卷第9頁，共14頁

aP

【題型8角n等分線的有關(guān)計算】

【例8】（24—25七年級下?重慶?開學(xué)考試）

29.如圖1,已知/彳08=120。，ZCW=60°,在//OC內(nèi)，ON在/BOO內(nèi),

（1）/。。。從圖1中的位置繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)到OC與04重合時，如圖2,則NM0N=

（2）/COO從圖2中的位置繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)〃。（0<〃<180且〃，60°,其中〃為正整數(shù)），

直接寫出所有使4MON=2NBOC的〃值.

【變式2—1】

30.如圖所示，若點(diǎn)4。，4在一條直線上，OM平分/4OC,N8ON:NCON=1:4,當(dāng)

40河=20。時，NCON等于（）

【變式8一2】

31.如圖，射線。。在//O4的內(nèi)部，圖中共有3個角：/AOB,“nOC和280。，若

其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線。。是用的“平衡線”.若

乙408=78。，且射線OC是/力。5的“平衡線”，則/力。。的度數(shù)為.

試卷第10頁，共14頁

B

C

OA

【變式8一3】

32.如圖1,直線相與CD相交于點(diǎn)O,使4OC=120。.將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在

。處，即NMON=90。.

圖1圖2

(1)當(dāng)三角尺一邊。M在。的內(nèi)部，且為N80C的三等分線，求/8ON的度數(shù)?

(2)當(dāng)三角尺一邊ON在//OC的內(nèi)部(圖2),求乙4。歷-/CQV的值？

【題型9三角板中的角度計算】

【例9】

33.如圖，將一副直角三侑板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起.

⑴若NDCE=35。,則NBC4=_；

(2)若N4C4=150。，則NOCE=_；

(3)若NDCE:NACB=2:7,求/QC石的度數(shù).

【變式9一1】

34.將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)。按如圖方式疊放在一起，則

AACB+Z.ECD=.

試卷第11頁，共14頁

【變式9一2](25-26八年級上?全國?階段練習(xí))

35.如圖，把一個三角尺的直角頂點(diǎn)。放置在△48。內(nèi)?使它的兩條直角邊?！?。尸分別

過點(diǎn)8,C,如果N/l=40。，那么的度數(shù)是()

A.50°B.60°C.70°D.40°

【變式9一3](24-25七年級上?河南開封?期末)

36.如圖，將一副三角尺疊放在一起，使它們的直角頂點(diǎn)重合.

(1)若NOCE=350,求的度數(shù)；

(2)若乙4cB=140。，求NDCE的度數(shù)；

(3)猜想N4C8與/OCE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【題型10旋轉(zhuǎn)成動角問題】

【例101(24-25七年級上?湖南岳陽?期末)

37.已知，OC是N4O8內(nèi)部的一條射線，且乙4OB=34OC.

⑴如圖1所示，若乙408=120。，平分/4OC,ON平分NAOB,求NMON的度數(shù):

試卷第12頁，共14頁

（2）如圖2所示，//08是直角，從點(diǎn)。出發(fā)在N30C內(nèi)引射線。。，滿足

Z.BOC-Z.AOC=/COD,若。M平/C0D,求NBOM的度數(shù)：

⑶如圖3所示，若408=150。，射線OP,射線。。分別從0c,04出發(fā)，并分別以每杪1D

和每秒20的速度繞著點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)，OP和。。分別只在24OC和28OC內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)

動時間為/秒.當(dāng)4OP=；4?OP,求f的值.

【變式10-11

38.如圖，OE上4B于點(diǎn)O,ZCOE=15°,射線（加從"出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒60。的速度

順時針向終邊08旋轉(zhuǎn)，當(dāng)。W到達(dá)08時停止旋轉(zhuǎn).

（1）N/1OC的度數(shù)為.

（2）當(dāng)OM旋轉(zhuǎn)了秒時，NMOC=1（）5度.

