階段拔尖專訓1二次函數(shù)與幾何變換的綜合應用高分秘籍二次函數(shù)的圖象的平移變換：

在一般式y(tǒng)＝

ax2＋bx＋c(a≠0)或頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)中，左右平移在x上加減平移的單位長度，上下平移在等號右邊整體加減平移的單位

長度．題型1二次函數(shù)與平移變換1．[2024長沙一模]我們不妨約定：如果拋物線的頂點在直線y＝2x上，那么我們把這樣的拋物線叫作“完美拋物線”．根據(jù)約定，解答下列問題：【概念理解】(1)下列拋物線是“完美拋物線”的是________(填序號)；①y＝x2；②y＝x2－4x＋6；③y＝－(x＋h)2－2h.①③【拓展應用】如圖，已知“完美拋物線”y＝－(x－1)2＋k的頂點為A，將該拋物線沿直線y＝2x向上平移，點A平移到點B，兩條“完美拋物線”相交于點C，設點B，C的橫坐標分別為m，n(m>1)．y＝－(x－1)2＋2y＝－x2＋6x－32．[2024山東]在平面直角坐標系xOy中，點P(2，－3)在二次函數(shù)y＝ax2＋bx－3(a＞0)的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝m.(1)求m的值；(2)若點Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位，得到新的二次函數(shù)的圖象．當0≤x≤4時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值

的和；【解】由題意得點Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的圖象上，∴a－2a－3＝－4，解得a＝1，∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位，得到新的圖象對應的二次函數(shù)為y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤4，∴當x＝1時，函數(shù)有最小值為1，當x＝4時，函數(shù)有最大值為(4－1)2＋1＝10，∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為11.(3)設y＝ax2＋bx－3的圖象與x軸交點為(x1，0)，(x2，0)(x1＜x2)，若4＜x2－x1＜6，求a的取值范圍．高分秘籍二次函數(shù)的圖象的對稱變換：①關于x軸對稱：拋物線y＝ax2＋bx＋c關于x軸對稱的拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－ax2－bx－c；拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k關于x軸對稱的拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－a(x－h(huán))2－k.②關于y軸對稱：拋物線y＝ax2＋bx＋c關于y軸對稱的拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝ax2－bx＋c；拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k關于y軸對稱的拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝a(x＋h)2＋k.題型2二次函數(shù)與對稱變換③關于原點對稱：拋物線y＝ax2＋bx＋c關于原點對稱的拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－ax2＋bx－c；拋物線y＝

a(x－h(huán))2＋k關于原點對稱的拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－a(x＋h)2－k.3．[2024湛江模擬]如圖，已知拋物線y＝x2－x－2交x軸于A，B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為圖象W，圖象W交y軸于點C.(1)圖象W在A，B間的部分對應的函數(shù)關系式為_______________________；y＝－x2＋x＋2(－1<x<2)(2)若直線y＝－x＋b與圖象W有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出b的值；【解】2或3(3)P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解】存在．當x＝0時，y＝2，∴C(0，2)，當y＝0時，x2－x－2＝0，解得x＝－1，x2＝2，∴B(2，0)，∴OB＝OC＝2.又∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形.如圖①，當CN∥OB時，△CNM∽△BOC，由對稱性易得N(1，2)．∵PN∥y軸，∴P(1，0)．4．已知拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點(1，0)和點(－3，0)．(1)a＝________，c＝________；(2)若直線y＝－2x＋k與此拋物線有且只有一個交點，則

k＝________，該交點的坐標為___________；1－3－7(－2，－3)(3)將該拋物線x軸下方部分沿x軸翻折，翻折后得到的圖象與原圖象剩余部分組成一個新的圖象，將該圖象記為M，若直線y＝－2x＋n與圖象M有2個交點，求n的取值

范圍．【解】如圖，當直線y＝－2x＋n經(jīng)過點(－3，0)時，直線與圖象M有1個交點，把點(－3，0)的坐標代入y＝－2x＋n，得0＝－2×(－3)＋n，解得n＝－6.當直線y＝－2x＋n經(jīng)過點(1，0)時，直線與圖象M有3個交點，把點(1，0)的坐標代入y＝－2x＋n，得0＝－2×1＋n，解得n＝2.令－2x＋n＝－(x2＋2x－3)，整理得x2＋n－3＝0.當－4(n－3)＝0，即n＝3時，直線y＝－2x＋n與圖象M有3個交點．綜上，結(jié)合圖象可知，若直線y＝－2x＋n與圖象M有2個交點，則n的取值范圍為－6＜n＜2或n＞3.5.我們約定：在平面直角坐標系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足x1＋y1＝x2＋

y2＝m，則稱此函數(shù)為關于m的等和函數(shù)，這些點叫作關于m的等和點．①－8(3)若函數(shù)y＝x2－x－2(x≤2)的圖象記為W1，將其沿直線x＝2翻折后的圖象記為W2.若W1，W2兩部分組成的圖象上恰有兩個關于m的等和點，請求出m的取值范圍．消去n，得y＝x2－7x＋10，即圖象W2對應的函數(shù)表達式為y＝x2－7x＋10.畫出圖象W1，W2如圖所示．令x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1，∴A(2，0)．由題意知，等和點所在直線是y＝－x＋m.6．[2024邵陽模擬]如果二次函數(shù)y1的圖象