2025年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題與答案解析一、問題求解題（共3題，每題15分）題目1（15分）背景：某城市交通管理部門為優(yōu)化交通流量，對(duì)某主干道進(jìn)行交通流量監(jiān)測(cè)。經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)該主干道的車流量在一天內(nèi)呈現(xiàn)明顯的周期性變化。為制定更合理的交通管制策略，需要建立模型預(yù)測(cè)車流量變化規(guī)律。問題：1.根據(jù)以下觀測(cè)數(shù)據(jù)（單位：輛/小時(shí)），建立車流量變化模型；2.預(yù)測(cè)次日8:00至10:00的車流量變化趨勢(shì)；3.分析車流量變化的主要影響因素。|時(shí)間（小時(shí)）|車流量（輛/小時(shí)）||-|||0|120||2|350||4|650||6|800||8|750||10|600||12|400||14|300||16|250||18|400||20|700||22|900||24|600|題目2（15分）背景：某農(nóng)場(chǎng)種植玉米，為提高產(chǎn)量，農(nóng)場(chǎng)主考慮施用不同種類肥料的效果。現(xiàn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，記錄不同肥料用量下的玉米產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下。問題：1.建立肥料用量與玉米產(chǎn)量之間的關(guān)系模型；2.分析不同種類肥料的增產(chǎn)效果；3.推薦最佳施肥方案。|肥料種類|施用量（kg/畝）|產(chǎn)量（kg/畝）||-|-|--||A|0|300||A|5|450||A|10|600||B|0|320||B|5|500||B|10|680||C|0|350||C|5|550||C|10|700|題目3（15分）背景：某商場(chǎng)為促銷商品，推出階梯式價(jià)格優(yōu)惠政策。購(gòu)買金額越高，折扣越大?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)了不同購(gòu)買金額對(duì)應(yīng)的實(shí)際支付金額，數(shù)據(jù)如下。問題：1.建立購(gòu)買金額與實(shí)際支付金額之間的關(guān)系模型；2.分析商場(chǎng)的優(yōu)惠政策設(shè)計(jì)；3.預(yù)測(cè)購(gòu)買金額為2000元的實(shí)際支付金額。|購(gòu)買金額（元）|實(shí)際支付金額（元）||-|-||100|100||300|270||500|400||800|600||1200|880||1500|1200||2000|1500|二、數(shù)據(jù)分析題（共2題，每題20分）題目4（20分）背景：某醫(yī)院記錄了100名患者的年齡和住院天數(shù)數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下。問題：1.計(jì)算年齡和住院天數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差；2.繪制年齡和住院天數(shù)的散點(diǎn)圖，分析兩者關(guān)系；3.建立住院天數(shù)與年齡的回歸模型，并解釋模型意義。|患者編號(hào)|年齡（歲）|住院天數(shù)（天）||-|--|-||1|25|3||2|35|5||3|45|7||...|...|...||100|75|12|題目5（20分）背景：某公司統(tǒng)計(jì)了員工的工作年限和月收入數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下。問題：1.計(jì)算工作年限和月收入的相關(guān)系數(shù)；2.建立月收入與工作年限的線性回歸模型；3.分析模型擬合優(yōu)度，并提出改進(jìn)建議。|員工編號(hào)|工作年限（年）|月收入（元）||-|-|--||1|1|5000||2|3|8000||3|5|12000||...|...|...||50|15|25000|三、模型建立題（共2題，每題25分）題目6（25分）背景：某水庫(kù)需制定供水計(jì)劃，水庫(kù)水量受降雨和用水量影響。已知水庫(kù)最大蓄水量為100萬(wàn)立方米，當(dāng)前蓄水量為60萬(wàn)立方米。降雨量服從正態(tài)分布，均值為20mm/天，標(biāo)準(zhǔn)差為5mm/天。用水量與氣溫相關(guān)，氣溫每升高1℃，用水量增加100萬(wàn)立方米/天。問題：1.建立水庫(kù)水量變化的數(shù)學(xué)模型；2.預(yù)測(cè)未來3天水庫(kù)水量變化情況；3.提出水庫(kù)供水方案。題目7（25分）背景：某城市垃圾分類回收系統(tǒng)運(yùn)行效率受居民參與度影響。研究表明，居民參與度與宣傳力度、回收設(shè)施數(shù)量、回收成本呈正相關(guān)關(guān)系。已知宣傳力度每增加1%，參與度提高0.5%；回收設(shè)施每增加1個(gè)/萬(wàn)人，參與度提高0.2%；回收成本每降低1元/kg，參與度提高0.3%。問題：1.建立居民參與度的數(shù)學(xué)模型；2.分析提高參與度的最優(yōu)策略；3.預(yù)測(cè)在現(xiàn)有條件下3個(gè)月后參與度的變化。四、模型優(yōu)化題（共1題，30分）題目8（30分）背景：某物流公司需配送貨物至多個(gè)城市，需選擇最優(yōu)路線以降低運(yùn)輸成本。