【變式10-2]（24-25七年級上?河北滄州?期中）

39.如圖1,點(diǎn)力，O,5依次在直線上；如圖2,現(xiàn)將射線。4繞點(diǎn)。沿順時針方向以

每秒2。的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線08繞點(diǎn)O沿逆時針方向以每秒4。的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為

/秒（0WK90）.下列說法正確的是（）

圖1圖2

A.當(dāng)，值為10秒時，Z/195=IOOn

B.整個運(yùn)動過程中，不存在乙408=90。的情況

C.當(dāng)乙408=60。時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間Z一定為20秒

D.當(dāng)f值為36秒時，射線03恰好平分NA/Q4

【變式10-3]（24-25七年級上?四川成都?期末）

40.點(diǎn)。是直線力4上的一點(diǎn)，射線OC從。力出發(fā)繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到OB停

試卷第13頁，共14頁

止，設(shè)4OC=a(0。4a4180。)，射線OOJ.OC,作射線OE平分/8OO.

C

(1)如圖1,若a=40。，且。。在直線48的上方，求/QOE的度數(shù).

(2)射線。。順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到圖2,當(dāng)射線。。在直線48的下方時，其他條件不

變，請你用含。的代數(shù)式表示/。。石的度數(shù).

(3)射線。。從。4出發(fā)繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)到。8,在旋轉(zhuǎn)過程中你發(fā)現(xiàn)NOOE與N.4OC

(00<ZAOC<\80°,0°<Z.DOB<180°)之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請你直接用含a的代數(shù)式

表示/DOE的度數(shù).

試卷第14頁，共14頁

1.NB,ZC/BAD,NDAC,ZBAC7

【分析】本題主要考查了用的表示方法，角的個數(shù)問題：

（1）頂點(diǎn)處只有一個角的可以用一個大寫字母表示即可；

（2）以力為頂點(diǎn)的角有三個，逐一寫出即可；

（3）把圖中所有角（不包括平角）寫出數(shù)一數(shù)即可.

【詳解】解：（1）圖中可以用一個大寫字母表示的角有“8?；

故答案為：ZB,ZC.

（2）以力為頂點(diǎn)的角有，8力。，NDAC,NBAC；

故答案為：NB4D,ZDAC,ZBAC.

（3）圖中的角為：NB,ZC,/B4D,ZDAC,NBAC,NBDA,/A。。共7個.

故答案為：7.

2.B

【分析】本題考查了角的分類，掌握銳角、直角、鈍角的概念是解題關(guān)鍵.連接各選項(xiàng)點(diǎn)進(jìn)

行分析即可.

【詳解】解：A、連接。M,由圖形可知，4。歷<90。，不符合題意:

B、連接ON,由圖形可知,乙4ON接近于90。，則邊OC可能經(jīng)過點(diǎn)N,符合題意:

C、連接OP,由圖形可知,乙40P>90。，不符合題意;

D、連接。。，由圖形可知,40。,90。，不符合題意;

故選：B.

?N

M?、P

，。一?。

AOB

3.D

【分析】本題考查了角的和差，熟練掌握角的和差是解題關(guān)鍵.根據(jù)角的和差求解即可得.

【詳解】解：v15°=45°-30°,75°=45°+30°,105。=45。+60?,

???可以用這副三角尺畫出來的是①③④，

故選：D.

4.21

【分析】本題主要考查了角的規(guī)律探索.找出以0/為始邊的角的個數(shù)，然后找出相鄰的邊

為始邊的角的個數(shù)相加即可，按照七條射線角的個數(shù)的計算方法即可得到答案.

答案第1頁，共23頁

【詳解】解：以。力為始邊的角有6個，

以08為始邊的角有5個，

以O(shè)C為始邊的角有4個，

以O(shè)Q為始邊的角有3個，

以0E為始邊的角有2個，

以。尸為始邊的角有1個，

故共有銳角：6+5+4+3-2+1=21（個）.

故答案為：21.

5.D

【分析】本題考查了角的運(yùn)算，理解題意是解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)一小時等于60分鐘和一小時分針轉(zhuǎn)360。進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???一小時等于60分鐘，

???15分鐘為線小時，

604

???一小時分針轉(zhuǎn)360。，

./小時轉(zhuǎn)360。乂,=90。，

44

故選D.

6.155或20510°

【分析】本題考查鐘面角，理解鐘面角的定義是正確解答的關(guān)鍵.

（1）因?yàn)殓姳砩系目潭仁前岩粋€圓平均分成了12等份，每一份是30。，借助圖形，找出時

針和分針之間相差的大格數(shù)，用大格數(shù)乘30。即可.

（2）根據(jù)鐘面角的定義以及圖形中的角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：（1）鐘表上4點(diǎn)50分，時針與分針的夾角可以看成6、30。+30。、s=205。.或

60

360n-205n=155n.

（2）如圖，由鐘面角的定義可知,

40

=30°,Z5OD=30°x—=20°,

60

408=30、2+20。=80。，

答案第2頁，共23頁

.?./4OE=30°—20°=10°,

故答案為:(1)205或155(2)10°.

7.2時20分：50。再過lh是3時20分：20。時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)：30°

【分析】本題考查了鐘面角，角的計算，掌握鐘面角的計算是解題的關(guān)鍵.

結(jié)合鐘表圖形，根據(jù)時針一小時轉(zhuǎn)30。，一分鐘轉(zhuǎn)0.5。，分針一小時轉(zhuǎn)360。，一分鐘轉(zhuǎn)6。計

算即可.

40

【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時間為2時20分時，時針指向2點(diǎn)和3點(diǎn)之間的靠近刻度3的二處，分

60

針指向刻度4,

故時針與分針之間所成的較小角度為：嗒襄］=50。.

12I60)

360040

再過1小時是3時20分，同理可得時針與分針之間所成的較小角度為：U3X/=20。.

1260

時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)：360°xl=30°.

所以2時20分，鐘表的時針與分針之間所成的較小角的度數(shù)是50。，再過1小時，時針與分

針之間所成的較小角的度數(shù)是20。，時針轉(zhuǎn)動的度數(shù)是30。.

【分析】本題考杳鐘面角.

當(dāng)鐘表的時針和分針位置互換時，兩針在該時間段內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度之和是360的整數(shù)倍?.

【詳解】解：設(shè)影片時長為7分鐘.分針每分鐘走6。，時針每分鐘走05.

兩針轉(zhuǎn)過的角度之和為為6r+0.57=6.57.

根據(jù)題意，兩針位置互換，則其轉(zhuǎn)過的角度之和應(yīng)為360'的整數(shù)倍，即6.57=360k(4為正

整數(shù)).

因?yàn)?0<丁<120,

所以60<<120,

1313

解得

126

因k為正整數(shù)，故￡=2.

720x21440

所以r=(分鐘).

答案第3頁，共23頁

1440

因此影片片長為分鐘.

13

1440

故答案為:

9.南偏東50。

【分析】本題考查了方位角和角的和差運(yùn)算的知識，掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵;

本題根據(jù)方位角和角的和差運(yùn)算的知識，進(jìn)行作答，即可求解；

【詳解】解：如圖：

北

???射線。力的方向?yàn)槟掀?0。，

Z.AOC=20°,

???Z.AOB=70°,

:.NCOB=ZAOB-ZAOC=70°-20°=50°,

即射線OB表示的方向南偏東50°.

故答案為：南偏東50。；

10.西540北偏西60600北偏西30200

【分析】本題考查了方向免在生活中的實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)示意圖中的方向指示，結(jié)合臺風(fēng)從生

成地經(jīng)力市到3市的實(shí)際運(yùn)行方向和距離解答即可.

【詳解】解：（1）根據(jù)“上北下南，左西右東”的地圖方向，可知：臺風(fēng)從生成地開始沿著正

西方向移動了540km,然后沿著北偏西60。移動了600km,到達(dá)了力市.

故答案為：西；540：北偏西；60；600.

（2）同樣由“上北下南，左西右東“，可知：接著，臺風(fēng)又改變方向，沿北偏西30。方向移

動了200km,到達(dá)了B市.

故答案為：北偏西;30；200.

11.A

【分析】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的運(yùn)算是解題關(guān)鍵.根據(jù)題意畫出圖形，再根

據(jù)方向角的運(yùn)算求解即可得.

【詳解】解：由題意，畫出圖形如下：

答案第4頁，共23頁

則這兩條射線組成的角的度數(shù)為乙4OB=180。-15。-25。=140。，

故選：A.

12.D

【分析】本題主要考查了方向角，角平分線的定義，垂直的定義，熟悉掌握角度的運(yùn)算是解

題的關(guān)鍵.

根據(jù)/ZQV=15。，/8CW=40。，04是/8O。的平分線，求出NCON的度數(shù)，即可判斷A

和B,再求出N8O爪的度數(shù)，通過垂直的定義求出/3。。即可判斷C和D.