已知各城市間距離和運(yùn)輸成本系數(shù)如下表。|城市|A|B|C|D|E|||-|-|-|-|-||A|-|10|20|30|40||B|10|-|15|25|35||C|20|15|-|10|20||D|30|25|10|-|15||E|40|35|20|15|-|問題：1.建立運(yùn)輸成本最小化的數(shù)學(xué)模型；2.使用線性規(guī)劃求解最優(yōu)配送方案；3.分析模型在實(shí)際應(yīng)用中的局限性。答案解析問題求解題答案題目1答案（15分）1.車流量變化模型：采用正弦函數(shù)擬合，模型為：$$車流量=600+400\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-6)\right)$$其中$t$為小時(shí)數(shù)。2.次日8:00至10:00預(yù)測(cè)：$t=8$時(shí)，車流量=600+400$\sin(\pi/3)$≈933輛/小時(shí)；$t=9$時(shí)，車流量=600+400$\sin(\pi/2)$=1000輛/小時(shí)；$t=10$時(shí)，車流量=600+400$\sin(2\pi/3)$≈933輛/小時(shí)。3.影響因素分析：車流量受早晚高峰（8-10時(shí)、20-22時(shí)）和夜間（0-6時(shí)）規(guī)律性變化，主要受通勤出行和夜間出行影響。題目2答案（15分）1.關(guān)系模型：采用二次函數(shù)擬合，模型為：$$產(chǎn)量=300+50x+20x^2$$其中$x$為肥料用量。2.肥料效果分析：肥料C效果最佳（斜率最大），肥料A次之，肥料B效果最差。3.最佳施肥方案：當(dāng)$x=10$時(shí)，產(chǎn)量最大，為700kg/畝，建議施用肥料C。題目3答案（15分）1.關(guān)系模型：采用分段函數(shù)：$$支付金額=\begin{cases}100&0\leq購(gòu)買金額<500\\0.9\times購(gòu)買金額&500\leq購(gòu)買金額<1000\\0.8\times購(gòu)買金額&1000\leq購(gòu)買金額<2000\\0.7\times購(gòu)買金額&購(gòu)買金額\geq2000\end{cases}$$2.優(yōu)惠政策分析：商場(chǎng)采用階梯式折扣，鼓勵(lì)大額消費(fèi)。3.預(yù)測(cè)支付金額：購(gòu)買金額2000元時(shí)，支付金額=0.7×2000=1400元。數(shù)據(jù)分析題答案題目4答案（20分）1.統(tǒng)計(jì)量：年齡均值=45，方差=100，標(biāo)準(zhǔn)差=10；住院天數(shù)均值=7，方差=16，標(biāo)準(zhǔn)差=4。2.散點(diǎn)圖分析：散點(diǎn)圖呈正相關(guān)趨勢(shì)，但存在部分離群點(diǎn)。3.回歸模型：$$住院天數(shù)=2+0.2\times年齡$$模型解釋：年齡越大，住院天數(shù)越長(zhǎng)。題目5答案（20分）1.相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)r=0.85，強(qiáng)正相關(guān)。2.回歸模型：$$月收入=5000+1500\times工作年限$$3.模型分析：R2=0.72，擬合度較好，可增加其他變量（如技能）提高精度。模型建立題答案題目6答案（25分）1.模型：$$蓄水量_{t+1}=蓄水量_t+降雨量-100\times(氣溫-20)$$2.預(yù)測(cè)：假設(shè)未來3天降雨量均值20mm，氣溫均值25℃：蓄水量逐天遞減約100萬(wàn)立方米。3.供水方案：限制每日取水量不超過40萬(wàn)立方米，確保3天安全。題目7答案（25分）1.模型：$$參與度=10+0.5\times宣傳力度+0.2\times設(shè)施數(shù)量-0.3\times成本$$2.最優(yōu)策略：優(yōu)先增加宣傳力度（邊際效益最高），其次是減少回收成本。3.預(yù)測(cè)：若宣傳增加20%，設(shè)施增加5個(gè)/萬(wàn)人，成本降低10元/kg：參與度提高16%。模型優(yōu)化題答案題目8答案（30分）1.模型：$$\minZ=10x_{AB}+15x_{BC}+20x_{CD}+25x_{DE}+30x_{DA}+35x_{EB}+40x_{EA}$$約束條件：$$x_{AB}+x_{BA}=1,\quad\sumx_{ij}\leq1\text{（配送量）}$$2.求解：最優(yōu)方案：A→B→E，總成本=100。3.局限性：未考慮交通擁堵、油價(jià)波動(dòng)等動(dòng)態(tài)因素，實(shí)際需動(dòng)態(tài)調(diào)整。#2025年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題與答案解析注意事項(xiàng)一、審題是關(guān)鍵仔細(xì)閱讀題目，明確問題背景、約束條件和目標(biāo)函數(shù)。圈出關(guān)鍵詞，避免遺漏重要信息。理解題意是后續(xù)建模的基礎(chǔ)。二、建模要合理根據(jù)題意選擇合適的數(shù)學(xué)模型。常見模型包括線性規(guī)劃、微分方程、圖論等。注意模型的適用范圍，避免過度簡(jiǎn)化或復(fù)雜化。三、數(shù)據(jù)處理要規(guī)范數(shù)據(jù)來源要可靠，處理方法要科學(xué)。注意數(shù)據(jù)清洗，剔除異常值。圖表要清晰，標(biāo)注要規(guī)范。四、計(jì)算要準(zhǔn)確手算要細(xì)