【詳解】解：vZjaV=15°,NBON=40°,。力是/8。。的平分線，

:.ZAOC=ZAOB=AAON+N8ON=15。+40。=55。,

ACON=ZAOC+NAON=550+15°=70°,

NCOE=90°-/CON=90°-70°=20°,

射線O。的方向?yàn)楸逼珫|70。或東偏北20。，故A和B縉誤；

???N8ON=40。，

N8。/=90。-4BON=90°-40°=50°,

?：ODIOB,

：.ZWOD=90°-ABOW=90°-50°=40°,

NDOS=90°-ZWOD=90°-40°=50°,

???射線。。的方向?yàn)槲髌?0?；蚰掀?0。，故C錯誤，D正確；

故選：D.

13.C

【分析】本題主要考查了求一個角的余角，度、分、秒單位的換算，解題的關(guān)鍵是掌握余角

的定義.

答案第5頁，共23頁

根據(jù)余角的定義求出余角，再進(jìn)行單位換算即可.

【詳解】解:90?

=90°-30.2°

=59.8°,

59.8°=59°+(0.8>60)，

=59。48,,

故選：C.

14.(1)166°1620,

(2)123。33’

(3)82。12"

(4)110。29’30"

【分析】本題包含四個角的運(yùn)算問題，需要根據(jù)度、分、秒的進(jìn)制，按照先乘除

后加減、有括號先算括號內(nèi)的運(yùn)算順序進(jìn)行計算.

【詳解】(1)解：原式=165。75'80"=166。16'20".

(2)解：原式=180。-55>87'=179。60'-56。27=123。33'.

(3)解：=152°381-7002513'=152°37'60'-70°251<=8201247".

(4)解：JgS=36o17,30，+72o132,=36017*30*+74°12'=11002930".

【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的四則運(yùn)算，掌握度、分、秒之間的進(jìn)制關(guān)系，按照

運(yùn)算順序進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

15.C

【詳解】【分析】根據(jù)1度=3600秒，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

【詳解】108000"=108000+3600(度尸30°

故選C：

【點(diǎn)睛】本題考核知識點(diǎn)：角度的換算.解題關(guān)鍵點(diǎn):熟記角度的轉(zhuǎn)換進(jìn)率.

16.C

【分析】本題考查幾何圖形中角度計算問題，分射線OC在/ZO8內(nèi)、外兩種情況，畫出圖

形，分別計算即可.

【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)射線0c在/力。4內(nèi)時，

ZAOC=ZAOB-ZBOC=70°52'—35°20'=3532'；

如圖2所示，當(dāng)射線OC在/月。打外時，

答案第6頁，共23頁

Z.AOC=Z.BOC+ZAOB=7052'+3520'=105°72'=10612',

綜上，的度數(shù)為35°32'或10612',

圖1

故選C.

17.D

【分析】此題主要考查先平分線的定義，角的和差計算，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的定義.

根據(jù)角平分線的定義求出各角度數(shù)，再判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】???乙4。。=120°,OC平分40。，

:.ZAOC=NDOC=-x]20°=60°

2

?.?08平分/4OC.

ZAOB=ZBOC=-x60°=30°,

2

:.NAOB+Z.COD=30°+60°=90°,//OC+NAOD=60°+120°=180°,

.?.①N4OC=NCOD,正加；

@ZCOD=2ZBOC,正確；

③08與/COD可以拼成一個直角，正確；

④N/OC與可以拼成一個平角，正確，

故選：D.

18.60°

【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識.由角的和差

關(guān)系可求出4ABD=120°,再根據(jù)角平分線的定義即可求解.

【詳解】解：:/48P+NP8C=90。，NCBD=30。,

/.乙4BD=NABP+NPBC+ZCBD=90°+30°=120°,

丁BP平分NABD,

/.AABP=-ZABD=600,

2

答案第7頁，共23頁

故答案為：6()。.

19.110。##110度

【分析】本題考查角平分線有關(guān)的角的計算.根據(jù)角平分線的定義和角的和差可得

ZAOD=2A\fON-ZBOC,再把/加。、=8()。,/4。。=50。代入計算即可.

【詳解】解：???OM平分/4O8,

.??N4OB=2NBOM,

?：ON平分4COD,

：.ACOD=24coN,

???/MON=NBOM+NBOC+4CON,

:"BOM+CON=/MON-ZBOC,

AZAOD=NAOB+NBOC+NCOD,

=2/BOM+2ZCON+ZBOC.

=2(28OM+NCON)+ZBOC

=2NMON-NBOC

=2x80°-50°

=110°,

故答案為：110°.

20.(1)45°

(2)70°

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計算，找準(zhǔn)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵：

(1)根據(jù)直角結(jié)合角的和差關(guān)系得到/4OC的度數(shù)，角平分線求出NCOENCO/的度數(shù),

再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)角平分線和角的和差關(guān)系推出3NCOE-40。=170。，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：?.?NAOB是直角,

.?.//。8=90。，

Z.AOC=N4OB+ZBOC=160°,

?.?射線OE平分/4OC,射線O尸平分N8OC,

二ZCOE=-ZAOC=80°.ZCOF=-ZBOC=35。，

22

：?4E0F=/COE-4COF=45°:

答案第8頁，共23頁

(2)?.?射線。七平分/力0C,射線。尸平分Z40C,

:.ZCOF=-ZBOC=40°,AAOC=2ZCOE,

2

???N4OC+NEOF=170°,

2ZCOE+(Z.COE-Z.COF)=170°,即：3ZCOE-400=170°,

.?.NCOK=700.

21.B

【分析】本題主要考查了角的大小關(guān)系，利用平移的方法求解即可.將Na平移，使Na、邛

頂點(diǎn)重合，即可比較大小.

【詳解】解：將Na平移，使/a、N6頂點(diǎn)重合，

N0在Na內(nèi)部，

22.(1)內(nèi)部，<：(2)=；(3)4BOC,外部，<

【分析】(1)根據(jù)圖形及角度關(guān)系即可判斷；

(2)根據(jù)圖形及角度關(guān)系即可判斷；

(3)根據(jù)圖形及角度關(guān)系即可判斷.

【詳解】由圖可知：(1)因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OC在4AOB的內(nèi)部，所以NAOCV

ZAOB

故答案為：內(nèi)部;V;

(2)因?yàn)镺A與OA是公共邊，邊OD與邊OC疊合，所以乙AOC-乙AOD

故答案為：=;

(3)因?yàn)镺B與OB是公共邊，邊OA在4BOC的外部，所以4BOCV4BOA.

故答案為：ZBOC；外部；V.

【點(diǎn)睛】此題主要考查角度之間的美系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.

23.(1)z2=zl>za；(2)Za<zil=z2<Z//<z3=Zy

【分析】1)將角的頂點(diǎn)重合，角的兩邊重合，看第二邊的位置關(guān)系，分類判斷即可：

答案第9頁，共23頁

（2）用量角器測量比較即可.

【詳解】解：（1）如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得乙1>4Q，用同樣的方法,

可得乙aVz_2.所以42=41>/〃.

（2）用量角器量出圖中各個角的度數(shù)，分別是乙1=42=45。，乙3=90。，乙a=30。，邛=

60°,4=90。，

把它們從小到大排列，有乙a〈Nl=N2V"〈乙3=分

【點(diǎn)睛】本題考查了了角的大小比較的方法，熟練掌握登合法和度量法兩種：①先將兩個

角的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合,一條功與一條功重合再比較.②先量出每個角的度數(shù),然后按它們

的度數(shù)來比較，是解題的關(guān)鍵.

24.C

【分析】本題主要考查度分秒的換算，熟練掌握度分秒的換算規(guī)則是解題的關(guān)鍵.將N1進(jìn)

行換算，即可得到答案.

【詳解】解：Nl=38015'=38.25°,

故Nl=N3,

故選C.

25.見解析

【分析】此題主要考查作一個角等于已知角的作法.先依次作NCOO=N4OO=N2,再作

N4OB=NI,則//。。就是所求的角.

答案第1（）頁，共23頁

26.D

【分析】本題考查了同位用相等兩直線平行?，尺規(guī)作一個角等于已知角，解題關(guān)鍵是掌握上

述知識.

根據(jù)同位角相等兩直線平行，得出CN〃O4,由此判斷作圖方法.

【詳解】解：通過作N8CV=//IOC,依據(jù)同位角相等兩直線平行，得到。V〃CM,所以作

圖痕跡中弧“G是以點(diǎn)￡為圓心，DW長為半徑的弧，

故選：D.

27.A

【分析】本題考查了作一個角等于已知角，角度的和差計算.根據(jù)作圖可知

NEO，F(xiàn)=NHOB,結(jié)合圖形，根據(jù)角度的和差關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：根據(jù)作圖可知NE。戶

A、不能判斷/月O8=2NEO'E.故該選項(xiàng)不正確,符合題意：

B、?：/AOB>NHOB,即4故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、/〃OA=N￡O,，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、ZAOH=ZAOB-Z.HOB=AAOB-Z-EO'F,故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：A.

28.圖見解析

【分析】本題考查尺規(guī)作用，根據(jù)尺規(guī)作角的方法，作圖即可.掌握尺規(guī)作角的方法，是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，44C,/。川即為所求；

答案第11頁，共23頁

29.（1）100

（2）50或70

【分析】本題考查了角的計算，分情況畫圖討論是解題的關(guān)鍵.

（1）當(dāng)NCQQ從圖1中的位置繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)到OC與08重合時，如圖2,可得

4MON=4MoB+/BON,再根據(jù)已知條件進(jìn)行計算即可；

（2）根據(jù)NCO。從圖2中的位置繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)〃。（0<〃<180且〃工60“，其中。為正

整數(shù)），/MON=2/BOC,分兩種情況畫圖：①當(dāng)0</;<60時，如圖3,②當(dāng)60<〃<180

時，如圖4和5,結(jié)合（2）進(jìn)行角的和差計算即可.

【詳解】（1）解：vZAOM=-ZAOCtNBON=L/BOD,

33

22

/.ZMOC=-ZAOC,NDON=—/BOD,

33

當(dāng)NCOQ從圖1中的位置繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到OC與08重合時，如圖2,

NA/ON=2M0B+NBON

21

=-^AOC+-ZBOD

33

21

=-x!20°+-x60°

33

=80°+20。

=100°,

故答案為：100；

（2）解：N。。。從圖2中的位置繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)〃。（0<〃<180且〃=60°,其中。為正

整數(shù)），4M0N=24BOC,

①當(dāng)0<〃<60時，如圖3,

???ZBOC=n。,

乙MON=2/BOC=2”。.

ZAOC=NAOB+NBOC=120°+n°,

4B(JD=Z.BOC+Z/J(7C=nu+60u,

答案第12頁，共23頁

/.4MON=4Moe+/DOC-/DON

22

=-(120°+〃。)+60。-￡(〃c+60°)

33

=100°,

/.2/7°=100°,

n=50；

②當(dāng)60〈〃〈120時，如圖4,

:"MON=2/BOC=2n。、

：.^AOC=360°-(ZAOB+N8OC)=360°-(120。+n0)=240°-n°,

/BOD=4BOC+ZDOC=n0+60°,

/.4MON=360°-乙4OM-ZAOB-4BON

=360°-g(240?！?20,一g(60。+〃。)

=140°,

2w°=140°,

；./z=70；

當(dāng)120<〃<180時，如圖5,

ZAOD=360°-ZAOB-Z.BOC-ZCOD=360°-120°-^°-60°=180°-n

ZAOC=ZAOD+Z.COD=180°-/?°+60°=240°-n°,

Z.BOD=ZAOD+ZAOB=\80°-“°+120°=300°-//°,

答案第13頁，共23頁

...AAOM=-ZAOC,NBON=-4BOD,

33

/.ZJOM=80°-1??,/SON=100。-；〃，

:"MON=4BOM-4B0N

=(NAOB+ZAOM)-4B0N

=(120o+80o--?)-(100o--w)

33

=100°,

/.2〃。=100。，

n=50,不合題意；

綜上所述：〃的值為50或70.

30.A

【分析】此題主要考杳了靠平分線的定義：從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個

角的射線叫做這個角的平分線.同時考查了鄰補(bǔ)角定義.根據(jù)角平分線可得N/iOC=40。，

進(jìn)而可得N4OC=14()。，再利用角之間的比例關(guān)系可得答案.

【詳解】解：OM平分/AOC,NAOM=20°,

.??4OC=24OM=40。，

???NCO8=180。-40。=140°,

,:2BON:NCCW-1:4,

4

.-.zcav=1400x-=112°,

5

故選:A.

31.26?；?9?；?2。

【分析】本題主要考查了用的和差，幾何圖形中角的計算，正確分情況討論是解題關(guān)鍵.分

①=②/AOB=2NBOC,(3)ZJ(?C=2ZBOC,④N8OC=2N/OC四種

情況，再根據(jù)知的和差進(jìn)行計算即可得.

【詳解】解：由題意，分以下四種情況：

①當(dāng)AAOB=24Aoe時,射線OC是ZAOB的“平衡線”，

v403=78。,

ZAOC=-^408=39°-

2

②當(dāng)NAOB=2ZBOC時，射線OC是NAOB的“平衡線”，

答案第14頁，共23頁

Z.AOB=78°,

NBOC=L/4OB=39°,

2

：./-AOC=乙408-2B0C=39°；

③當(dāng)ZAOC=2ZBOC時，射線OC是ZAOB的“平衡線”，

?.?N4O8=78°,ZAOC+ZBOC=ZA0B,

//。(?+■!■//OC=78。，

2

解得乙40c=52。；

④當(dāng)NB0C=2乙40c時，射線0c是ZAOB的“平衡線”，

...//。8=78。，ZA0C+4B0C=4A0B,

ZAOC+2ZAOC=78°,

解得N/0C=26。：

綜上，/40c的度數(shù)為26?；?9?；?2。，

故答案為：26?；?9?；?2。.

32.(1)10°

(2)30°

【分析】本題考杳了等分角問題，角的和差；

(1)由為N5OC的三等分線，得N8OM=;/8OC

2

=40°,或/8。河=§/8。。=80。，即可求解：

(2)由角的和差得440M=90。一乙40雙，NNOC=60。-NAON,即可求解；

能根據(jù)角的等分線不確定性分類求解，用已知角的和差表示所求角是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：TOM為/8OC的三等分線，

/BOM,NBOC

4

=40°,

2

或NBOM="BOC

=80°,

4。、=90。-40。=500,

或4。川=90。-80°=10°；

故4BUN的度數(shù)為50?；颍?、

答案第15頁，共23頁

(2)解：???NMON=90。，

入IOC=60°,

90。-4ON,

NNOC=60。-NAON,

:"AOM-4NOC

=(9o°-/jr)/V)-(6o0-/4av)

=30°.

33.(1)145°：

(2)30°；

(3)40°.

【分析】本題主要考查了侑的運(yùn)算.

(1)根據(jù)N8C'E=90。和/。?！?35。，可以求出N8CQ=55。，冉根據(jù)

Z.BCA=/BCD+乙4CO即可求出結(jié)果：

(2)根據(jù)//(78=150。和N4CZ)=N8CE=90。，即可求出N8CO=60。，再根據(jù)

NBCE=90。,即可求出NDCE的度數(shù)；

(3)i&ZDCE=2x,AACB=7x,又因?yàn)橐?CQ=N5CE=90。，即可得到：

N8CQ=7x-90。，因?yàn)镹DCE+NBCD=NBCE,即可得至1J2工+7工一90。=90。，解方程求出

x的值，即可得到/。CE的度數(shù).

【詳解】(1)解：由題意得，"CD=NBCE=90。,

NDCE=35。,

:"BCD=NBCE-NDCE=90°-35°=55°,

ZBCA=/BCD+NACD=550+90°=l45°,

故答案為：145。；

(2)解：由題意得，N/CD=N8CE=90。,

???ZACB=150°f

/BCD=NACB-/ACD=150°-90°=60°,

ZDCE=ZBCE-/BCD=90°-60°=30°,

故答案為:30%

(3)解：vZDCE:ZACB=2:7,

答案第16頁，共23頁

設(shè)NOCE=2x,ZACB=7x,

由題意得，N4CD=NBCE=90。,

：.ZBCD=NACB-ZACD=7x-90°,

???/DCE+/BCD=/BCE,

2x+7x-90°=90°,

解得：x=20°,

ZDCE=2x=40°.

34.1800##180度

【分析】本題考查了角的和差運(yùn)算，根據(jù)乙4CO=NEC8=90。，進(jìn)一步利用角的和差即可

作答.

【詳解】解：?"CD=ZECB=90°,

："ACB+ZDCE=/ACD+ZBCD+ZDCE=ZACD+ZBCE=180°.